微分概念及其运算

§2 微分概念运算

设点导面极限存：
＝＝
＝＋中（）
＝
（函数增量（线性函数）+）
物理意义：果视时间时走路程
时间走路程
匀速运动走路程
+加速度作产生附加路程

定义42 设定义果定
＝－＝＋()
中关称点微称函数点微分记
＝ ＝

点导点微

前面讨


微分具两重特征：
1) 微分变量增量线性函数
2) 微分函数增量差高阶穷量
称微分增量线性部分
事实时
＝＝＝1
等价穷量

注1 系数赖函数
注2 微分dy关关两互相独立变量赖线性．

例1 落体运动中
＝＝

表线性函数高阶穷量微分定义知t点微微分

等匀速＝运动时间走路程．
例2 圆面积
＝＝．
表示线性函数高阶穷函数微微分

微分样理解：
圆周长半径变圆面积膨胀时设想圆周长保持变半径增引起圆面积变化

圆面积微分成正圆面积真正变化差较高阶穷然圆保持周长变膨胀种设想已时两者差更
例3 设正方形边长面积
＝＝＋
表线性函数高阶穷量点微微分
＝．
微导关系：
定理45 函数＝点微充条件：函数点导．时微分中系数．
证明 充分性前面已证
必性．设点微定义知

＝
点导＝
元函数言微导等价关系式





规定：变量微分等变量改变量
样微分公式写成

定义导数（微商）时符号作整体
现微商作微分商．说微商确微分商．

微分意义：
微分曲线处切线应改变量．微分似代改变量切线改变量似代函数改变量（直代曲）



导数公式基初等函数微分公式



等等．样助微商运算法立面微分运算法
(1) 四运算法．



(2) 复合函数微分．
设复合函数微分




相较
然变量中间变量两者形式样性质称阶微分形式变性


阶微分形式变性说明微分等式中代入变量
例
代入变量

种代入运算微商公式中做．例中代入变量显然结果错误．

例 设 利微分运算法求函数微分
解





利微分似计算
微分似增量考虑点
（）
（）

（）
（）
（）
（）


例 求似值
解 令＝＝＝＝


×＝05151
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