湖南省娄底市2021年中考数学试卷
单选题（12题24分）
12021倒数（ ）
A 2021 B －2021 C 12021 D 12021
2列式子正确（ ）
A a3a2a B (a2)3a6 C a3⋅a2a6 D (a2)3a5
32021年5月19日第三届阿里数学竞赛预选赛利结束届赛全球范围吸引约5万名数学爱者参加阿里数学竞赛旨全球范围引领开启关注数学理解数学欣赏数学助力数学科学风尚5万科学记数法表示（ ）
A 05×105 B 5×104 C 50×104 D 5×105
4组数 171058515 中位数众数（ ）
A 55 B 85 C 95 D 105
5图点 EF 矩形 ABCD 角线 BD 直线 BEDF 四边形 AECF （ ）
A 行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形
6图 ABCD 点 EF AC 边已知 ∠CED70° ∠BFC130° ∠B+∠D 度数（ ）
A 40° B 50° C 60° D 70°
7背面分画等腰三角形行四边形矩形圆四张形状相卡片中机抽取张抽图形中心称图形轴称图形概率（ ）
A 14 B 12 C 34 D 1
825m 某三角形三边长 (m3)2+(m7)2 等（ ）
A 2m10 B 102m C 10 D 4
9图直线 yx+b ykx+4 x轴分相交点 A(40) 点 B(20) {x+b>0kx+4>0 解集（ ）
A 42 D x<4 x>2
10图直角坐标系中5半径动圆圆心Ax轴移动⊙ A 直线 ly512x 公点时点A坐标（ ）
A (120) B (130) C (±120) D (±130)
11根反例函数性质联系化学中溶质质量分数求法生活体验等判定列关函数 yxa+x （a常数 a>0x>0 ）性质表述中正确（ ）
①yx增增②yx增减③ 0A ①③ B ①④ C ②③ D ②④
12数形结合等思想方法确定二次函数 yx2+2 图象反例函数 y2x 图象交点横坐标 x0 范围（ ）
A 0二填空题（6题7分）
13函数 yx1 中变量x取值范围________
14图示扇形中已知 OA20AC30AB40 CD ________
15图 △ABC 中 ABAC2P BC 意点 PE⊥AB 点 EPF⊥AC 点F S△ABC1 PE+PF ________
16已知 t23t+10 t+1t ________
17高速公路种标线减速标线外号鱼骨线作提醒驾驶员开车时减速慢行图行四边形 ABCD 表示鱼骨 AB 行车辆前行方 BE⊥AB∠CBEα B作 AD 垂线垂足 A＇ （A点视觉错觉点） sinα005AB300mm AA＇ ________ mm
18弧度表示角度种单位圆心角弧长半径相等时角1弧度角记作 1rad 已知 α1rad β60° α β 关系 α ________ β
三解答题（8题68分）
19计算： (2021π)0+12+1+(12)12cos45°
20先化简求值： x3x1⋅(12x10x29) 中x 123 中合适数
21读书点亮未广泛课外阅读学搜集汲取知识条重途径学校图书馆计划购进批学生喜欢图书解学生A文史类B科普类C生活类D喜欢程度机抽取部分学生进行问卷调查（学生选中类）数进行分类统计绘制完整统计图表请根图中信息解答列问题：
统计表：
频数
频率
A历史类
50
m
B科普类
90
045
C生活类
n
020
D
20
010
合计
（1）次调查学生________
（2）m ________ n ________
（3）补全条形统计图
22国航天事业捷报频传天舟二号2021年5月29日成功发射震撼心天舟二号面达点A处时P处测A点仰角 ∠DPA 30° AP两点距离6千米铅垂线升75秒达B处时P处测B点仰角 ∠DPB 45° 求天舟二号A处B处均速度（结果精确 1ms 取 3173221414 ）
23庆祝中国产建百周年某校举行礼赞百年奋斗演讲赛准备购买甲乙两种纪念品奖励活动中表现优秀学生已知购买1甲种纪念品2乙种纪念品需20元购买2甲种纪念品5乙种纪念品需45元
（1）求购买甲种纪念品乙种纪念品需少元
（2）购买两种纪念品100投入资金少766元800元问少种购买方案？求出花资金值
24图点A BC 直径⊙ O ∠ABC 角分线 AC 相交点E⊙ O 相交点D延长 CA M连结 BM MBME 点A作 BM 行线 CD 延长线交点N
（1）求证： BM ⊙ O 相切
（2）试出 ACADCN 间数量关系予证明
25图① EF 等腰 Rt△ABC 斜边 BC 两动点 ∠EAF45° CD⊥BC CDBE
（1）求证： △ABE≌△ACD
（2）求证： EF2BE2+CF2
（3）图②作 AH⊥BC 垂足H设 ∠EAHα ∠FAHβ 妨设 AB2 请利（2）结证明： α+β45° 时 tan(α+β)tanα+tanβ1tanα⋅tanβ 成立
26图直角坐标系中二次函数 yx2+bx+c 图象x轴相交点 A(10) 点 B(30) y轴交点C
（1）求 bc 值
（2）点 P(mn) 抛物线动点P作x轴垂线交直线 l yx 点Q
