北京市2021年中考数学试卷
单选题（8题16分）
1图某体展开图该体（ ）
A 长方体 B 圆柱 C 圆锥 D 三棱柱
2十八坚持教育扶贫作脱贫攻坚优先务． 20142018 年中央财政累计投入全面改善贫困区义务教育薄弱学校基办学条件专项补助资金1692亿元169200000000科学记数法表示应（ ）
A 01692×1012 B 1692×1012 C 1692×1011 D 1692×1010
3图点 O 直线 AB OC⊥OD ． ∠AOC120° ∠BOD （ ）
A 30° B 40° C 50° D 60°
4列边形中角（ ）
A B C D
5实数 ab 数轴应点位置图示列结中正确（ ）
A a>2 B |a|>b C a+b>0 D ba<0
6时抛掷两枚质均匀硬币枚硬币正面､枚硬币反面概率（ ）
A 14 B 13 C 12 D 23
7已知 4321849442193645220254622116 ． n 整数 n<2021A 43 B 44 C 45 D 46
8图绳子围成周长 10m 矩形记矩形边长 xm 邻边长 ym 矩形面积 Sm2 ． x 定范围变化时 y S x 变化变化 y xS x 满足函数关系分（ ）
A 次函数关系二次函数关系 B 反例函数关系二次函数关系
C 次函数关系反例函数关系 D 反例函数关系次函数关系
二填空题（8题9分）
9 x7 实数范围意义实数 x 取值范围________．
10分解式： 5x25y2 ________．
11方程 2x+31x 解________．
12面直角坐标系 xOy 中反例函数 ykx(k≠0) 图象点 A(12) 点 B(1m) m 值________．
13图 PAPB ⊙O 切线 AB 切点． ∠P50° ∠AOB ________．
14图矩形 ABCD 中点 EF 分 BCAD AFEC ．需添加条件证明四边形 AECF 菱形条件________（写出）．
15甲､乙两组数表示：
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲､乙两组数方差分 s甲2s乙2 s甲2 ________ s乙2 （填＞＜＝）．
16某企业 AB 两条加工相原材料生产线．天 A 生产线加工 a 吨原材料加工时间 (4a+1) 时天 B 生产线加工 b 吨原材料加工时间 (2b+3) 时．第天该企业5吨原材料分配 AB 两条生产线两条生产线天完成加工加工时间相分配 A 生产线吨数分配 B 生产线吨数________．第二天开工前该企业第天分配结果分配5吨原材料 A 生产线分配 m 吨原材料 B 生产线分配 n 吨原材料．两条生产线天加工完分配原材料加工时间相 mn 值________．
三解答题（12题111分）
17计算： 2sin60°+12+|5|(π+2)0 ．
18解等式组： {4x5>x+13x4219已知 a2+2b210 求代数式 (ab)2+b(2a+b) 值．
20淮南子･天文训中记载种确定东西方方法意：日出时面点 A 处立根杆面着杆影子方取点 B BA 两点间距离10步（步古代种长度单位）点 B 处立根杆日落时面着点 B 处杆影子方取点 C CB 两点间距离10步点 C 处立根杆．取 CA 中点 D 直线 DB 表示方东西方．
（1）述方法中杆面影子直线点 ABC 位置图示．直尺圆规图中作 CA 中点 D （保留作图痕迹）
（2）图中确定直线 DB 表示方东西方．根南北方东西方互相垂直判断直线 CA 表示方南北方完成证明．
证明： △ABC 中 BA ▲ D CA 中点
∴CA⊥DB ▲ （填推理）．
∵直线 DB 表示方东西方
∴直线 CA 表示方南北方．
21已知关 x 元二次方程 x24mx+3m20 ．
（1）求证：该方程总两实数根
（2） m>0 该方程两实数根差2求 m 值．
22图四边形 ABCD 中 ∠ACB∠CAD90° 点 E BC AEDCEF⊥AB 垂足 F ．
（1）求证：四边形 AECD 行四边形
（2） AE 分 ∠BACBE5cosB45 求 BF AD 长．
23面直角坐标系 xOy 中次函数 ykx+b(k≠0) 图象函数 y12x 图象移1单位长度．
（1）求次函数解析式
（2） x>2 时 x 值函数 ymx(m≠0) 值次函数 ykx+b 值直接写出 m 取值范围．
24图 ⊙O △ABC 外接圆 AD ⊙O 直径 AD⊥BC 点 E ．
（1）求证： ∠BAD∠CAD
（2）连接 BO 延长交 AC 点 F 交 ⊙O 点 G 连接 GC ． ⊙O 半径5 OE3 求 GC OF 长．
25解甲､乙两座城市邮政企业4月份收入情况两座城市邮政企业中机抽取25家邮政企业获4月份收入（单位：百万元）数数进行整理､描述分析．面出部分信息．
