难点26 垂直行
垂直行高考重点容考查容灵活样节帮助考生深刻理解线面行垂直面面行垂直判定性质利解决问题
●难点磁场
(★★★★)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中A1C1B1C12DD1分ABA1B1中点面A1ABB1⊥面A1B1C1异面直线AB1C1B互相垂直
(1)求证：AB1⊥C1D1
(2)求证：AB1⊥面A1CD
(3)AB13求直线AC面A1CD成角
●案例探究
［例1］两全等正方形ABCDABEF面相交ABM∈ACN∈FBAMFN求证：MN∥面BCE
命题意图：题考查线面行判定面面行判定性质面知识属★★★★级题目
知识托：解决题关键找出面条直线该面外条直线行线()∥线(外)线(外)∥面转化证两面行
错解分析：证法二中证线面行通转化证两面行正确找出MN面关键
技巧方法：证法利线面行判定证明证法二采转化思想通证面面行证线面行
证法：作MP⊥BCNQ⊥BEPQ垂足MP∥ABNQ∥AB
∴MP∥NQAMNFACBF
∴MCNB∠MCP∠NBQ45°
∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MPNQ四边形MPQN行四边形
∴MN∥PQ
∵PQ面BCEMN面BCE外
∴MN∥面BCE
证法二：图M作MH⊥ABHMH∥BC
∴
连结NHBFACFNAM
∴MN∥面BCE
［例2］斜三棱柱A1B1C1—ABC中底面等腰三角形ABAC侧面BB1C1C⊥底面ABC
(1)DBC中点求证：AD⊥CC1
(2)侧面BB1C1C角线BC1面交侧棱MAMMA1求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C
(3)AMMA1截面MBC1⊥面BB1C1C充条件？请叙述判断理
命题意图：题考查线面垂直面面垂直判定性质属★★★★★级题目
知识托：线面垂直面面垂直判定性质
错解分析：(3)结证必性时辅助线重新作出
技巧方法：题属知识组合题类关键题目中条件思考分析掌握做类题目般技巧方法巧妙作辅助线
(1)证明：∵ABACDBC中点∴AD⊥BC
∵底面ABC⊥面BB1C1C∴AD⊥侧面BB1C1C
∴AD⊥CC1
(2)证明：延长B1A1BM交N连结C1N
∵AMMA1∴NA1A1B1
∵A1B1A1C1∴A1C1A1NA1B1
∴C1N⊥C1B1
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C∴C1N⊥侧面BB1C1C
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C
(3)解：结肯定充分性已(2)证明面证必性
M作ME⊥BC1E∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C
∴ME⊥侧面BB1C1C∵AD⊥侧面BB1C1C
∴ME∥AD∴MEDA面
∵AM∥侧面BB1C1C∴AM∥DE
∵CC1⊥AM∴DE∥CC1
∵DBC中点∴EBC1中点
∴AMDEAA1∴AMMA1
●锦囊妙计
垂直行涉题目解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：
1行转化
2垂直转化
垂直行判定某垂直行开始转垂直行终达目
例：两面垂直时般性质定理面作交线垂线转化线面垂直然进步转化线线垂直
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)长方体ABCD—A1B1C1D1中底面边长2正方形高4点A1截面AB1D1距离( )
A B C D
2(★★★★)直二面角α—l—β中直线aα直线bβabl斜交( )
Aab垂直a∥b Bab垂直a∥b
Cab垂直ab行 Dab行a⊥b
二填空题
3(★★★★★)设XYZ空间直线面面四种情形X⊥ZY⊥ZX∥Y真命题_________(填序号)
①XYZ直线 ②XY直线Z面 ③Z直线XY面 ④XYZ面
4(★★★★)设ab异面直线列命题正确_________
①ab点P定作条直线ab相交
②ab点P定作面ab垂直
③a定作面b垂直
④a定作面b行
三解答题
5(★★★★)图四棱锥P—ABCD中底面ABCD矩形侧棱PA垂直底面EF分ABPC中点
(1)求证：CD⊥PD
(2)求证：EF∥面PAD
(3)面PCD面ABCD成角时直线EF⊥面PCD？
