难点25 圆锥曲线综合题
圆锥曲线综合问题包括：解析法应圆锥曲线关定值问题值问题参数问题应题探索性问题圆锥曲线知识联系圆锥曲线知识三角复数等代数知识横联系解答部分试题需较强代数运算力图形认识力准确进行数形语言转换运算推理转换运算程中注意思维严密性保证结果完整
●难点磁场
(★★★★)椭圆1(a＞b＞0)直线l：x+y1第象限两交点求ab满足条件画出点P(ab)存区域
●案例探究
［例1］已知圆k定点A(a0)(a＞0)圆心k抛物线C：y22ax运动MN圆ky轴截弦
(1)试问MN长否圆心k运动变化？
(2)|OA||OM||ON|等差中项时抛物线C准线圆k样位置关系？
命题意图：题考查圆锥曲线科综合知识学生综合灵活处理问题力属
★★★★★级题目
知识托：弦长公式韦达定理等差中项绝值等式元二次等式等知识
错解分析：判断dR关系时x0范围学生容易忽略
技巧方法：第(2)问需目标转化判断dx0+R
解：(1)设圆心k(x0y0)y022ax0
圆k半径R|AK|
∴|MN|22a(定值)
∴弦MN长圆心k运动变化
(2)设M(0y1)N(0y2)圆k：(x－x0)2+(y－y0)2x02+a2中
令x0y2－2y0y+y02－a20
∴y1y2y02－a2
∵|OA||OM||ON|等差中项
∴|OM|+|ON||y1|+|y2|2|OA|2a
|MN||y1－y2|2a
∴|y1|+|y2||y1－y2|
∴y1y2≤0y02－a2≤02ax0－a2≤0
∴0≤x0≤
圆心k抛物线准线距离dx0+≤a圆k半径R≥a
两式时取等号圆k必准线相交
［例2］图已知椭圆1(2≤m≤5)左焦点斜率1直线椭圆准线交点左右序ABCD设f(m)||AB|－|CD||
(1)求f(m)解析式
(2)求f(m)值
命题意图：题考查利解析知识建立函数关系式求值体现圆锥曲线代数间科间综合属★★★★★级题目
知识托：直线圆锥曲线交点韦达定理根判式利单调性求函数值
错解分析：第(1)问中注意验证2≤m≤5时直线椭圆恒交点
技巧方法：第(1)问中注意xAxD相反数迅速||AB|－|CD||化简第(2)问利函数单调性求值常方法
解：(1)设椭圆半长轴半短轴半焦距次abca2mb2m－1c2a2－b21
∴椭圆焦点F1(－10)F2(10)
直线方程yx+1椭圆准线方程x±x±m
∴A(－m－m+1)D(mm+1)
考虑方程组消y：(m－1)x2+m(x+1)2m(m－1)
整理：(2m－1)x2+2mx+2m－m20
Δ4m2－4(2m－1)(2m－m2)8m(m－1)2
∵2≤m≤5∴Δ＞0恒成立xB+xC
∵ABCD直线yx+1
∴|AB||xB－xA|(xB－xA)·|CD|(xD－xC)
∴||AB|－|CD|||xB－xA+xD－xC||(xB+xC)－(xA+xD)|
∵xA－mxDm∴xA+xD0
∴||AB|－|CD|||xB+xC|·||· (2≤m≤5)
f(m)m∈［25］
(2)f(m)知f(m)
2－≤2－≤2－
∴f(m)∈［］
f(m)值时m2f(m)值时m5
［例3］舰A舰B正东6千米处舰C舰B北偏西30°B相距4千米准备捕海洋动物某时刻A发现动物信号4秒BC时发现种信号A发射麻醉炮弹设舰动物均静止动物信号传播速度1千米秒炮弹速度千米秒中g重力加速度计空气阻力舰高问舰A发射炮弹方位角仰角应少？
命题意图：考查圆锥曲线实际问题中应实际问题转化成数学问题力属★★★★★级题目
知识托：线段垂直分线性质双曲线定义两点间距离公式斜抛运动曲线方程
错解分析：答题准确握点P位置(线段BC垂直分线AB焦点抛物线)应方位角概念掌握清楚
技巧方法：通建立恰直角坐标系实际问题转化成解析问题求解空间物体定位般利声音传播时间差建立方程
解：取AB直线x轴AB中点原点建立图示直角坐标系题意知ABC舰坐标(30)(－30)(－52)
BC时发现动物信号记动物位置P|PB||PC|P线段BC中垂线易求方程x－3y+70