a ．甲城市邮政企业4月份收入数频数分布直方图（数分成5组： 6≤x<88≤x<1010≤x<1212≤x<1414≤x≤16 ）：
b ．甲城市邮政企业4月份收入数 10≤x<12 组：100100101109114115116118
c ．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入数均数､中位数：
均数
中位数
甲城市
108
m
乙城市
110
115
根信息回答列问题：
（1）写出表中 m 值
（2）甲城市抽取邮政企业中记4月份收入高均收入邮政企业数 p1 ．乙城市抽取邮政企业中记4月份收入高均收入邮政企业数 p2 ．较 p1p2 说明理
（3）乙城市200家邮政企业估计乙城市邮政企业4月份总收入（直接写出结果）．
26面直角坐标系 xOy 中点 (1m) 点 (3n) 抛物线 yax2+bx(a>0) ．
（1） m3n15 求该抛物线称轴
（2）已知点 (1y1)(2y2)(4y3) 该抛物线． mn<0 较 y1y2y3 说明理．
27图 △ABC 中 ABAC∠BACαM BC 中点点 D MC 点 A 中心线段 AD 时针旋转 α 线段 AE 连接 BEDE ．
（1）较 ∠BAE ∠CAD 等式表示线段 BEBMMD 间数量关系证明
（2）点 M 作 AB 垂线交 DE 点 N 等式表示线段 NE ND 数量关系证明．
28面直角坐标系 xOy 中 ⊙O 半径1点 A 线段 BC 出定义：线段 BC 绕点 A 旋转 ⊙O 弦 B＇C＇ （ B＇C＇ 分 BC 应点）称线段 BC ⊙O 点 A 中心关联线段．
（1）图点 AB1C1B2C2B3C3 横､坐标整数．线段 B1C1B2C2B3C3 中 ⊙O 点 A 中心关联线段________
（2）△ABC 边长1等边三角形点 A(0t) 中 t≠0 ． BC ⊙O 点 A 中心关联线段求 t 值
（3） △ABC 中 AB1AC2 ． BC ⊙O 点 A 中心关联线段直接写出 OA 值值相应 BC 长．
答案解析部分
单选题
1答案 B
考点圆柱展开图
解析解答解：图形该体圆柱
答案：B．
分析利圆柱展开图判断
2答案 C
考点科学记数法—表示绝值较数
解析解答解：题意：169200000000科学记数法表示应 1692×1011
答案：C．
分析利科学记数法定义书写求求解
3答案 A
考点角运算
解析解答解：∵点 O 直线 AB OC⊥OD
∴ ∠AOC+∠COB180° ∠COD90°
∵ ∠AOC120°
∴ ∠COB60°
∴ ∠BOD90°∠COB30°
答案：A．
分析先利角求出∠BOC度数利直角求出∠BOD
4答案 D
考点正边形性质
解析解答解：A三角形角180°
B四边形角360°
C五边形角540°
D六边形角720°
∴角六边形
答案：D．
分析利边形角公式分求解较
5答案 B
考点实数数轴表示
解析解答解：数轴题意： 3∴ |a|>ba+b<0ba>0
∴B选项符合题意
答案：B．
分析结合数轴判断出ab逐项判断
6答案 C
考点列表法树状图法
解析解答解：题意：
∴枚硬币正面､枚硬币反面概率 P2412
答案：C．
分析利概率公式求解
7答案 B
考点估算理数
解析解答解：∵ 4321849442193645220254622116
∴ 442<2021<452
∴ 44<2021<45
∴ n44
答案：B．
分析根4321849442193645220254622116 442<2021<452 求出n值
8答案 A
考点函数解析式
解析解答解：题意：
2(x+y)10 整理： yx+5(0Sxyx(x+5)x2+5x(0∴yx成次函数关系Sx成二次函数关系
答案：A．
分析矩形周长2（x+y）10x表示y代入Sxy中S关x函数关系式化简出答案
二填空题
9答案 x≥7
考点二次根式意义条件
解析解答解：题意：
x7≥0
解： x≥7
答案 x≥7 ．
分析根二次根式意义条件列出等式求解
10答案 5(x+y)(xy)
考点提公式法公式法综合运
解析解答解： 5x25y25(x2y2)5(x+y)(xy)
答案 5(x+y)(xy) ．
分析先提取公式5利方差公式式分解
11答案 x3
考点解分式方程
解析解答解： 2x+31x
2xx+3
∴ x3
检验： x3 原方程解．
答案：x3．
分析先分母利整式方程解法求解
12答案 2
考点反例函数图象点坐标特征
解析解答解：点 A(12) 代入反例函数 ykx(k≠0) ： k2
∴ 1×m2 解： m2
答案2．
分析点A坐标代入反例求出k值B值代入计算求出m值
13答案 130°
考点切线长定理
解析解答解：∵ PAPB ⊙O 切线
