难点23 求圆锥曲线方程
求指定圆锥曲线方程高考命题重点考查学生识图画图数形结合等价转化分类讨逻辑推理合理运算创新思维力解决类问题求学熟练掌握圆锥曲线定义性质外命题常常称问题弦长问题值问题等综合起命制难度较题解决类问题常定义法定系数法
●难点磁场
1(★★★★★)双曲线1(b∈N)两焦点F1F2P双曲线点|OP|＜5|PF1||F1F2||PF2|成等数列b2_________
2(★★★★)图设圆P满足：①截y轴弦长2②x轴分成两段圆弧弧长3∶1满足条件①②圆中求圆心直线l：x－2y0距离圆方程
●案例探究
［例1］某电厂冷塔外形图示双曲线部分绕中轴(双曲线虚轴)旋转成曲面中AA′双曲线顶点CC′冷塔口直径两端点BB′底直径两端点已知AA′14 mCC′18 mBB′22 m塔高20 m
(1)建立坐标系写出该双曲线方程
(2)求冷塔容积(精确10 m2塔壁厚度计π取314)
命题意图：题考查选择适坐标系建立曲线方程解方程组基础知识考查应学积分知识思想方法解决实际问题力属★★★★★级题目
知识托：定系数法求曲线方程点曲线点坐标适合方程积分法求体积
错解分析：建立恰坐标系解决题关键积分求容积题重点
技巧方法：题第问定系数法求曲线方程第二问积分法求体积
解：图建立直角坐标系xOyAA′x轴AA′中点坐标原点OCC′BB′行x轴
设双曲线方程1(a＞0b＞0)aAA′7
设B(11y1)C(9x2)点BC双曲线
题意知y2－y120三式：y1－12y28b7
双曲线方程1
(2)双曲线方程x2y2+49
设冷塔容积V(m3)Vπ计算V425×103(m3)
答：冷塔容积425×103m3
［例2］点(10)直线l中心原点焦点x轴离心率椭圆C相交AB两点直线yx线段AB中点时椭圆C存点右焦点关直线l称试求直线l椭圆C方程
命题意图：题利称问题考查定系数法求曲线方程方法设计新颖基础性强属★★★★★级题目
知识托：定系数法求曲线方程处理直线圆锥曲线问题称问题
错解分析：恰利离心率设出方程学生容易犯错误恰利称问题解决题关键
技巧方法：题典型求圆锥曲线方程问题解法AB两点坐标代入圆锥曲线方程两式相减关直线AB斜率等式解法二韦达定理
解法：ea22b2cb
设椭圆方程x2+2y22b2A(x1y1)B(x2y2)椭圆
x12+2y122b2x22+2y222b2两式相减(x12－x22)+2(y12－y22)0
设AB中点(x0y0)kAB－(x0y0)直线yxy0x0－
－1kAB－1设l方程y－x+1
右焦点(b0)关l称点设(x′y′)
点(11－b)椭圆1+2(1－b)22b2b2
∴求椭圆C方程 1l方程y－x+1
解法二：ea22b2cb
设椭圆C方程x2+2y22b2l方程yk(x－1)
l方程代入C方程(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b20x1+x2y1+y2k(x1－1)+k(x2－1)k(x1+x2)－2k－
直线l：yxAB中点()解k0k
－1
k0l方程y0焦点F(c0)关直线l称点F点身椭圆Ck0舍k－1直线l方程y－(x－1)y－x+1解法
［例3］图已知△P1OP2面积P线段P1P2三等分点求直线OP1OP2渐线点P离心率双曲线方程
命题意图：题考查定系数法求双曲线方程综合运学知识分析问题解决问题力属★★★★★级题目
知识托：定分点坐标公式三角形面积公式点曲线点坐标适合方程
错解分析：利离心率恰找出双曲线渐线方程题关键正确表示出
△P1OP2面积学生感困难
技巧方法：利点P曲线△P1OP2面积建立关参数ab两方程求出ab值
解：O原点∠P1OP2角分线x轴建立图示直角坐标系
设双曲线方程1(a＞0b＞0)
e2
∴两渐线OP1OP2方程分yxy－x
设点P1(x1 x1)P2(x2－x2)(x1＞0x2＞0)点P分成λ2P点坐标()点P双曲线11
(x1+2x2)2－(x1－2x2)29a2整理8x1x29a2 ①