AB两舰发现动物信号时间差4秒知|PB|－|PA|4知P双曲线1右支
直线双曲线交点(85)动物P位置利两点间距离公式|PA|10
已知两点斜率公式kPA直线PA倾斜角60°舰A发射炮弹方位角应北偏东30°
设发射炮弹仰角θ初速度v0
∴sin2θ∴仰角θ30°
●锦囊妙计
解决圆锥曲线综合题关键熟练掌握种圆锥曲线定义标准方程图形性质注意挖掘知识联系规律通知识重新组合达巩固知识提高力目
(1)求曲线方程中参数取值范围问题需构造参数满足等式通求等式(组)求参数取值范围建立关参数目标函数转化函数值域
(2)圆锥曲线值问题解法常两种：题目条件结明显体现特征意义考虑利数形结合法解题目条件结体现种明确函数关系先建立目标函数求函数值
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)已知ABC三点曲线y横坐标次1m4(1＜m＜4)△ABC面积时m等( )
A3 B C D
2(★★★★★)设uv∈R|u|≤v＞0(u－v)2+()2值( )
A4 B2 C8 D2
二填空题
3(★★★★★)A椭圆长轴端点O椭圆中心椭圆存点P
∠OPA椭圆离心率范围_________
4(★★★★)辆卡车高3米宽16米欲通抛物线形隧道拱口宽恰抛物线通径长拱口宽a米卡车通a整数值_________
5(★★★★★)已知抛物线yx2－1定点B(－10)两动点PQP抛物线运动时BP⊥PQQ点横坐标取值范围_________
三解答题
6(★★★★★)已知直线ykx－1双曲线x2－y21左支交AB两点条直线l点P(－20)线段AB中点Q求直线ly轴截距b取值范围
7(★★★★★)已知抛物线C：y24x
(1)椭圆左焦点相应准线抛物线C焦点F准线l分重合试求椭圆短轴端点B焦点F连线中点P轨迹方程
(2)M(m0)x轴定点Q(1)求轨迹点试问|MQ|值？求出值没说明理
8(★★★★★)图半圆AB半圆直径O半圆圆心OD⊥ABQ线段OD中点已知|AB|4曲线CQ点动点P曲线C运动保持|PA|+|PB|值变
(1)建立适面直角坐标系求曲线C方程
(2)D点直线l曲线C相交两点MNMDN间设λ求λ取值范围
［学法指导］样学圆锥曲线
圆锥曲线代数进行完美结合助纯代数解决手段研究曲线概念性质直线圆锥曲线位置关系数学家笛卡尔开创坐标系天已开始
高考中然重点客观题必少易中难题皆需做：
1重点掌握椭圆双曲线抛物线定义性质圆锥曲线基石高考中题目涉容
2重视求曲线方程曲线轨迹处作高考解答题命题象难度较掌握住般方法：定义法直接法定系数法相关点法参数法等
3加强直线圆锥曲线位置关系问题复处直高考热点类问题常涉圆锥曲线性质直线基知识点线段中点弦长垂直问题分析问题时利数形结合思想设求法弦长公式韦达定理联系解决样加强数学种力考查
4重视数学思想方法进行纳提炼达优化解题思维简化解题程
(1)方程思想
解析题目部分方程形式定直线圆锥曲线直线圆锥曲线相交弦长问题利韦达定理进行整体处理简化解题运算量
(2)函数思想方法
圆锥曲线动点变化程中会引入相互联系相互制约量线长度abce间构成函数关系函数思想处理类问题时效
(3)掌握坐标法
坐标法解决关圆锥曲线问题基方法年考查坐标法加强坐标法训练
参考答案
难点磁场
解：方程组消y整理(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)0 ①
椭圆直线l第象限两交点充条件方程①区间(01）两相异实根令f(x)(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)
时满足述四条件点P(ab)存区域图示阴影部分：
歼灭难点训练
1解析：题意知A(11)B(m)C(42)
直线AC方程x－3y+20
点B该直线距离d
∵m∈(14)∴时S△ABC值时m
答案：B
2解析：考虑式子意义转化求圆x2+y22点双曲线xy9点距离值