6(★★★★)图正三棱锥A—BCD中∠BAC30°ABa行ADBC截面EFGH分交ABBDDCCA点EFGH
(1)判定四边形EFGH形状说明理
(2)设P棱AD点AP值时面PBC⊥面EFGH请出证明
7(★★★★)图正三棱柱ABC—A1B1C1棱长相等DE分CC1AB1中点点FBC满足BF∶FC1∶3
(1)MAB中点求证：BB1∥面EFM
(2)求证：EF⊥BC
(3)求二面角A1—B1D—C1
8(★★★★★)图已知行六面体ABCD—A1B1C1D1底面菱形∠C1CB
∠C1CD∠BCD60°
(1)证明：C1C⊥BD
(2)假定CD2CC1记面C1BDα面CBDβ求二面角α—BD—β面角余弦值
(3)值少时A1C⊥面C1BD？
参考答案
难点磁场
1(1)证明：∵A1C1B1C1D1A1B1中点∴C1D1⊥A1B1D1
∵面A1ABB1⊥面A1B1C1∴C1D1⊥面A1B1BA
AB1面A1ABB1∴AB1⊥C1D1
(2)证明：连结D1D∵DAB中点∴DD1CC1∴C1D1∥CD(1)CD⊥AB1∵C1D1⊥面A1ABB1C1B⊥AB1三垂线定理BD1⊥AB1
∵A1D∥D1B∴AB1⊥A1DCD∩A1DD∴AB1⊥面A1CD
(3)解：(2)AB1⊥面A1CDO连结CO1∠ACO直线AC面A1CD成角
∵AB13ACA1C12∴AO1∴sinOCA
∴∠OCA
歼灭难点训练
1解析：图设A1C1∩B1D1O1∵B1D1⊥A1O1B1D1⊥AA1∴B1D1⊥面AA1O1面AA1O1⊥AB1D1交线AO1面AA1O1A1作A1H⊥AO1H易知A1H长点A1面AB1D1距离Rt△A1O1A中A1O1AO13A1O1·A1Ah·AO1A1H
答案：C
2解析：图l取点PP分αβ作a′∥ab′∥ba′取点AA作AC⊥l垂足CAC⊥βC作CB⊥b′交b′B连AB三垂线定理知AB⊥b′
∴△APB直角三角形∠APB锐角
答案：C
二3解析：①假命题直线XYZ位正方体三条点棱时反例②③真命题④假命题面XYZ位正方体三点侧面时反例
答案：②③
4④
三5证明：(1)∵PA⊥底面ABCD∴ADPD面ABCD射影
∵CD面ABCDCD⊥AD∴CD⊥PD
(2)取CD中点G连EGFG
∵EF分ABPC中点∴EG∥ADFG∥PD
∴面EFG∥面PADEF∥面PAD
(3）解：面PCD面ABCD成45°角时直线EF⊥面PCD
证明：GCD中点EG⊥CD(1)知FG⊥CD∠EGF面PCD面ABCD成二面角面角∠EGF45°∠ADP45°ADAP
Rt△PAE≌Rt△CBEPECE
FPC中点∴EF⊥PCCD⊥EGCD⊥FGCD⊥面EFGCD⊥EFEF⊥CDEF⊥面PCD
6(1)证明：
理EF∥FG∴EFGH行四边形
∵A—BCD正三棱锥∴A底面射影O△BCD中心
∴DO⊥BC∴AD⊥BC
∴HG⊥EH四边形EFGH矩形
(2)作CP⊥ADP点连结BP∵AD⊥BC∴AD⊥面BCP
∵HG∥AD∴HG⊥面BCPHG面EFGH面BCP⊥面EFGH
Rt△APC中∠CAP30°ACa∴APa
7(1)证明：连结EMMF∵ME分正三棱柱棱ABAB1中点
∴BB1∥MEBB1面EFM∴BB1∥面EFM
(2)证明：取BC中点N连结AN正三棱柱：AN⊥BC
BF∶FC1∶3∴FBN中点MF∥AN
∴MF⊥BCBC⊥BB1BB1∥ME
∴ME⊥BCMF∩MEM∴BC⊥面EFM
EF面EFM∴BC⊥EF
(3)解：取B1C1中点O连结A1O知A1O⊥面BCC1B1点O作B1D垂线OQ垂足Q连结A1Q三垂线定理A1Q⊥B1D∠A1QD二面角A1—B1D—C面角易∠A1QOarctan
8(1)证明：连结A1C1ACACBD交点O连结C1O
∵四边形ABCD菱形∴AC⊥BDBCCD
∵∠BCC1∠DCC1C1C公边∴△C1BC≌△C1DC∴C1BC1D
∵DOOB∴C1O⊥BDAC⊥BDAC∩C1OO
∴BD⊥面AC1C1C面AC1∴C1C⊥BD
(2)解：(1)知AC⊥BDC1O⊥BD∴∠C1OC二面角α—BD—β面角
△C1BC中BC2C1C∠BCC160°∴C1B222+()2－2×2××cos60°
∵∠OCB30°∴OBBC1C1OC1OC1C
作C1H⊥OC垂足HHOC中点OH∴cosC1OC
(3)解：(1)知BD⊥面AC1∵A1O面AC1∴BD⊥A1C1时行六面体六面全等菱形理证BC1⊥A1C∵BD∩BC1B∴A1C⊥面C1BD
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垂直行高考重点容考查容灵活样节帮助考生深刻理解线面行垂直面面行垂直判定性质利解决问题