x1x2 ②
①②a24b29
双曲线方程1
●锦囊妙计
般求已知曲线类型曲线方程问题采先定形定式定量步骤
定形——指二次曲线焦点位置称轴位置
定式——根形设方程形式注意曲线系方程应椭圆焦点确定坐标轴时设方程mx2+ny21(m＞0n＞0)
定量——题设中条件找式中特定系数等量关系通解方程量
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)已知直线x+2y－30圆x2+y2+x－6y+m0相交PQ两点O坐标原点OP⊥OQm等( )
A3 B－3 C1 D－1
2(★★★★)中心原点焦点坐标(0±5)椭圆直线3x－y－20截弦中点横坐标椭圆方程( )
二填空题
3(★★★★)直线l方程yx+3l取点P点P双曲线12x2－4y23焦点作椭圆焦点具短长轴椭圆方程_________
4(★★★★)已知圆点P(4－2)Q(－13)两点y轴截线段长4该圆方程_________
三解答题
5(★★★★★)已知椭圆中心坐标原点焦点x轴焦点FM椭圆意点|MF|值值均数2椭圆存着yx轴称点M1M2|M1M2|试求椭圆方程
6(★★★★)某抛物线形拱桥跨度20米拱高4米建桥时隔4米需支柱支撑求中长支柱长
7(★★★★★)已知圆C1方程(x－2)2+(y－1)2椭圆C2方程1(a＞b＞0)C2离心率果C1C2相交AB两点线段AB恰圆C1直径求直线AB方程椭圆C2方程
参考答案
难点磁场
1解析：设F1(－c0）F2(c0)P(xy)
|PF1|2+|PF2|22(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2)
|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2
∵|PF1|2+|PF2|2(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|
双曲线定义|PF1|－|PF2|4
已知条件|PF1|·|PF2||F1F2|24c2
∴16+8c2＜50+2c2∴c2＜
∵c24+b2＜∴b2＜∴b21
答案：1
2解法：设求圆圆心P(ab）半径r点Px轴y轴距离分|b||a|
∵圆P截y轴弦长2∴r2a2+1
题设知圆P截x轴劣弧圆心角90°弦长|AB|rr22b22b2－a21
∵点P(ab)直线x－2y0距离d
5d2|a－2b|2a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2(a2+b2)2b2－a21
仅ab时式等号成立时5d21d取值
∵r22b2 ∴r22
求圆方程：(x－1）2+(y－1)22(x+1)2+(y+1)22
解法二：设求圆P方程(x－a)2+(y－b)2r2(r＞0)
设A(0y1)B(0y2)圆y轴两交点y1y2方程a2+(y－b)2r2两根
∴y12b±
条件①|AB|2|AB||y1－y2|r2－a21
设点C(x10)D(x20)圆x轴两交点x1x2方程(x－a)2+b2r2两根
∴x12a±
条件②|CD|r|CD||x2－x1|2b2r22b2a2+1
设圆心P(ab)直线x－2y0距离d
∴a－2b±da2(2b±d)24b2±4bd+5d2
∵a22b2－12b2±4bd+5d2+10式作b二次方程
∵方程实根
∴Δ8(5d2－1)≥05d2≥1
∴dmin代入2b2±4bd+5d2+10
2b2±4b+20解b±1
r22b22a±±1
求圆方程(x－1)2+(y－1)22(x+1)2+(y+1)22
歼灭难点训练
1解析：直线方程变x3－2y代入圆方程x2+y2+x－6y+m0
(3－2y)2+y2+(3－2y)+m0
整理5y2－20y+12+m0设P(x1y1)Q(x2y2)
y1y2y1+y24
∵PQ直线x3－2y
∴x1x2(3－2y1)(3－2y2)4y1y2－6(y1+y2)+9