∴ ∠PAO∠PBO90°
∴四边形角： ∠AOB+∠P180°
∵ ∠P50°
∴ ∠AOB130°
答案130°．
分析根切线性质∠PAO∠PBO90° 利四边形角求解
14答案 AFAE （答案唯）
考点菱形判定
解析解答解：∵四边形 ABCD 矩形
∴ ADBC
∵ AFEC
∴四边形 AECF 行四边形
添加条件菱形添加 AFAE AECECECFAFCF 理：组邻边相等行四边形菱形
答案 AFAE （答案唯）．
分析利菱形判定方法求解
15答案 ＞
考点方差
解析解答解：题意：
x甲11+12+13+14+15513 x乙12+12+13+14+14513
∴ s甲2[(1113)2+(1213)2+(1313)2+(1413)2+(1513)2]52
s乙2[(1213)2+(1213)2+(1313)2+(1413)2+(1413)2]545
∴ 2>45
∴ s甲2>s乙2
答案＞．
分析利方差计算方法求解
16答案 2∶312
考点元次方程实际应工程问题
解析解答解：设分配 A 生产线吨数x吨分配B生产线吨数（5x）吨题意：
4x+12(5x)+3 解： x2
∴分配B生产线吨数523（吨）
∴分配 A 生产线吨数分配 B 生产线吨数2∶3
∴第二天开工时 A 生产线分配 (2+m) 吨原材料 B 生产线分配 (3+n) 吨原材料
∵加工时间相
∴ 4(2+m)+12(3+n)+3
解： m12n
∴ mn12
答案 23 12 ．
分析设分配 A 生产线吨数x吨分配B生产线吨数（5x）吨根题意列出方程求出x值根第二天开工时 A 生产线分配 (2+m) 吨原材料 B 生产线分配 (3+n) 吨原材料列出方程求解
三解答题
17答案 解：原式 2×32+23+5133+4 ．
考点实数运算
解析分析先利特殊角三角函数值二次根式性质0指数幂性质化简计算
18答案 解： {4x5>x+1①3x42①： x>2
②： x<4
∴原等式组解集 2考点解元次等式组
解析分析利等式性质求解等式组方法求解
19答案 解： (ab)2+b(2a+b)
a22ab+b2+2ab+b2
a2+2b2
∵ a2+2b210
∴ a2+2b21
代入原式：原式 1 ．
考点利整式混合运算化简求值
解析分析先利整式混合运算化简代入计算
20答案 （1）解：图示：
（2）证明： △ABC 中 BABC D CA 中点
∴CA⊥DB （等腰三角形三线合）（填推理）．
∵直线 DB 表示方东西方
∴直线 CA 表示方南北方
答案 BC 等腰三角形三线合．
考点等腰三角形性质作图线段垂直分线
解析分析（1）作BD垂直ACD
（2）利等腰三角形三线合性质解决问题
21答案 （1）证明：题意： a1b4mc3m2
∴ Δb24ac16m24×1×3m24m2
∵ m2≥0
∴ Δ4m2≥0
∴该方程总两实数根
（2）解：设关 x 元二次方程 x24mx+3m20 两实数根 x1x2 ： x1+x24mx1⋅x23m2
∵ |x1x2|2
∴ (x1x2)2(x1+x2)24x1x216m212m24
解： m±1
∵ m>0
∴ m1 ．
考点元二次方程根判式应
解析分析（1）利元二次方程根判式求解
（2）利元二次方程根系数关系求解
22答案 （1）证明：∵ ∠ACB∠CAD90°
∴AD∥CE
∵ AEDC
∴四边形 AECD 行四边形
（2）解：（1）四边形 AECD 行四边形
∴ CEAD
∵ EF⊥AB AE 分 ∠BAC ∠ACB90°
∴ EFCE
∴EFCEAD
∵ BE5cosB45
∴ BFBE⋅cosB5×454
∴ EFBE2BF23
∴ ADEF3 ．
考点行四边形判定性质
解析分析（1）证出ADCEAEDC出结
（2）先锐角三角函数定义求出BF4勾股定理求出EF3然角分线性质ECEF3行四边形性质求解
23答案 （1）解：次函数 ykx+b(k≠0) 图象函数 y12x 图象移1单位长度：次函数解析式 y12x1
（2）题意先假设函数 ymx(m≠0) 次函数 ykx+b 交点横坐标 2 （1）：
2m12×(2)1 解： m1
函数图象图示：
∴ x>2 时 x 值函数 ymx(m≠0) 值次函数 ykx+b 值时根次函数k表示直线倾斜程度 m12 时符合题意 m<12 时函数 ymx(m≠0) 次函数 ykx+b 交点第象限时符合题意
综述： 12≤m≤1 ．
考点定系数法求次函数解析式两次函数图象相交行问题移性质
解析分析（1）根移规律求解
（2）根点（22）结合图象求
24答案 （1）证明：∵ AD ⊙O 直径 AD⊥BC
∴ BDCD
∴ ∠BAD∠CAD
（2）解：题意图示：
（1）点EBC中点
∵点OBG中点
∴ OE12CGOECG
∴ △AOF∽△CGF
∴ OACGOFGF
