题二
21 已知yf(x)数值：
(1)
x
0
1
2
3
y
2
3
12
147
(2)
x
2
1
0
1
y
15
4
5
24
求Lagrange插值项式写出截断误差
解：
(1)
(2)
22 已知函数lnx数
x
8
10
12
14
y
207944
230259
248491
263906
试分Lagrange线性插值二次插值计算ln(1185)似值估计截断误差
解：线性插值公式：
x1185时
二次插值：
误差估计：
23 设意定n+1互相节点证明：
(1) f(x)高n次项式f(x)关组节点n次插值项式
(2) 关组节点Lagrange基函数恒等式
证明：
(1)
f(x)n次项式n+1阶导数零f(x)关组节点n次插值项式
(2) 取处进行n次拉格朗日插值
(3) 二项式展开
题结：
24 已知函数表
x
01
02
04
06
09
y
09950
09801
09211
08253
06216
试构造四次Newton插值项式计算cos047似值估计截断误差
解：
变量
函数值
阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
01
09950
02
09801
0149
04
09211
0295
04867
06
08253
0479
046
00534
09
06216
0679
04
00857
0040375
P4(x)099500149(x01)04867(x01)(x02)+00534(x01)(x02)(x04)
+0040375(x01)(x02)(x04) (x06)
x047时P4(x) 08916
25 区间[44]出f(x)ex等距节点函数表二次插值求ex似值截断误差超106问函数表步长应样选取？
解：区间[xi1xi]记
误差
二次插值步长应：
26 区间[ab]作步长h剖分证明：意相邻两节点间做线性插值误差限
证明：区间误差限：
误差限：
27 设计算差商
解：
变量
函数值
阶差商
1
886
2
2975
2089
2089
28 设三阶导数证明：
证明：根已知条件表示插值条件：
x
x0
x1
y
f(x0)
f(x1)
y’
f’(x0)
建立差商表：
变量
函数值
阶差商
二阶差商
x0
f(x0)
x0
f(x0)
f’(x0)
x1
f(x1)
newton 插值公式：
整理：
中R(x)计算：
构造辅助函数：
三零点三零点少零点记作
29 列函数值表构造超3次插值项式建立误差估计式
x
0
1
2
f(x)
1
2
9
f’(x)
3
解：
建立差商表：
变量
函数值
阶差商
二阶差商
三阶差商
0
1
1
2
1
1
2
3
2
2
9
7
4
1
newton 插值公式：
误差估计式：
210 求满足列条件Hermite插值项式
xi
1
2
yi
2
3
y’i
1
1
解：
211 求高4次插值项式P4(x)
解：根已知条件表示插值条件：
x
0
1
2
P
0
1
1
P’
0
1
建立差商表：
变量
函数值
阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
2
1
0
1
05
025
newton 插值公式：
212 根表建立三次样条插值函数
x
1
2
3
f(x)
2
4
2
f’1(x)
1
1
解：
列方程：
三次样条插值函数：
816x+13x23x3
40+56x23x2+3x3
213 已知yf(x)数值
x
0
1
2
3
4
y
8
7
0
19
56
求三次样条插值函数S(x)满足边界条件
(1) S’(0)0S’(4)48
(2) S(0)0S(4)24
解：三转角算法计算：
(1)
列方程组：
三次样条插值函数：
x38
x38
x38
x38
(2)
列方程组：
三次样条插值函数：
x38
x38
x38
x38
三弯矩算法计算：
(1)
列方程组：
(2) 列方程组：
第三章 佳逼
31 求列函数指定区间次佳方逼项式估计方误差
(1)
解： 设
法方程组：
基函数：
：
法方程组：
解：
佳方逼次项式：
误差估计：
误差估计式：
(2)
解： 设
法方程组：
基函数：
：
法方程组：
解：
佳方逼次项式：
误差估计：
误差估计式：
(3)
解： 设
法方程组：
基函数：
：
法方程组：
解：
佳方逼次项式：
误差估计：
误差估计式：
(4)
解： 设
法方程组：
基函数：
：
法方程组：
解：
佳方逼次项式：
误差估计：
误差估计式：
32 求佳方逼项式出方误差
解：设
法方程组：
基函数：
：
法方程组：
解：
