难点30 概 率
概率高考重点容尤新增机变量部分容充分注意重概念实际意义理解概率处理问题基思想方法
●难点磁场
(★★★★★)图ABC三类元件连接成两系统N1N2元件ABC正常工作时系统N1正常工作元件A正常工作元件BC少正常工作时系统N2正常工作已知元件ABC正常工作概率次080090090分求系统N1N2正常工作概率P1P2
●案例探究
［例1］(★★★★★)容量50样数分组组频率数：
［1015］4 ［30359 ［15205 ［35408 ［202510 ［40453 ［253011
(1)列出样频率分布表(含累积频率)
(2)画出频率分布直方图累积频率分布图
命题意图：题考查频率分布表频率分布直方图累积频率分布图画法
知识托：频率累积频率概念频率分布表直方图累积频率分布图画法
错解分析：解答题时计算容易出现失误注意频率分布累积频率分布区
技巧方法：题关键掌握三种表格区联系
解：(1)数计算频率分布表
数段
［1015
［1520
［2025
［2530
［3035
［3540
［4045
总计
频数
4
5
10
11
9
8
3
50
频率
008
010
020
022
018
016
006
1
累积频率
008
018
038
060
078
094
1
(2)频率分布直方图累积频率分布图：
［例2］(★★★★★)某电器商年验发现店月售出电冰箱台数ζ机变量分布列：
ζ
1
2
3
……
12
P
……
设售出台电冰箱电器商获利300元销售出囤积仓库台月需花保养费100元问电器商月初购进少台电冰箱月均收益？
命题意图：题考查利概率中某知识期解决实际问题
知识托：期概念函数关知识
错解分析：题中求Ey难点稍慎产生失误
技巧方法：助概率分布期方差等知识解决日常生产生活中实际问题
解：设x月初电器商购进冰箱台数须考虑1≤x≤12情况设电器商月收益y元y机变量ζ函数y电器商均月获益均数数学期：Ey300x(Px+Px+1+…+P12)+［300－100(x－1)］P1+［2×300－100(x－2)］P2+…+［300(x－1)－100］Px－1
300x(12－x+1)+ ［300×］
(－2x2+38x)
x∈N求出x9x10时电器商月初购进9台10台电冰箱时收益
●锦囊妙记
章容分概率初步机变量两部分第部分包括等事件概率互斥事件发生概率相互独立事件时发生概率独立重复实验第二部分包括机变量离散型机变量期方差
涉思维方法：观察试验分析综合般化特殊化
思维形式：逻辑思维聚合思维形象思维创造性思维
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)甲射击命中目标概率乙命中目标概率丙命中目标概率现三时射击目标目标击中概率( )
2(★★★★)已知机变量ζ分布列：P(ζk)k123P(3ζ+5)等( )
A6 B9 C3 D4
二填空题
3(★★★★)1盒中9正品3废品次取1产品取出放回取正品前已取出废品数ζ期Eζ_________
4(★★★★)某班52男女半男女均分成两组班中选出4参加某项活动4恰组概率_________
三解答题
5(★★★★★)甲乙两进行次射击果两击中目标概率06计算：
(1)两击中目标概率
(2)中恰击中目标概率
(3)少击中目标概率
6(★★★★)已知连续型机变量ζ概率密度函数f(x)
(1)求常数a值画出ζ概率密度曲线
(2)求P(1＜ζ＜)
7(★★★★★)设P［05］机取值求方程x2+px+0实根概率
8(★★★★★)设部机器天发生障概率02机器发生障时全天停止工作周5工作日里均障获利润10万元发生次障获利润5万元发生两次障获利润0万元发生三次三次障亏损2万元求周期利润少？
参考答案
难点磁场
解：记元件ABC正常工作事件分ABC已知条件P(A)080 P(B)090P(C)090
(1)事件ABC相互独立系统N1正常工作概率P1P(A·B·C)P(A)P(B)P(C)0648系统N1正常工作概率0648
(2)系统N2正常工作概率P2P(A)·［1－P()］
P(A)·［1－P()P()］
080×［1－(1－090)(1－090)］0792
