偏二回种新型元统计数分析方法1983年伍德阿巴诺等首次提出十年理方法应方面迅速发展密西根学弗耐尔教授称偏二回第二代回分析方法
偏二回方法统计应中重性方面：
（1）偏二回种变量变量回建模方法
（2）偏二回较解决许普通元回法解决问题普通元线形回应中常受许限制典型问题变量间重相关性果采普通二方法种变量重相关性会严重危害参数估计扩模型误差破坏模型稳定性变量重相关问题十分复杂长期理方法未出满意答案直困扰着事实际系统分析工作员偏二回中开辟种效技术途径利系统中数信息进行分解筛选方式提取变量解释性强综合变量辨识系统中信息噪声更克服变量重相关性系统建模中良作
（3）偏二回称第二代回方法实现种数分析方法综合应
偏二回元线性回分析+典型相关分析+成分分析
偏二回建模时实现数结构简化二维面图维数特性进行观察偏二回分析图形功十分强次偏二回分析计算变量变量回模型面图直接观察两组变量间相关关系观察样点间相似性结构种高维数层面视见性数系统分析容更加丰富时建立回模型予许更详细深入实际解释
偏二回建模策略＼原理＼方法
11建模原理
设 q变量{}p变量{}研究变量变量统计关系观测n样点构成变量变量数表X{}Y{}偏二回分XY中提取出成分 (说 线形组合 线形组合)提取两成分时回分析需列两求
(1) 应携带数表中变异信息
(2) 相关程度够达
两求表明 应代表数表XY时变量成分 变量成分 强解释力
第成分 提取偏二回分实施X 回 Y 回果回方程已达满意精度算法终止否利 X解释残余信息Y 解释残余信息进行第二轮成分提取复直达较满意精度止终 X提取 m成分…偏二回通实施 … 回然表达成关原变量… 回方程k12…q
12计算方法推导
数学推导方便起见首先数做标准化处理X 标准化处理数矩阵记(…)标准化处理数矩阵记(…)
第步 记第成分第轴单位量||||1
记第成分 第轴||||1
果分代表XY中数变异信息根成分分析原理应该
Var()max
Var()max
方面回建模需求解释力典型相关分析思路相关度应达值
r（）max
综合起偏二回中求协方差达
Cov()r() max
正规数学表述应该求解列优化问题
st
||||1||||1约束条件求()值
果采拉格朗日算法记
s－ (－1)－ (－1)
s分求关偏导令零
－0 (1 2)
－0 (13)
－(－1)0 (14)
－(－1)0 (15)
式(12)~(15)推出
记正优化问题目标函数值
式(12)式(13)写成
(16)
(17)
式(17)代入式(16)
(18)
理
(19)
见矩阵特征量应特征值目标函数值求取值 应矩阵特征值单位特征量方面 应矩阵特征值单位特征量
求轴成分
然分求三回方程
(110)
(111)
(112)
式中回系数量
(113)
(114)
(115)
分三回方程残差矩阵
第二步 残差矩阵取代然求第二轴第二成分
应矩阵特征值特征值 应矩阵特征值特征量计算回系数
回方程
计算果秩会
（116）
（117）
均表示成线性组合式(117)原成关回方程形式
k12…q
残差距阵第k列
13交叉效性
面讨问题现数表确定更回方程许情形偏二回方程需选全部成分进行回建模象成分分析样采截尾方式选择前m 成分仅m 续成分预测性较模型事实果续成分已解释提供更意义信息时采成分会破坏统计趋势认识引导错误预测结元回分析章中调整复测定系数容中讨观点
面问题样确定应提取成分数
元回分析中介绍抽样测试法确定回模型否适预测应手中数分成两部分第部分建立回方程求出回系数估计量拟合值残差均方第二部分数作实验点代入刚求回方程求出般回方程会更预测效果 回方程宜预测
偏二回建模中究竟应该选取少成分宜通考察增加新成分否模型预测功明显改进考虑采类似抽样测试法工作方式n样点分成两部分第部分某样点样点集合(含n1样点)部分样点h成分拟合回方程第二部分刚排样点代入前面拟合回方程样点拟合值12…n重复述测试定义预测误差方
(118)
定义Y 预测误差方
(119)
显然果回方程稳健性误差样点变动会十分敏感种扰动误差作会加值
外采样点拟合含h 成分回方程记第样点预测值记误差方
(120)
定义Y误差方
(121)
般说总总面较全部样点拟合具h1成分方程拟合误差 增加成分含样点扰动误差果h成分回方程含扰动误差定程度(h1)成分回方程拟合误差认增加成分会预测结果明显提高希值越越SIMCAP软件中指定
时增加成分益者反说时认增加新成分减少方程预测误差明显改善作
种等价定义称交叉效性变量定义
(122)
全部变量Y成分交叉效性定义
(123)
交叉效性测量成分预测模型精度边际贡献两尺度
(1) 时 成分边际贡献显著显易见 完全等价决策原
(2) k12…q少k
时增加成分少变量预测模型显著改善考虑增加成分明显益
明确偏二回方法基原理方法算法步骤做实证分析
附 录
function wmaxdet(A)
求矩阵特征值
