科生毕业文（设计）册
学 院：
数学信息科学学院
专 业：
数学应数学
班 级：
学 生：
指导教师：
XX学科毕业文（设计）务书
文（设计）题目： 极限思想产生发展
学 院： 数学信息科学学院 专业：数学应数学 班级：
学生姓名： 学号： 指导教师： 职称：
1文（设计）研究目标务
[1] 进行文献检索收集填写务书撰写文献综述开题报告参加开题答辩获通
[2] 指导教师求撰写文写作提纲初稿修改稿定稿达科生毕业文撰写规范写作求
[3] 参加毕业文答辩获通
2文（设计）容
文第部分历史角度出发讲述极限思想产生发展完善程第部分结束时出极限定义第二部分开始讲述极限思想应极限思想概念里渗透极限导数中应极限积分中应三方面阐述极限思想应部分全文做简总结
3文（设计）基础条件研究路线
基础条件：图书馆阅网查阅相关资料
研究路线：首先历史出发点研究极限思想历史发展程中产生发展逐渐完善极限定义定义出发具体讨极限思想方法连续函数导数定积分概念浅入深进步讨已知运动规律求速度已知曲线求切线进极限思想导数中应定积分求导数逆运算定积分特殊形式引出极限思想积分中应
4参考文献
[1]梁宗巨世界数学通史[M]沈阳辽宁教育出版社1996
[2]华东师范学数学系数学分析步辅导题全解[M]中国矿业学出版社2009
[3]华东师范学数学系数学分析[M]高等教育出版社2007
[4] Finney Weir GiordanoThomas’CALCULUS高等教育出版社[M]2004
5计划进度
阶段
起止日期
1
指导教师学生进行双选确定应名单
20120103－20120105
2
毕业文选题文献调研填写毕业文务书 文开题
20130307－20130310
3
进行毕业文初稿写作
20130311－20130326
4
进行毕业文二稿写作
20130401－20130417
5
进步修改文终定稿
20130418－20130426
6
文答辩填报毕业文关资料
20130427－20130515
指 导 教师 年 月 日
教研室 年 月 日
XX学科生毕业文（设计）开题报告书
数学信息科学 学院 数学应数学 专业 届
学生
姓名
文（设计）题目
极限思想产生发展
指导
教师
专业
职称
教授
研究方
课题证：(见附页)
方案设计：首先历史出发点研究极限思想历史发展程中产生发展逐渐完善进极限定义定义出发具体讨极限思想方法连续函数导数定积分概念浅入深进步讨已知运动规律求速度已知曲线求切线极限导数中应定积分求导数逆运算定积分积分特殊形式进引出极限积分中应
进度计划：
20120103－20120105指导教师学生进行双选确定应名单
20130307－20130310毕业文选题文献调研填写毕业文务书 文开题
20130311－20130326进行毕业文初稿写作
20130401－20130417进行毕业文二稿写作
20130418－20130426进步修改文终定稿
20130427－20130515文答辩填报毕业文关资料
指导教师意见：
指导教师签名： 年 月 日
教研室意见：
教研室签名： 年 月 日
XX学科生毕业文（设计）开题报告书（附页）
课题证：
高等数学基础微积分学微积分时接触第重定义极限极限思想微积分基思想数学分析中连续函数导数定积分等重定义极限定义极限运算微积分运算基础学数学分析学微积分掌握合理应极限十分重
历史发展长河里极限思想产生学科产生样极限产生发展完善程中帆风数数学家长时间努力结果极限思想发展程充分体现类认识然改造然程穷穷程极限发展基程产生发展完善程中体现门科学历史进程中发展历程具般性研究极限思想产生历史程更理解极限极限思想方法解决现实生活中遇种问题
极限定义提出极限发展已趋完善局限特定问题中定义描述抛弃直观性描述法完善定义更具严谨性逻辑性数学学创新具指导性作
文第二部分通极限数学物理等学科中应说明极限具体应方计算曲线切线曲面面积变力做功求运动物体速度等问题通应极限现实生活中具体作更明确理解极限思想体系更立体感受
全文进行全面总结微积分产生极限理建立历史程生动表明科学发展帆风长时间间断探索科学发展着社会生产发展进步科学发展时制约着生产发展科学发展适应社会进步满足社会发展需必须进行创新次创新科学发展社会发展开创崭新时代科学发展建立认识改造然基础着时间发展科学技术已越越社会进步程中起中流砥柱作科学发展定定性认识转化定量认识形成概念理系统否成严谨科学体系满足生产发展需社会进步脚步
XX学科生毕业文（设计）文献综述
极限思想产生社会发展科学进步客观需求探索改造然程中逐渐形成新思想方法极限思想追溯古代三国时期刘徽割圆术中提割弥细失弥割割割圆周体失矣庄子·天篇中：尺棰日取半万世竭公元前5世纪关限量概念已作希腊关物质世界质设想进入数学思潮希腊数学家普遍接受观点阿萨哥拉提出：中存总更严密著称古希腊说古希腊学者观念摆脱限恐惧助穷竭法完成关证明16世纪荷兰数学家斯泰文助直观放弃古希腊证明提出极限思想方法发展成门社会领域中应实思想方法
极限思想发展微积分建立紧密相连16世纪欧洲正处资义萌芽时期生产力极发展生产技术中量问题法初等数学解决前提例曲线切线问题值问题速度问题变力做功问题等求数学家突破研究常量传统范围提供描述研究运动变化程新工具数学家开始进入极限思想领域深入研究促进极限发展建立微积分社会背景17世纪半叶着数学家深入研究方式接微积分门时期开始极限微积分开始形成密分关系终成微积分直接基础极限概念明确提出然直观数学追求严密原相抵触
19世纪法国数学家柯西较完整阐述极限概念理分析教程中指出：变量逐次取值限趋定值终变量值该定值差定值值极限尤变化数值（绝值）限减收敛极限0说变量穷量着研究深入极限已科学家广泛接受维尔斯特拉斯建立语言严谨数学语言定义变量变化趋势种直观描述性定义严谨数学语言定义变化程遵循数学发展般规律
极限思想已渗透现代生活中领域中社会发展科技进步等方面发挥越越作日常生活中极限思维已成解决实际问题必少基思想极限思想揭示变化静止穷穷辩证关系数学领域中唯物辩证法体现透极限思想穷认识穷静止认识运动部分认识整体限限立统唯物辩证关系相互关联相互矛盾立统穷数限数定义应该定义限极限通极限思想认识限限
XX学科生毕业文（设计）翻译文章
Finney Weir GiordanoThomas’CALCULUS高等教育出版社[M]2004
1函数极限
设定义包括开区间说趋时趋极限记
果数存相应数满足x
2切线
定义般曲线相切概念需种动态处理方法种方法考虑点附点着曲线（图265）点移动时割线形态该方法致步骤：
（1） 计算东西开始割线斜率
（2） 研究点着曲线趋点时割线极限
（3） 果极限存取作曲线点斜率点具斜率直线定义曲线点切线
图265 动态趋切点曲线点切线直线斜率曲线点着曲线点两侧趋点时割线斜率极限
定义 斜率切线
曲线点斜率数
（果极限存）
曲线点切线点斜率直线
3黎曼
图58 典型闭区间连续函数
限逼理极限德国数学家Bernhard Riemann精确出现介绍黎曼节定积分研究基础理概念
定义闭区间意连续函数开始图58中图表示函数样取正值取负值详细划分闭区间区间间隔定相等宽度（长度）样方式第51节中限似形式总结做点选择间点
符号致选择样
集合
称分区
划分封闭子区间
典型闭子区间称第子区间
第k子区间长度
子区间中选择某数表示第子区间选择数然子区间竖起垂直矩形立轴接触曲线
图59 矩形逼函数图象轴间区域
子区间做积积符号赖正负零积求：
赖划分数选择区间黎曼
1Limit of a Function
Let be defined on an open interval about except possibly atitself We say that the limit of as x approachesis the number L and write