佳方逼次项式：
误差估计：
误差估计式：
28814×1012
33 求参数达极
解：题求f(x)sinx佳方逼次项式
法方程组：
基函数：
：
法方程组：
解：
34 已知组数：
xi
2
4
6
8
yi
2
11
28
40
二法求拟合组数条直线估计方误差
解：线性拟合：
根基函数出法方程组
求
法方程组：
解：c0125c1655
求拟合线性项式函数
p1(x)125+655x
误差：
先计算出拟合函数值：
xi
1
1
1
1
P1
0600
1370
2680
3990
：107
35 已知函数值表
xi
2
1
0
1
2
yi
0
1
2
1
0
试二次项式拟合组数出方误差
解：二次拟合：
根基函数出法方程组
求
法方程组：
解：c0583516571c10c23704286
求拟合线性项式函数
p2(x)1657104286x2
误差：
先计算出拟合函数值：
xi
2
1
0
1
2
P2
00573
12285
16571
12285
00573
：02286
36 出列数
xi
3
2
1
2
4
yi
143
83
47
83
227
二法求形ya+bx2验公式
解：根基函数出法方程组
求
法方程组：
解：a35b12
37 确定验公式中参数列数拟合：
xi
01
02
03
04
05
06
yi
0172
0323
0484
0690
1000
1579
解： 验公式转化：
令 式转化：
表数变：
xi
01
02
03
04
05
06
zi
5814
3096
2066
1449
1000
0633
取
时
zT [5814 3096 2066 1449 1000 0633]
解：a019674a109761a205034
a1939b 3908c1987
38 某化学反应里生成物质量浓度y(103gcm3)时间t(min)关系式现测组数：
xi
1
2
3
4
6
8
10
12
14
16
yi
400
641
801
879
953
986
1033
1042
1053
1061
试确定出参数αβ
解：验公式转化：
表数变：
xi
1
2
3
4
6
8
10
12
14
16
zi
025
0156
0125
0114
0105
0101
00968
0096
0095
0094
取
时
zT [025 0156 0125 0114 0105 0101 00968 0096 0095 0094]
解：α 01650β 00789
39 二法求列方程组解
(1) (2)
解：
(1)
简化：
两边系数矩阵转置矩阵需法方程组：
具体计算：
解二解：x12611x21511
(2)
简化：
两边系数矩阵转置矩阵需法方程组：
具体计算：
解二解：x145048729774y59748712259
第四章 数值积分数值微分
41 四节点复化梯形公式计算积分
(1) (2)
解：(1)
(2)
42四节点复化Simpson公式计算积分
(1) (2)
解：(1)
(2)
43 分复化梯形复化Simpson公式计算积分
绝误差限超问需区间[0 1]少等分
解：复化梯形：
区间应该409等分
复化Simpson公式：
区间应该6等分
44 利积分计算ln2时采复化Simpson公式问应取少节点误差绝值超
解：
应26等分节点数：2×26+1＝53
45 直接验证Simpson求积公式
具3次代数精确度
证明：
f(x)1时
等式成立
f(x)x时
等式成立
f(x)x2时
等式成立
f(x)x3时
等式成立
f(x)x4时
等式成立Simpson求积公式具3次代数精度
46 设函数表出分复化梯形复化Simpson公式计算积分
xi
06
08
10
12
14
16
18
f(xi)
57
46
35
37
49
52
55
解：
复化梯形公式：
复化Simpson公式：
47 两点Guass型求积公式计算积分
(1)
(2)
(3)
解：
(1)
(2)
(3)
48 两点Guasschebgshev公式计算积分
解：
49 两点Guass型求积公式计算列积分：
(1) (2) (3) (4)
解：
(1)
(2)(3) (4) 410 确定x1x2A1A2式成Guass型求积公式
解：
面求积公式显然两点Guass型求积公式中
411 已知yf(x)数
xi
06
08
09
1
11
12
14
yi
07360
08365
09095
1
11105
12446
16017
分利三点数值微分公式计算f’(1)f(1)
解：
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21 已知yf(x)数值：