答案：C
二3解析：设椭圆方程1(a＞b＞0)OA直径圆：x2－ax+y20两式联立消yx2－ax+b20e2x2－ax+b20该方程解x2解a韦达定理x2－a0＜x2＜a0＜－a＜a＜e＜1
答案：＜e＜1
4解析：题意设抛物线方程x2－ayx时y－x08时y－题意知≥3a2－12a－256≥0解a整数13
答案：13
5解析：设P(tt2－1)Q(ss2－1)
∵BP⊥PQ∴－1
t2+(s－1)t－s+10
∵t∈R∴必须Δ(s－1)2+4(s－1)≥0s2+2s－3≥0
解s≤－3s≥1
答案：(－∞－3∪1+∞)
三6解：设A(x1y1）B(x2y2)
(1－k2）x2+2kx－20
∵直线AB双曲线左支交AB两点
解－＜k＜－1
7解：抛物线y24x焦点F(10)准线l：x－1
(1)设P(xy)B(2x－12y)椭圆中心O′|FO′|∶|BF|e设点Bl距离d|BF|∶de∴|FO′|∶|BF||BF|∶d(2x－2)2+(2y)22x(2x－2)化简P点轨迹方程y2x－1(x＞1)
(2)设Q(xy)|MQ|
(ⅰ)m－≤1m≤时函数t[x－(m－)2]+m－(1+∞)递增t值|MQ|值
(ⅱ)m－＞1m＞时函数t[x2－(m－)2]+m－xm－处值m－∴|MQ|min
8解：(1)ABOD直线分x轴y轴O原点建立面直角坐标系
∵|PA|+|PB||QA|+|QB|2＞|AB|4
∴曲线C原点中心AB焦点椭圆
设长半轴a短半轴b半焦距c2a2∴ac2b1
∴曲线C方程+y21
(2)设直线l方程ykx+2
代入+y21(1+5k2)x2+20kx+150
Δ(20k)2－4×15(1+5k2)＞0k2＞图知λ
韦达定理
x1λx2代入
两式相
①
MDN中间∴λ＜1 ②
∵k存时显然λ (时直线ly轴重合)
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圆锥曲线综合问题包括：解析法应圆锥曲线关定值问题值问题参数问题应题探索性问题圆锥曲线知识联系圆锥曲线知识三角复数等代数知识横联系解答部分试题需较强代数运算力图形认识力准确进行数形语言转换运算推理转换运算程中注意思维严密性保证结果完整
●难点磁场
(★★★★)椭圆1(a＞b＞0)直线l：x+y1第象限两交点求ab满足条件画出点P(ab)存区域
●案例探究
［例1］已知圆k定点A(a0)(a＞0)圆心k抛物线C：y22ax运动MN圆ky轴截弦
(1)试问MN长否圆心k运动变化？
(2)|OA||OM||ON|等差中项时抛物线C准线圆k样位置关系？
命题意图：题考查圆锥曲线科综合知识学生综合灵活处理问题力属
★★★★★级题目
知识托：弦长公式韦达定理等差中项绝值等式元二次等式等知识
错解分析：判断dR关系时x0范围学生容易忽略
技巧方法：第(2)问需目标转化判断dx0+R
解：(1)设圆心k(x0y0)y022ax0
圆k半径R|AK|
∴|MN|22a(定值)
∴弦MN长圆心k运动变化
(2)设M(0y1)N(0y2)圆k：(x－x0)2+(y－y0)2x02+a2中
令x0y2－2y0y+y02－a20
∴y1y2y02－a2
∵|OA||OM||ON|等差中项
∴|OM|+|ON||y1|+|y2|2|OA|2a
|MN||y1－y2|2a
∴|y1|+|y2||y1－y2|
∴y1y2≤0y02－a2≤02ax0－a2≤0
∴0≤x0≤
圆心k抛物线准线距离dx0+≤a圆k半径R≥a
两式时取等号圆k必准线相交
［例2］图已知椭圆1(2≤m≤5)左焦点斜率1直线椭圆准线交点左右序ABCD设f(m)||AB|－|CD||
(1)求f(m)解析式
(2)求f(m)值
命题意图：题考查利解析知识建立函数关系式求值体现圆锥曲线代数间科间综合属★★★★★级题目
知识托：直线圆锥曲线交点韦达定理根判式利单调性求函数值