① 0②否存m点 OCPQ 顶点四边形菱形存请说明理存请求出m值
答案解析部分
单选题
1答案 C
考点理数倒数
解析解答A：倒数身数11选项错误
B：－20212021相反数选项错误
C： 2021×120211 选项正确
D： 2021×(12021)1 选项错误
答案：C
分析积1两数做互倒数判断
2答案 B
考点底数幂法合类项法应幂方
解析解答A a3a2a a3a2 属类项进行加减合A错误
B (a2)3a2×3a6 B正确
C a3⋅a2a3+2a5 C错误
D (a2)3a2×3a6 D错误
答案：B
分析根合类项幂方底数幂法分进行计算然判断
3答案 B
考点科学记数法—表示绝值较数
解析解答解：5万50000 5×104
答案：B
分析科学记数法表示形式a×10n形式中1≤|a|＜10n整数确定n值时原数变成a时数点移动少位n绝值数点移动位数相原数绝值＞1时n正数原数绝值＜1时n负数解答
4答案 C
考点中位数众数
解析解答组数序排列：558101517
中位数： 8+1029 众数：5
答案：C
分析中位数：先数（）进行排列果数数奇数中间数中位数果数数偶数中间两数均数中位数 众数：组数中出现次数数解答
5答案 A
考点行四边形判定矩形性质三角形全等判定（SAS）
解析解答解：题意：
∵ADBC∴∠ADB∠CBD
∴∠FDA∠EBC
∵ADBCBEDF
∴△ADF≌△CBE(SAS)
∴AFEC
∴∠AFD∠CEB∴AFEC
∴ 四边形 AECF 行四边形
答案：A
分析证明△ADF≌△CBE(SAS) 利全等三角形性质出AFEC ∠AFD∠CEB
利错角相等两直线行AF∥CE根组边行相等证四边形 AECF 行四边形
6答案 C
考点行线性质三角形角定理顶角性质
解析解答解：取 EDFB 交点点 G 点 G 作行 CD 线 MN 图：
根题意： ∠CED70° ∠BFC130°
∴∠EFG50°
∴∠EGF180°50°70°60°
∵MNCDAB
∴∠B∠BGN∠D∠DGN
∴∠B+∠D∠BGN+∠DGN∠BGD
∵EDBF 相交点 G
∴∠EGF∠BGD60°
∴∠B+∠D60°
答案：C
分析取 EDFB 交点点 G 点 G 作行 CD 线 MN 利邻补角定义三角形角求出∠EGF60°根行线性质出∠B∠BGN∠D∠DGN
∠B+∠D∠BGN+∠DGN∠BGD 顶角相等∠EGF∠BGD60° 继出结
7答案 B
考点轴称图形中心称中心称图形概率公式
解析解答解： ∵ 分画等腰三角形行四边形矩形圆四张形状相卡片中中轴称图形中心称图形：矩形圆
∴ 现中意抽取张抽图形中心称图形轴称图形概率 2412
答案：B
分析 四张形状相卡片中分画等腰三角形行四边形矩形圆四张形状相卡片中中轴称图形中心称图形：矩形圆然利概率公式计算
8答案 D
考点二次根式性质化简三角形三边关系
解析解答解： ∵23m 三角形三边
∴52解： 3∴(m3)2+(m7)2m3+7m4
答案：D
分析根三角形三边关系39答案 A
考点次函数等式（组）综合应
解析解答解：∵直线 yx+b ykx+4 x轴分相交点 A(40) 点 B(20)
∴观察图象知 {x+b>0kx+4>0 解集 4答案：A
分析根图形x＞4时直线yx+b图象x轴方x＜2时直线ykx+4图象x轴方然求出x公部分
10答案 D
考点勾股定理直线圆位置关系相似三角形判定性质
解析解答图示连接 AB B 点作 BCOA
时 B 点坐标表示 (x512x)
∴ OC512|x| BC|x|
Rt△OBC 中 OBBC2+OC2x2+(512x)21312|x|
∵ ⊙A 半径5
∴ AB5
∵ BCOA
∴ △AOB∽△OBC
OABOABOCOBBC
∴ OA1312|x|5512|x|
∴ OA13
∵左右两侧相切
∴A点坐标 (±130)
答案：D
分析连接 AB B 点作 BCOA 时 B 点坐标表示 (x512x) 求出OCBCOB证明△AOB∽△OBC OABOABOCOBBC 代入相应数求出OA左右两侧相切求出点A坐标
11答案 A
考点反例函数图象反例函数性质
解析解答解： yxa+xx+aaa+x1aa+xaa+x+1
∵ a>0x>0
∴着x增 a+x 会增
∴ aa+x 着x增减
时 aa+x 越越 1aa+x 越越
着x增y越越
①正确②错误
∵ a>0x>0
∴ 0∴ 0<1aa+x<1
0③正确④错误
综述A选项符合
答案：A
分析利反例函数性质原函数进行变形y1aa+x a>0x>0 着x增 aa+x 越越 1aa+x 越越判断①②a>0x>0 012答案 D
考点反例函数图象二次函数yax^2+bx+c图象
解析解答解：直角坐标系中画出两函数图象图：
图知显然 12 x034 时分代入 yx2+2 y2x 计算
y1916+24116y223483
∵y2y1834116548>0
∴ 时反例函数图象二次函数图象方
∴34答案：D
分析直角坐标系中画出两函数图象根函数图象进行判断
二填空题
13答案 x≥1
考点二次根式意义条件
解析解答根题意：x1≥0
解：x≥1
答案：x≥1
分析函数表达式二次根式时开方数非负数x1≥0解等式求x范围
