难点37 数形结合思想
数形结合思想高考中占非常重位数形结合相互渗透代数式精确刻划图形直观描述相结合代数问题问题相互转化抽象思维形象思维机结合应数形结合思想充分考查数学问题条件结间联系分析代数意义揭示意义数量关系空间形式巧妙结合寻找解题思路问题解决运数学思想熟练掌握概念运算意义常见曲线代数特征
●难点磁场
1曲线y1+ (–2≤x≤2)直线yr(x–2)+4两交点时实数r取值范围
2设f(x)x2–2ax+2x∈［–1+∞)时f(x)＞a恒成立求a取值范围
●案例探究
［例1］设A{x｜–2≤x≤a}B{y｜y2x+3x∈A}C{z｜zx2x∈A }CB求实数a取值范围
命题意图：题助数形结合考查关集合关系运算题目属★★★★级题目
知识托：解决题关键元二次函数区间值域求法确定集合C进CB等式数学语言加转化
错解分析：考生确定zx2x∈［–2a］值域易出错分类巧妙观察图象策漏掉a＜–2种特殊情形
技巧方法：解决集合问题首先清元素究竟什然集合语言翻译般数学语言进分析条件结特点转化图形语言利数形结合思想解决
解：∵y2x+3［–2 a］增函数
∴–1≤y≤2a+3B{y｜–1≤y≤2a+3}
作出zx2图象该函数定义域右端点xa三种位置情况：
①–2≤a≤0时a2≤z≤4C{z｜z2≤z≤4}
CB必须须2a+3≥4a≥–2≤a＜0矛盾
②0≤a≤2时0≤z≤4C{z｜0≤z≤4}CB图知：
必须需
解≤a≤2
③a＞2时0≤z≤a2C{z｜0≤z≤a2}CB必须需
解2＜a≤3
④a＜–2时A时BCCB成立
综述a取值范围(–∞–2)∪［3］
［例2］已知acosα+bsinαc acosβ+bsinβc(ab≠0α–β≠kπ k∈Z)求证：
命题意图：题考查数学代数式意义转换力属★★★★★级题目
知识托：解决题关键条件式结构联想直线方程进AB两点坐标特点知单位圆
错解分析：考生易联想条件式意义瓶颈巧妙利意义瓶颈二
技巧方法：善发现条件意义根图形性质分析清楚结
意义样巧数形结合方法完成解题
证明面直角坐标系中点A（cosαsinα）点B（cosβ
sinβ）直线lax+byc单位圆x2+y21两交点图
：｜AB｜2(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2
2–2cos(α–β)
∵单位圆圆心直线l距离
面知识知｜OA｜2–(｜AB｜)2d2
∴
●锦囊妙计
应数形结合思想应注意数形转化：
（1）集合运算韦恩图
（2）函数图象
（3）数列通项求公式函数特征函数图象
（4）方程（指二元方程）方程曲线
形助数常：助数轴助函数图象助单位圆助数式结构特征助解析方法
数助形常：助轨迹遵循数量关系助运算结果定理结合
●歼灭难点训练
选择题
1（★★★★）方程sin(x–)x实数解数( )
A2 B3 C4 D均
2（★★★★★）已知f(x)(x–a)(x–b)–2（中a＜bαβ方程f(x)0两根（α＜β实数abαβ关系( )
Aα＜a＜b＜β Bα＜a＜β＜b
Ca＜α＜b＜β Da＜α＜β＜b
二填空题
3（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2(θt参数)值
4（★★★★★）已知集合A{x｜5–x≥}B{x｜x2–ax≤x–a}AB时a取值范围
三解答题
5（★★★★）设关x方程sinx+cosx+a0（0π）相异解αβ
（1）求a取值范围
（2）求tan(α+β)值
6（★★★★）设A{(xy)｜ya＞0}B{(xy)｜(x–1)2+(y–3)2a2a＞0}A∩B≠求a值值
7（★★★★）已知A（11）椭圆1点F1椭圆左焦点P椭圆动点求｜PF1｜+｜PA｜值值
8（★★★★★）长宽高分25 cm20 cm5 cm长方体木盒正方形窗口穿正方形窗口边长少应少？
参 考 答 案
●难点磁场
1解析：方程y1+曲线半圆yr(x–2)+4（24）直线
答案：（］
2解法：f(x)＞a［–1+∞)恒成立x2–2ax+2–a＞0［–1+∞)恒成立考查函数g(x)x2–2ax+2–a图象［–1+∞］时位x轴方图两种情况：
等式成立条件：(1)Δ4a2–4(2–a)＜0a∈(–21)
(2)a∈(–3–2综述a∈(–31)