if for every numberthere exists a corresponding number such that for all
2 Tangent
To define tangency for general curves we need a dynamic approach that takes into account the behavior of the secants through and nearby points as moves toward along the curve (Figure 265) It goes like this
（1）We start with what we can calculate namely the slope of the secant
（2）Investigate the limit of the secant slope as approaches along the curve
（3）If the limit exists take it to be the slope of the curve at and define the tangent to the curve at to be the line through with this slope
FIGURE 265 The dynamic approach to tangency The tangent to the curve at is the line through whose slope is the limit of the secant slopes as from either side
DEFINITIONS Slope Tangent Line
The slope of the curve at the point is the number
(provided the limit exists)
The tangent line to the curve at is the line through with this slope
3 Riemann Sums
FIGURE 58 A typical continuous functionover a closed interval
The theory of limits of finite approximations was made precise by the German mathematician Bernhard Riemann We now introduce the notion of a Riemann sum which underlies the theory of the definite integral studied in the next section
We begin with an arbitrary function ƒ defined on a closed interval Like the function pictured in Figure 58 may have negative as well as positive values We subdivide the interval into subintervals not necessarily of equal widths (or lengths) and form sums in the same way as for the finite approximations in Section 51 To do so we choose points between a and b and satisfying
To make the notation consistent we denote a by and b by so that
The set
is called a partition of
The partition P dividesinto n closed subintervals
The first of these subintervals is the second isand the kth subinterval of is for k an integer between 1 and
The width of the first subintervalis denotedthe width of the second is donoted and the width of the kth subinterval is If all n subintervals have equal width then the common width isequal to
In each subinterval we select some point The point chosen in the kth subintervalis called Then on each subinterval we stand a vertical rectangle that stretches from the xaxis to touch the curve atThese rectangles can be above or below the xaxis depending on whetheris positive or negative or on it if (Figure 59)
On each subinterval we form the productThis product is positive negative or zero depending on the sign of When the productis the area of a rectangle with heightand width When the productis a negative number the negative of the area of a rectangle of widththat drops from the axis to the negative number
Finally we sum all these products to get
The sum is called a Riemann sum for on the interval
FIGURE 59 The rectangles approximate the region between the graph of the function and the axis
科生毕业文设计
极限思想产生发展
作者姓名：
指导教师：
学院：
数学信息科学学院
专业（系）：
数学应数学
班级（届）：
届数学 班
年 月 日
目 录
中文摘关键字2
1引言3
2 极限思想产生发展3
21极限思想产生3
22极限思想发展6
23极限思想完善7
24极限概念9
25极限思想思维功9
3 极限应10
31极限概念里渗透10
32极限导数中应12
33极限积分中应14
4．总结18
参考文献19
英文摘关键字20
极限思想产生发展
数学信息科学学院 数学应数学专业
指导教师
作 者
摘：极限思想微积分基思想数学分析中系列重概念函数连续性导数定积分等等助极限思想定义极限思想应处合理应极限思想解决实际问题程中较快发现解决问题方法提高实际效果文极限思想产生发展进行探究数学分析中应展开探索
关键词：极限思想 产生 发展 应
极限思想产生发展
1引言