系统N2正常工作概率0792
歼灭难点训练
1解析：设甲命中目标事件A乙命中目标事件B丙命中目标事件C目标击中事件表示A+B+C击中目标表示事件ABC中少发生
目标击中概率1－P(··)1－
答案：A
2解析：Eξ(1+2+3)·2Eξ2(12+22+32)·
∴DξEξ2－(Eξ)2－22
∴D(3ξ+5)9Eξ6
答案：A
二3解析：条件知ξ取值0123P(ξ0)
答案：03
4解析：组数13组选1C种方法求概率P
答案：
三5解：(1)甲射击次击中目标做事件A乙射击次击中目标做事件B显然事件AB相互独立两射击次击中目标概率P(A·B)P(A)·P(B)06×06036
答：两击中目标概率036
(2)理两射击次甲击中乙未击中概率P(A·)P(A)·P()06×
(1－06)06×04024
甲未击中乙击中概率P(·B)P()P(B)024显然甲击中乙未击中甲未击中乙击中时发生事件A··B互斥恰击中目标概率P(A·)+P(·B)024+024048
答：中恰击中目标概率048
(2)两射击次少击中目标概率PP(A·B)+［P(A·)+P()·B］036+048084
答：少击中目标概率084
6解：(1)ξ区间概率总1 (1－a+2－a)·11
∴a
概率密度曲线图：
(2)P(1＜ξ＜)
7解：元二次方程实数根Δ≥0
ΔP2－4()P2－P－2(P+1)(P－2)
解P≤－1P≥2
求概率P
8解：X表示周5天机器发生障天数X－B(502)X概率分布P(Xk)C02k085－kk012345
Y表示周获利润
Yg(X)
Y概率分布：
P(Y10)P(X0)0850328
P(Y5)P(X1)C02·0840410
P(Y0)P(X2)C·022·0830205
P(Y－2)P(X≥3)1－P(X0)－P(X1)－P(X2)0057
周期利润：
EY10×0328+5×0410+0×0205－2×00575216(万元)
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概率高考重点容尤新增机变量部分容充分注意重概念实际意义理解概率处理问题基思想方法
●难点磁场
(★★★★★)图ABC三类元件连接成两系统N1N2元件ABC正常工作时系统N1正常工作元件A正常工作元件BC少正常工作时系统N2正常工作已知元件ABC正常工作概率次080090090分求系统N1N2正常工作概率P1P2
●案例探究
［例1］(★★★★★)容量50样数分组组频率数：
［1015］4 ［30359 ［15205 ［35408 ［202510 ［40453 ［253011
(1)列出样频率分布表(含累积频率)
(2)画出频率分布直方图累积频率分布图
命题意图：题考查频率分布表频率分布直方图累积频率分布图画法
知识托：频率累积频率概念频率分布表直方图累积频率分布图画法
错解分析：解答题时计算容易出现失误注意频率分布累积频率分布区
技巧方法：题关键掌握三种表格区联系
解：(1)数计算频率分布表
数段
［1015
［1520
［2025
［2530
［3035
［3540
［4045
总计
频数
4
5
10
11
9
8
3
50
频率
008
010
020
022
018
016
006
1
累积频率
008
018
038
060
078
094
1
(2)频率分布直方图累积频率分布图：
［例2］(★★★★★)某电器商年验发现店月售出电冰箱台数ζ机变量分布列：
ζ
1
2
3
……
12
P
……
设售出台电冰箱电器商获利300元销售出囤积仓库台月需花保养费100元问电器商月初购进少台电冰箱月均收益？
命题意图：题考查利概率中某知识期解决实际问题
知识托：期概念函数关知识
错解分析：题中求Ey难点稍慎产生失误
技巧方法：助概率分布期方差等知识解决日常生产生活中实际问题
解：设x月初电器商购进冰箱台数须考虑1≤x≤12情况设电器商月收益y元y机变量ζ函数y电器商均月获益均数数学期：Ey300x(Px+Px+1+…+P12)+［300－100(x－1)］P1+［2×300－100(x－2)］P2+…+［300(x－1)－100］Px－1