解法二：f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)
令y1x2+2y2a(2x+1)坐标系中作出两函数图象
图满足条件直线l位l1l2间直线l1l2应a值（直线斜率）分1–3
直线l应a∈(–31)
●歼灭难点训练
1解析：坐标系作出y1sin(x–)y2x图象图
答案：B
2解析：ab方程g(x)(x–a)(x–b)0两根坐标系中作出函数f(x)g(x)图象图示：
答案：A
二3解析：联想距离公式两点坐标A(4cosθ3sinθ)B(2t–31–2t)
点A图形椭圆点B表示直线
考虑点直线距离公式求解
答案：
4解析：解A{x｜x≥9x≤3}B{x｜(x–a)(x–1)≤0}画数轴
答案：a＞3
三5解：①作出ysin(x+)(x∈(0π))y–图象知｜–｜＜1–≠
时曲线直线两交点a∈(–2–)∪(–2)
②sinα+cosα–asinβ+cosβ–a相减tan
tan(α+β)3
6解：∵集合A中元素构成图形原点O圆心a半径半圆集合B中元素点O′(1)圆心a半径圆图示
∵A∩B≠∴半圆O圆O′公点
显然半圆O圆O′外切时a
a+a｜OO′｜2∴amin2–2
半圆O圆O′切时半圆O半径a
时a–a｜OO′｜2∴amax2+2
7解：知a3bc2左焦点F1(–20)右焦点F2(20)椭圆定义｜PF1｜2a–｜PF2｜6–｜PF2｜
∴｜PF1｜+｜PA｜6–｜PF2｜+｜PA｜6+｜PA｜–｜PF2｜
图：
｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜知
–≤｜PA｜–｜PF2｜≤
PAF2延长线P2处时取右号
PAF2反延长线P1处时取左号
｜PA｜–｜PF2｜值分–
｜PF1｜+｜PA｜值6+值6–
8解：题实际求正方形窗口边长值
长方体面中宽高面边长应面称穿窗口正方形窗口边长量
图：
设AExBEy
AEAHCFCGxBEBFDGDHy
∴
∴
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数形结合思想高考中占非常重位数形结合相互渗透代数式精确刻划图形直观描述相结合代数问题问题相互转化抽象思维形象思维机结合应数形结合思想充分考查数学问题条件结间联系分析代数意义揭示意义数量关系空间形式巧妙结合寻找解题思路问题解决运数学思想熟练掌握概念运算意义常见曲线代数特征
●难点磁场
1曲线y1+ (–2≤x≤2)直线yr(x–2)+4两交点时实数r取值范围
2设f(x)x2–2ax+2x∈［–1+∞)时f(x)＞a恒成立求a取值范围
●案例探究
［例1］设A{x｜–2≤x≤a}B{y｜y2x+3x∈A}C{z｜zx2x∈A }CB求实数a取值范围
命题意图：题助数形结合考查关集合关系运算题目属★★★★级题目
知识托：解决题关键元二次函数区间值域求法确定集合C进CB等式数学语言加转化
错解分析：考生确定zx2x∈［–2a］值域易出错分类巧妙观察图象策漏掉a＜–2种特殊情形
技巧方法：解决集合问题首先清元素究竟什然集合语言翻译般数学语言进分析条件结特点转化图形语言利数形结合思想解决
解：∵y2x+3［–2 a］增函数
∴–1≤y≤2a+3B{y｜–1≤y≤2a+3}
作出zx2图象该函数定义域右端点xa三种位置情况：
①–2≤a≤0时a2≤z≤4C{z｜z2≤z≤4}
CB必须须2a+3≥4a≥–2≤a＜0矛盾
②0≤a≤2时0≤z≤4C{z｜0≤z≤4}CB图知：
必须需
解≤a≤2
③a＞2时0≤z≤a2C{z｜0≤z≤a2}CB必须需
解2＜a≤3
④a＜–2时A时BCCB成立
综述a取值范围(–∞–2)∪［3］
［例2］已知acosα+bsinαc acosβ+bsinβc(ab≠0α–β≠kπ k∈Z)求证：
命题意图：题考查数学代数式意义转换力属★★★★★级题目
知识托：解决题关键条件式结构联想直线方程进AB两点坐标特点知单位圆
错解分析：考生易联想条件式意义瓶颈巧妙利意义瓶颈二
技巧方法：善发现条件意义根图形性质分析清楚结
意义样巧数形结合方法完成解题
证明面直角坐标系中点A（cosαsinα）点B（cosβ
sinβ）直线lax+byc单位圆x2+y21两交点图