∵ OE3
∴ CG6
∵ ⊙O 半径5
∴ OAOG5
∴ 56OFGF
∴ OF511OG2511 ．
考点圆心角弧弦关系相似三角形判定性质
解析分析（1）根垂径定理弧BD弧CD根圆周角定理证明结
（2）根勾股定理求出BE根垂径定理求出BC根圆周角定理∠BCG90° 根勾股定理求出GC证明△AOF∽△CGF 利相似三角形性质求出OF
25答案 （1）解：题意m甲城市中位数总25家邮政企业第13家邮政企业收入作该数中位数
∵ 6≤x<8 3家 8≤x<10 7家 10≤x<12 8家
∴中位数落 10≤x<12
∴ m101
（2）（1）：甲城市中位数低均数 p1 12乙城市中位数高均数 p2 少13
∴ p1
（3）题意：
200×112200 （百万元）
答：乙城市邮政企业4月份总收入2200百万元．
考点频数（率）分布直方图分析数集中趋势
解析分析（1）根中位数意义求出甲城市抽样25家邮政企业4月份营业额排列出处第13位数
（2）根p1p2表示意义结合两城市抽取邮政企业4月份营业额具体数出答案
（3）根乙城市邮政企业4月份营业额均数企业数量进行计算
26答案 （1）解： m3n15 时点 (13) 点 (315) 代入二次函数 yax2+bx(a>0) ：
{a+b39a+3b15 解： {a1b2
∴抛物线解析式 yx2+2x
∴抛物线称轴 xb2a1
（2）题意：抛物线 yax2+bx(a>0) 始终定点 (00) mn<0 ：
① m>0n<0 时抛物线 yax2+bx(a>0) 始终定点 (00) 时抛物线开口 a<0 a>0 矛盾
② m<0n>0 时
∵抛物线 yax2+bx(a>0) 始终定点 (00)
∴时抛物线称轴范围 12∵点 (1y1)(2y2)(4y3) 该抛物线
∴离抛物线称轴距离范围分 32∵ a>0 开口
∴抛物线性质知离称轴越越
∴ y2考点定系数法求二次函数解析式二次函数yax^2+bx+c性质
解析分析（1）点（13）（315）代入解析式求解
（2）分类讨b正负情况根mn<0称轴y轴直线x12间根点称轴距离判断y值
27答案 （1）证明：∵ ∠BAC∠EADα
∴ ∠BAE+∠BAD∠BAD+∠CADα
∴ ∠BAE∠CAD
旋转性质 AEAD
∵ ABAC
∴ △ABE≌△ACD(SAS)
∴ BECD
∵点MBC中点
∴ BMCM
∵ CMMD+CDMD+BE
∴ BMBE+MD
（2）证明： DNEN 理：
点E作EH⊥AB垂足点Q交AB点H图示：
∴ ∠EQB∠HQB90°
（1） △ABE≌△ACD
∴ ∠ABE∠ACD BECD
∵ ABAC
∴ ∠ABC∠C∠ABE
∵ BQBQ
∴ △BQE≌△BQH(ASA)
∴ BHBECD
∵ MBMC
∴ HMDM
∵ MN⊥AB
∴ MNEH
∴ △DMN∽△DHE
∴ DMDHDNDE12
∴ DNEN ．
考点相似三角形判定性质三角形综合
解析分析（1）∠DAE∠BAC∠BAE∠CAD 然SAS证明△ABE≌△ACD
（2）作EH垂直AB交BCH证明△ABE≌△ACDABAC 证明△DMN∽△DHE 利相似性质列出例式求解
28答案 （1）B2C2
（2）题意： BC ⊙O 点 A 中心关联线段时 △AB＇C＇ 等边三角形边长1点Ay轴正半轴时图示：
设 B＇C＇ y轴交点D连接 OB＇ 易 B＇C＇⊥y 轴
∴ B＇DDC＇12
∴ ODOB＇2B＇D232 ADAB＇2B＇D232
∴ OA3
∴ t3
点Ay轴正半轴时图示：
理时 OA3
∴ t3
（3） BC ⊙O 点 A 中心关联线段知 B＇C＇ ⊙O AB＇AB1AC＇AC2 B＇ 圆心1半径作圆然点A圆心2半径作圆点A运动轨迹图示：
运动轨迹点A ⊙O 时值1时 AC＇ ⊙O 直径
∴ ∠AB＇C＇90°
∴ ∠AC＇B＇30°
∴ BCB＇C＇AC＇⋅cos30°3
情况知点 AB＇O 三点线时OA值值2图示：
连接 OC＇B＇C＇ 点 C＇ 作 C＇P⊥OA 点P
∴ OC＇1AC＇OA2
设 OPx AP2x
∴勾股定理： C＇P2AC＇2AP2OC＇2OP2 22(2x)21x2
解： x14
∴ C＇P154
∴ B＇POB＇OP34
Rt△B＇PC＇ 中 B＇C＇B＇P2+C＇P262
∴ BC62
综述： OAmin1 时时 BC3 OAmax2 时时 BC62 ．
考点圆综合题定义新运算圆动点问题
解析解答解：（1）题意：
通观察图象：线段 B2C2 绕点A旋转90° ⊙O 关联线段 B1C1B3C3 绕点A进行旋转
答案 B2C2
分析（1）利旋转性质点A圆点距离范围结合图形判断求出答案
（2）利旋转性质关联线段定义等边三角形性质求出B＇C＇位置求出t值