14答案 100
考点弧长计算
解析解答解：设扇形圆心角度数n°
∵ OA20AB40
∴扇形 AOB 中 AB2π·OA·n360
解： n360π
∴扇形 COD 中 OCOA+AC20+3050
CD2π·OC·n3602π×50×360π360100
答案：100
分析先求出扇形圆心角度数360π 求出OCOA+AC50利弧长公式计算
15答案 1
考点三角形面积等腰三角形性质
解析解答解：连接 AP 图
∵ PE⊥AB 点 EPF⊥AC 点 F
S△ABCS△APC+S△APB1
S△APC+S△APB12AC⋅PF+12AB⋅PE
∵ABAC2
S△APC+S△APBPF+PE1
∴PE+PF1
答案：1
分析连接 AP S△APC+S△APB12AC⋅PF+12AB⋅PE1求出结
16答案 3
考点代数式求值
解析解答解： t+1tt2t+1tt2+1t
∵ t23t+10
∴ t2+13t
t+1tt2+1t3tt3
答案：3
分析先求出t2+13t t+1tt2+1t 然代入计算
17答案 15
考点行四边形性质解直角三角形应
解析解答解：图示
∵ A＇B⊥AD 四边形 ABCD 行四边形
∴ A＇B⊥BC ∠A＇BC∠ABC+∠A＇BA90°
∵ BE⊥AB
∴ ∠ABE∠ABC+∠α90°
∴ ∠A＇BA∠α
∴ sin∠A＇BAsinαAA＇AB005
∵ AB300mm
∴ AA＇AB·sin∠A＇BA300×00515 mm
答案：15
分析根行四边形性质求出∠A＇BA∠α sin∠A＇BAsinαAA＇AB005 求出结
18答案 ＜
考点角概念
解析解答解：根弧度定义圆心角弧长半径相等时角1弧度角记作 1rad
β60° 时易知三角形等边三角形弦长等半径
∴ 圆心角弧长半径
∴α<β
答案：＜
分析 β60° 时易知三角形等边三角形弦长等半径求出圆心角弧长半径判断
三解答题
19答案 解： (2021π)0+12+1+(12)12cos45°
1+21(2+1)(21)+22×22
1+21+22
2
考点0指数幂运算性质负整数指数幂运算性质分母理化特殊角三角函数值
解析分析根零指数幂分母理化负整数指数幂特殊角三角函数值进行计算
20答案 解： x3x1⋅(12x10x29)
x3x1⋅[x29(x+3)(x3)2x10(x+3)(x3)]
x3x1⋅x22x+1(x+3)(x3)
x3x1⋅(x1)2(x+3)(x3)
x1x+3
∵ x≠1 x≠±3
∴ x2
原式 212+315
考点利分式运算化简求值
解析分析括号通分利分母分式减法法计算进行法运算化简选取分式意义值代入计算
21答案 （1）200
（2）02540
（3）解：补全直方图图示：
考点频数（率）分布表条形统计图
解析解答解：（1）次调查学生：90÷045200（名）
答案：200
（2）m50÷200025n200×0240
分析（1）利B类频数频率调查学生总数
（2）利A类频数调查总数m值利调查总数020n值
（3）利（2）结直接补图
22答案 解：根P处测A点仰角 ∠DPA 30° AP两点距离6千米知
Rt△ADP 中 AP6∠DPA30°
∴AD12AP3 (千米)
∴DPAP2AD233≈3×17325196
P处测B点仰角 ∠DPB 45°
∴Rt△BDP 等腰直角三角形
∴BDDP
∴ABBDAD2196 （千米）
∴ 天舟二号A处B处均速度： vst219675≈29ms
答：天舟二号A处B处均速度 29ms
考点解直角三角形应﹣仰角俯角问题
解析分析利含30°角直角三角形性质出 AD12AP3 (千米)勾股定理求出DP长求出△BDP等腰直角三角形BDDPABBDAD求出AB长路程÷时间均速度计算结
23答案 （1）解：设购进甲种纪念品需x元乙种纪念品需y元
根题意： {x+2y202x+5y45
解： {x10y5
答：购进甲种纪念品需10元乙种纪念品需5元
（2）解：设购进甲种纪念品m购进乙种纪念品（100m）花资金 w 元
∴ w10m+5(100m)5m+500
根题意： {5m+500≥7665m+500≤800
解：532≤m≤60
∵m整数
∴m54555657585960
∴7种进货方案
∵5>0
∴ w m增增
∴m54时 w 值值770元
考点次函数实际应二元次方程组应差倍分问题
解析分析（1）设购进甲种纪念品需x元乙种纪念品需y元根 购买1甲种纪念品2乙种纪念品需20元购买2甲种纪念品5乙种纪念品需45 列出方程组求解
（2） 设购进甲种纪念品m购进乙种纪念品（100m）花资金 w元 利利润单件利润×数量列出w关m函数关系式根 投入资金少766元800元求出m范围根次函数性质求解
24答案 （1）证明：图示
∵ MBME BD ∠ABC 角分线
∴ ∠MBE∠MEB ∠ABE∠EBC
∵ BC 直径
∴ ∠BAC90°
∴ ∠ABE+∠MEB90°
∴ ∠EBC+∠MBE90°
BM ⊙ O 相切
（2）解：∵ ∠ABE∠EBC
∴ ADCD
∴ ADCD
∴ ∠DAC∠DCA
∴ △ADC 等腰三角形
∵ ∠BDC90°
