难点6 函数值域求法
函数值域求法年高考考查重点容节帮助考生灵活掌握求值域种方法会函数值域解决实际应问题
●难点磁场
(★★★★★)设m实数记M{m|m>1}f(x)log3(x2－4mx+4m2+m+)
(1)证明：m∈M时f(x)实数意义反f(x)实数x意义m∈M
(2)m∈M时求函数f(x)值
(3)求证：m∈M函数f(x)值1
●案例探究
［例1］设计幅宣传画求画面面积4840 cm2画面宽高λ(λ<1)画面留8 cm空白左右留5 cm空白样确定画面高宽尺寸宣传画纸张面积？果求λ∈［］λ值时宣传画纸张面积？
命题意图：题考查建立函数关系式求函数值问题时考查运学知识解决实际问题力属★★★★★级题目
知识托：函数概念奇偶性值等基础知识
错解分析：证明S(λ)区间［］单调性容易出错次易应问题转化函数值问题解决
技巧方法：题属应问题关键建立数学模型问题转化函数值问题解决
解：设画面高x cm宽λx cmλx24840设纸张面积S cm2S(x+16)(λx+10)λx2+(16λ+10)x+160x代入式：S5000+44 (8+)8λ<1)时S取值时高：x88 cm宽：λx×8855 cm
果λ∈［］设≤λ1<λ2≤S表达式：
≥8－>0
∴S(λ1)－S(λ2)<0∴S(λ)区间［］单调递增
λ∈［］λ时S(λ)取值
答：画面高88 cm宽55 cm时纸张面积果求λ∈［］λ时纸张面积
［例2］已知函数f(x)x∈［1+∞
(1)a时求函数f(x)值
(2)意x∈［1+∞f(x)>0恒成立试求实数a取值范围
命题意图：题考查函数值单调性问题着重学生综合分析力运算力属★★★★级题目
知识托：题通求f(x)值问题求a取值范围体现转化思想分类讨思想
错解分析：考生易考虑求a取值范围问题转化函数值问题解决
技巧方法：解法运转化思想f(x)>0转化关x二次等式解法二运分类讨思想解
(1)解：a时f(x)x++2
∵f(x)区间［1+∞增函数
∴f(x)区间［1+∞值f(1)
(2)解法：区间［1+∞f(x) >0恒成立x2+2x+a>0恒成立
设yx2+2x+ax∈［1+∞
∵yx2+2x+a(x+1)2+a－1递增
∴x1时ymin3+a仅ymin3+a>0时函数f(x)>0恒成立a>－3
解法二：f(x)x++2x∈［1+∞
a≥0时函数f(x)值恒正
a<0时函数f(x)递增x1时f(x)min3+a
仅f(x)min3+a>0时函数f(x)>0恒成立a>－3
●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
(1)求函数值域
类问题利求函数值域常方法：配方法分离变量法单调性法图象法换元法等式法等什方法求函数值域必须考虑函数定义域
(2)函数综合性题目
类问题考查函数值域单调性奇偶性反函数等基知识相结合题目
类问题求考生具备较高数学思维力综合分析力较强运算力命题趋势中综合性题型会成热点重点逐渐加强
(3)运函数值域解决实际问题
类问题关键实际问题转化函数问题利学知识解决类题求考生具较强分析力数学建模力
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)函数yx2+ (x≤－)值域( )
A(－∞－ B［－+∞
C［+∞ D(－∞－］
2(★★★★)函数yx+值域( )
A(－∞1 B(－∞－1
CR D［1+∞
二填空题
3(★★★★★)批货物17列货车A市V千米时匀速直达B市已知两铁路线长400千米安全两列货车间距离()2千米 批物资全部运B市快需_________时(计货车车身长)
4(★★★★★)设x1x2方程4x2－4mx+m+20两实根m_________时x12+x22值_________
三解答题
5(★★★★★)某企业生产种产品时固定成5000元生产100台产品时直接消耗成增加2500元市场商品年需求量500台销售收入函数R(x)5x－x2(万元)(0≤x≤5)中x产品售出数量(单位：百台)
(1)利润表示年产量函数
(2)年产量少时企业利润？