错解分析：第(1)问中注意验证2≤m≤5时直线椭圆恒交点
技巧方法：第(1)问中注意xAxD相反数迅速||AB|－|CD||化简第(2)问利函数单调性求值常方法
解：(1)设椭圆半长轴半短轴半焦距次abca2mb2m－1c2a2－b21
∴椭圆焦点F1(－10)F2(10)
直线方程yx+1椭圆准线方程x±x±m
∴A(－m－m+1)D(mm+1)
考虑方程组消y：(m－1)x2+m(x+1)2m(m－1)
整理：(2m－1)x2+2mx+2m－m20
Δ4m2－4(2m－1)(2m－m2)8m(m－1)2
∵2≤m≤5∴Δ＞0恒成立xB+xC
∵ABCD直线yx+1
∴|AB||xB－xA|(xB－xA)·|CD|(xD－xC)
∴||AB|－|CD|||xB－xA+xD－xC||(xB+xC)－(xA+xD)|
∵xA－mxDm∴xA+xD0
∴||AB|－|CD|||xB+xC|·||· (2≤m≤5)
f(m)m∈［25］
(2)f(m)知f(m)
2－≤2－≤2－
∴f(m)∈［］
f(m)值时m2f(m)值时m5
［例3］舰A舰B正东6千米处舰C舰B北偏西30°B相距4千米准备捕海洋动物某时刻A发现动物信号4秒BC时发现种信号A发射麻醉炮弹设舰动物均静止动物信号传播速度1千米秒炮弹速度千米秒中g重力加速度计空气阻力舰高问舰A发射炮弹方位角仰角应少？
命题意图：考查圆锥曲线实际问题中应实际问题转化成数学问题力属★★★★★级题目
知识托：线段垂直分线性质双曲线定义两点间距离公式斜抛运动曲线方程
错解分析：答题准确握点P位置(线段BC垂直分线AB焦点抛物线)应方位角概念掌握清楚
技巧方法：通建立恰直角坐标系实际问题转化成解析问题求解空间物体定位般利声音传播时间差建立方程
解：取AB直线x轴AB中点原点建立图示直角坐标系题意知ABC舰坐标(30)(－30)(－52)
BC时发现动物信号记动物位置P|PB||PC|P线段BC中垂线易求方程x－3y+70
AB两舰发现动物信号时间差4秒知|PB|－|PA|4知P双曲线1右支
直线双曲线交点(85)动物P位置利两点间距离公式|PA|10
已知两点斜率公式kPA直线PA倾斜角60°舰A发射炮弹方位角应北偏东30°
设发射炮弹仰角θ初速度v0
∴sin2θ∴仰角θ30°
●锦囊妙计
解决圆锥曲线综合题关键熟练掌握种圆锥曲线定义标准方程图形性质注意挖掘知识联系规律通知识重新组合达巩固知识提高力目
(1)求曲线方程中参数取值范围问题需构造参数满足等式通求等式(组)求参数取值范围建立关参数目标函数转化函数值域
(2)圆锥曲线值问题解法常两种：题目条件结明显体现特征意义考虑利数形结合法解题目条件结体现种明确函数关系先建立目标函数求函数值
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)已知ABC三点曲线y横坐标次1m4(1＜m＜4)△ABC面积时m等( )
A3 B C D
2(★★★★★)设uv∈R|u|≤v＞0(u－v)2+()2值( )
A4 B2 C8 D2
二填空题
3(★★★★★)A椭圆长轴端点O椭圆中心椭圆存点P
∠OPA椭圆离心率范围_________
4(★★★★)辆卡车高3米宽16米欲通抛物线形隧道拱口宽恰抛物线通径长拱口宽a米卡车通a整数值_________
5(★★★★★)已知抛物线yx2－1定点B(－10)两动点PQP抛物线运动时BP⊥PQQ点横坐标取值范围_________
三解答题
6(★★★★★)已知直线ykx－1双曲线x2－y21左支交AB两点条直线l点P(－20)线段AB中点Q求直线ly轴截距b取值范围
7(★★★★★)已知抛物线C：y24x
(1)椭圆左焦点相应准线抛物线C焦点F准线l分重合试求椭圆短轴端点B焦点F连线中点P轨迹方程
(2)M(m0)x轴定点Q(1)求轨迹点试问|MQ|值？求出值没说明理