极限思想数学中重思想数学分析中极限基概念函数连续性导数微积分等等通极限理极限思想微积分基思想极限微积分中基工具微积分基础 贯穿整微积分容极限思想应已渗透认识学科间数学物理学化学生物学等极限现科学技术领域起着磨灭重作够深刻理解掌握极限基思想实际问题中解决问题着重意义
2 极限思想产生发展
21 极限思想产生
极限思想产生社会发展科学进步客观需求探索改造然程中逐渐形成新思想方法极限思想追溯古代庄子·天篇中：尺棰日取半万世竭含义长尺木棒第天截取半第二天截取剩半样程穷进行样直进行留木棒越越短分部分越越直穷切割永远会消失公元前5世纪关穷概念已作希腊关什世界设想进入数学思潮希腊数学家普遍接受观点阿萨哥拉提出：中存总更严密著称古希腊说古希腊学者观念摆脱限恐惧助方法完成关证明
刘徽九章算术注中样记载：邪解立方两堑堵邪解堑堵阳马鳖臑阳马居二鳖臑居易率意思说：块立方体斜线分成相两块两块做堑堵块堑堵斜线分成两块阳马鳖臑两者体积2：1率变（图1）
图1
刘徽证明运出入相补原理穷分割求原理具体：阳马鳖臑边中点做进步分割（图2）样阳马分成2阳马1立方体2堑堵鳖臑分成2鳖臑2堑堵先2阳马2鳖臑放边剩部分体积显然2：1放边阳马鳖臑做样分割更阳马立方体堑堵鳖臑4阳马4鳖臑放边剩部分体积然2：1程限做直剩余部分体积0整程中剩部分体积总2：1样刘徽证明易率
图2
16世纪通三角形重心问题深入研究荷兰数学家斯泰文助更直观问题放弃古希腊证明方法通极限思想方法解决问题提出极限思想方法发展成门社会领域中应思想方法数学家拉夫纶捷夫说：数学极限方法创造够算术代数初等简单方法求解问题进行许世纪顽强探索结果
提极限思想提著名芝诺悖提出著名四悖：（1）点出发点首先达方接达方接达方……循环永远走终点（2）设想支飞行箭矢瞬时时间点位空间中特定位置时间瞬时连续时间点箭时刻没运动静止整运动时间限时间点组成时间点箭静止芝诺断定飞行箭时间点静止动（3）游行队伍问题首先假设操场三列观众（图231）瞬间（极短时间里）里相观众席A列队BC分右左移动距离单位（图232）
图232
图231
时队列B说队列C左移动两距离单位队列瞬间（极短时间里）里移动距离单位半极短时间里移动距离单位产生半时间单位等时间单位矛盾出队列移动（4）著名阿基里斯悖阿基里斯古希腊神话中善跑英雄乌龟竞赛中乌龟速度十分乌龟面100米处追乌龟永远追乌龟赛中阿基里斯必须先达乌龟起点100米处阿基里斯达乌龟起点处乌龟已前方前进10米阿基里斯说产生新需达起点阿基里斯追赶乌龟必须次达乌龟新起点次追乌龟达乌龟新起点处乌龟已前方前进1米阿基里斯次乌龟新起点追乌龟样直乌龟前进会新起点产生阿基里斯总新起点需达样阿基里斯努力乌龟停前进阿基里斯会追乌龟芝诺悖错误（1）时间做限定速度改变情况路程改变（2）时间空间分割分然存变成（第二次数学危机）：限没非常非常数结果证明限0芝诺悖利解决极限思想发展普起关重作微积分出现提供条件
国古代刘徽祖计采割圆术计算圆周率程中应极限思想谓割圆术半径圆接边数正边形正边形边数倍倍增时正边形面积越越接圆面积控制范围圆面积正边形面积计算圆面积相似结果精确结果果限制直继续话正边形面积越越接圆面积精确等圆面积
参考：梁宗巨世界数学通史[M]沈阳辽宁教育出版社1996
22极限思想发展
16世纪欧洲开始出现资义萌芽生产力进步解放生活中出现量前数学方法解决新问题例曲线切线求解值值问题物理学发展中遇问题等求数学家突破传统观念找种更先进思想方法套解决问题理体系数学家开始进入极限思想领域深入研究促进极限发展建立微积分社会背景17世纪半叶着数学家深入研究方式接微积分门时期开始极限开始微积分形成难割舍关系终成微积分直接基础极限概念已明确提出建立直观基础极限直观表述定义极限严谨数学语言定义极限相足
众数学家解决述问题做懈努力十七世纪半叶英国数学家牛顿德国数学家莱布尼兹分建立微积分学说微积分中充满极限思想方法计算程微分学积分学数学分析基容微积分概念通极限定义时概念没明确统严谨数学定义理常常会遇法解决提出问题尴尬情况起初牛顿莱布尼茨穷概念基础建立微积分遇逻辑困难晚期程度接受极限思想牛顿流数简中曲线定义欲动点轨迹动点着时间变化量动点切速度法速度分xy表示牛顿称流数x时间导数牛顿路程改变量时间改变量表示运动物体均速度限接时物体瞬时速度引出导数概念微分学理说：两量量果限时间断趋相等时间终止前互相差意定差终成相等牛顿极限观念建立直观基础通具严谨性逻辑性数学语言定义牛顿提出极限理更接定义：果变量趋穷时函数值限接固定常数说函数极限
牛顿定义极限现代精确极限定义相更容易接受现代初等著作中牛顿定义极限定义种直观学极限定义缺乏数学应具备严谨性逻辑性够满足数学求严密性牛顿莱布尼茨作贡献微积分极限思想完善创造良条件
1617世纪初期极限理没严格定义微积分理受怀疑攻击例瞬时速度概念中究竟否等零果等零作法果等零包含着项掉呢数学史说穷悖
参考：梁宗巨世界数学通史[M]沈阳辽宁教育出版社1996
23极限思想完善
着微积分定义理严格化极限思想理变完善起长段时间里尝试解决微积分中遇种问题没成功研究象发生改变前常数量变现非常量时变量数学没基理研究基础切探索中进行没掌握中规律样变量数学中解决常量数学基思想方法时俱进适应新数学领域思维方式改变传统守旧思想常量数学基理说明种非辩证关系
18世纪达朗贝尔罗宾斯罗里埃等明确表示微积分基础极限理出极限定义中达朗贝尔定义：量量更接定量说量定量极限定义更接极限严谨性逻辑性定义时极限认识基直观正确更数学严谨性定义
捷克数学家波尔查诺先极限理出倒数明定义差商极限定义函数导数表示指出提出理极限思想理微积分发展做出重贡献仅仅指出极限形式什样没出什极限
19世纪法国数学家柯西通总结前极限微积分理出相完整极限定义分析教程中指出：定定值变量限趋定值终变定定值限相时定值做定趋定值变量极限特变量值限趋0时说变量穷
柯西认穷变量限趋0柯西出极限定义较明确柯西定义中然存直观性表达词语限趋等柯西出极限定义然着牛顿等描述性定义脚步没数学理应该具严谨性逻辑性客观性般性特点
出极限更精确般性定义刨前描述性定义具直观性效果维尔斯特拉斯出极限数学语言精确定义微积分严格化提供先行条件指：果总存然数时等式恒成立说极限
定义严谨数学语言间相互联系定量具体描述极限正确定义样定义具严谨性逻辑性符合数学定义基求保证定义正确性般性逻辑性够作科学基理维尔斯特拉斯出极限定义种书籍中应极限定义里出数字种数学符号串联起精确性逻辑性语句已前定义时应描述性词语助直观进行定义
众周知前数学研究常量数学微积分出现物理学开始数学密分开始物理学进行数学方式研究维尔斯特拉斯提出极限定义开创静态数学语言解释变化程种静动静循序渐进式发展方式体现数学思想产生完善程唯物辩证关系
维尔斯特拉斯戴德金康托尔独立深入研究柯西开辟道路建立起严谨极限理完成分析学逻辑奠基工作数学分析基础逐渐变完善起微积分门学科成类历史发展程中座伟里程碑
参考：梁宗巨世界数学通史[M]沈阳辽宁教育出版社1996
24极限概念
极限指限趋固定数值极限分数列极限函数极限
定义1 设数列定数正数总存正整数时
称数列收敛定数称数列极限记作
定义2 设函数点某空心邻域定义定数存正数时
称函数趋时极限记作
参考：华东师范学数学系数学分析[M]高等教育出版社2007
25极限思想思维功
极限思想现代数学物理学等学科中着广泛应身固思维功决定极限思想揭示变量常量限限立统关系唯物辩证法立统规律数学领域中应助极限思想限认识限变认识变直线形认识曲线形量变认识质变似认识精确
限限质二者联系限限发展限数般代数定义部分极限助极限思想方法限认识限
变变反映事物运动变化相静止两种状态定条件相互转化种转化数学科学力杠杆例求变速直线运动瞬时速度初等方法法解决困难速度变量先范围匀速代变速求均速度瞬时速度定义均速度极限助极限思想方法变认识变
曲线形直线形着质差异定条件相互转化正恩格斯说：直线曲线微分中终等起善利种立统关系处理数学问题重手段直线形面积容易求求曲线形面积问题初等方法解决刘徽圆接边形逼圆般矩形面积逼曲边梯形面积助极限思想方法直线形认识曲线形
