导数偏导数微分定义
元函数
元函数
函数微分
注:注意左右导数定义记号
二 导数偏导数微分计算:
1)熟练运求导公式运算法计算导数偏导数微分
2)隐函数参数方程导数
3)高阶导数:特注意莱布尼茨公式运
例1:求函数处阶导数
解:
(1)
利莱布尼茨公式(1)两边求阶导数
时
例2:求阶导数
解:
设
中
注:计算时注意阶微分变性应
4)方导数梯度
三 导数偏导数微分应
1)达布定理:设导介切值必
证明:导定值值
1果异号妨设
极
限保号性充分接时充分接时
说明值
定存值费马
定理
2般情形设介值考虑函
数异号前
面证明存
2)罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理
中里间某值
3)元函数单调性极值值
4)元函数凹凸性:
区间凹:
区间凸:
性质:1果区间凹定
2果区间凸定
证明:
中数学纳法证明结
例3:证明:
证明:考虑函数
时凹函数性质
5)元函数应
6)元函数极值:拉格朗日数法
例4:设连续导连续证明:少存点
证明:连续存原函数
考虑函数罗尔中值定理少存点
少存点
例5:设函数连续导
(1)果证明:少存点
(2)果切证明:少存点
证明:(1)果函数常数意面设常数种情形存妨设取存时
值端点取值值定理费马定理少存点
(2)夹逼准
考虑函数连续导(1)结少存点
例6:设函数区间微正数证明:存
证明:利介值定理存
妨设函数分端点区间运拉格朗日中值定理少存间
例7:设导证明:
证明:1)设值
特
2)设设设
值
数学纳法理
例8:设二阶导数证明:存
证明:设点处展成三阶泰勒公式
时
(1)
时
(2)
导间达布定理存时
例9:设二阶导证明:存
证明:构造函数利罗尔中值定理存利次罗尔中值定存
例10:设函数连续微证明:(1)存
(2)存
证明:(1)考虑函数零点定理存
(2)考虑函数罗尔中值定理存
例11:设穷次微满足:存求证:
四 练题
1)求函数阶导数
2)设阶导数证明:存
3)设二阶导数存证明:存
4)设区间三次微证明:存
5)设函数导数连续界函数证明:
五 文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
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