(1)
x
0
1
2
3
y
2
3
12
147
(2)
x
2
1
0
1
y
15
4
5
24
求Lagrange插值项式写出截断误差
解：
(1)
(2)
22 已知函数lnx数
x
8
10
12
14
y
207944
230259
248491
263906
试分Lagrange线性插值二次插值计算ln(1185)似值估计截断误差
解：线性插值公式：
x1185时
二次插值：
误差估计：
23 设意定n+1互相节点证明：
(1) f(x)高n次项式f(x)关组节点n次插值项式
(2) 关组节点Lagrange基函数恒等式
证明：
(1)
f(x)n次项式n+1阶导数零f(x)关组节点n次插值项式
(2) 取处进行n次拉格朗日插值
(3) 二项式展开
题结：
24 已知函数表
x
01
02
04
06
09
y
09950
09801
09211
08253
06216
试构造四次Newton插值项式计算cos047似值估计截断误差
解：
变量
函数值
阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
01
09950
02
09801
0149
04
09211
0295
04867
06
08253
0479
046
00534
09
06216
0679
04
00857
0040375
P4(x)099500149(x01)04867(x01)(x02)+00534(x01)(x02)(x04)
+0040375(x01)(x02)(x04) (x06)
x047时P4(x) 08916
25 区间[44]出f(x)ex等距节点函数表二次插值求ex似值截断误差超106问函数表步长应样选取？
解：区间[xi1xi]记
误差
二次插值步长应：
26 区间[ab]作步长h剖分证明：意相邻两节点间做线性插值误差限
证明：区间误差限：
误差限：
27 设计算差商
解：
变量
函数值
阶差商
1
886
2
2975
2089
2089
28 设三阶导数证明：
证明：根已知条件表示插值条件：
x
x0
x1
y
f(x0)
f(x1)
y’
f’(x0)
建立差商表：
变量
函数值
阶差商
二阶差商
x0
f(x0)
x0
f(x0)
f’(x0)
x1
f(x1)
newton 插值公式：
整理：
中R(x)计算：
构造辅助函数：
三零点三零点少零点记作
29 列函数值表构造超3次插值项式建立误差估计式
x
0
1
2
f(x)
1
2
9
f’(x)
3
解：
建立差商表：
变量
函数值
阶差商
二阶差商
三阶差商
0
1
1
2
1
1
2
3
2
2
9
7
4
1
newton 插值公式：
误差估计式：
210 求满足列条件Hermite插值项式
xi
1
2
yi
2
3
y’i
1
1
解：
211 求高4次插值项式P4(x)
解：根已知条件表示插值条件：
x
0
1
2
P
0
1
1
P’
0
1
建立差商表：
变量
函数值
阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
2
1
0
1
05
025
newton 插值公式：
212 根表建立三次样条插值函数
x
1
2
3
f(x)
2
4
2
f’1(x)
1
1
解：
列方程：
三次样条插值函数：
816x+13x23x3
40+56x23x2+3x3
213 已知yf(x)数值
x
0
1
2
3
4
y
8
7
0
19
56
求三次样条插值函数S(x)满足边界条件
(1) S’(0)0S’(4)48
(2) S(0)0S(4)24
解：三转角算法计算：
(1)
列方程组：
三次样条插值函数：
x38
x38
x38
x38
(2)
列方程组：
三次样条插值函数：
x38
x38
x38
x38
三弯矩算法计算：
(1)
列方程组：
(2) 列方程组：
第三章 佳逼
31 求列函数指定区间次佳方逼项式估计方误差
(1)
解： 设
法方程组：
基函数：
：
法方程组：
解：
佳方逼次项式：
误差估计：
误差估计式：
(2)
解： 设
法方程组：
基函数：
：
法方程组：
解：
佳方逼次项式：
误差估计：
误差估计式：
(3)
解： 设
法方程组：
基函数：
：
法方程组：
解：
佳方逼次项式：
误差估计：
误差估计式：
(4)
解： 设
法方程组：
基函数：
：
法方程组：
解：
佳方逼次项式：
误差估计：
误差估计式：
32 求佳方逼项式出方误差
解：设
法方程组：
基函数：
：
法方程组：
解：
佳方逼次项式：