量变质变区联系两者间着辩证关系量变引起质变质量互变规律辩证法基规律数学研究工作中起着重作圆接正边形说边数加倍接正边形量变质变断边数加倍限程边形变成圆边形面积便转化圆面积助极限思想方法量变认识质变
似精确立统关系两者定条件相互转化种转化数学应实际计算重诀窍前面讲部分均速度圆接正边形面积分相应穷级数瞬时速度圆面积似值取极限相应精确值助极限思想方法似认识精确
参考：梁宗巨世界数学通史[M]沈阳辽宁教育出版社1996
3 极限应
31极限概念里渗透
极限思想方法贯穿数学分析课程始终说数学分析中概念离开极限数学分析著作中先介绍函数理极限思想方法出连续函数导数定积分极数敛散性重积分曲线积分曲面积分概念
例：数列极限定义
已知数列时中常数该数列收敛做数列极限记果数列没极限说数列发散．
例：函数连续定义
函数点连续定义记称变量（点）增量改变量设相应函数（点）增量记见函数点连续等价变量增量时函数值增量趋零时极限
例：函数导数定义
设函数点某邻域定义变量处增量 (设)函数相应增量果时函数增量变量增量极限存称极限值处导数变化率通常记
例题1设试求极限
解答：
例：定积分定义
函数区间定积分定义设定义函数确定实数意定正数总存某正数分割意选取点集
称函数定积分记作函数定积分分割细度趋零时积分极限
数项级数敛散性部分数列极限定义等
参考：华东师范学数学系数学分析[M]高等教育出版社2007
32极限导数中应
导数思想初法国数学家费马研究极值问题引入导数概念直接相联系两问题：已知运动规律求速度已知曲线求切线
瞬时速度：
设质点做直线运动运动规律某确定时刻邻时刻质点时间段均速度
时均速度极限存称极限质点时刻瞬时速度
例题2等速旋转角速度等旋转角应时间试出变速旋转角速度定义
解答：设旋转角时刻t关系时刻 时间均角速度
时刻瞬时速度定义
切线斜率：
已知曲线点处切线割线动点曲线限接点时极限位置
割线斜率
时果极限存极限切线斜率
例题3试确定曲线点切线行列直线：
（1） （2）
解答曲线点切线斜率
（1）直线斜率1代入曲线点 处切线行直线
（2）曲线点处切线行直线
出导数定义：
设函数点某邻域定义变量处增量 (设)函数相应增量果时函数增量变量增量极限存称极限值处导数变化率通常记
例题4求列函数导数
（1） （2）
解答
（1）带绝值函数划分分段函数求导数
时时时
（2）时时
时处导
参考：华东师范学数学系数学分析[M]高等教育出版社2007
33极限积分中应
例：定积分定义
定义1设闭区间点次
分点闭子区间构成分割记
区间长度记
称分割模
定义2设定义函数分割取点做式
称式函数积分称黎曼
定义3设定义函数确定实数意定正数总存某正数分割意选取点集
称函数区间积黎曼积数称定积分黎曼积分记作
中称积函数称积分变量称积分区间称积分限限
例题5利定积分求极限：
解答极限式化某积分极限式转化计算定积分做变形
难出中式函数区间[01]积分（里取等份分割）
然做定积分样
例：求曲边梯形面积
设闭区间连续函数曲线直线轴围成面图形称曲边梯形面讨求解曲边梯形面积
（1）区间取分点次
a
点分割成区间直线曲边梯形分割成曲边梯形
（2）区间取点作高底矩形分割分点较分割较细密时连续函数区间值变化矩形面积似代相应曲边梯形面积矩形面积作该曲面梯形面积似值
（）
定积分定义
例题6求抛物线区间两坐标轴围城图形面积
解答区间分成区
区间长度区间端点做轴垂线曲边梯形面积分记作区间曲边梯形区左间端点应函数值边长边长矩形面积似代曲边梯形面积：
矩形面积曲边梯形面积似值矩形式求曲边梯形面积似值：
等额限变细时时
求图形面积
例：求变力做功
设质点受力作着轴点移动点设变力变力做功变力连续赖质点位置坐标 连续函数段位移区间似作常量类似求曲边梯形面积样细分区间区间取点
质点位移时变力F做功似等
样作限细分时右边式某常数限接常数定义作变力做功
定积分定义
例题7力转动半径转盘力变方始终力作点切线致转动转盘周力做少功？
解答力变力公式直接求解处理方法蕴涵着极限思想：整圆周分割分数段极位移样条曲线变成条条直线段圆盘运动直线运动段力方段位移段位移力变成恒力做功转盘转动周程中力做功应等段位移做功代数：
参考：华东师范学数学系数学分析[M]高等教育出版社2007
4．总结
微积分产生极限理建立历史程生动表明科学发展帆风长时间间断探索科学发展着社会生产发展进步科学发展时制约着生产发展科学发展适应社会进步满足社会发展需必须进行创新次创新科学发展社会发展开创崭新时代科学发展建立认识改造然基础着时间发展科学技术已越越社会进步程中起中流砥柱作科学发展定定性认识转化定量认识形成概念理系统否成严谨科学体系满足生产发展需社会进步脚步数学方法发展概念理系统成生产科学技术力工真极限理建立重启示数形概念相互繁衍关系认识逐步深化勇探索更加充分利数学社会带财富生活带便利
参考文献
[1]梁宗巨世界数学通史[M]沈阳辽宁教育出版社1996
[2]华东师范学数学系数学分析步辅导题全解[M]中国矿业学出版社2009
[3]华东师范学数学系数学分析[M]高等教育出版社2007
[4] Finney Weir GiordanoThomas’CALCULUS高等教育出版社[M]2004
The emergence and development of the idea of limit
Abstract The idea of limit is the basic idea of calculus in mathematical analysis a series of important concepts such as the continuity of the function derivative and definite integral are defined by the idea of limit The idea of limit has a wide range of application Reasonable application of the limit can allow us in the process of solving practical problems can quickly find the methods to solve the problems to enhance the actual effect This paper explores the emergence and development of the limit and its application in mathematical analysis
Keywords the idea of limit emergence development application
XX学科生毕业文（设计）评议书
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专业
数学
年级（班）
文 题 目
极限思想产生发展
完成时间
文
容
摘
极限思想微积分基思想数学分析中系列重概念函数连续性导数定积分等等助极限思想定义极限思想应处合理应极限思想解决实际问题程中较快发现解决问题方法提高实际效果文历史角度解释极限思想产生发展完善极限数学中应例具体讲述极限应
指
导
教
师
评
语
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指 导 教 师
职称
初评成绩
答辩组
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教研室
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成员
