难点39 化思想
化转换思想研究解决数学问题时采某种方式助某种函数性质图象公式已知条件问题通变换加转化进达解决问题思想等价转化总抽象转化具体复杂转化简单未知转化已知通变换迅速合理寻找选择问题解决途径方法
●难点磁场
1（★★★★★）条路9路灯节约电拟关闭中3求两端路灯关闭意两相邻路灯时关闭关闭路灯方法总数
2（★★★★★）已知面量a(–1)b()
（1）证明a⊥b
（2）存时零实数ktxa+(t2–3)by–ka+tbx⊥y试求函数关系式kf(t)
（3）（2）结讨关t方程f(t)–k0解情况
●案例探究
［例1］意函数f(x) x∈D图示构造数列发生器工作原理：
①输入数x0∈D数列发生器输出x1f(x0)
②x1D数列发生器结束工作x1∈Dx1反馈回输入端输出x2f(x1)规律继续
现定义
（1）输入x0数列发生器产生数列{xn}请写出{xn}项
（2）数列发生器产生穷常数列试求输入初始数x0值
（3）输入x0时产生穷数列{xn}满足意正整数n均xn＜xn+1求x0取值范围
命题意图：题考查学生阅读审题综合理解逻辑推理力属★★★★★级题目
知识托：函数求值简单运算方程思想应解等式化转化思想应解题关键应转化思想题意条件转化数学语言
错解分析：考生易出现种错：（1）审题理解题意（2）题意转化出数学关系式第2问（3）第3问进行般特殊转化
技巧方法：题属富新意综合性抽象性较强题目陌生易理解文意转化数学语言求慎读题意握脉体会数学转换
解：（1）∵f(x)定义域D（–∞–1)∪(–1+∞)
∴数列{xn}三项
（2）∵x2–3x+20
∴x1x2x012时
x01时xn1x02时xn2（n∈N*）
（3）解等式x＜–11＜x＜2
x1＜x2x2＜–11＜x1＜2
函数
x1＜–1x2f(x1)＞4x3f(x2)＜x2
1＜x1＜2时x2f(x1)＞x11＜x2＜2
次类推数列{xn}项均满足
xn+1＞xn（n∈N*)
综述x1∈(12)
x1f(x0)x0∈(12)
［例2］设椭圆C1方程(a＞b＞0)曲线C2方程y曲线C1C2第象限公点P
（1）试a表示点P坐标
（2）设AB椭圆C1两焦点a变化时求△ABP面积函数S(a)值域
（3）记min{y1y2……yn}y1y2……yn中设g(a)椭圆C1半焦距边长正方形面积试求函数f(a)min{g(a) S(a)}表达式
命题意图：题考查曲线位置关系函数值等基础知识考查推理运算力综合运知识解题力属★★★★★级题目
知识托：两曲线交点数转化充条件求函数值域解等式
错解分析：第（1）问中交点数转化方程组解数考查易出现计算错误助Δ找ab关系第（2）问中考生易忽略a＞b＞0隐性条件第（3）问中考生想起min{g(a)S(a)}转化解等式g(a)≥S(a)
技巧方法：难手题目转化熟练掌握基问题应化思想灵魂求必须知识涵关联做转化目标转化桥梁转化效果
解：（1）y代入椭圆方程
化简b2x4–a2b2x2+a20
条件Δa4b4–4a2b20ab2
解xx–（舍）
P坐标()
(2)∵△ABP中｜AB｜2高
∴
∵a＞b＞0b
∴a＞a＞0＜＜1
0＜S（a）＜△ABP面积函数S(a)值域(0)
(3)g(a)c2a2–b2a2–
解等式g(a)≥S(a)a2–≥
整理a8–10a4+24≥0(a4–4)(a4–6)≥0
解a≤（舍）a≥
f(a)min{g(a) S(a)}
●锦囊妙计
转化等价转化等价转化等价转化新问题原问题实质样等价转化部分改变原象实质需结进行必修正
应转化化思想解题原应化难易化生熟化繁简量等价转化常见转化：正反转化数形转化相等等转化整体局部转化空间面相互转化复数实数相互转化常量变量转化数学语言转化
●歼灭难点训练
选择题
1（★★★★）已知两条直线l1yxl2ax–y0中a∈R两条直线夹角(0)变动时a取值范围( )
A（01） B（）
C（1）∪（1） D（1）
2（★★★★）等差数列{an}{bn}前n项分SnTn表示值( )
A B1 C D