误差估计：
误差估计式：
28814×1012
33 求参数达极
解：题求f(x)sinx佳方逼次项式
法方程组：
基函数：
：
法方程组：
解：
34 已知组数：
xi
2
4
6
8
yi
2
11
28
40
二法求拟合组数条直线估计方误差
解：线性拟合：
根基函数出法方程组
求
法方程组：
解：c0125c1655
求拟合线性项式函数
p1(x)125+655x
误差：
先计算出拟合函数值：
xi
1
1
1
1
P1
0600
1370
2680
3990
：107
35 已知函数值表
xi
2
1
0
1
2
yi
0
1
2
1
0
试二次项式拟合组数出方误差
解：二次拟合：
根基函数出法方程组
求
法方程组：
解：c0583516571c10c23704286
求拟合线性项式函数
p2(x)1657104286x2
误差：
先计算出拟合函数值：
xi
2
1
0
1
2
P2
00573
12285
16571
12285
00573
：02286
36 出列数
xi
3
2
1
2
4
yi
143
83
47
83
227
二法求形ya+bx2验公式
解：根基函数出法方程组
求
法方程组：
解：a35b12
37 确定验公式中参数列数拟合：
xi
01
02
03
04
05
06
yi
0172
0323
0484
0690
1000
1579
解： 验公式转化：
令 式转化：
表数变：
xi
01
02
03
04
05
06
zi
5814
3096
2066
1449
1000
0633
取
时
zT [5814 3096 2066 1449 1000 0633]
解：a019674a109761a205034
a1939b 3908c1987
38 某化学反应里生成物质量浓度y(103gcm3)时间t(min)关系式现测组数：
xi
1
2
3
4
6
8
10
12
14
16
yi
400
641
801
879
953
986
1033
1042
1053
1061
试确定出参数αβ
解：验公式转化：
表数变：
xi
1
2
3
4
6
8
10
12
14
16
zi
025
0156
0125
0114
0105
0101
00968
0096
0095
0094
取
时
zT [025 0156 0125 0114 0105 0101 00968 0096 0095 0094]
解：α 01650β 00789
39 二法求列方程组解
(1) (2)
解：
(1)
简化：
两边系数矩阵转置矩阵需法方程组：
具体计算：
解二解：x12611x21511
(2)
简化：
两边系数矩阵转置矩阵需法方程组：
具体计算：
解二解：x145048729774y59748712259
第四章 数值积分数值微分
41 四节点复化梯形公式计算积分
(1) (2)
解：(1)
(2)
42四节点复化Simpson公式计算积分
(1) (2)
解：(1)
(2)
43 分复化梯形复化Simpson公式计算积分
绝误差限超问需区间[0 1]少等分
解：复化梯形：
区间应该409等分
复化Simpson公式：
区间应该6等分
44 利积分计算ln2时采复化Simpson公式问应取少节点误差绝值超
解：
应26等分节点数：2×26+1＝53
45 直接验证Simpson求积公式
具3次代数精确度
证明：
f(x)1时
等式成立
f(x)x时
等式成立
f(x)x2时
等式成立
f(x)x3时
等式成立
f(x)x4时
等式成立Simpson求积公式具3次代数精度
46 设函数表出分复化梯形复化Simpson公式计算积分
xi
06
08
10
12
14
16
18
f(xi)
57
46
35
37
49
52
55
解：
复化梯形公式：
复化Simpson公式：
47 两点Guass型求积公式计算积分
(1)
(2)
(3)
解：
(1)
(2)
(3)
48 两点Guasschebgshev公式计算积分
解：
49 两点Guass型求积公式计算列积分：
(1) (2) (3) (4)
解：
(1)
(2)(3) (4) 410 确定x1x2A1A2式成Guass型求积公式
解：
面求积公式显然两点Guass型求积公式中
411 已知yf(x)数
xi
06
08
09
1
11
12
14
yi
07360
08365
09095
1
11105
12446
16017
分利三点数值微分公式计算f’(1)f(1)
解：
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