(3)年产量少时企业亏？
6(★★★★)已知函数f(x)lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］
(1)f(x)定义域(－∞+∞)求实数a取值范围
(2)f(x)值域(－∞+∞)求实数a取值范围
7(★★★★★)某家电生产企业根市场调查分析决定调整产品生产方案准备周(120工时计算)生产空调器彩电冰箱360台冰箱少生产60台已知生产家电产品台需工时台产值表：
家电名称
空调器
彩电
冰箱
工时
产值(千元)
4
3
2
问周应生产空调器彩电冰箱少台产值高？高产值少？(千元单位)
8(★★★★)Rt△ABC中∠C90°斜边AB直线轴△ABC旋转周生成两圆锥设两圆锥侧面积积S1△ABC切圆面积S2记x
(1)求函数f(x)解析式求f(x)定义域
(2)求函数f(x)值
参考答案
难点磁场
(1)证明：先f(x)变形：f(x)log3［(x－2m)2+m+］
m∈M时m>1∴(x－m)2+m+>0恒成立f(x)定义域R
反f(x)实数x意义须x2－4mx+4m2+m+>0令Δ＜016m2－4(4m2+m+)＜0解m>1m∈M
(2)解析：设ux2－4mx+4m2+m+∵ylog3u增函数∴u时f(x)u(x－2m)2+m+显然xm时u取值m+时f(2m)log3(m+)值
(3)证明：m∈M时m+(m－1)+ +1≥3仅m2时等号成立
∴log3(m+)≥log331
歼灭难点训练
1解析：∵m1x2(－∞－）减函数m2(－∞－）减函数
∴yx2+x∈(－∞－)减函数
∴yx2+ (x≤－)值域［－+∞
答案：B
2解析：令t(t≥0)x
∵y+t－ (t－1)2+1≤1
∴值域(－∞1
答案：A
二3解析：t+16×()2V+≥28
答案：8
4解析：韦达定理知：x1+x2mx1x2∴x12+x22(x1+x2)2－2x1x2m2－(m－)2－x1x2实根∴Δ≥0∴m≤－1m≥2y(m－)2－区间(－∞1）减函数［2+∞增函数抛物线y开口m称轴m1时
ymin
答案：－1
三5解：(1）利润y指生产数量x产品售出总收入R(x)总成C(x)差题意x≤5时产品全部售出x>5时销售500台
y
(2）0≤x≤5时y－x2+475x－05x－475(百台）时ymax1078125(万元）x>5(百台）时y＜12－025×51075(万元）
生产475台时利润
(3）企业亏求
解5≥x≥475－≈01(百台）5＜x＜48(百台）时企业年产量10台4800台间时企业亏
6解：(1）题意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0切x∈R恒成立a2－1≠0时充条件
∴a＜－1a>a－1时f(x)0满足题意a1时合题意a≤－1a>求
(2）题意t(a2－1)x2+(a+1)x+1取(0+∞）值f(x)值域R解1＜a≤a2－10a1时t2x+1符合题意a－1时合题意∴1≤a≤求
7解：设周生产空调器彩电冰箱分x台y台z台题意：
x+y+z360 ①
②x>0y>0z≥60 ③
假定周总产值S千元S4x+3y+2z限制条件①②③求目标函数S值①②消zy360－3x ④
④代入①：x+(360－3x)+z360∴z2x ⑤
∵z≥60∴x≥30 ⑥
④⑤代入S中S4x+3(360－3x)+2·2xS－x+1080条件⑥式知x30时产值S值S－30+10801050(千元）x30分代入④⑤y360－90270z2×3060
∴周应生产空调器30台彩电270台冰箱60台产值产值1050千元
8解：(1）图示：设BCaCAbABc斜边AB高h
∴S1πah+πbh
∴f(x) ①
代入①消cf(x)
Rt△ABC中acsinAbccosA(0＜A＜
xsinA+cosAsin(A+)∴1＜x≤
(2)f(x) +6设tx－1t∈(0 －1)y2(t+)+6(0－1减函数∴x(－1)+1时f(x)值6+8