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学 生：
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XX学科毕业文（设计）务书
文（设计）题目： 极限思想产生发展
学 院： 数学信息科学学院 专业：数学应数学 班级：
学生姓名： 学号： 指导教师： 职称：
1文（设计）研究目标务
[1] 进行文献检索收集填写务书撰写文献综述开题报告参加开题答辩获通
[2] 指导教师求撰写文写作提纲初稿修改稿定稿达科生毕业文撰写规范写作求
[3] 参加毕业文答辩获通
2文（设计）容
文第部分历史角度出发讲述极限思想产生发展完善程第部分结束时出极限定义第二部分开始讲述极限思想应极限思想概念里渗透极限导数中应极限积分中应三方面阐述极限思想应部分全文做简总结
3文（设计）基础条件研究路线
基础条件：图书馆阅网查阅相关资料
研究路线：首先历史出发点研究极限思想历史发展程中产生发展逐渐完善极限定义定义出发具体讨极限思想方法连续函数导数定积分概念浅入深进步讨已知运动规律求速度已知曲线求切线进极限思想导数中应定积分求导数逆运算定积分特殊形式引出极限思想积分中应
4参考文献
[1]梁宗巨世界数学通史[M]沈阳辽宁教育出版社1996
[2]华东师范学数学系数学分析步辅导题全解[M]中国矿业学出版社2009
[3]华东师范学数学系数学分析[M]高等教育出版社2007
[4] Finney Weir GiordanoThomas’CALCULUS高等教育出版社[M]2004
5计划进度
阶段
起止日期
1
指导教师学生进行双选确定应名单
20120103－20120105
2
毕业文选题文献调研填写毕业文务书 文开题
20130307－20130310
3
进行毕业文初稿写作
20130311－20130326
4
进行毕业文二稿写作
20130401－20130417
5
进步修改文终定稿
20130418－20130426
6
文答辩填报毕业文关资料
20130427－20130515
指 导 教师 年 月 日
教研室 年 月 日
XX学科生毕业文（设计）开题报告书
数学信息科学 学院 数学应数学 专业 届
学生
姓名
文（设计）题目
极限思想产生发展
指导
教师
专业
职称
教授
研究方
课题证：(见附页)
方案设计：首先历史出发点研究极限思想历史发展程中产生发展逐渐完善进极限定义定义出发具体讨极限思想方法连续函数导数定积分概念浅入深进步讨已知运动规律求速度已知曲线求切线极限导数中应定积分求导数逆运算定积分积分特殊形式进引出极限积分中应
进度计划：
20120103－20120105指导教师学生进行双选确定应名单
20130307－20130310毕业文选题文献调研填写毕业文务书 文开题
20130311－20130326进行毕业文初稿写作
20130401－20130417进行毕业文二稿写作
20130418－20130426进步修改文终定稿
20130427－20130515文答辩填报毕业文关资料
指导教师意见：
指导教师签名： 年 月 日
教研室意见：
教研室签名： 年 月 日
XX学科生毕业文（设计）开题报告书（附页）
课题证：
高等数学基础微积分学微积分时接触第重定义极限极限思想微积分基思想数学分析中连续函数导数定积分等重定义极限定义极限运算微积分运算基础学数学分析学微积分掌握合理应极限十分重
历史发展长河里极限思想产生学科产生样极限产生发展完善程中帆风数数学家长时间努力结果极限思想发展程充分体现类认识然改造然程穷穷程极限发展基程产生发展完善程中体现门科学历史进程中发展历程具般性研究极限思想产生历史程更理解极限极限思想方法解决现实生活中遇种问题
极限定义提出极限发展已趋完善局限特定问题中定义描述抛弃直观性描述法完善定义更具严谨性逻辑性数学学创新具指导性作
文第二部分通极限数学物理等学科中应说明极限具体应方计算曲线切线曲面面积变力做功求运动物体速度等问题通应极限现实生活中具体作更明确理解极限思想体系更立体感受
全文进行全面总结微积分产生极限理建立历史程生动表明科学发展帆风长时间间断探索科学发展着社会生产发展进步科学发展时制约着生产发展科学发展适应社会进步满足社会发展需必须进行创新次创新科学发展社会发展开创崭新时代科学发展建立认识改造然基础着时间发展科学技术已越越社会进步程中起中流砥柱作科学发展定定性认识转化定量认识形成概念理系统否成严谨科学体系满足生产发展需社会进步脚步
XX学科生毕业文（设计）文献综述
极限思想产生社会发展科学进步客观需求探索改造然程中逐渐形成新思想方法极限思想追溯古代三国时期刘徽割圆术中提割弥细失弥割割割圆周体失矣庄子·天篇中：尺棰日取半万世竭公元前5世纪关限量概念已作希腊关物质世界质设想进入数学思潮希腊数学家普遍接受观点阿萨哥拉提出：中存总更严密著称古希腊说古希腊学者观念摆脱限恐惧助穷竭法完成关证明16世纪荷兰数学家斯泰文助直观放弃古希腊证明提出极限思想方法发展成门社会领域中应实思想方法
极限思想发展微积分建立紧密相连16世纪欧洲正处资义萌芽时期生产力极发展生产技术中量问题法初等数学解决前提例曲线切线问题值问题速度问题变力做功问题等求数学家突破研究常量传统范围提供描述研究运动变化程新工具数学家开始进入极限思想领域深入研究促进极限发展建立微积分社会背景17世纪半叶着数学家深入研究方式接微积分门时期开始极限微积分开始形成密分关系终成微积分直接基础极限概念明确提出然直观数学追求严密原相抵触
19世纪法国数学家柯西较完整阐述极限概念理分析教程中指出：变量逐次取值限趋定值终变量值该定值差定值值极限尤变化数值（绝值）限减收敛极限0说变量穷量着研究深入极限已科学家广泛接受维尔斯特拉斯建立语言严谨数学语言定义变量变化趋势种直观描述性定义严谨数学语言定义变化程遵循数学发展般规律
极限思想已渗透现代生活中领域中社会发展科技进步等方面发挥越越作日常生活中极限思维已成解决实际问题必少基思想极限思想揭示变化静止穷穷辩证关系数学领域中唯物辩证法体现透极限思想穷认识穷静止认识运动部分认识整体限限立统唯物辩证关系相互关联相互矛盾立统穷数限数定义应该定义限极限通极限思想认识限限
XX学科生毕业文（设计）翻译文章
Finney Weir GiordanoThomas’CALCULUS高等教育出版社[M]2004
1函数极限
设定义包括开区间说趋时趋极限记
果数存相应数满足x
2切线
定义般曲线相切概念需种动态处理方法种方法考虑点附点着曲线（图265）点移动时割线形态该方法致步骤：
（1） 计算东西开始割线斜率
（2） 研究点着曲线趋点时割线极限
（3） 果极限存取作曲线点斜率点具斜率直线定义曲线点切线
图265 动态趋切点曲线点切线直线斜率曲线点着曲线点两侧趋点时割线斜率极限
定义 斜率切线
曲线点斜率数
（果极限存）
曲线点切线点斜率直线
3黎曼
图58 典型闭区间连续函数
限逼理极限德国数学家Bernhard Riemann精确出现介绍黎曼节定积分研究基础理概念
定义闭区间意连续函数开始图58中图表示函数样取正值取负值详细划分闭区间区间间隔定相等宽度（长度）样方式第51节中限似形式总结做点选择间点
符号致选择样
集合
称分区
划分封闭子区间
典型闭子区间称第子区间
第k子区间长度
子区间中选择某数表示第子区间选择数然子区间竖起垂直矩形立轴接触曲线
图59 矩形逼函数图象轴间区域
子区间做积积符号赖正负零积求：
赖划分数选择区间黎曼
1Limit of a Function
Let be defined on an open interval about except possibly atitself We say that the limit of as x approachesis the number L and write