[vd]eig(A)
[np]size(d)
d1d*ones(p1)
d2max(d1)
ifind(d1d2)
wv(i)
function [cmv]norm1(C)
数进行标准化处理
[ns]size(C)
for i1n
for j1s
c(ij)(C(ij)mean(C(j)))sqrt(cov(C(j)))
end
end
mmean(C)
for j1s
v(1j)sqrt(cov(C(j)))
end
function [tqwwhf0FF]fun717(pxpyC)
px变量输入数
py输入变量数
C输入变量变量组成矩阵
t提取成分
q回系数
w特征值应特征量
wh处理特征量
f0回标准化方程系数
FF原始变量回方程系数
cnorm1(C) norm1标准化函数
yc(px+1px+py) 截取标准化变量
E0c(1px)
F0c(px+1px+py)
AE0＇*F0*F0＇*E0
w(1)maxdet(A) 求特征量
t(1)E0*w(1) 提取成分
E(1px)E0t(1)*(E0＇*t(1)(t(1)＇*t(1)))＇ 获回系数
p(1px)(E0＇*t(1)(t(1)＇*t(1)))＇
for i0px2
B(px*i+1px*i+px)E(px*i+1px*i+px)＇*F0*F0＇*E(px*i+1px*i+px)
w(i+2)maxdet(B(px*i+1px*i+px))
maxdet求特征值函数
t(i+2)E(px*i+1px*i+px)*w(i+2)
p(px*i+px+1px*i+2*px)(E(px*i+1px*i+px)＇*t(i+2)(t(i+2)＇*t(i+2)))＇
E(px*i+px+1px*i+2*px)E(px*i+1px*i+px)t(i+2)*(E(px*i+1px*i+px)＇*t(i+2)(t(i+2)＇*t(i+2)))＇
end
for s1px
q(s)p(1px*(s1)+1px*s)＇
end
[nd]size(q)
for h1px
iweye(d)
for j1h1
iwiw*(eye(d)w(j)*q(j)＇)
end
wh(h)iw*w(h)
end
for j1py
zr(j)(regress1(y(j)t))＇ 求回系数
end
for j1px
fori1py 生成标准化变量方程系数矩阵
w1wh(1j)
zr1(zr(i1j))＇
f0(ij)(w1*zr1)＇
end
[normxymeanxycovxy]norm1(C) normxy标准化数矩阵
meanxy列均值
covxy列方差
ccxxones(py1)*meanxy(11px)
ccy(covxy(1px+1px+py))＇*ones(1px)
ccxones(py1)*(covxy(11px))
ffccy*f0(j)ccx
fff(sum((ccy*ccxx*f0(j)ccx)＇)meanxy(1px+1px+py))＇
FF(j)[fffff] 生成原始变量方程常数项系数矩阵
end
function [rRdytRdYtRdYttRdyttVIP]fun8y(pxpyc)
Xc(1px)
Yc(px+1px+py)
xnorm1(X)
ynorm1(Y)
[tqw]fun717(pxpy[XY])
r1corrcoef([yt])
rr1(py+1px+py1py)＇
Rdytr^2
RdYtmean(Rdyt)
for m1px
RdYtt(1m)sum(RdYt(11m)＇)
end
for j1py
for m1py
Rdytt(jm)sum(Rdyt(j1m)＇)
end
end
for j1px
for m1px
Rd(jm)RdYt(11m)*((w(j1m)^2)＇)
end
end
for j1px
VIP(j)sqrt((px*ones(1px)RdYtt)*Rd(j))
end
function [rRdxtRdXtRdXttRdxtt]fun8x(pxpyc)
Xc(1px)
Yc(px+1px+py)
xnorm1(X)
ynorm1(Y)
[tqw]fun717(pxpy[XY])
r1corrcoef([xt])
rr1(px+1px+px1px)＇
Rdxtr^2
RdXtmean(Rdxt)
for m1px
RdXtt(1m)sum(RdXt(11m)＇)
end
for j1px
for m1px
Rdxtt(jm)sum(Rdxt(j1m)＇)
end
end
for j1px
for m1px
Rd(jm)RdXt(11m)*((w(j1m)^2)＇)
end
end
for j1px
VIP(j)sqrt((px*ones(1px)RdYtt)*Rd(j))
end