（3）利旋转性质关联线段定义知四边形AB＇OC＇边长利四边形稳定性画出OA时图形利等腰三角形性质勾股定理求出答案
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北京市2021年中考数学试卷
单选题（8题16分）
1图某体展开图该体（ ）
A 长方体 B 圆柱 C 圆锥 D 三棱柱
2十八坚持教育扶贫作脱贫攻坚优先务． 20142018 年中央财政累计投入全面改善贫困区义务教育薄弱学校基办学条件专项补助资金1692亿元169200000000科学记数法表示应（ ）
A 01692×1012 B 1692×1012 C 1692×1011 D 1692×1010
3图点 O 直线 AB OC⊥OD ． ∠AOC120° ∠BOD （ ）
A 30° B 40° C 50° D 60°
4列边形中角（ ）
A B C D
5实数 ab 数轴应点位置图示列结中正确（ ）
A a>2 B |a|>b C a+b>0 D ba<0
6时抛掷两枚质均匀硬币枚硬币正面､枚硬币反面概率（ ）
A 14 B 13 C 12 D 23
7已知 4321849442193645220254622116 ． n 整数 n<2021
8图绳子围成周长 10m 矩形记矩形边长 xm 邻边长 ym 矩形面积 Sm2 ． x 定范围变化时 y S x 变化变化 y xS x 满足函数关系分（ ）
A 次函数关系二次函数关系 B 反例函数关系二次函数关系
C 次函数关系反例函数关系 D 反例函数关系次函数关系
二填空题（8题9分）
9 x7 实数范围意义实数 x 取值范围________．
10分解式： 5x25y2 ________．
11方程 2x+31x 解________．
12面直角坐标系 xOy 中反例函数 ykx(k≠0) 图象点 A(12) 点 B(1m) m 值________．
13图 PAPB ⊙O 切线 AB 切点． ∠P50° ∠AOB ________．
14图矩形 ABCD 中点 EF 分 BCAD AFEC ．需添加条件证明四边形 AECF 菱形条件________（写出）．
15甲､乙两组数表示：
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲､乙两组数方差分 s甲2s乙2 s甲2 ________ s乙2 （填＞＜＝）．
16某企业 AB 两条加工相原材料生产线．天 A 生产线加工 a 吨原材料加工时间 (4a+1) 时天 B 生产线加工 b 吨原材料加工时间 (2b+3) 时．第天该企业5吨原材料分配 AB 两条生产线两条生产线天完成加工加工时间相分配 A 生产线吨数分配 B 生产线吨数________．第二天开工前该企业第天分配结果分配5吨原材料 A 生产线分配 m 吨原材料 B 生产线分配 n 吨原材料．两条生产线天加工完分配原材料加工时间相 mn 值________．
三解答题（12题111分）
17计算： 2sin60°+12+|5|(π+2)0 ．
18解等式组： {4x5>x+13x42
20淮南子･天文训中记载种确定东西方方法意：日出时面点 A 处立根杆面着杆影子方取点 B BA 两点间距离10步（步古代种长度单位）点 B 处立根杆日落时面着点 B 处杆影子方取点 C CB 两点间距离10步点 C 处立根杆．取 CA 中点 D 直线 DB 表示方东西方．
（1）述方法中杆面影子直线点 ABC 位置图示．直尺圆规图中作 CA 中点 D （保留作图痕迹）
（2）图中确定直线 DB 表示方东西方．根南北方东西方互相垂直判断直线 CA 表示方南北方完成证明．
证明： △ABC 中 BA ▲ D CA 中点
∴CA⊥DB ▲ （填推理）．
∵直线 DB 表示方东西方
∴直线 CA 表示方南北方．
21已知关 x 元二次方程 x24mx+3m20 ．
（1）求证：该方程总两实数根
（2） m>0 该方程两实数根差2求 m 值．
22图四边形 ABCD 中 ∠ACB∠CAD90° 点 E BC AEDCEF⊥AB 垂足 F ．
（1）求证：四边形 AECD 行四边形
（2） AE 分 ∠BACBE5cosB45 求 BF AD 长．
23面直角坐标系 xOy 中次函数 ykx+b(k≠0) 图象函数 y12x 图象移1单位长度．
（1）求次函数解析式
（2） x>2 时 x 值函数 ymx(m≠0) 值次函数 ykx+b 值直接写出 m 取值范围．
24图 ⊙O △ABC 外接圆 AD ⊙O 直径 AD⊥BC 点 E ．
（1）求证： ∠BAD∠CAD
（2）连接 BO 延长交 AC 点 F 交 ⊙O 点 G 连接 GC ． ⊙O 半径5 OE3 求 GC OF 长．