y1y2+x1x25y1y2－6(y1+y2)+9m－30m3
答案：A
2解析：题意设椭圆方程： 1a250+b2
方程1
直线3x－y－20代入整理成关x二次方程
x1+x21求b225a275
答案：C
二3解析：求椭圆焦点F1(－10)F2(10)2a|PF1|+|PF2|
欲2a需直线l找点P|PF1|+|PF2|利称性解
答案： 1
4解析：设求圆方程(x－a)2+(y－b)2r2
写求圆方程
答案：x2+y2－2x－120x2+y2－10x－8y+40
三5解：|MF|maxa+c|MF|mina－c(a+c)(a－c)a2－c2b2
∴b24设椭圆方程 ①
设M1M2直线方程y－x+m ②
②代入①：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a20 ③
设M1(x1y1)M2(x2y2)M1M2中点(x0y0)
x0 (x1+x2)y0－x0+m
代入yx
a2＞4∴m0∴③知x1+x20x1x2－
|M1M2|
代入x1+x2x1x2解a25求椭圆方程： 1
6解：拱顶原点水线x轴建立坐标系
图题意知|AB|20|OM|4AB坐标分(－10－4）(10－4）
设抛物线方程x2－2pyA点坐标代入100－2p×(－4)解p125
抛物线方程x2－25y
题意知E点坐标(2－4)E′点横坐标22代入y－016|EE′|
(－016)－(－4)384长支柱长应384米
7解：e设椭圆方程1
设A(x1y1)B(x2y2)x1+x24y1+y22
1两式相减0
(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)0
化简－1直线AB方程y－x+3
代入椭圆方程3x2－12x+18－2b20
Δ24b2－72＞0|AB|
解b28
求椭圆方程1
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求指定圆锥曲线方程高考命题重点考查学生识图画图数形结合等价转化分类讨逻辑推理合理运算创新思维力解决类问题求学熟练掌握圆锥曲线定义性质外命题常常称问题弦长问题值问题等综合起命制难度较题解决类问题常定义法定系数法
●难点磁场
1(★★★★★)双曲线1(b∈N)两焦点F1F2P双曲线点|OP|＜5|PF1||F1F2||PF2|成等数列b2_________
2(★★★★)图设圆P满足：①截y轴弦长2②x轴分成两段圆弧弧长3∶1满足条件①②圆中求圆心直线l：x－2y0距离圆方程
●案例探究
［例1］某电厂冷塔外形图示双曲线部分绕中轴(双曲线虚轴)旋转成曲面中AA′双曲线顶点CC′冷塔口直径两端点BB′底直径两端点已知AA′14 mCC′18 mBB′22 m塔高20 m
(1)建立坐标系写出该双曲线方程
(2)求冷塔容积(精确10 m2塔壁厚度计π取314)
命题意图：题考查选择适坐标系建立曲线方程解方程组基础知识考查应学积分知识思想方法解决实际问题力属★★★★★级题目
知识托：定系数法求曲线方程点曲线点坐标适合方程积分法求体积
错解分析：建立恰坐标系解决题关键积分求容积题重点
技巧方法：题第问定系数法求曲线方程第二问积分法求体积
解：图建立直角坐标系xOyAA′x轴AA′中点坐标原点OCC′BB′行x轴
设双曲线方程1(a＞0b＞0)aAA′7
设B(11y1)C(9x2)点BC双曲线
题意知y2－y120三式：y1－12y28b7
双曲线方程1
(2)双曲线方程x2y2+49
设冷塔容积V(m3)Vπ计算V425×103(m3)
答：冷塔容积425×103m3
［例2］点(10)直线l中心原点焦点x轴离心率椭圆C相交AB两点直线yx线段AB中点时椭圆C存点右焦点关直线l称试求直线l椭圆C方程
命题意图：题利称问题考查定系数法求曲线方程方法设计新颖基础性强属★★★★★级题目
知识托：定系数法求曲线方程处理直线圆锥曲线问题称问题