：｜AB｜2(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2
2–2cos(α–β)
∵单位圆圆心直线l距离
面知识知｜OA｜2–(｜AB｜)2d2
∴
●锦囊妙计
应数形结合思想应注意数形转化：
（1）集合运算韦恩图
（2）函数图象
（3）数列通项求公式函数特征函数图象
（4）方程（指二元方程）方程曲线
形助数常：助数轴助函数图象助单位圆助数式结构特征助解析方法
数助形常：助轨迹遵循数量关系助运算结果定理结合
●歼灭难点训练
选择题
1（★★★★）方程sin(x–)x实数解数( )
A2 B3 C4 D均
2（★★★★★）已知f(x)(x–a)(x–b)–2（中a＜bαβ方程f(x)0两根（α＜β实数abαβ关系( )
Aα＜a＜b＜β Bα＜a＜β＜b
Ca＜α＜b＜β Da＜α＜β＜b
二填空题
3（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2(θt参数)值
4（★★★★★）已知集合A{x｜5–x≥}B{x｜x2–ax≤x–a}AB时a取值范围
三解答题
5（★★★★）设关x方程sinx+cosx+a0（0π）相异解αβ
（1）求a取值范围
（2）求tan(α+β)值
6（★★★★）设A{(xy)｜ya＞0}B{(xy)｜(x–1)2+(y–3)2a2a＞0}A∩B≠求a值值
7（★★★★）已知A（11）椭圆1点F1椭圆左焦点P椭圆动点求｜PF1｜+｜PA｜值值
8（★★★★★）长宽高分25 cm20 cm5 cm长方体木盒正方形窗口穿正方形窗口边长少应少？
参 考 答 案
●难点磁场
1解析：方程y1+曲线半圆yr(x–2)+4（24）直线
答案：（］
2解法：f(x)＞a［–1+∞)恒成立x2–2ax+2–a＞0［–1+∞)恒成立考查函数g(x)x2–2ax+2–a图象［–1+∞］时位x轴方图两种情况：
等式成立条件：(1)Δ4a2–4(2–a)＜0a∈(–21)
(2)a∈(–3–2综述a∈(–31)
解法二：f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)
令y1x2+2y2a(2x+1)坐标系中作出两函数图象
图满足条件直线l位l1l2间直线l1l2应a值（直线斜率）分1–3
直线l应a∈(–31)
●歼灭难点训练
1解析：坐标系作出y1sin(x–)y2x图象图
答案：B
2解析：ab方程g(x)(x–a)(x–b)0两根坐标系中作出函数f(x)g(x)图象图示：
答案：A
二3解析：联想距离公式两点坐标A(4cosθ3sinθ)B(2t–31–2t)
点A图形椭圆点B表示直线
考虑点直线距离公式求解
答案：
4解析：解A{x｜x≥9x≤3}B{x｜(x–a)(x–1)≤0}画数轴
答案：a＞3
三5解：①作出ysin(x+)(x∈(0π))y–图象知｜–｜＜1–≠
时曲线直线两交点a∈(–2–)∪(–2)
②sinα+cosα–asinβ+cosβ–a相减tan
tan(α+β)3
6解：∵集合A中元素构成图形原点O圆心a半径半圆集合B中元素点O′(1)圆心a半径圆图示
∵A∩B≠∴半圆O圆O′公点
显然半圆O圆O′外切时a
a+a｜OO′｜2∴amin2–2
半圆O圆O′切时半圆O半径a
时a–a｜OO′｜2∴amax2+2
7解：知a3bc2左焦点F1(–20)右焦点F2(20)椭圆定义｜PF1｜2a–｜PF2｜6–｜PF2｜
∴｜PF1｜+｜PA｜6–｜PF2｜+｜PA｜6+｜PA｜–｜PF2｜
图：
｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜知
–≤｜PA｜–｜PF2｜≤
PAF2延长线P2处时取右号
PAF2反延长线P1处时取左号
｜PA｜–｜PF2｜值分–
｜PF1｜+｜PA｜值6+值6–
8解：题实际求正方形窗口边长值
长方体面中宽高面边长应面称穿窗口正方形窗口边长量
图：
设AExBEy
AEAHCFCGxBEBFDGDHy
∴
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