25解甲､乙两座城市邮政企业4月份收入情况两座城市邮政企业中机抽取25家邮政企业获4月份收入（单位：百万元）数数进行整理､描述分析．面出部分信息．
a ．甲城市邮政企业4月份收入数频数分布直方图（数分成5组： 6≤x<88≤x<1010≤x<1212≤x<1414≤x≤16 ）：
b ．甲城市邮政企业4月份收入数 10≤x<12 组：100100101109114115116118
c ．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入数均数､中位数：
均数
中位数
甲城市
108
m
乙城市
110
115
根信息回答列问题：
（1）写出表中 m 值
（2）甲城市抽取邮政企业中记4月份收入高均收入邮政企业数 p1 ．乙城市抽取邮政企业中记4月份收入高均收入邮政企业数 p2 ．较 p1p2 说明理
（3）乙城市200家邮政企业估计乙城市邮政企业4月份总收入（直接写出结果）．
26面直角坐标系 xOy 中点 (1m) 点 (3n) 抛物线 yax2+bx(a>0) ．
（1） m3n15 求该抛物线称轴
（2）已知点 (1y1)(2y2)(4y3) 该抛物线． mn<0 较 y1y2y3 说明理．
27图 △ABC 中 ABAC∠BACαM BC 中点点 D MC 点 A 中心线段 AD 时针旋转 α 线段 AE 连接 BEDE ．
（1）较 ∠BAE ∠CAD 等式表示线段 BEBMMD 间数量关系证明
（2）点 M 作 AB 垂线交 DE 点 N 等式表示线段 NE ND 数量关系证明．
28面直角坐标系 xOy 中 ⊙O 半径1点 A 线段 BC 出定义：线段 BC 绕点 A 旋转 ⊙O 弦 B＇C＇ （ B＇C＇ 分 BC 应点）称线段 BC ⊙O 点 A 中心关联线段．
（1）图点 AB1C1B2C2B3C3 横､坐标整数．线段 B1C1B2C2B3C3 中 ⊙O 点 A 中心关联线段________
（2）△ABC 边长1等边三角形点 A(0t) 中 t≠0 ． BC ⊙O 点 A 中心关联线段求 t 值
（3） △ABC 中 AB1AC2 ． BC ⊙O 点 A 中心关联线段直接写出 OA 值值相应 BC 长．
答案解析部分
单选题
1答案 B
考点圆柱展开图
解析解答解：图形该体圆柱
答案：B．
分析利圆柱展开图判断
2答案 C
考点科学记数法—表示绝值较数
解析解答解：题意：169200000000科学记数法表示应 1692×1011
答案：C．
分析利科学记数法定义书写求求解
3答案 A
考点角运算
解析解答解：∵点 O 直线 AB OC⊥OD
∴ ∠AOC+∠COB180° ∠COD90°
∵ ∠AOC120°
∴ ∠COB60°
∴ ∠BOD90°∠COB30°
答案：A．
分析先利角求出∠BOC度数利直角求出∠BOD
4答案 D
考点正边形性质
解析解答解：A三角形角180°
B四边形角360°
C五边形角540°
D六边形角720°
∴角六边形
答案：D．
分析利边形角公式分求解较
5答案 B
考点实数数轴表示
解析解答解：数轴题意： 3
∴B选项符合题意
答案：B．
分析结合数轴判断出ab逐项判断
6答案 C
考点列表法树状图法
解析解答解：题意：
∴枚硬币正面､枚硬币反面概率 P2412
答案：C．
分析利概率公式求解
7答案 B
考点估算理数
解析解答解：∵ 4321849442193645220254622116
∴ 442<2021<452
∴ 44<2021<45
∴ n44
答案：B．
分析根4321849442193645220254622116 442<2021<452 求出n值
8答案 A
考点函数解析式
解析解答解：题意：
2(x+y)10 整理： yx+5(0
答案：A．
分析矩形周长2（x+y）10x表示y代入Sxy中S关x函数关系式化简出答案
二填空题
9答案 x≥7
考点二次根式意义条件
解析解答解：题意：
x7≥0
解： x≥7
答案 x≥7 ．
分析根二次根式意义条件列出等式求解
10答案 5(x+y)(xy)
考点提公式法公式法综合运
解析解答解： 5x25y25(x2y2)5(x+y)(xy)
答案 5(x+y)(xy) ．
分析先提取公式5利方差公式式分解
11答案 x3
考点解分式方程
解析解答解： 2x+31x
2xx+3
∴ x3
检验： x3 原方程解．
答案：x3．
分析先分母利整式方程解法求解
12答案 2
考点反例函数图象点坐标特征
解析解答解：点 A(12) 代入反例函数 ykx(k≠0) ： k2
∴ 1×m2 解： m2
答案2．
分析点A坐标代入反例求出k值B值代入计算求出m值
13答案 130°
考点切线长定理
解析解答解：∵ PAPB ⊙O 切线
∴ ∠PAO∠PBO90°