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函数值域求法年高考考查重点容节帮助考生灵活掌握求值域种方法会函数值域解决实际应问题
●难点磁场
(★★★★★)设m实数记M{m|m>1}f(x)log3(x2－4mx+4m2+m+)
(1)证明：m∈M时f(x)实数意义反f(x)实数x意义m∈M
(2)m∈M时求函数f(x)值
(3)求证：m∈M函数f(x)值1
●案例探究
［例1］设计幅宣传画求画面面积4840 cm2画面宽高λ(λ<1)画面留8 cm空白左右留5 cm空白样确定画面高宽尺寸宣传画纸张面积？果求λ∈［］λ值时宣传画纸张面积？
命题意图：题考查建立函数关系式求函数值问题时考查运学知识解决实际问题力属★★★★★级题目
知识托：函数概念奇偶性值等基础知识
错解分析：证明S(λ)区间［］单调性容易出错次易应问题转化函数值问题解决
技巧方法：题属应问题关键建立数学模型问题转化函数值问题解决
解：设画面高x cm宽λx cmλx24840设纸张面积S cm2S(x+16)(λx+10)λx2+(16λ+10)x+160x代入式：S5000+44 (8+)8λ<1)时S取值时高：x88 cm宽：λx×8855 cm
果λ∈［］设≤λ1<λ2≤S表达式：
≥8－>0
∴S(λ1)－S(λ2)<0∴S(λ)区间［］单调递增
λ∈［］λ时S(λ)取值
答：画面高88 cm宽55 cm时纸张面积果求λ∈［］λ时纸张面积
［例2］已知函数f(x)x∈［1+∞
(1)a时求函数f(x)值
(2)意x∈［1+∞f(x)>0恒成立试求实数a取值范围
命题意图：题考查函数值单调性问题着重学生综合分析力运算力属★★★★级题目
知识托：题通求f(x)值问题求a取值范围体现转化思想分类讨思想
错解分析：考生易考虑求a取值范围问题转化函数值问题解决
技巧方法：解法运转化思想f(x)>0转化关x二次等式解法二运分类讨思想解
(1)解：a时f(x)x++2
∵f(x)区间［1+∞增函数
∴f(x)区间［1+∞值f(1)
(2)解法：区间［1+∞f(x) >0恒成立x2+2x+a>0恒成立
设yx2+2x+ax∈［1+∞
∵yx2+2x+a(x+1)2+a－1递增
∴x1时ymin3+a仅ymin3+a>0时函数f(x)>0恒成立a>－3
解法二：f(x)x++2x∈［1+∞
a≥0时函数f(x)值恒正
a<0时函数f(x)递增x1时f(x)min3+a
仅f(x)min3+a>0时函数f(x)>0恒成立a>－3
●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
(1)求函数值域
类问题利求函数值域常方法：配方法分离变量法单调性法图象法换元法等式法等什方法求函数值域必须考虑函数定义域
(2)函数综合性题目
类问题考查函数值域单调性奇偶性反函数等基知识相结合题目
类问题求考生具备较高数学思维力综合分析力较强运算力命题趋势中综合性题型会成热点重点逐渐加强
(3)运函数值域解决实际问题
类问题关键实际问题转化函数问题利学知识解决类题求考生具较强分析力数学建模力
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)函数yx2+ (x≤－)值域( )
A(－∞－ B［－+∞
C［+∞ D(－∞－］
2(★★★★)函数yx+值域( )
A(－∞1 B(－∞－1
CR D［1+∞
二填空题
3(★★★★★)批货物17列货车A市V千米时匀速直达B市已知两铁路线长400千米安全两列货车间距离()2千米 批物资全部运B市快需_________时(计货车车身长)
4(★★★★★)设x1x2方程4x2－4mx+m+20两实根m_________时x12+x22值_________
三解答题
5(★★★★★)某企业生产种产品时固定成5000元生产100台产品时直接消耗成增加2500元市场商品年需求量500台销售收入函数R(x)5x－x2(万元)(0≤x≤5)中x产品售出数量(单位：百台)
(1)利润表示年产量函数
(2)年产量少时企业利润？
(3)年产量少时企业亏？