二填空题
3（★★★★）某房间4少2生日月概率 （列式表示）
4（★★★★★）函数f(x)x3–3bx+3b（01）极值b取值范围
三解答题
5（★★★★）已知f(x)lg(x+1)g(x)2lg(2x+t)(t∈R参数）
(1)t–1时解等式f(x)≤g(x)
(2)果x∈［01］时f(x)≤g(x)恒成立求参数t取值范围
6（★★★★★）已知函数f(x)a1x+a2x2+a3x3+…+anxnn∈N*a1a2a3……an构成数列{an}满足f(1)n2
（1）求数列{an}通项公式求
（2）证明0＜f()＜1
7（★★★★★）设AB双曲线x2–1两点点N（12）线段AB中点
（1）求直线AB方程
（2）果线段AB垂直分线双曲线相交CD两点ABCD四点否圆？什？
8（★★★★★）直线ya函数yx3–3x图象相异三交点求a取值范围
参 考 答 案
●难点磁场
1解析：9灯中关闭3等价6开启路灯中选3间隔（包括两端外边装置）插入关闭程C10种
答案：10
2(1)证明：∵a·b0∴a⊥b
(2)解：∵x⊥y∴x·y0
［a+（t2–3)b］·(–ka+tb)0整理
–ka2+［t–k(t2–3)］a·b+t(t2–3)·b20
∵a·b0a24b21
∴式化–4k+t(t2–3)0∴kt(t2–3)
(3)解：讨方程t(t2–3)–k0解情况作曲线f(t)t(t2–3)直线yk交点数
f′(t)(t2–1)(t+1)(t–1)
令f′(t)0解t1–1t21t变化时f′(t)f(t)变化情况表：
t
(–∞–1)
–1
(–11)
1
(1+∞)
f′(t)
+
0
–
0
+
f(t)
↗
极值
↘
极值
↗
t–1时f(t)极值f(t)极值
t1时f(t)极值f(t)极值–
f(t)(t2–3)t0时t–0
f(t)图象致右：
k>k<–时直线yk曲线yf(t)仅交点方程解
kk–时直线曲线两交点方程两解k0直线曲线三交点kt时零时两解–●歼灭难点训练
1解析：分析直线l2变化特征化数形已知两直线重合问题应该两范围解
答案：C
2解析：化项∵
∴取极限易
答案：A
二3解析：转化先求立事件概率四生日相概率
答案：
4解析：转化f′(x)3x2–3b（01）x轴两交点须f′(0)<0f′(1)>0
答案：0三5解：(1)原等式等价
∴x≥
∴原等式解集{x|x≥}
(2)x∈［01］时f(x)≤g(x)恒成立∴x∈［01］时恒成立恒成立
x∈［01］时t≥–2x+恒成立转化求–2x+x∈［01］值问题
令μxμ2–1μ∈［1］
∴2x+–2(μ–)2+
μ1x0时–2x+值1
∴t取值范围t≥1
6(1)解：{an}前n项Sna1+a2+…+anf(1)n2anSn–Sn–1n2–(n–1)22n–1(n≥2)a1S11满足an2n–1{an}通项公式an2n–1(n∈N*)
∴
(2)证明：∵f()1·+3·+…+(2n–1) ①
∴f()1·+3·+…+(2n–3)+(2n–1) ②
①–②：f()1·+2·+2·+…+2·–(2n–1)·
∴f()++++…+–(2n–1)1–
∵ (n∈N*)
∴0<<1∴0<1–<107解：(1)设AB∶yk(x–1)+2代入x2–1
整理（2–k2）x2–2k(2–k)x–(2–k)2–20 ①
设A(x1y1)B（x2y2)x1x2方程①两根
2–k2≠0x1+x2NAB中点
（x1+x2）1∴k(2–k)2–k2解k1AB∶yx+1
(2)解出A（–10）B（34）CD方程y3–x双曲线方程联立消yx2+6x–110 ②
记C(x3y3)D(x4y4)CD中点M(x0y0)韦达定理x0–3y06
∵|CD|
∴|MC||MD||CD|2
|MA||MB|ABCD四点点M距离相等ABCD四点圆
8提示：f′(x)3x2–33(x–1)(x+1)易确定f(–1)2极值f(1)–2极值–2