错解分析：恰利离心率设出方程学生容易犯错误恰利称问题解决题关键
技巧方法：题典型求圆锥曲线方程问题解法AB两点坐标代入圆锥曲线方程两式相减关直线AB斜率等式解法二韦达定理
解法：ea22b2cb
设椭圆方程x2+2y22b2A(x1y1)B(x2y2)椭圆
x12+2y122b2x22+2y222b2两式相减(x12－x22)+2(y12－y22)0
设AB中点(x0y0)kAB－(x0y0)直线yxy0x0－
－1kAB－1设l方程y－x+1
右焦点(b0)关l称点设(x′y′)
点(11－b)椭圆1+2(1－b)22b2b2
∴求椭圆C方程 1l方程y－x+1
解法二：ea22b2cb
设椭圆C方程x2+2y22b2l方程yk(x－1)
l方程代入C方程(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b20x1+x2y1+y2k(x1－1)+k(x2－1)k(x1+x2)－2k－
直线l：yxAB中点()解k0k
－1
k0l方程y0焦点F(c0)关直线l称点F点身椭圆Ck0舍k－1直线l方程y－(x－1)y－x+1解法
［例3］图已知△P1OP2面积P线段P1P2三等分点求直线OP1OP2渐线点P离心率双曲线方程
命题意图：题考查定系数法求双曲线方程综合运学知识分析问题解决问题力属★★★★★级题目
知识托：定分点坐标公式三角形面积公式点曲线点坐标适合方程
错解分析：利离心率恰找出双曲线渐线方程题关键正确表示出
△P1OP2面积学生感困难
技巧方法：利点P曲线△P1OP2面积建立关参数ab两方程求出ab值
解：O原点∠P1OP2角分线x轴建立图示直角坐标系
设双曲线方程1(a＞0b＞0)
e2
∴两渐线OP1OP2方程分yxy－x
设点P1(x1 x1)P2(x2－x2)(x1＞0x2＞0)点P分成λ2P点坐标()点P双曲线11
(x1+2x2)2－(x1－2x2)29a2整理8x1x29a2 ①
x1x2 ②
①②a24b29
双曲线方程1
●锦囊妙计
般求已知曲线类型曲线方程问题采先定形定式定量步骤
定形——指二次曲线焦点位置称轴位置
定式——根形设方程形式注意曲线系方程应椭圆焦点确定坐标轴时设方程mx2+ny21(m＞0n＞0)
定量——题设中条件找式中特定系数等量关系通解方程量
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)已知直线x+2y－30圆x2+y2+x－6y+m0相交PQ两点O坐标原点OP⊥OQm等( )
A3 B－3 C1 D－1
2(★★★★)中心原点焦点坐标(0±5)椭圆直线3x－y－20截弦中点横坐标椭圆方程( )
二填空题
3(★★★★)直线l方程yx+3l取点P点P双曲线12x2－4y23焦点作椭圆焦点具短长轴椭圆方程_________
4(★★★★)已知圆点P(4－2)Q(－13)两点y轴截线段长4该圆方程_________
三解答题
5(★★★★★)已知椭圆中心坐标原点焦点x轴焦点FM椭圆意点|MF|值值均数2椭圆存着yx轴称点M1M2|M1M2|试求椭圆方程
6(★★★★)某抛物线形拱桥跨度20米拱高4米建桥时隔4米需支柱支撑求中长支柱长
7(★★★★★)已知圆C1方程(x－2)2+(y－1)2椭圆C2方程1(a＞b＞0)C2离心率果C1C2相交AB两点线段AB恰圆C1直径求直线AB方程椭圆C2方程
参考答案
难点磁场
1解析：设F1(－c0）F2(c0)P(xy)
|PF1|2+|PF2|22(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2)
|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2
∵|PF1|2+|PF2|2(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|
双曲线定义|PF1|－|PF2|4