∴ ∠BDN90°
∴ ∠N+∠NGD90°
∵ ∠NGD∠BGF （1） ∠MBC90° NF∥BM
∴ ∠NFB90°
∠N∠EBC∠ABE∠DCA
∴ △NAC 等腰三角形
△ADC △NAC 中
∠N∠DAC∠DCA
∴ △ADC ∽ △NAC
∴ ADNADCACACNC
∴ AC2DC·NC
∵ ADCD
： AC2AD·NC
考点等腰三角形判定性质圆周角定理切线判定相似三角形判定性质角分线定义
解析分析（1）根角分线定义等腰三角形性质出∠MBE∠MEB ∠ABE∠EBC BC直径出∠BAC90°利直角三角形两锐角互余∠ABE+∠MEB90° ∠EBC+∠MBE90°∠MBC 根切线判定定理证
（2） ∠ABE∠EBC ADCD 求出ADCD 继求出△ADC△NAC等腰三角形证明△ADC ∽ △NAC ADNADCACACNC 求出 AC2DC·NC 继出结
25答案 （1）证明：∵△ABC等腰直角三角形
∴ABAC∠BAC90°
∴∠ABC∠ACB45°
∵CD⊥BC
∴∠DCB90°
∴∠DCA90°∠ACB90°45°45°∠ABE
△ABE△ACD中
{ABAC∠ABE∠ACDBECD
∴△ABE≌△ACD（SAS）
（2）证明：∵△ABE≌△ACD
∴∠BAE∠CADAEAD
∵∠EAF45°
∴∠BAE+∠FAC90°∠EAF90°45°45°
∴∠FAD∠FAC+∠CAD∠FAC+∠BAE45°∠EAF
△AEF△ADF中
{AEAD∠EAF∠DAFAFAF
∴△AEF≌△ADF（SAS）
∴EFDF
Rt△CDF中根勾股定理
DF2CD2+CF2
EF2BE2+CF2
（3）解：△ABE逆时针绕点A旋转90°△ACD连结FD
∴∠BAE∠CADBECDAEAD
∵△ABC等腰直角三角形
∠ACB∠B∠ACD45°∠DCF∠DCA+∠ACF45°+45°90°
∵ AB2
∴AC AB2
Rt△ABC中勾股定理 BCAB2+AC2(2)2+(2)22
∵AH⊥BC
∴BHCHAH 12BC1
∴EFEH+FHAHtanα+AH tanβ tanα+ tanβBEBHEH1tanαCFCHHF1tanβ
∵∠EAF45°
∴∠BAE+∠CAF90°∠EAF45°
∴∠DAF∠DAC+∠CAF∠BAE+∠CAF45°∠EAF
△AEF△ADF中
{AEAD∠EAF∠DAFAFAF
∴△AEF≌△ADF（SAS）
∴EFDF
Rt△CDF中 DF2CD2+CF2 EF2BE2+CF2
∴ (tanα+tanβ)2(1tanα)2+(1tanβ)2
整理 2tanα⋅tanβ12tanα+12tanβ
tanα⋅tanβ1tanαtanβ
∴ tanα+tanβ1tanα⋅tanβ
∴ tanα+tanβ1tanα⋅tanβ1tan45°tan(α+β)
∴ tan(α+β)tanα+tanβ1tanα⋅tanβ
考点勾股定理锐角三角函数定义等腰直角三角形三角形全等判定（SAS）
解析分析（1） △ABC等腰直角三角形ABAC∠BAC90°∠ABC∠ACB45° 根垂直定义∠DCB90° 求∠DCA90°∠ACB45°根SAS证△ABE≌△ACD
（2）证明△AEF≌△ADF（SAS）EFDFRt△CDF中根勾股定理DF2CD2+CF2 结
（3）△ABE逆时针绕点A旋转90°△ACD连结FD 利等腰直角三角形解直角三角形求出EFEH+FHAHtanα+AH tanβ tanα+ tanβBEBHEH1tanαCFCHHF1tanβ证明
△AEF≌△ADF（SAS）EFDFRt△CDF中 DF2CD2+CF2 EF2BE2+CF2
(tanα+tanβ)2(1tanα)2+(1tanβ)2 进行整理求出结
26答案 （1）解：∵抛物线yx2+bx+cx轴交点A（10）B（30）
∴ {1b+c09+3b+c0
解： {b2c3
∴b 2 c 3
（2）解：①（1）抛物线函数表达式：yx2 2x3
设点P（mm22m3）点Q（mm）
∵0∴PQm( m22m3)m2+3m+3 (m32)2 + 214
∵1<0
∴ m32 时PQ值值 214
②∵抛物线函数表达式：yx22x3
∴C（03）
∴OBOC3
题意点P（mm22m3）点Q（mm）
∵PQ∥OC
OC菱形边PQOC3
点Q点P方时
∴PQ m2+3m+33 m2+3m0
∴ m(m3)0
解 m0 m3
m0 时点P点O重合菱形存
m3 时点P点B重合时BC 2OC32≠OC 菱形存
点Q点P方时
点Q第三象限图
∵∠COQ45°
根菱形性质∠COQ∠POQ45°点P点A重合
时OA1 ≠ OC3菱形存
点Q第象限图
理菱形存
综存点OCPQ顶点四边形菱形
考点定系数法求二次函数解析式菱形判定二次函数图象点坐标特征二次函数yax^2+bx+c性质
解析分析（1） 点A（10）B（30） 代入抛物线解析式中关bc方程组解出bc值
（2）① （1）知yx2 2x3 设点P（mm22m3）点Q（mm） 求出PQm( m22m3) (m32)2 + 214 根二次函数性质求解