if for every numberthere exists a corresponding number such that for all
2 Tangent
To define tangency for general curves we need a dynamic approach that takes into account the behavior of the secants through and nearby points as moves toward along the curve (Figure 265) It goes like this
（1）We start with what we can calculate namely the slope of the secant
（2）Investigate the limit of the secant slope as approaches along the curve
（3）If the limit exists take it to be the slope of the curve at and define the tangent to the curve at to be the line through with this slope
FIGURE 265 The dynamic approach to tangency The tangent to the curve at is the line through whose slope is the limit of the secant slopes as from either side
DEFINITIONS Slope Tangent Line
The slope of the curve at the point is the number
(provided the limit exists)
The tangent line to the curve at is the line through with this slope
3 Riemann Sums
FIGURE 58 A typical continuous functionover a closed interval
The theory of limits of finite approximations was made precise by the German mathematician Bernhard Riemann We now introduce the notion of a Riemann sum which underlies the theory of the definite integral studied in the next section
We begin with an arbitrary function ƒ defined on a closed interval Like the function pictured in Figure 58 may have negative as well as positive values We subdivide the interval into subintervals not necessarily of equal widths (or lengths) and form sums in the same way as for the finite approximations in Section 51 To do so we choose points between a and b and satisfying
To make the notation consistent we denote a by and b by so that
The set
is called a partition of
The partition P dividesinto n closed subintervals
The first of these subintervals is the second isand the kth subinterval of is for k an integer between 1 and
The width of the first subintervalis denotedthe width of the second is donoted and the width of the kth subinterval is If all n subintervals have equal width then the common width isequal to
In each subinterval we select some point The point chosen in the kth subintervalis called Then on each subinterval we stand a vertical rectangle that stretches from the xaxis to touch the curve atThese rectangles can be above or below the xaxis depending on whetheris positive or negative or on it if (Figure 59)
On each subinterval we form the productThis product is positive negative or zero depending on the sign of When the productis the area of a rectangle with heightand width When the productis a negative number the negative of the area of a rectangle of widththat drops from the axis to the negative number
Finally we sum all these products to get
The sum is called a Riemann sum for on the interval
FIGURE 59 The rectangles approximate the region between the graph of the function and the axis
科生毕业文设计
极限思想产生发展
作者姓名：
指导教师：
学院：
数学信息科学学院
专业（系）：
数学应数学
班级（届）：
届数学 班
年 月 日
目 录
中文摘关键字2
1引言3
2 极限思想产生发展3
21极限思想产生3
22极限思想发展6
23极限思想完善7
24极限概念9
25极限思想思维功9
3 极限应10
31极限概念里渗透10
32极限导数中应12
33极限积分中应14
4．总结18
参考文献19
英文摘关键字20
极限思想产生发展
数学信息科学学院 数学应数学专业
指导教师
作 者
摘：极限思想微积分基思想数学分析中系列重概念函数连续性导数定积分等等助极限思想定义极限思想应处合理应极限思想解决实际问题程中较快发现解决问题方法提高实际效果文极限思想产生发展进行探究数学分析中应展开探索