已知条件|PF1|·|PF2||F1F2|24c2
∴16+8c2＜50+2c2∴c2＜
∵c24+b2＜∴b2＜∴b21
答案：1
2解法：设求圆圆心P(ab）半径r点Px轴y轴距离分|b||a|
∵圆P截y轴弦长2∴r2a2+1
题设知圆P截x轴劣弧圆心角90°弦长|AB|rr22b22b2－a21
∵点P(ab)直线x－2y0距离d
5d2|a－2b|2a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2(a2+b2)2b2－a21
仅ab时式等号成立时5d21d取值
∵r22b2 ∴r22
求圆方程：(x－1）2+(y－1)22(x+1)2+(y+1)22
解法二：设求圆P方程(x－a)2+(y－b)2r2(r＞0)
设A(0y1)B(0y2)圆y轴两交点y1y2方程a2+(y－b)2r2两根
∴y12b±
条件①|AB|2|AB||y1－y2|r2－a21
设点C(x10)D(x20)圆x轴两交点x1x2方程(x－a)2+b2r2两根
∴x12a±
条件②|CD|r|CD||x2－x1|2b2r22b2a2+1
设圆心P(ab)直线x－2y0距离d
∴a－2b±da2(2b±d)24b2±4bd+5d2
∵a22b2－12b2±4bd+5d2+10式作b二次方程
∵方程实根
∴Δ8(5d2－1)≥05d2≥1
∴dmin代入2b2±4bd+5d2+10
2b2±4b+20解b±1
r22b22a±±1
求圆方程(x－1)2+(y－1)22(x+1)2+(y+1)22
歼灭难点训练
1解析：直线方程变x3－2y代入圆方程x2+y2+x－6y+m0
(3－2y)2+y2+(3－2y)+m0
整理5y2－20y+12+m0设P(x1y1)Q(x2y2)
y1y2y1+y24
∵PQ直线x3－2y
∴x1x2(3－2y1)(3－2y2)4y1y2－6(y1+y2)+9
y1y2+x1x25y1y2－6(y1+y2)+9m－30m3
答案：A
2解析：题意设椭圆方程： 1a250+b2
方程1
直线3x－y－20代入整理成关x二次方程
x1+x21求b225a275
答案：C
二3解析：求椭圆焦点F1(－10)F2(10)2a|PF1|+|PF2|
欲2a需直线l找点P|PF1|+|PF2|利称性解
答案： 1
4解析：设求圆方程(x－a)2+(y－b)2r2
写求圆方程
答案：x2+y2－2x－120x2+y2－10x－8y+40
三5解：|MF|maxa+c|MF|mina－c(a+c)(a－c)a2－c2b2
∴b24设椭圆方程 ①
设M1M2直线方程y－x+m ②
②代入①：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a20 ③
设M1(x1y1)M2(x2y2)M1M2中点(x0y0)
x0 (x1+x2)y0－x0+m
代入yx
a2＞4∴m0∴③知x1+x20x1x2－
|M1M2|
代入x1+x2x1x2解a25求椭圆方程： 1
6解：拱顶原点水线x轴建立坐标系
图题意知|AB|20|OM|4AB坐标分(－10－4）(10－4）
设抛物线方程x2－2pyA点坐标代入100－2p×(－4)解p125
抛物线方程x2－25y
题意知E点坐标(2－4)E′点横坐标22代入y－016|EE′|
(－016)－(－4)384长支柱长应384米
7解：e设椭圆方程1
设A(x1y1)B(x2y2)x1+x24y1+y22
1两式相减0
(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)0
化简－1直线AB方程y－x+3
代入椭圆方程3x2－12x+18－2b20
Δ24b2－72＞0|AB|
解b28
求椭圆方程1
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