6(★★★★)已知函数f(x)lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］
(1)f(x)定义域(－∞+∞)求实数a取值范围
(2)f(x)值域(－∞+∞)求实数a取值范围
7(★★★★★)某家电生产企业根市场调查分析决定调整产品生产方案准备周(120工时计算)生产空调器彩电冰箱360台冰箱少生产60台已知生产家电产品台需工时台产值表：
家电名称
空调器
彩电
冰箱
工时
产值(千元)
4
3
2
问周应生产空调器彩电冰箱少台产值高？高产值少？(千元单位)
8(★★★★)Rt△ABC中∠C90°斜边AB直线轴△ABC旋转周生成两圆锥设两圆锥侧面积积S1△ABC切圆面积S2记x
(1)求函数f(x)解析式求f(x)定义域
(2)求函数f(x)值
参考答案
难点磁场
(1)证明：先f(x)变形：f(x)log3［(x－2m)2+m+］
m∈M时m>1∴(x－m)2+m+>0恒成立f(x)定义域R
反f(x)实数x意义须x2－4mx+4m2+m+>0令Δ＜016m2－4(4m2+m+)＜0解m>1m∈M
(2)解析：设ux2－4mx+4m2+m+∵ylog3u增函数∴u时f(x)u(x－2m)2+m+显然xm时u取值m+时f(2m)log3(m+)值
(3)证明：m∈M时m+(m－1)+ +1≥3仅m2时等号成立
∴log3(m+)≥log331
歼灭难点训练
1解析：∵m1x2(－∞－）减函数m2(－∞－）减函数
∴yx2+x∈(－∞－)减函数
∴yx2+ (x≤－)值域［－+∞
答案：B
2解析：令t(t≥0)x
∵y+t－ (t－1)2+1≤1
∴值域(－∞1
答案：A
二3解析：t+16×()2V+≥28
答案：8
4解析：韦达定理知：x1+x2mx1x2∴x12+x22(x1+x2)2－2x1x2m2－(m－)2－x1x2实根∴Δ≥0∴m≤－1m≥2y(m－)2－区间(－∞1）减函数［2+∞增函数抛物线y开口m称轴m1时
ymin
答案：－1
三5解：(1）利润y指生产数量x产品售出总收入R(x)总成C(x)差题意x≤5时产品全部售出x>5时销售500台
y
(2）0≤x≤5时y－x2+475x－05x－475(百台）时ymax1078125(万元）x>5(百台）时y＜12－025×51075(万元）
生产475台时利润
(3）企业亏求
解5≥x≥475－≈01(百台）5＜x＜48(百台）时企业年产量10台4800台间时企业亏
6解：(1）题意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0切x∈R恒成立a2－1≠0时充条件
∴a＜－1a>a－1时f(x)0满足题意a1时合题意a≤－1a>求
(2）题意t(a2－1)x2+(a+1)x+1取(0+∞）值f(x)值域R解1＜a≤a2－10a1时t2x+1符合题意a－1时合题意∴1≤a≤求
7解：设周生产空调器彩电冰箱分x台y台z台题意：
x+y+z360 ①
②x>0y>0z≥60 ③
假定周总产值S千元S4x+3y+2z限制条件①②③求目标函数S值①②消zy360－3x ④
④代入①：x+(360－3x)+z360∴z2x ⑤
∵z≥60∴x≥30 ⑥
④⑤代入S中S4x+3(360－3x)+2·2xS－x+1080条件⑥式知x30时产值S值S－30+10801050(千元）x30分代入④⑤y360－90270z2×3060
∴周应生产空调器30台彩电270台冰箱60台产值产值1050千元
8解：(1）图示：设BCaCAbABc斜边AB高h
∴S1πah+πbh
∴f(x) ①
代入①消cf(x)
Rt△ABC中acsinAbccosA(0＜A＜
xsinA+cosAsin(A+)∴1＜x≤
(2)f(x) +6设tx－1t∈(0 －1)y2(t+)+6(0－1减函数∴x(－1)+1时f(x)值6+8
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