8(★★★★★)图半圆AB半圆直径O半圆圆心OD⊥ABQ线段OD中点已知|AB|4曲线CQ点动点P曲线C运动保持|PA|+|PB|值变
(1)建立适面直角坐标系求曲线C方程
(2)D点直线l曲线C相交两点MNMDN间设λ求λ取值范围
［学法指导］样学圆锥曲线
圆锥曲线代数进行完美结合助纯代数解决手段研究曲线概念性质直线圆锥曲线位置关系数学家笛卡尔开创坐标系天已开始
高考中然重点客观题必少易中难题皆需做：
1重点掌握椭圆双曲线抛物线定义性质圆锥曲线基石高考中题目涉容
2重视求曲线方程曲线轨迹处作高考解答题命题象难度较掌握住般方法：定义法直接法定系数法相关点法参数法等
3加强直线圆锥曲线位置关系问题复处直高考热点类问题常涉圆锥曲线性质直线基知识点线段中点弦长垂直问题分析问题时利数形结合思想设求法弦长公式韦达定理联系解决样加强数学种力考查
4重视数学思想方法进行纳提炼达优化解题思维简化解题程
(1)方程思想
解析题目部分方程形式定直线圆锥曲线直线圆锥曲线相交弦长问题利韦达定理进行整体处理简化解题运算量
(2)函数思想方法
圆锥曲线动点变化程中会引入相互联系相互制约量线长度abce间构成函数关系函数思想处理类问题时效
(3)掌握坐标法
坐标法解决关圆锥曲线问题基方法年考查坐标法加强坐标法训练
参考答案
难点磁场
解：方程组消y整理(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)0 ①
椭圆直线l第象限两交点充条件方程①区间(01）两相异实根令f(x)(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)
时满足述四条件点P(ab)存区域图示阴影部分：
歼灭难点训练
1解析：题意知A(11)B(m)C(42)
直线AC方程x－3y+20
点B该直线距离d
∵m∈(14)∴时S△ABC值时m
答案：B
2解析：考虑式子意义转化求圆x2+y22点双曲线xy9点距离值
答案：C
二3解析：设椭圆方程1(a＞b＞0)OA直径圆：x2－ax+y20两式联立消yx2－ax+b20e2x2－ax+b20该方程解x2解a韦达定理x2－a0＜x2＜a0＜－a＜a＜e＜1
答案：＜e＜1
4解析：题意设抛物线方程x2－ayx时y－x08时y－题意知≥3a2－12a－256≥0解a整数13
答案：13
5解析：设P(tt2－1)Q(ss2－1)
∵BP⊥PQ∴－1
t2+(s－1)t－s+10
∵t∈R∴必须Δ(s－1)2+4(s－1)≥0s2+2s－3≥0
解s≤－3s≥1
答案：(－∞－3∪1+∞)
三6解：设A(x1y1）B(x2y2)
(1－k2）x2+2kx－20
∵直线AB双曲线左支交AB两点
解－＜k＜－1
7解：抛物线y24x焦点F(10)准线l：x－1
(1)设P(xy)B(2x－12y)椭圆中心O′|FO′|∶|BF|e设点Bl距离d|BF|∶de∴|FO′|∶|BF||BF|∶d(2x－2)2+(2y)22x(2x－2)化简P点轨迹方程y2x－1(x＞1)
(2)设Q(xy)|MQ|
(ⅰ)m－≤1m≤时函数t[x－(m－)2]+m－(1+∞)递增t值|MQ|值
(ⅱ)m－＞1m＞时函数t[x2－(m－)2]+m－xm－处值m－∴|MQ|min
8解：(1)ABOD直线分x轴y轴O原点建立面直角坐标系
∵|PA|+|PB||QA|+|QB|2＞|AB|4
∴曲线C原点中心AB焦点椭圆
设长半轴a短半轴b半焦距c2a2∴ac2b1
∴曲线C方程+y21
(2)设直线l方程ykx+2
代入+y21(1+5k2)x2+20kx+150
Δ(20k)2－4×15(1+5k2)＞0k2＞图知λ
韦达定理
x1λx2代入
两式相
①
MDN中间∴λ＜1 ②
∵k存时显然λ (时直线ly轴重合)
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