②求出OBOC3设点P（mm22m3）点Q（mm）PQ∥OCOC菱形边PQOC3分二种情况： 点Q点P方时点Q点P方时点Q第三第象限分解答
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湖南省娄底市2021年中考数学试卷
单选题（12题24分）
12021倒数（ ）
A 2021 B －2021 C 12021 D 12021
2列式子正确（ ）
A a3a2a B (a2)3a6 C a3⋅a2a6 D (a2)3a5
32021年5月19日第三届阿里数学竞赛预选赛利结束届赛全球范围吸引约5万名数学爱者参加阿里数学竞赛旨全球范围引领开启关注数学理解数学欣赏数学助力数学科学风尚5万科学记数法表示（ ）
A 05×105 B 5×104 C 50×104 D 5×105
4组数 171058515 中位数众数（ ）
A 55 B 85 C 95 D 105
5图点 EF 矩形 ABCD 角线 BD 直线 BEDF 四边形 AECF （ ）
A 行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形
6图 ABCD 点 EF AC 边已知 ∠CED70° ∠BFC130° ∠B+∠D 度数（ ）
A 40° B 50° C 60° D 70°
7背面分画等腰三角形行四边形矩形圆四张形状相卡片中机抽取张抽图形中心称图形轴称图形概率（ ）
A 14 B 12 C 34 D 1
825m 某三角形三边长 (m3)2+(m7)2 等（ ）
A 2m10 B 102m C 10 D 4
9图直线 yx+b ykx+4 x轴分相交点 A(40) 点 B(20) {x+b>0kx+4>0 解集（ ）
A 4
10图直角坐标系中5半径动圆圆心Ax轴移动⊙ A 直线 ly512x 公点时点A坐标（ ）
A (120) B (130) C (±120) D (±130)
11根反例函数性质联系化学中溶质质量分数求法生活体验等判定列关函数 yxa+x （a常数 a>0x>0 ）性质表述中正确（ ）
①yx增增②yx增减③ 0
12数形结合等思想方法确定二次函数 yx2+2 图象反例函数 y2x 图象交点横坐标 x0 范围（ ）
A 0
13函数 yx1 中变量x取值范围________
14图示扇形中已知 OA20AC30AB40 CD ________
15图 △ABC 中 ABAC2P BC 意点 PE⊥AB 点 EPF⊥AC 点F S△ABC1 PE+PF ________
16已知 t23t+10 t+1t ________
17高速公路种标线减速标线外号鱼骨线作提醒驾驶员开车时减速慢行图行四边形 ABCD 表示鱼骨 AB 行车辆前行方 BE⊥AB∠CBEα B作 AD 垂线垂足 A＇ （A点视觉错觉点） sinα005AB300mm AA＇ ________ mm
18弧度表示角度种单位圆心角弧长半径相等时角1弧度角记作 1rad 已知 α1rad β60° α β 关系 α ________ β
三解答题（8题68分）
19计算： (2021π)0+12+1+(12)12cos45°
20先化简求值： x3x1⋅(12x10x29) 中x 123 中合适数
21读书点亮未广泛课外阅读学搜集汲取知识条重途径学校图书馆计划购进批学生喜欢图书解学生A文史类B科普类C生活类D喜欢程度机抽取部分学生进行问卷调查（学生选中类）数进行分类统计绘制完整统计图表请根图中信息解答列问题：
统计表：
频数
频率
A历史类
50
m
B科普类
90
045
C生活类
n
020
D
20
010
合计
（1）次调查学生________
（2）m ________ n ________
（3）补全条形统计图
22国航天事业捷报频传天舟二号2021年5月29日成功发射震撼心天舟二号面达点A处时P处测A点仰角 ∠DPA 30° AP两点距离6千米铅垂线升75秒达B处时P处测B点仰角 ∠DPB 45° 求天舟二号A处B处均速度（结果精确 1ms 取 3173221414 ）
23庆祝中国产建百周年某校举行礼赞百年奋斗演讲赛准备购买甲乙两种纪念品奖励活动中表现优秀学生已知购买1甲种纪念品2乙种纪念品需20元购买2甲种纪念品5乙种纪念品需45元
（1）求购买甲种纪念品乙种纪念品需少元
（2）购买两种纪念品100投入资金少766元800元问少种购买方案？求出花资金值
24图点A BC 直径⊙ O ∠ABC 角分线 AC 相交点E⊙ O 相交点D延长 CA M连结 BM MBME 点A作 BM 行线 CD 延长线交点N
（1）求证： BM ⊙ O 相切
（2）试出 ACADCN 间数量关系予证明
25图① EF 等腰 Rt△ABC 斜边 BC 两动点 ∠EAF45° CD⊥BC CDBE
（1）求证： △ABE≌△ACD
（2）求证： EF2BE2+CF2
（3）图②作 AH⊥BC 垂足H设 ∠EAHα ∠FAHβ 妨设 AB2 请利（2）结证明： α+β45° 时 tan(α+β)tanα+tanβ1tanα⋅tanβ 成立
26图直角坐标系中二次函数 yx2+bx+c 图象x轴相交点 A(10) 点 B(30) y轴交点C