●难点磁场
(★★★★)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中A1C1B1C12DD1分ABA1B1中点面A1ABB1⊥面A1B1C1异面直线AB1C1B互相垂直
(1)求证：AB1⊥C1D1
(2)求证：AB1⊥面A1CD
(3)AB13求直线AC面A1CD成角
●案例探究
［例1］两全等正方形ABCDABEF面相交ABM∈ACN∈FBAMFN求证：MN∥面BCE
命题意图：题考查线面行判定面面行判定性质面知识属★★★★级题目
知识托：解决题关键找出面条直线该面外条直线行线()∥线(外)线(外)∥面转化证两面行
错解分析：证法二中证线面行通转化证两面行正确找出MN面关键
技巧方法：证法利线面行判定证明证法二采转化思想通证面面行证线面行
证法：作MP⊥BCNQ⊥BEPQ垂足MP∥ABNQ∥AB
∴MP∥NQAMNFACBF
∴MCNB∠MCP∠NBQ45°
∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MPNQ四边形MPQN行四边形
∴MN∥PQ
∵PQ面BCEMN面BCE外
∴MN∥面BCE
证法二：图M作MH⊥ABHMH∥BC
∴
连结NHBFACFNAM
∴MN∥面BCE
［例2］斜三棱柱A1B1C1—ABC中底面等腰三角形ABAC侧面BB1C1C⊥底面ABC
(1)DBC中点求证：AD⊥CC1
(2)侧面BB1C1C角线BC1面交侧棱MAMMA1求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C
(3)AMMA1截面MBC1⊥面BB1C1C充条件？请叙述判断理
命题意图：题考查线面垂直面面垂直判定性质属★★★★★级题目
知识托：线面垂直面面垂直判定性质
错解分析：(3)结证必性时辅助线重新作出
技巧方法：题属知识组合题类关键题目中条件思考分析掌握做类题目般技巧方法巧妙作辅助线
(1)证明：∵ABACDBC中点∴AD⊥BC
∵底面ABC⊥面BB1C1C∴AD⊥侧面BB1C1C
∴AD⊥CC1
(2)证明：延长B1A1BM交N连结C1N
∵AMMA1∴NA1A1B1
∵A1B1A1C1∴A1C1A1NA1B1
∴C1N⊥C1B1
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C∴C1N⊥侧面BB1C1C
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C
(3)解：结肯定充分性已(2)证明面证必性
M作ME⊥BC1E∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C
∴ME⊥侧面BB1C1C∵AD⊥侧面BB1C1C
∴ME∥AD∴MEDA面
∵AM∥侧面BB1C1C∴AM∥DE
∵CC1⊥AM∴DE∥CC1
∵DBC中点∴EBC1中点
∴AMDEAA1∴AMMA1
●锦囊妙计
垂直行涉题目解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：
1行转化
2垂直转化
垂直行判定某垂直行开始转垂直行终达目
例：两面垂直时般性质定理面作交线垂线转化线面垂直然进步转化线线垂直
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)长方体ABCD—A1B1C1D1中底面边长2正方形高4点A1截面AB1D1距离( )
A B C D
2(★★★★)直二面角α—l—β中直线aα直线bβabl斜交( )
Aab垂直a∥b Bab垂直a∥b
Cab垂直ab行 Dab行a⊥b
二填空题
3(★★★★★)设XYZ空间直线面面四种情形X⊥ZY⊥ZX∥Y真命题_________(填序号)
①XYZ直线 ②XY直线Z面 ③Z直线XY面 ④XYZ面
4(★★★★)设ab异面直线列命题正确_________
①ab点P定作条直线ab相交
②ab点P定作面ab垂直
③a定作面b垂直
④a定作面b行
三解答题
5(★★★★)图四棱锥P—ABCD中底面ABCD矩形侧棱PA垂直底面EF分ABPC中点
(1)求证：CD⊥PD
(2)求证：EF∥面PAD
(3)面PCD面ABCD成角时直线EF⊥面PCD？