关键词：极限思想 产生 发展 应
极限思想产生发展
1引言
极限思想数学中重思想数学分析中极限基概念函数连续性导数微积分等等通极限理极限思想微积分基思想极限微积分中基工具微积分基础 贯穿整微积分容极限思想应已渗透认识学科间数学物理学化学生物学等极限现科学技术领域起着磨灭重作够深刻理解掌握极限基思想实际问题中解决问题着重意义
2 极限思想产生发展
21 极限思想产生
极限思想产生社会发展科学进步客观需求探索改造然程中逐渐形成新思想方法极限思想追溯古代庄子·天篇中：尺棰日取半万世竭含义长尺木棒第天截取半第二天截取剩半样程穷进行样直进行留木棒越越短分部分越越直穷切割永远会消失公元前5世纪关穷概念已作希腊关什世界设想进入数学思潮希腊数学家普遍接受观点阿萨哥拉提出：中存总更严密著称古希腊说古希腊学者观念摆脱限恐惧助方法完成关证明
刘徽九章算术注中样记载：邪解立方两堑堵邪解堑堵阳马鳖臑阳马居二鳖臑居易率意思说：块立方体斜线分成相两块两块做堑堵块堑堵斜线分成两块阳马鳖臑两者体积2：1率变（图1）
图1
刘徽证明运出入相补原理穷分割求原理具体：阳马鳖臑边中点做进步分割（图2）样阳马分成2阳马1立方体2堑堵鳖臑分成2鳖臑2堑堵先2阳马2鳖臑放边剩部分体积显然2：1放边阳马鳖臑做样分割更阳马立方体堑堵鳖臑4阳马4鳖臑放边剩部分体积然2：1程限做直剩余部分体积0整程中剩部分体积总2：1样刘徽证明易率
图2
16世纪通三角形重心问题深入研究荷兰数学家斯泰文助更直观问题放弃古希腊证明方法通极限思想方法解决问题提出极限思想方法发展成门社会领域中应思想方法数学家拉夫纶捷夫说：数学极限方法创造够算术代数初等简单方法求解问题进行许世纪顽强探索结果
提极限思想提著名芝诺悖提出著名四悖：（1）点出发点首先达方接达方接达方……循环永远走终点（2）设想支飞行箭矢瞬时时间点位空间中特定位置时间瞬时连续时间点箭时刻没运动静止整运动时间限时间点组成时间点箭静止芝诺断定飞行箭时间点静止动（3）游行队伍问题首先假设操场三列观众（图231）瞬间（极短时间里）里相观众席A列队BC分右左移动距离单位（图232）
图232
图231
时队列B说队列C左移动两距离单位队列瞬间（极短时间里）里移动距离单位半极短时间里移动距离单位产生半时间单位等时间单位矛盾出队列移动（4）著名阿基里斯悖阿基里斯古希腊神话中善跑英雄乌龟竞赛中乌龟速度十分乌龟面100米处追乌龟永远追乌龟赛中阿基里斯必须先达乌龟起点100米处阿基里斯达乌龟起点处乌龟已前方前进10米阿基里斯说产生新需达起点阿基里斯追赶乌龟必须次达乌龟新起点次追乌龟达乌龟新起点处乌龟已前方前进1米阿基里斯次乌龟新起点追乌龟样直乌龟前进会新起点产生阿基里斯总新起点需达样阿基里斯努力乌龟停前进阿基里斯会追乌龟芝诺悖错误（1）时间做限定速度改变情况路程改变（2）时间空间分割分然存变成（第二次数学危机）：限没非常非常数结果证明限0芝诺悖利解决极限思想发展普起关重作微积分出现提供条件
国古代刘徽祖计采割圆术计算圆周率程中应极限思想谓割圆术半径圆接边数正边形正边形边数倍倍增时正边形面积越越接圆面积控制范围圆面积正边形面积计算圆面积相似结果精确结果果限制直继续话正边形面积越越接圆面积精确等圆面积
参考：梁宗巨世界数学通史[M]沈阳辽宁教育出版社1996
22极限思想发展
16世纪欧洲开始出现资义萌芽生产力进步解放生活中出现量前数学方法解决新问题例曲线切线求解值值问题物理学发展中遇问题等求数学家突破传统观念找种更先进思想方法套解决问题理体系数学家开始进入极限思想领域深入研究促进极限发展建立微积分社会背景17世纪半叶着数学家深入研究方式接微积分门时期开始极限开始微积分形成难割舍关系终成微积分直接基础极限概念已明确提出建立直观基础极限直观表述定义极限严谨数学语言定义极限相足
众数学家解决述问题做懈努力十七世纪半叶英国数学家牛顿德国数学家莱布尼兹分建立微积分学说微积分中充满极限思想方法计算程微分学积分学数学分析基容微积分概念通极限定义时概念没明确统严谨数学定义理常常会遇法解决提出问题尴尬情况起初牛顿莱布尼茨穷概念基础建立微积分遇逻辑困难晚期程度接受极限思想牛顿流数简中曲线定义欲动点轨迹动点着时间变化量动点切速度法速度分xy表示牛顿称流数x时间导数牛顿路程改变量时间改变量表示运动物体均速度限接时物体瞬时速度引出导数概念微分学理说：两量量果限时间断趋相等时间终止前互相差意定差终成相等牛顿极限观念建立直观基础通具严谨性逻辑性数学语言定义牛顿提出极限理更接定义：果变量趋穷时函数值限接固定常数说函数极限
牛顿定义极限现代精确极限定义相更容易接受现代初等著作中牛顿定义极限定义种直观学极限定义缺乏数学应具备严谨性逻辑性够满足数学求严密性牛顿莱布尼茨作贡献微积分极限思想完善创造良条件
1617世纪初期极限理没严格定义微积分理受怀疑攻击例瞬时速度概念中究竟否等零果等零作法果等零包含着项掉呢数学史说穷悖
参考：梁宗巨世界数学通史[M]沈阳辽宁教育出版社1996
23极限思想完善
着微积分定义理严格化极限思想理变完善起长段时间里尝试解决微积分中遇种问题没成功研究象发生改变前常数量变现非常量时变量数学没基理研究基础切探索中进行没掌握中规律样变量数学中解决常量数学基思想方法时俱进适应新数学领域思维方式改变传统守旧思想常量数学基理说明种非辩证关系
18世纪达朗贝尔罗宾斯罗里埃等明确表示微积分基础极限理出极限定义中达朗贝尔定义：量量更接定量说量定量极限定义更接极限严谨性逻辑性定义时极限认识基直观正确更数学严谨性定义
捷克数学家波尔查诺先极限理出倒数明定义差商极限定义函数导数表示指出提出理极限思想理微积分发展做出重贡献仅仅指出极限形式什样没出什极限
19世纪法国数学家柯西通总结前极限微积分理出相完整极限定义分析教程中指出：定定值变量限趋定值终变定定值限相时定值做定趋定值变量极限特变量值限趋0时说变量穷
柯西认穷变量限趋0柯西出极限定义较明确柯西定义中然存直观性表达词语限趋等柯西出极限定义然着牛顿等描述性定义脚步没数学理应该具严谨性逻辑性客观性般性特点
出极限更精确般性定义刨前描述性定义具直观性效果维尔斯特拉斯出极限数学语言精确定义微积分严格化提供先行条件指：果总存然数时等式恒成立说极限
定义严谨数学语言间相互联系定量具体描述极限正确定义样定义具严谨性逻辑性符合数学定义基求保证定义正确性般性逻辑性够作科学基理维尔斯特拉斯出极限定义种书籍中应极限定义里出数字种数学符号串联起精确性逻辑性语句已前定义时应描述性词语助直观进行定义
众周知前数学研究常量数学微积分出现物理学开始数学密分开始物理学进行数学方式研究维尔斯特拉斯提出极限定义开创静态数学语言解释变化程种静动静循序渐进式发展方式体现数学思想产生完善程唯物辩证关系
维尔斯特拉斯戴德金康托尔独立深入研究柯西开辟道路建立起严谨极限理完成分析学逻辑奠基工作数学分析基础逐渐变完善起微积分门学科成类历史发展程中座伟里程碑
参考：梁宗巨世界数学通史[M]沈阳辽宁教育出版社1996
24极限概念
极限指限趋固定数值极限分数列极限函数极限
定义1 设数列定数正数总存正整数时
称数列收敛定数称数列极限记作
定义2 设函数点某空心邻域定义定数存正数时
称函数趋时极限记作
参考：华东师范学数学系数学分析[M]高等教育出版社2007
25极限思想思维功
极限思想现代数学物理学等学科中着广泛应身固思维功决定极限思想揭示变量常量限限立统关系唯物辩证法立统规律数学领域中应助极限思想限认识限变认识变直线形认识曲线形量变认识质变似认识精确
限限质二者联系限限发展限数般代数定义部分极限助极限思想方法限认识限
变变反映事物运动变化相静止两种状态定条件相互转化种转化数学科学力杠杆例求变速直线运动瞬时速度初等方法法解决困难速度变量先范围匀速代变速求均速度瞬时速度定义均速度极限助极限思想方法变认识变