（1）求 bc 值
（2）点 P(mn) 抛物线动点P作x轴垂线交直线 l yx 点Q
① 0
答案解析部分
单选题
1答案 C
考点理数倒数
解析解答A：倒数身数11选项错误
B：－20212021相反数选项错误
C： 2021×120211 选项正确
D： 2021×(12021)1 选项错误
答案：C
分析积1两数做互倒数判断
2答案 B
考点底数幂法合类项法应幂方
解析解答A a3a2a a3a2 属类项进行加减合A错误
B (a2)3a2×3a6 B正确
C a3⋅a2a3+2a5 C错误
D (a2)3a2×3a6 D错误
答案：B
分析根合类项幂方底数幂法分进行计算然判断
3答案 B
考点科学记数法—表示绝值较数
解析解答解：5万50000 5×104
答案：B
分析科学记数法表示形式a×10n形式中1≤|a|＜10n整数确定n值时原数变成a时数点移动少位n绝值数点移动位数相原数绝值＞1时n正数原数绝值＜1时n负数解答
4答案 C
考点中位数众数
解析解答组数序排列：558101517
中位数： 8+1029 众数：5
答案：C
分析中位数：先数（）进行排列果数数奇数中间数中位数果数数偶数中间两数均数中位数 众数：组数中出现次数数解答
5答案 A
考点行四边形判定矩形性质三角形全等判定（SAS）
解析解答解：题意：
∵ADBC∴∠ADB∠CBD
∴∠FDA∠EBC
∵ADBCBEDF
∴△ADF≌△CBE(SAS)
∴AFEC
∴∠AFD∠CEB∴AFEC
∴ 四边形 AECF 行四边形
答案：A
分析证明△ADF≌△CBE(SAS) 利全等三角形性质出AFEC ∠AFD∠CEB
利错角相等两直线行AF∥CE根组边行相等证四边形 AECF 行四边形
6答案 C
考点行线性质三角形角定理顶角性质
解析解答解：取 EDFB 交点点 G 点 G 作行 CD 线 MN 图：
根题意： ∠CED70° ∠BFC130°
∴∠EFG50°
∴∠EGF180°50°70°60°
∵MNCDAB
∴∠B∠BGN∠D∠DGN
∴∠B+∠D∠BGN+∠DGN∠BGD
∵EDBF 相交点 G
∴∠EGF∠BGD60°
∴∠B+∠D60°
答案：C
分析取 EDFB 交点点 G 点 G 作行 CD 线 MN 利邻补角定义三角形角求出∠EGF60°根行线性质出∠B∠BGN∠D∠DGN
∠B+∠D∠BGN+∠DGN∠BGD 顶角相等∠EGF∠BGD60° 继出结
7答案 B
考点轴称图形中心称中心称图形概率公式
解析解答解： ∵ 分画等腰三角形行四边形矩形圆四张形状相卡片中中轴称图形中心称图形：矩形圆
∴ 现中意抽取张抽图形中心称图形轴称图形概率 2412
答案：B
分析 四张形状相卡片中分画等腰三角形行四边形矩形圆四张形状相卡片中中轴称图形中心称图形：矩形圆然利概率公式计算
8答案 D
考点二次根式性质化简三角形三边关系
解析解答解： ∵23m 三角形三边
∴52
答案：D
分析根三角形三边关系3
考点次函数等式（组）综合应
解析解答解：∵直线 yx+b ykx+4 x轴分相交点 A(40) 点 B(20)
∴观察图象知 {x+b>0kx+4>0 解集 4
分析根图形x＞4时直线yx+b图象x轴方x＜2时直线ykx+4图象x轴方然求出x公部分
10答案 D
考点勾股定理直线圆位置关系相似三角形判定性质
解析解答图示连接 AB B 点作 BCOA
时 B 点坐标表示 (x512x)
∴ OC512|x| BC|x|
Rt△OBC 中 OBBC2+OC2x2+(512x)21312|x|
∵ ⊙A 半径5
∴ AB5
∵ BCOA
∴ △AOB∽△OBC
OABOABOCOBBC
∴ OA1312|x|5512|x|
∴ OA13
∵左右两侧相切
∴A点坐标 (±130)
答案：D
分析连接 AB B 点作 BCOA 时 B 点坐标表示 (x512x) 求出OCBCOB证明△AOB∽△OBC OABOABOCOBBC 代入相应数求出OA左右两侧相切求出点A坐标
11答案 A
考点反例函数图象反例函数性质
解析解答解： yxa+xx+aaa+x1aa+xaa+x+1
∵ a>0x>0
∴着x增 a+x 会增
∴ aa+x 着x增减
时 aa+x 越越 1aa+x 越越
着x增y越越
①正确②错误
∵ a>0x>0
∴ 0
0
综述A选项符合
答案：A
分析利反例函数性质原函数进行变形y1aa+x a>0x>0 着x增 aa+x 越越 1aa+x 越越判断①②a>0x>0 0
考点反例函数图象二次函数yax^2+bx+c图象
解析解答解：直角坐标系中画出两函数图象图：
图知显然 12
y1916+24116y223483
∵y2y1834116548>0
∴ 时反例函数图象二次函数图象方
∴34
分析直角坐标系中画出两函数图象根函数图象进行判断
二填空题
13答案 x≥1
考点二次根式意义条件
解析解答根题意：x1≥0
解：x≥1
答案：x≥1
分析函数表达式二次根式时开方数非负数x1≥0解等式求x范围
14答案 100
考点弧长计算
解析解答解：设扇形圆心角度数n°
∵ OA20AB40