∴四边形角： ∠AOB+∠P180°
∵ ∠P50°
∴ ∠AOB130°
答案130°．
分析根切线性质∠PAO∠PBO90° 利四边形角求解
14答案 AFAE （答案唯）
考点菱形判定
解析解答解：∵四边形 ABCD 矩形
∴ ADBC
∵ AFEC
∴四边形 AECF 行四边形
添加条件菱形添加 AFAE AECECECFAFCF 理：组邻边相等行四边形菱形
答案 AFAE （答案唯）．
分析利菱形判定方法求解
15答案 ＞
考点方差
解析解答解：题意：
x甲11+12+13+14+15513 x乙12+12+13+14+14513
∴ s甲2[(1113)2+(1213)2+(1313)2+(1413)2+(1513)2]52
s乙2[(1213)2+(1213)2+(1313)2+(1413)2+(1413)2]545
∴ 2>45
∴ s甲2>s乙2
答案＞．
分析利方差计算方法求解
16答案 2∶312
考点元次方程实际应工程问题
解析解答解：设分配 A 生产线吨数x吨分配B生产线吨数（5x）吨题意：
4x+12(5x)+3 解： x2
∴分配B生产线吨数523（吨）
∴分配 A 生产线吨数分配 B 生产线吨数2∶3
∴第二天开工时 A 生产线分配 (2+m) 吨原材料 B 生产线分配 (3+n) 吨原材料
∵加工时间相
∴ 4(2+m)+12(3+n)+3
解： m12n
∴ mn12
答案 23 12 ．
分析设分配 A 生产线吨数x吨分配B生产线吨数（5x）吨根题意列出方程求出x值根第二天开工时 A 生产线分配 (2+m) 吨原材料 B 生产线分配 (3+n) 吨原材料列出方程求解
三解答题
17答案 解：原式 2×32+23+5133+4 ．
考点实数运算
解析分析先利特殊角三角函数值二次根式性质0指数幂性质化简计算
18答案 解： {4x5>x+1①3x42
②： x<4
∴原等式组解集 2
解析分析利等式性质求解等式组方法求解
19答案 解： (ab)2+b(2a+b)
a22ab+b2+2ab+b2
a2+2b2
∵ a2+2b210
∴ a2+2b21
代入原式：原式 1 ．
考点利整式混合运算化简求值
解析分析先利整式混合运算化简代入计算
20答案 （1）解：图示：
（2）证明： △ABC 中 BABC D CA 中点
∴CA⊥DB （等腰三角形三线合）（填推理）．
∵直线 DB 表示方东西方
∴直线 CA 表示方南北方
答案 BC 等腰三角形三线合．
考点等腰三角形性质作图线段垂直分线
解析分析（1）作BD垂直ACD
（2）利等腰三角形三线合性质解决问题
21答案 （1）证明：题意： a1b4mc3m2
∴ Δb24ac16m24×1×3m24m2
∵ m2≥0
∴ Δ4m2≥0
∴该方程总两实数根
（2）解：设关 x 元二次方程 x24mx+3m20 两实数根 x1x2 ： x1+x24mx1⋅x23m2
∵ |x1x2|2
∴ (x1x2)2(x1+x2)24x1x216m212m24
解： m±1
∵ m>0
∴ m1 ．
考点元二次方程根判式应
解析分析（1）利元二次方程根判式求解
（2）利元二次方程根系数关系求解
22答案 （1）证明：∵ ∠ACB∠CAD90°
∴AD∥CE
∵ AEDC
∴四边形 AECD 行四边形
（2）解：（1）四边形 AECD 行四边形
∴ CEAD
∵ EF⊥AB AE 分 ∠BAC ∠ACB90°
∴ EFCE
∴EFCEAD
∵ BE5cosB45
∴ BFBE⋅cosB5×454
∴ EFBE2BF23
∴ ADEF3 ．
考点行四边形判定性质
解析分析（1）证出ADCEAEDC出结
（2）先锐角三角函数定义求出BF4勾股定理求出EF3然角分线性质ECEF3行四边形性质求解
23答案 （1）解：次函数 ykx+b(k≠0) 图象函数 y12x 图象移1单位长度：次函数解析式 y12x1
（2）题意先假设函数 ymx(m≠0) 次函数 ykx+b 交点横坐标 2 （1）：
2m12×(2)1 解： m1
函数图象图示：
∴ x>2 时 x 值函数 ymx(m≠0) 值次函数 ykx+b 值时根次函数k表示直线倾斜程度 m12 时符合题意 m<12 时函数 ymx(m≠0) 次函数 ykx+b 交点第象限时符合题意
综述： 12≤m≤1 ．
考点定系数法求次函数解析式两次函数图象相交行问题移性质
解析分析（1）根移规律求解
（2）根点（22）结合图象求
24答案 （1）证明：∵ AD ⊙O 直径 AD⊥BC
∴ BDCD
∴ ∠BAD∠CAD
（2）解：题意图示：
（1）点EBC中点
∵点OBG中点
∴ OE12CGOECG
∴ △AOF∽△CGF
∴ OACGOFGF
∵ OE3
∴ CG6
∵ ⊙O 半径5
∴ OAOG5
