大学 高等数学 竞赛训练 微分方程

学生数学竞赛训练五—微分方程

（15分）设函数导满足等式

1）求导数
2）证明：时成立等式：
解：1）设


时


两边关求导

解微分方程

条件
2）时时
时时时

二 （15分）设微分方程两解满足求微分方程通解
解：1）果常数

时方程变

令
2）果常数代入原方程
（1）
（2）
（1）（2）


令解线性关求通解

三 （15分）攀岩爱者攀登表面山岩攀岩时总着陡峭路线攀登出发点山点处求攀登路线方程
解：设求曲线面投影切量函数梯度行

阶齐次方程解题意

求曲线方程

四 （15分）求方程通解
解：设原方程化

解

五 (15分)设求连续函数满足方程

初值条件
解：解方程

时
时
连续性求函数

六 （15分）已知二元函数二阶连续偏导数满足

证明：
证明：二元函数二阶连续偏导数




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