∴扇形 AOB 中 AB2π·OA·n360
解： n360π
∴扇形 COD 中 OCOA+AC20+3050
CD2π·OC·n3602π×50×360π360100
答案：100
分析先求出扇形圆心角度数360π 求出OCOA+AC50利弧长公式计算
15答案 1
考点三角形面积等腰三角形性质
解析解答解：连接 AP 图
∵ PE⊥AB 点 EPF⊥AC 点 F
S△ABCS△APC+S△APB1
S△APC+S△APB12AC⋅PF+12AB⋅PE
∵ABAC2
S△APC+S△APBPF+PE1
∴PE+PF1
答案：1
分析连接 AP S△APC+S△APB12AC⋅PF+12AB⋅PE1求出结
16答案 3
考点代数式求值
解析解答解： t+1tt2t+1tt2+1t
∵ t23t+10
∴ t2+13t
t+1tt2+1t3tt3
答案：3
分析先求出t2+13t t+1tt2+1t 然代入计算
17答案 15
考点行四边形性质解直角三角形应
解析解答解：图示
∵ A＇B⊥AD 四边形 ABCD 行四边形
∴ A＇B⊥BC ∠A＇BC∠ABC+∠A＇BA90°
∵ BE⊥AB
∴ ∠ABE∠ABC+∠α90°
∴ ∠A＇BA∠α
∴ sin∠A＇BAsinαAA＇AB005
∵ AB300mm
∴ AA＇AB·sin∠A＇BA300×00515 mm
答案：15
分析根行四边形性质求出∠A＇BA∠α sin∠A＇BAsinαAA＇AB005 求出结
18答案 ＜
考点角概念
解析解答解：根弧度定义圆心角弧长半径相等时角1弧度角记作 1rad
β60° 时易知三角形等边三角形弦长等半径
∴ 圆心角弧长半径
∴α<β
答案：＜
分析 β60° 时易知三角形等边三角形弦长等半径求出圆心角弧长半径判断
三解答题
19答案 解： (2021π)0+12+1+(12)12cos45°
1+21(2+1)(21)+22×22
1+21+22
2
考点0指数幂运算性质负整数指数幂运算性质分母理化特殊角三角函数值
解析分析根零指数幂分母理化负整数指数幂特殊角三角函数值进行计算
20答案 解： x3x1⋅(12x10x29)
x3x1⋅[x29(x+3)(x3)2x10(x+3)(x3)]
x3x1⋅x22x+1(x+3)(x3)
x3x1⋅(x1)2(x+3)(x3)
x1x+3
∵ x≠1 x≠±3
∴ x2
原式 212+315
考点利分式运算化简求值
解析分析括号通分利分母分式减法法计算进行法运算化简选取分式意义值代入计算
21答案 （1）200
（2）02540
（3）解：补全直方图图示：
考点频数（率）分布表条形统计图
解析解答解：（1）次调查学生：90÷045200（名）
答案：200
（2）m50÷200025n200×0240
分析（1）利B类频数频率调查学生总数
（2）利A类频数调查总数m值利调查总数020n值
（3）利（2）结直接补图
22答案 解：根P处测A点仰角 ∠DPA 30° AP两点距离6千米知
Rt△ADP 中 AP6∠DPA30°
∴AD12AP3 (千米)
∴DPAP2AD233≈3×17325196
P处测B点仰角 ∠DPB 45°
∴Rt△BDP 等腰直角三角形
∴BDDP
∴ABBDAD2196 （千米）
∴ 天舟二号A处B处均速度： vst219675≈29ms
答：天舟二号A处B处均速度 29ms
考点解直角三角形应﹣仰角俯角问题
解析分析利含30°角直角三角形性质出 AD12AP3 (千米)勾股定理求出DP长求出△BDP等腰直角三角形BDDPABBDAD求出AB长路程÷时间均速度计算结
23答案 （1）解：设购进甲种纪念品需x元乙种纪念品需y元
根题意： {x+2y202x+5y45
解： {x10y5
答：购进甲种纪念品需10元乙种纪念品需5元
（2）解：设购进甲种纪念品m购进乙种纪念品（100m）花资金 w 元
∴ w10m+5(100m)5m+500
根题意： {5m+500≥7665m+500≤800
解：532≤m≤60
∵m整数
∴m54555657585960
∴7种进货方案
∵5>0
∴ w m增增
∴m54时 w 值值770元
考点次函数实际应二元次方程组应差倍分问题
解析分析（1）设购进甲种纪念品需x元乙种纪念品需y元根 购买1甲种纪念品2乙种纪念品需20元购买2甲种纪念品5乙种纪念品需45 列出方程组求解
（2） 设购进甲种纪念品m购进乙种纪念品（100m）花资金 w元 利利润单件利润×数量列出w关m函数关系式根 投入资金少766元800元求出m范围根次函数性质求解
24答案 （1）证明：图示
∵ MBME BD ∠ABC 角分线
∴ ∠MBE∠MEB ∠ABE∠EBC
∵ BC 直径
∴ ∠BAC90°
∴ ∠ABE+∠MEB90°
∴ ∠EBC+∠MBE90°
BM ⊙ O 相切
（2）解：∵ ∠ABE∠EBC
∴ ADCD
∴ ADCD
∴ ∠DAC∠DCA
∴ △ADC 等腰三角形
∵ ∠BDC90°
∴ ∠BDN90°
∴ ∠N+∠NGD90°
∵ ∠NGD∠BGF （1） ∠MBC90° NF∥BM
∴ ∠NFB90°