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化转换思想研究解决数学问题时采某种方式助某种函数性质图象公式已知条件问题通变换加转化进达解决问题思想等价转化总抽象转化具体复杂转化简单未知转化已知通变换迅速合理寻找选择问题解决途径方法
●难点磁场
1（★★★★★）条路9路灯节约电拟关闭中3求两端路灯关闭意两相邻路灯时关闭关闭路灯方法总数
2（★★★★★）已知面量a(–1)b()
（1）证明a⊥b
（2）存时零实数ktxa+(t2–3)by–ka+tbx⊥y试求函数关系式kf(t)
（3）（2）结讨关t方程f(t)–k0解情况
●案例探究
［例1］意函数f(x) x∈D图示构造数列发生器工作原理：
①输入数x0∈D数列发生器输出x1f(x0)
②x1D数列发生器结束工作x1∈Dx1反馈回输入端输出x2f(x1)规律继续
现定义
（1）输入x0数列发生器产生数列{xn}请写出{xn}项
（2）数列发生器产生穷常数列试求输入初始数x0值
（3）输入x0时产生穷数列{xn}满足意正整数n均xn＜xn+1求x0取值范围
命题意图：题考查学生阅读审题综合理解逻辑推理力属★★★★★级题目
知识托：函数求值简单运算方程思想应解等式化转化思想应解题关键应转化思想题意条件转化数学语言
错解分析：考生易出现种错：（1）审题理解题意（2）题意转化出数学关系式第2问（3）第3问进行般特殊转化
技巧方法：题属富新意综合性抽象性较强题目陌生易理解文意转化数学语言求慎读题意握脉体会数学转换
解：（1）∵f(x)定义域D（–∞–1)∪(–1+∞)
∴数列{xn}三项
（2）∵x2–3x+20
∴x1x2x012时
x01时xn1x02时xn2（n∈N*）
（3）解等式x＜–11＜x＜2
x1＜x2x2＜–11＜x1＜2
函数
x1＜–1x2f(x1)＞4x3f(x2)＜x2
1＜x1＜2时x2f(x1)＞x11＜x2＜2
次类推数列{xn}项均满足
xn+1＞xn（n∈N*)
综述x1∈(12)
x1f(x0)x0∈(12)
［例2］设椭圆C1方程(a＞b＞0)曲线C2方程y曲线C1C2第象限公点P
（1）试a表示点P坐标
（2）设AB椭圆C1两焦点a变化时求△ABP面积函数S(a)值域
（3）记min{y1y2……yn}y1y2……yn中设g(a)椭圆C1半焦距边长正方形面积试求函数f(a)min{g(a) S(a)}表达式
命题意图：题考查曲线位置关系函数值等基础知识考查推理运算力综合运知识解题力属★★★★★级题目
知识托：两曲线交点数转化充条件求函数值域解等式
错解分析：第（1）问中交点数转化方程组解数考查易出现计算错误助Δ找ab关系第（2）问中考生易忽略a＞b＞0隐性条件第（3）问中考生想起min{g(a)S(a)}转化解等式g(a)≥S(a)
技巧方法：难手题目转化熟练掌握基问题应化思想灵魂求必须知识涵关联做转化目标转化桥梁转化效果
解：（1）y代入椭圆方程
化简b2x4–a2b2x2+a20
条件Δa4b4–4a2b20ab2
解xx–（舍）
P坐标()
(2)∵△ABP中｜AB｜2高
∴
∵a＞b＞0b
∴a＞a＞0＜＜1
0＜S（a）＜△ABP面积函数S(a)值域(0)
(3)g(a)c2a2–b2a2–
解等式g(a)≥S(a)a2–≥
整理a8–10a4+24≥0(a4–4)(a4–6)≥0
解a≤（舍）a≥
f(a)min{g(a) S(a)}
●锦囊妙计
转化等价转化等价转化等价转化新问题原问题实质样等价转化部分改变原象实质需结进行必修正
应转化化思想解题原应化难易化生熟化繁简量等价转化常见转化：正反转化数形转化相等等转化整体局部转化空间面相互转化复数实数相互转化常量变量转化数学语言转化
●歼灭难点训练
选择题
1（★★★★）已知两条直线l1yxl2ax–y0中a∈R两条直线夹角(0)变动时a取值范围( )
A（01） B（）
C（1）∪（1） D（1）
2（★★★★）等差数列{an}{bn}前n项分SnTn表示值( )