function [tu]TU(pxpyC)
t提取变量成分
u 提取变量成分
cnorm1(C)
yc(px+1px+py)
E0c(1px)
F0c(px+1px+py)
AE0＇*F0*F0＇*E0
w(1)maxdet(A)
t(1)E0*w(1)
BF0＇*E0*E0＇*F0
cc(1)maxdet(B)
u(1)F0*cc(1)
function drew(pxpyc)
Xc(1px)
Yc(px+1px+py)
[linel]size(Y)
[tqwwhf0FF]fun717(pxpyc)
YYX*FF(2px+13)＇+ones(line1)*FF(13)＇
subplot(1111)
bar(f0(3))
title(＇ 直方图＇)
legend(＇SG＇＇TZBFB＇＇FHL＇＇JK＇＇HPZD＇＇JPZD＇＇TZ＇＇ZG＇＇GPK＇)
grid on
plot(YY(4)Y(4)＇+＇)
lsline
for i1py
vmod(i4)
d(iv)4
subplot(22vd+1)
plot(YY(i)Y(i)＇*＇)
lsline
end
function [ QhjQhprey]crossval7(pxpyc)
px变量数
py量
PRESShjzeros(pxpy)
Xc(1px)
Yc(px+1px+py)
xnorm1(X)
ynorm1(Y)
[linerow]size(x)
for h1px
for j1line
newxX
newyY
newx(j)[]
newy(j)[]
[tp0wwhf0FF]fun717(pxpy[newxnewy])
prey(jh)X(j)*FF(2px+1h)＇+FF(1h)＇
end
PRESShj(h)sum((Yprey(h))^2)
end
PRESSh(sum(PRESShj＇))＇
for h1px
[t1p0wwhf0FF]fun717(pxpyc)
prey2(h)X()*FF(2px+1h)＇+ones(line1)*FF(1h)＇
SShj(h)sum((Yprey2(h))^2)
end
SSh(sum(SShj＇))＇
Qhjones(px1py)PRESShj(2px)SShj(1px1) 错位
Qhones(px11)PRESSh(2px1)SSh(1px11)
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偏二回方法统计应中重性方面：
（1）偏二回种变量变量回建模方法
（2）偏二回较解决许普通元回法解决问题普通元线形回应中常受许限制典型问题变量间重相关性果采普通二方法种变量重相关性会严重危害参数估计扩模型误差破坏模型稳定性变量重相关问题十分复杂长期理方法未出满意答案直困扰着事实际系统分析工作员偏二回中开辟种效技术途径利系统中数信息进行分解筛选方式提取变量解释性强综合变量辨识系统中信息噪声更克服变量重相关性系统建模中良作
（3）偏二回称第二代回方法实现种数分析方法综合应
偏二回元线性回分析+典型相关分析+成分分析
偏二回建模时实现数结构简化二维面图维数特性进行观察偏二回分析图形功十分强次偏二回分析计算变量变量回模型面图直接观察两组变量间相关关系观察样点间相似性结构种高维数层面视见性数系统分析容更加丰富时建立回模型予许更详细深入实际解释
偏二回建模策略＼原理＼方法
11建模原理
设 q变量{}p变量{}研究变量变量统计关系观测n样点构成变量变量数表X{}Y{}偏二回分XY中提取出成分 (说 线形组合 线形组合)提取两成分时回分析需列两求
(1) 应携带数表中变异信息
(2) 相关程度够达
两求表明 应代表数表XY时变量成分 变量成分 强解释力
第成分 提取偏二回分实施X 回 Y 回果回方程已达满意精度算法终止否利 X解释残余信息Y 解释残余信息进行第二轮成分提取复直达较满意精度止终 X提取 m成分…偏二回通实施 … 回然表达成关原变量… 回方程k12…q
12计算方法推导
数学推导方便起见首先数做标准化处理X 标准化处理数矩阵记(…)标准化处理数矩阵记(…)
第步 记第成分第轴单位量||||1
记第成分 第轴||||1
果分代表XY中数变异信息根成分分析原理应该
Var()max
Var()max
方面回建模需求解释力典型相关分析思路相关度应达值
r（）max
综合起偏二回中求协方差达
Cov()r() max
正规数学表述应该求解列优化问题
st
||||1||||1约束条件求()值
果采拉格朗日算法记
s－ (－1)－ (－1)
s分求关偏导令零
－0 (1 2)
－0 (13)
－(－1)0 (14)
－(－1)0 (15)
式(12)~(15)推出
记正优化问题目标函数值
式(12)式(13)写成
(16)
(17)