∠N∠EBC∠ABE∠DCA
∴ △NAC 等腰三角形
△ADC △NAC 中
∠N∠DAC∠DCA
∴ △ADC ∽ △NAC
∴ ADNADCACACNC
∴ AC2DC·NC
∵ ADCD
： AC2AD·NC
考点等腰三角形判定性质圆周角定理切线判定相似三角形判定性质角分线定义
解析分析（1）根角分线定义等腰三角形性质出∠MBE∠MEB ∠ABE∠EBC BC直径出∠BAC90°利直角三角形两锐角互余∠ABE+∠MEB90° ∠EBC+∠MBE90°∠MBC 根切线判定定理证
（2） ∠ABE∠EBC ADCD 求出ADCD 继求出△ADC△NAC等腰三角形证明△ADC ∽ △NAC ADNADCACACNC 求出 AC2DC·NC 继出结
25答案 （1）证明：∵△ABC等腰直角三角形
∴ABAC∠BAC90°
∴∠ABC∠ACB45°
∵CD⊥BC
∴∠DCB90°
∴∠DCA90°∠ACB90°45°45°∠ABE
△ABE△ACD中
{ABAC∠ABE∠ACDBECD
∴△ABE≌△ACD（SAS）
（2）证明：∵△ABE≌△ACD
∴∠BAE∠CADAEAD
∵∠EAF45°
∴∠BAE+∠FAC90°∠EAF90°45°45°
∴∠FAD∠FAC+∠CAD∠FAC+∠BAE45°∠EAF
△AEF△ADF中
{AEAD∠EAF∠DAFAFAF
∴△AEF≌△ADF（SAS）
∴EFDF
Rt△CDF中根勾股定理
DF2CD2+CF2
EF2BE2+CF2
（3）解：△ABE逆时针绕点A旋转90°△ACD连结FD
∴∠BAE∠CADBECDAEAD
∵△ABC等腰直角三角形
∠ACB∠B∠ACD45°∠DCF∠DCA+∠ACF45°+45°90°
∵ AB2
∴AC AB2
Rt△ABC中勾股定理 BCAB2+AC2(2)2+(2)22
∵AH⊥BC
∴BHCHAH 12BC1
∴EFEH+FHAHtanα+AH tanβ tanα+ tanβBEBHEH1tanαCFCHHF1tanβ
∵∠EAF45°
∴∠BAE+∠CAF90°∠EAF45°
∴∠DAF∠DAC+∠CAF∠BAE+∠CAF45°∠EAF
△AEF△ADF中
{AEAD∠EAF∠DAFAFAF
∴△AEF≌△ADF（SAS）
∴EFDF
Rt△CDF中 DF2CD2+CF2 EF2BE2+CF2
∴ (tanα+tanβ)2(1tanα)2+(1tanβ)2
整理 2tanα⋅tanβ12tanα+12tanβ
tanα⋅tanβ1tanαtanβ
∴ tanα+tanβ1tanα⋅tanβ
∴ tanα+tanβ1tanα⋅tanβ1tan45°tan(α+β)
∴ tan(α+β)tanα+tanβ1tanα⋅tanβ
考点勾股定理锐角三角函数定义等腰直角三角形三角形全等判定（SAS）
解析分析（1） △ABC等腰直角三角形ABAC∠BAC90°∠ABC∠ACB45° 根垂直定义∠DCB90° 求∠DCA90°∠ACB45°根SAS证△ABE≌△ACD
（2）证明△AEF≌△ADF（SAS）EFDFRt△CDF中根勾股定理DF2CD2+CF2 结
（3）△ABE逆时针绕点A旋转90°△ACD连结FD 利等腰直角三角形解直角三角形求出EFEH+FHAHtanα+AH tanβ tanα+ tanβBEBHEH1tanαCFCHHF1tanβ证明
△AEF≌△ADF（SAS）EFDFRt△CDF中 DF2CD2+CF2 EF2BE2+CF2
(tanα+tanβ)2(1tanα)2+(1tanβ)2 进行整理求出结
26答案 （1）解：∵抛物线yx2+bx+cx轴交点A（10）B（30）
∴ {1b+c09+3b+c0
解： {b2c3
∴b 2 c 3
（2）解：①（1）抛物线函数表达式：yx2 2x3
设点P（mm22m3）点Q（mm）
∵0
∵1<0
∴ m32 时PQ值值 214
②∵抛物线函数表达式：yx22x3
∴C（03）
∴OBOC3
题意点P（mm22m3）点Q（mm）
∵PQ∥OC
OC菱形边PQOC3
点Q点P方时
∴PQ m2+3m+33 m2+3m0
∴ m(m3)0
解 m0 m3
m0 时点P点O重合菱形存
m3 时点P点B重合时BC 2OC32≠OC 菱形存
点Q点P方时
点Q第三象限图
∵∠COQ45°
根菱形性质∠COQ∠POQ45°点P点A重合
时OA1 ≠ OC3菱形存
点Q第象限图
理菱形存
综存点OCPQ顶点四边形菱形
考点定系数法求二次函数解析式菱形判定二次函数图象点坐标特征二次函数yax^2+bx+c性质
解析分析（1） 点A（10）B（30） 代入抛物线解析式中关bc方程组解出bc值
（2）① （1）知yx2 2x3 设点P（mm22m3）点Q（mm） 求出PQm( m22m3) (m32)2 + 214 根二次函数性质求解
②求出OBOC3设点P（mm22m3）点Q（mm）PQ∥OCOC菱形边PQOC3分二种情况： 点Q点P方时点Q点P方时点Q第三第象限分解答
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