300x(12－x+1)+ ［300×］
(－2x2+38x)
x∈N求出x9x10时电器商月初购进9台10台电冰箱时收益
●锦囊妙记
章容分概率初步机变量两部分第部分包括等事件概率互斥事件发生概率相互独立事件时发生概率独立重复实验第二部分包括机变量离散型机变量期方差
涉思维方法：观察试验分析综合般化特殊化
思维形式：逻辑思维聚合思维形象思维创造性思维
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)甲射击命中目标概率乙命中目标概率丙命中目标概率现三时射击目标目标击中概率( )
2(★★★★)已知机变量ζ分布列：P(ζk)k123P(3ζ+5)等( )
A6 B9 C3 D4
二填空题
3(★★★★)1盒中9正品3废品次取1产品取出放回取正品前已取出废品数ζ期Eζ_________
4(★★★★)某班52男女半男女均分成两组班中选出4参加某项活动4恰组概率_________
三解答题
5(★★★★★)甲乙两进行次射击果两击中目标概率06计算：
(1)两击中目标概率
(2)中恰击中目标概率
(3)少击中目标概率
6(★★★★)已知连续型机变量ζ概率密度函数f(x)
(1)求常数a值画出ζ概率密度曲线
(2)求P(1＜ζ＜)
7(★★★★★)设P［05］机取值求方程x2+px+0实根概率
8(★★★★★)设部机器天发生障概率02机器发生障时全天停止工作周5工作日里均障获利润10万元发生次障获利润5万元发生两次障获利润0万元发生三次三次障亏损2万元求周期利润少？
参考答案
难点磁场
解：记元件ABC正常工作事件分ABC已知条件P(A)080 P(B)090P(C)090
(1)事件ABC相互独立系统N1正常工作概率P1P(A·B·C)P(A)P(B)P(C)0648系统N1正常工作概率0648
(2)系统N2正常工作概率P2P(A)·［1－P()］
P(A)·［1－P()P()］
080×［1－(1－090)(1－090)］0792
系统N2正常工作概率0792
歼灭难点训练
1解析：设甲命中目标事件A乙命中目标事件B丙命中目标事件C目标击中事件表示A+B+C击中目标表示事件ABC中少发生
目标击中概率1－P(··)1－
答案：A
2解析：Eξ(1+2+3)·2Eξ2(12+22+32)·
∴DξEξ2－(Eξ)2－22
∴D(3ξ+5)9Eξ6
答案：A
二3解析：条件知ξ取值0123P(ξ0)
答案：03
4解析：组数13组选1C种方法求概率P
答案：
三5解：(1)甲射击次击中目标做事件A乙射击次击中目标做事件B显然事件AB相互独立两射击次击中目标概率P(A·B)P(A)·P(B)06×06036
答：两击中目标概率036
(2)理两射击次甲击中乙未击中概率P(A·)P(A)·P()06×
(1－06)06×04024
甲未击中乙击中概率P(·B)P()P(B)024显然甲击中乙未击中甲未击中乙击中时发生事件A··B互斥恰击中目标概率P(A·)+P(·B)024+024048
答：中恰击中目标概率048
(2)两射击次少击中目标概率PP(A·B)+［P(A·)+P()·B］036+048084
答：少击中目标概率084
6解：(1)ξ区间概率总1 (1－a+2－a)·11
∴a
概率密度曲线图：
(2)P(1＜ξ＜)
7解：元二次方程实数根Δ≥0
ΔP2－4()P2－P－2(P+1)(P－2)
解P≤－1P≥2
求概率P
8解：X表示周5天机器发生障天数X－B(502)X概率分布P(Xk)C02k085－kk012345
Y表示周获利润
Yg(X)
Y概率分布：
P(Y10)P(X0)0850328
P(Y5)P(X1)C02·0840410
P(Y0)P(X2)C·022·0830205
P(Y－2)P(X≥3)1－P(X0)－P(X1)－P(X2)0057
周期利润：
EY10×0328+5×0410+0×0205－2×00575216(万元)
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