式(17)代入式(16)
(18)
理
(19)
见矩阵特征量应特征值目标函数值求取值 应矩阵特征值单位特征量方面 应矩阵特征值单位特征量
求轴成分
然分求三回方程
(110)
(111)
(112)
式中回系数量
(113)
(114)
(115)
分三回方程残差矩阵
第二步 残差矩阵取代然求第二轴第二成分
应矩阵特征值特征值 应矩阵特征值特征量计算回系数
回方程
计算果秩会
（116）
（117）
均表示成线性组合式(117)原成关回方程形式
k12…q
残差距阵第k列
13交叉效性
面讨问题现数表确定更回方程许情形偏二回方程需选全部成分进行回建模象成分分析样采截尾方式选择前m 成分仅m 续成分预测性较模型事实果续成分已解释提供更意义信息时采成分会破坏统计趋势认识引导错误预测结元回分析章中调整复测定系数容中讨观点
面问题样确定应提取成分数
元回分析中介绍抽样测试法确定回模型否适预测应手中数分成两部分第部分建立回方程求出回系数估计量拟合值残差均方第二部分数作实验点代入刚求回方程求出般回方程会更预测效果 回方程宜预测
偏二回建模中究竟应该选取少成分宜通考察增加新成分否模型预测功明显改进考虑采类似抽样测试法工作方式n样点分成两部分第部分某样点样点集合(含n1样点)部分样点h成分拟合回方程第二部分刚排样点代入前面拟合回方程样点拟合值12…n重复述测试定义预测误差方
(118)
定义Y 预测误差方
(119)
显然果回方程稳健性误差样点变动会十分敏感种扰动误差作会加值
外采样点拟合含h 成分回方程记第样点预测值记误差方
(120)
定义Y误差方
(121)
般说总总面较全部样点拟合具h1成分方程拟合误差 增加成分含样点扰动误差果h成分回方程含扰动误差定程度(h1)成分回方程拟合误差认增加成分会预测结果明显提高希值越越SIMCAP软件中指定
时增加成分益者反说时认增加新成分减少方程预测误差明显改善作
种等价定义称交叉效性变量定义
(122)
全部变量Y成分交叉效性定义
(123)
交叉效性测量成分预测模型精度边际贡献两尺度
(1) 时 成分边际贡献显著显易见 完全等价决策原
(2) k12…q少k
时增加成分少变量预测模型显著改善考虑增加成分明显益
明确偏二回方法基原理方法算法步骤做实证分析
附 录
function wmaxdet(A)
求矩阵特征值
[vd]eig(A)
[np]size(d)
d1d*ones(p1)
d2max(d1)
ifind(d1d2)
wv(i)
function [cmv]norm1(C)
数进行标准化处理
[ns]size(C)
for i1n
for j1s
c(ij)(C(ij)mean(C(j)))sqrt(cov(C(j)))
end
end
mmean(C)
for j1s
v(1j)sqrt(cov(C(j)))
end
function [tqwwhf0FF]fun717(pxpyC)
px变量输入数
py输入变量数
C输入变量变量组成矩阵
t提取成分
q回系数
w特征值应特征量
wh处理特征量
f0回标准化方程系数
FF原始变量回方程系数
cnorm1(C) norm1标准化函数
yc(px+1px+py) 截取标准化变量
E0c(1px)
F0c(px+1px+py)
AE0＇*F0*F0＇*E0
w(1)maxdet(A) 求特征量
t(1)E0*w(1) 提取成分
E(1px)E0t(1)*(E0＇*t(1)(t(1)＇*t(1)))＇ 获回系数
p(1px)(E0＇*t(1)(t(1)＇*t(1)))＇
for i0px2
B(px*i+1px*i+px)E(px*i+1px*i+px)＇*F0*F0＇*E(px*i+1px*i+px)
w(i+2)maxdet(B(px*i+1px*i+px))
maxdet求特征值函数
t(i+2)E(px*i+1px*i+px)*w(i+2)
p(px*i+px+1px*i+2*px)(E(px*i+1px*i+px)＇*t(i+2)(t(i+2)＇*t(i+2)))＇
E(px*i+px+1px*i+2*px)E(px*i+1px*i+px)t(i+2)*(E(px*i+1px*i+px)＇*t(i+2)(t(i+2)＇*t(i+2)))＇
end
for s1px
q(s)p(1px*(s1)+1px*s)＇
end
[nd]size(q)
for h1px
iweye(d)
for j1h1
iwiw*(eye(d)w(j)*q(j)＇)
end
wh(h)iw*w(h)
end
for j1py
zr(j)(regress1(y(j)t))＇ 求回系数
end
for j1px
fori1py 生成标准化变量方程系数矩阵
w1wh(1j)
zr1(zr(i1j))＇
f0(ij)(w1*zr1)＇