A B1 C D
二填空题
3（★★★★）某房间4少2生日月概率 （列式表示）
4（★★★★★）函数f(x)x3–3bx+3b（01）极值b取值范围
三解答题
5（★★★★）已知f(x)lg(x+1)g(x)2lg(2x+t)(t∈R参数）
(1)t–1时解等式f(x)≤g(x)
(2)果x∈［01］时f(x)≤g(x)恒成立求参数t取值范围
6（★★★★★）已知函数f(x)a1x+a2x2+a3x3+…+anxnn∈N*a1a2a3……an构成数列{an}满足f(1)n2
（1）求数列{an}通项公式求
（2）证明0＜f()＜1
7（★★★★★）设AB双曲线x2–1两点点N（12）线段AB中点
（1）求直线AB方程
（2）果线段AB垂直分线双曲线相交CD两点ABCD四点否圆？什？
8（★★★★★）直线ya函数yx3–3x图象相异三交点求a取值范围
参 考 答 案
●难点磁场
1解析：9灯中关闭3等价6开启路灯中选3间隔（包括两端外边装置）插入关闭程C10种
答案：10
2(1)证明：∵a·b0∴a⊥b
(2)解：∵x⊥y∴x·y0
［a+（t2–3)b］·(–ka+tb)0整理
–ka2+［t–k(t2–3)］a·b+t(t2–3)·b20
∵a·b0a24b21
∴式化–4k+t(t2–3)0∴kt(t2–3)
(3)解：讨方程t(t2–3)–k0解情况作曲线f(t)t(t2–3)直线yk交点数
f′(t)(t2–1)(t+1)(t–1)
令f′(t)0解t1–1t21t变化时f′(t)f(t)变化情况表：
t
(–∞–1)
–1
(–11)
1
(1+∞)
f′(t)
+
0
–
0
+
f(t)
↗
极值
↘
极值
↗
t–1时f(t)极值f(t)极值
t1时f(t)极值f(t)极值–
f(t)(t2–3)t0时t–0
f(t)图象致右：
k>k<–时直线yk曲线yf(t)仅交点方程解
kk–时直线曲线两交点方程两解k0直线曲线三交点kt时零时两解–
1解析：分析直线l2变化特征化数形已知两直线重合问题应该两范围解
答案：C
2解析：化项∵
∴取极限易
答案：A
二3解析：转化先求立事件概率四生日相概率
答案：
4解析：转化f′(x)3x2–3b（01）x轴两交点须f′(0)<0f′(1)>0
答案：0
∴x≥
∴原等式解集{x|x≥}
(2)x∈［01］时f(x)≤g(x)恒成立∴x∈［01］时恒成立恒成立
x∈［01］时t≥–2x+恒成立转化求–2x+x∈［01］值问题
令μxμ2–1μ∈［1］
∴2x+–2(μ–)2+
μ1x0时–2x+值1
∴t取值范围t≥1
6(1)解：{an}前n项Sna1+a2+…+anf(1)n2anSn–Sn–1n2–(n–1)22n–1(n≥2)a1S11满足an2n–1{an}通项公式an2n–1(n∈N*)
∴
(2)证明：∵f()1·+3·+…+(2n–1) ①
∴f()1·+3·+…+(2n–3)+(2n–1) ②
①–②：f()1·+2·+2·+…+2·–(2n–1)·
∴f()++++…+–(2n–1)1–
∵ (n∈N*)
∴0<<1∴0<1–<10
整理（2–k2）x2–2k(2–k)x–(2–k)2–20 ①
设A(x1y1)B（x2y2)x1x2方程①两根
2–k2≠0x1+x2NAB中点
（x1+x2）1∴k(2–k)2–k2解k1AB∶yx+1
(2)解出A（–10）B（34）CD方程y3–x双曲线方程联立消yx2+6x–110 ②
记C(x3y3)D(x4y4)CD中点M(x0y0)韦达定理x0–3y06
∵|CD|
∴|MC||MD||CD|2
|MA||MB|ABCD四点点M距离相等ABCD四点圆
8提示：f′(x)3x2–33(x–1)(x+1)易确定f(–1)2极值f(1)–2极值–2
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