∴ 56OFGF
∴ OF511OG2511 ．
考点圆心角弧弦关系相似三角形判定性质
解析分析（1）根垂径定理弧BD弧CD根圆周角定理证明结
（2）根勾股定理求出BE根垂径定理求出BC根圆周角定理∠BCG90° 根勾股定理求出GC证明△AOF∽△CGF 利相似三角形性质求出OF
25答案 （1）解：题意m甲城市中位数总25家邮政企业第13家邮政企业收入作该数中位数
∵ 6≤x<8 3家 8≤x<10 7家 10≤x<12 8家
∴中位数落 10≤x<12
∴ m101
（2）（1）：甲城市中位数低均数 p1 12乙城市中位数高均数 p2 少13
∴ p1
（3）题意：
200×112200 （百万元）
答：乙城市邮政企业4月份总收入2200百万元．
考点频数（率）分布直方图分析数集中趋势
解析分析（1）根中位数意义求出甲城市抽样25家邮政企业4月份营业额排列出处第13位数
（2）根p1p2表示意义结合两城市抽取邮政企业4月份营业额具体数出答案
（3）根乙城市邮政企业4月份营业额均数企业数量进行计算
26答案 （1）解： m3n15 时点 (13) 点 (315) 代入二次函数 yax2+bx(a>0) ：
{a+b39a+3b15 解： {a1b2
∴抛物线解析式 yx2+2x
∴抛物线称轴 xb2a1
（2）题意：抛物线 yax2+bx(a>0) 始终定点 (00) mn<0 ：
① m>0n<0 时抛物线 yax2+bx(a>0) 始终定点 (00) 时抛物线开口 a<0 a>0 矛盾
② m<0n>0 时
∵抛物线 yax2+bx(a>0) 始终定点 (00)
∴时抛物线称轴范围 12
∴离抛物线称轴距离范围分 32
∴抛物线性质知离称轴越越
∴ y2
解析分析（1）点（13）（315）代入解析式求解
（2）分类讨b正负情况根mn<0称轴y轴直线x12间根点称轴距离判断y值
27答案 （1）证明：∵ ∠BAC∠EADα
∴ ∠BAE+∠BAD∠BAD+∠CADα
∴ ∠BAE∠CAD
旋转性质 AEAD
∵ ABAC
∴ △ABE≌△ACD(SAS)
∴ BECD
∵点MBC中点
∴ BMCM
∵ CMMD+CDMD+BE
∴ BMBE+MD
（2）证明： DNEN 理：
点E作EH⊥AB垂足点Q交AB点H图示：
∴ ∠EQB∠HQB90°
（1） △ABE≌△ACD
∴ ∠ABE∠ACD BECD
∵ ABAC
∴ ∠ABC∠C∠ABE
∵ BQBQ
∴ △BQE≌△BQH(ASA)
∴ BHBECD
∵ MBMC
∴ HMDM
∵ MN⊥AB
∴ MNEH
∴ △DMN∽△DHE
∴ DMDHDNDE12
∴ DNEN ．
考点相似三角形判定性质三角形综合
解析分析（1）∠DAE∠BAC∠BAE∠CAD 然SAS证明△ABE≌△ACD
（2）作EH垂直AB交BCH证明△ABE≌△ACDABAC 证明△DMN∽△DHE 利相似性质列出例式求解
28答案 （1）B2C2
（2）题意： BC ⊙O 点 A 中心关联线段时 △AB＇C＇ 等边三角形边长1点Ay轴正半轴时图示：
设 B＇C＇ y轴交点D连接 OB＇ 易 B＇C＇⊥y 轴
∴ B＇DDC＇12
∴ ODOB＇2B＇D232 ADAB＇2B＇D232
∴ OA3
∴ t3
点Ay轴正半轴时图示：
理时 OA3
∴ t3
（3） BC ⊙O 点 A 中心关联线段知 B＇C＇ ⊙O AB＇AB1AC＇AC2 B＇ 圆心1半径作圆然点A圆心2半径作圆点A运动轨迹图示：
运动轨迹点A ⊙O 时值1时 AC＇ ⊙O 直径
∴ ∠AB＇C＇90°
∴ ∠AC＇B＇30°
∴ BCB＇C＇AC＇⋅cos30°3
情况知点 AB＇O 三点线时OA值值2图示：
连接 OC＇B＇C＇ 点 C＇ 作 C＇P⊥OA 点P
∴ OC＇1AC＇OA2
设 OPx AP2x
∴勾股定理： C＇P2AC＇2AP2OC＇2OP2 22(2x)21x2
解： x14
∴ C＇P154
∴ B＇POB＇OP34
Rt△B＇PC＇ 中 B＇C＇B＇P2+C＇P262
∴ BC62
综述： OAmin1 时时 BC3 OAmax2 时时 BC62 ．
考点圆综合题定义新运算圆动点问题
解析解答解：（1）题意：
通观察图象：线段 B2C2 绕点A旋转90° ⊙O 关联线段 B1C1B3C3 绕点A进行旋转
答案 B2C2
分析（1）利旋转性质点A圆点距离范围结合图形判断求出答案
（2）利旋转性质关联线段定义等边三角形性质求出B＇C＇位置求出t值
（3）利旋转性质关联线段定义知四边形AB＇OC＇边长利四边形稳定性画出OA时图形利等腰三角形性质勾股定理求出答案
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