end
[normxymeanxycovxy]norm1(C) normxy标准化数矩阵
meanxy列均值
covxy列方差
ccxxones(py1)*meanxy(11px)
ccy(covxy(1px+1px+py))＇*ones(1px)
ccxones(py1)*(covxy(11px))
ffccy*f0(j)ccx
fff(sum((ccy*ccxx*f0(j)ccx)＇)meanxy(1px+1px+py))＇
FF(j)[fffff] 生成原始变量方程常数项系数矩阵
end
function [rRdytRdYtRdYttRdyttVIP]fun8y(pxpyc)
Xc(1px)
Yc(px+1px+py)
xnorm1(X)
ynorm1(Y)
[tqw]fun717(pxpy[XY])
r1corrcoef([yt])
rr1(py+1px+py1py)＇
Rdytr^2
RdYtmean(Rdyt)
for m1px
RdYtt(1m)sum(RdYt(11m)＇)
end
for j1py
for m1py
Rdytt(jm)sum(Rdyt(j1m)＇)
end
end
for j1px
for m1px
Rd(jm)RdYt(11m)*((w(j1m)^2)＇)
end
end
for j1px
VIP(j)sqrt((px*ones(1px)RdYtt)*Rd(j))
end
function [rRdxtRdXtRdXttRdxtt]fun8x(pxpyc)
Xc(1px)
Yc(px+1px+py)
xnorm1(X)
ynorm1(Y)
[tqw]fun717(pxpy[XY])
r1corrcoef([xt])
rr1(px+1px+px1px)＇
Rdxtr^2
RdXtmean(Rdxt)
for m1px
RdXtt(1m)sum(RdXt(11m)＇)
end
for j1px
for m1px
Rdxtt(jm)sum(Rdxt(j1m)＇)
end
end
for j1px
for m1px
Rd(jm)RdXt(11m)*((w(j1m)^2)＇)
end
end
for j1px
VIP(j)sqrt((px*ones(1px)RdYtt)*Rd(j))
end
function [tu]TU(pxpyC)
t提取变量成分
u 提取变量成分
cnorm1(C)
yc(px+1px+py)
E0c(1px)
F0c(px+1px+py)
AE0＇*F0*F0＇*E0
w(1)maxdet(A)
t(1)E0*w(1)
BF0＇*E0*E0＇*F0
cc(1)maxdet(B)
u(1)F0*cc(1)
function drew(pxpyc)
Xc(1px)
Yc(px+1px+py)
[linel]size(Y)
[tqwwhf0FF]fun717(pxpyc)
YYX*FF(2px+13)＇+ones(line1)*FF(13)＇
subplot(1111)
bar(f0(3))
title(＇ 直方图＇)
legend(＇SG＇＇TZBFB＇＇FHL＇＇JK＇＇HPZD＇＇JPZD＇＇TZ＇＇ZG＇＇GPK＇)
grid on
plot(YY(4)Y(4)＇+＇)
lsline
for i1py
vmod(i4)
d(iv)4
subplot(22vd+1)
plot(YY(i)Y(i)＇*＇)
lsline
end
function [ QhjQhprey]crossval7(pxpyc)
px变量数
py量
PRESShjzeros(pxpy)
Xc(1px)
Yc(px+1px+py)
xnorm1(X)
ynorm1(Y)
[linerow]size(x)
for h1px
for j1line
newxX
newyY
newx(j)[]
newy(j)[]
[tp0wwhf0FF]fun717(pxpy[newxnewy])
prey(jh)X(j)*FF(2px+1h)＇+FF(1h)＇
end
PRESShj(h)sum((Yprey(h))^2)
end
PRESSh(sum(PRESShj＇))＇
for h1px
[t1p0wwhf0FF]fun717(pxpyc)
prey2(h)X()*FF(2px+1h)＇+ones(line1)*FF(1h)＇
SShj(h)sum((Yprey2(h))^2)
end
SSh(sum(SShj＇))＇
Qhjones(px1py)PRESShj(2px)SShj(1px1) 错位
Qhones(px11)PRESSh(2px1)SSh(1px11)
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