6(★★★★)图正三棱锥A—BCD中∠BAC30°ABa行ADBC截面EFGH分交ABBDDCCA点EFGH
(1)判定四边形EFGH形状说明理
(2)设P棱AD点AP值时面PBC⊥面EFGH请出证明
7(★★★★)图正三棱柱ABC—A1B1C1棱长相等DE分CC1AB1中点点FBC满足BF∶FC1∶3
(1)MAB中点求证：BB1∥面EFM
(2)求证：EF⊥BC
(3)求二面角A1—B1D—C1
8(★★★★★)图已知行六面体ABCD—A1B1C1D1底面菱形∠C1CB
∠C1CD∠BCD60°
(1)证明：C1C⊥BD
(2)假定CD2CC1记面C1BDα面CBDβ求二面角α—BD—β面角余弦值
(3)值少时A1C⊥面C1BD？
参考答案
难点磁场
1(1)证明：∵A1C1B1C1D1A1B1中点∴C1D1⊥A1B1D1
∵面A1ABB1⊥面A1B1C1∴C1D1⊥面A1B1BA
AB1面A1ABB1∴AB1⊥C1D1
(2)证明：连结D1D∵DAB中点∴DD1CC1∴C1D1∥CD(1)CD⊥AB1∵C1D1⊥面A1ABB1C1B⊥AB1三垂线定理BD1⊥AB1
∵A1D∥D1B∴AB1⊥A1DCD∩A1DD∴AB1⊥面A1CD
(3)解：(2)AB1⊥面A1CDO连结CO1∠ACO直线AC面A1CD成角
∵AB13ACA1C12∴AO1∴sinOCA
∴∠OCA
歼灭难点训练
1解析：图设A1C1∩B1D1O1∵B1D1⊥A1O1B1D1⊥AA1∴B1D1⊥面AA1O1面AA1O1⊥AB1D1交线AO1面AA1O1A1作A1H⊥AO1H易知A1H长点A1面AB1D1距离Rt△A1O1A中A1O1AO13A1O1·A1Ah·AO1A1H
答案：C
2解析：图l取点PP分αβ作a′∥ab′∥ba′取点AA作AC⊥l垂足CAC⊥βC作CB⊥b′交b′B连AB三垂线定理知AB⊥b′
∴△APB直角三角形∠APB锐角
答案：C
二3解析：①假命题直线XYZ位正方体三条点棱时反例②③真命题④假命题面XYZ位正方体三点侧面时反例
答案：②③
4④
三5证明：(1)∵PA⊥底面ABCD∴ADPD面ABCD射影
∵CD面ABCDCD⊥AD∴CD⊥PD
(2)取CD中点G连EGFG
∵EF分ABPC中点∴EG∥ADFG∥PD
∴面EFG∥面PADEF∥面PAD
(3）解：面PCD面ABCD成45°角时直线EF⊥面PCD
证明：GCD中点EG⊥CD(1)知FG⊥CD∠EGF面PCD面ABCD成二面角面角∠EGF45°∠ADP45°ADAP
Rt△PAE≌Rt△CBEPECE
FPC中点∴EF⊥PCCD⊥EGCD⊥FGCD⊥面EFGCD⊥EFEF⊥CDEF⊥面PCD
6(1)证明：
理EF∥FG∴EFGH行四边形
∵A—BCD正三棱锥∴A底面射影O△BCD中心
∴DO⊥BC∴AD⊥BC
∴HG⊥EH四边形EFGH矩形
(2)作CP⊥ADP点连结BP∵AD⊥BC∴AD⊥面BCP
∵HG∥AD∴HG⊥面BCPHG面EFGH面BCP⊥面EFGH
Rt△APC中∠CAP30°ACa∴APa
7(1)证明：连结EMMF∵ME分正三棱柱棱ABAB1中点
∴BB1∥MEBB1面EFM∴BB1∥面EFM
(2)证明：取BC中点N连结AN正三棱柱：AN⊥BC
BF∶FC1∶3∴FBN中点MF∥AN
∴MF⊥BCBC⊥BB1BB1∥ME
∴ME⊥BCMF∩MEM∴BC⊥面EFM
EF面EFM∴BC⊥EF
(3)解：取B1C1中点O连结A1O知A1O⊥面BCC1B1点O作B1D垂线OQ垂足Q连结A1Q三垂线定理A1Q⊥B1D∠A1QD二面角A1—B1D—C面角易∠A1QOarctan
8(1)证明：连结A1C1ACACBD交点O连结C1O
∵四边形ABCD菱形∴AC⊥BDBCCD
∵∠BCC1∠DCC1C1C公边∴△C1BC≌△C1DC∴C1BC1D
∵DOOB∴C1O⊥BDAC⊥BDAC∩C1OO
∴BD⊥面AC1C1C面AC1∴C1C⊥BD
(2)解：(1)知AC⊥BDC1O⊥BD∴∠C1OC二面角α—BD—β面角
△C1BC中BC2C1C∠BCC160°∴C1B222+()2－2×2××cos60°
∵∠OCB30°∴OBBC1C1OC1OC1C
作C1H⊥OC垂足HHOC中点OH∴cosC1OC
(3)解：(1)知BD⊥面AC1∵A1O面AC1∴BD⊥A1C1时行六面体六面全等菱形理证BC1⊥A1C∵BD∩BC1B∴A1C⊥面C1BD
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