曲线形直线形着质差异定条件相互转化正恩格斯说：直线曲线微分中终等起善利种立统关系处理数学问题重手段直线形面积容易求求曲线形面积问题初等方法解决刘徽圆接边形逼圆般矩形面积逼曲边梯形面积助极限思想方法直线形认识曲线形
量变质变区联系两者间着辩证关系量变引起质变质量互变规律辩证法基规律数学研究工作中起着重作圆接正边形说边数加倍接正边形量变质变断边数加倍限程边形变成圆边形面积便转化圆面积助极限思想方法量变认识质变
似精确立统关系两者定条件相互转化种转化数学应实际计算重诀窍前面讲部分均速度圆接正边形面积分相应穷级数瞬时速度圆面积似值取极限相应精确值助极限思想方法似认识精确
参考：梁宗巨世界数学通史[M]沈阳辽宁教育出版社1996
3 极限应
31极限概念里渗透
极限思想方法贯穿数学分析课程始终说数学分析中概念离开极限数学分析著作中先介绍函数理极限思想方法出连续函数导数定积分极数敛散性重积分曲线积分曲面积分概念
例：数列极限定义
已知数列时中常数该数列收敛做数列极限记果数列没极限说数列发散．
例：函数连续定义
函数点连续定义记称变量（点）增量改变量设相应函数（点）增量记见函数点连续等价变量增量时函数值增量趋零时极限
例：函数导数定义
设函数点某邻域定义变量处增量 (设)函数相应增量果时函数增量变量增量极限存称极限值处导数变化率通常记
例题1设试求极限
解答：
例：定积分定义
函数区间定积分定义设定义函数确定实数意定正数总存某正数分割意选取点集
称函数定积分记作函数定积分分割细度趋零时积分极限
数项级数敛散性部分数列极限定义等
参考：华东师范学数学系数学分析[M]高等教育出版社2007
32极限导数中应
导数思想初法国数学家费马研究极值问题引入导数概念直接相联系两问题：已知运动规律求速度已知曲线求切线
瞬时速度：
设质点做直线运动运动规律某确定时刻邻时刻质点时间段均速度
时均速度极限存称极限质点时刻瞬时速度
例题2等速旋转角速度等旋转角应时间试出变速旋转角速度定义
解答：设旋转角时刻t关系时刻 时间均角速度
时刻瞬时速度定义
切线斜率：
已知曲线点处切线割线动点曲线限接点时极限位置
割线斜率
时果极限存极限切线斜率
例题3试确定曲线点切线行列直线：
（1） （2）
解答曲线点切线斜率
（1）直线斜率1代入曲线点 处切线行直线
（2）曲线点处切线行直线
出导数定义：
设函数点某邻域定义变量处增量 (设)函数相应增量果时函数增量变量增量极限存称极限值处导数变化率通常记
例题4求列函数导数
（1） （2）
解答
（1）带绝值函数划分分段函数求导数
时时时
（2）时时
时处导
参考：华东师范学数学系数学分析[M]高等教育出版社2007
33极限积分中应
例：定积分定义
定义1设闭区间点次
分点闭子区间构成分割记
区间长度记
称分割模
定义2设定义函数分割取点做式
称式函数积分称黎曼
定义3设定义函数确定实数意定正数总存某正数分割意选取点集
称函数区间积黎曼积数称定积分黎曼积分记作
中称积函数称积分变量称积分区间称积分限限
例题5利定积分求极限：
解答极限式化某积分极限式转化计算定积分做变形
难出中式函数区间[01]积分（里取等份分割）
然做定积分样
例：求曲边梯形面积
设闭区间连续函数曲线直线轴围成面图形称曲边梯形面讨求解曲边梯形面积
（1）区间取分点次
a
点分割成区间直线曲边梯形分割成曲边梯形
（2）区间取点作高底矩形分割分点较分割较细密时连续函数区间值变化矩形面积似代相应曲边梯形面积矩形面积作该曲面梯形面积似值
（）
定积分定义
例题6求抛物线区间两坐标轴围城图形面积
解答区间分成区
区间长度区间端点做轴垂线曲边梯形面积分记作区间曲边梯形区左间端点应函数值边长边长矩形面积似代曲边梯形面积：
矩形面积曲边梯形面积似值矩形式求曲边梯形面积似值：
等额限变细时时
求图形面积
例：求变力做功
设质点受力作着轴点移动点设变力变力做功变力连续赖质点位置坐标 连续函数段位移区间似作常量类似求曲边梯形面积样细分区间区间取点
质点位移时变力F做功似等
样作限细分时右边式某常数限接常数定义作变力做功
定积分定义
例题7力转动半径转盘力变方始终力作点切线致转动转盘周力做少功？
解答力变力公式直接求解处理方法蕴涵着极限思想：整圆周分割分数段极位移样条曲线变成条条直线段圆盘运动直线运动段力方段位移段位移力变成恒力做功转盘转动周程中力做功应等段位移做功代数：
参考：华东师范学数学系数学分析[M]高等教育出版社2007
4．总结
微积分产生极限理建立历史程生动表明科学发展帆风长时间间断探索科学发展着社会生产发展进步科学发展时制约着生产发展科学发展适应社会进步满足社会发展需必须进行创新次创新科学发展社会发展开创崭新时代科学发展建立认识改造然基础着时间发展科学技术已越越社会进步程中起中流砥柱作科学发展定定性认识转化定量认识形成概念理系统否成严谨科学体系满足生产发展需社会进步脚步数学方法发展概念理系统成生产科学技术力工真极限理建立重启示数形概念相互繁衍关系认识逐步深化勇探索更加充分利数学社会带财富生活带便利
参考文献
[1]梁宗巨世界数学通史[M]沈阳辽宁教育出版社1996
[2]华东师范学数学系数学分析步辅导题全解[M]中国矿业学出版社2009
[3]华东师范学数学系数学分析[M]高等教育出版社2007
[4] Finney Weir GiordanoThomas’CALCULUS高等教育出版社[M]2004
The emergence and development of the idea of limit
Abstract The idea of limit is the basic idea of calculus in mathematical analysis a series of important concepts such as the continuity of the function derivative and definite integral are defined by the idea of limit The idea of limit has a wide range of application Reasonable application of the limit can allow us in the process of solving practical problems can quickly find the methods to solve the problems to enhance the actual effect This paper explores the emergence and development of the limit and its application in mathematical analysis
Keywords the idea of limit emergence development application
XX学科生毕业文（设计）评议书
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学院
数信学院
专业
数学
年级（班）
文 题 目
极限思想产生发展
完成时间
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摘
极限思想微积分基思想数学分析中系列重概念函数连续性导数定积分等等助极限思想定义极限思想应处合理应极限思想解决实际问题程中较快发现解决问题方法提高实际效果文历史角度解释极限思想产生发展完善极限数学中应例具体讲述极限应
指
导
教
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