中考第一次摸底考试数学试题及答案 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1． －3的绝对值等于（ ） Ａ． Ｂ．3 Ｃ． Ｄ． 2．截止到2017年底，某市人口约为2 720 000人，将2 720 000用科学计数法表示为( ) A．2.72×105 B．2.72×106 C．2.72×107 D．2.72×108 3．如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（ ） A、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B、有一个角是直角的四边形是矩形 C、对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形 5．某中学篮球队12名队员的年龄如下表： 年龄：（岁） 13 14 15 16 人数 1 5 4 2 关于这12名队员的年龄，下列说法错误的是( ) A．众数是14岁 B．极差是3岁 C．中位数是14.5岁D．平均数是14.8岁 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是( ) A．＜1＜ B．1＜-a＜b C．1＜＜b D．-b＜a＜-1 7．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． 8．如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（ ） A．4 B．﹣2 C．2 D．无法确定 9．对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（ ） A．它的图象必经过点（﹣1，3） B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当x＞1时，y＜0 D．y的值随x值的增大而增大 10．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．．函数的自变量x的取值范围________ 。 12．sin60°的相反数是________。 13．一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为______． 14．分解因式：= ___________ ． 15．已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1 _________ y2．（用＞、＜、=填空）． 16．圆锥的底面半径是1，侧面积是2π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 ． 17．如图，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB= ． 18．下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，第1个图案①需4根火柴棒，第2个图案②需10根火柴棒，第3个图案③需16根火柴棒，…，按此规律，第n个图案需________ 根火柴棒． 三、解答题(本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题4分）计算： ． 20．（本题4分）先化简再求值：，其中满足. 21．（本题5分）已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根， 求a2﹣a+b+3ab的值． 22．（本题6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B（m，n），连结OB．若S△AOB=6，S△BOC=2． （1）求一次函数的表达式； （2）求反比例函数的表达式． 23．（本题7分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG． （1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由； （2）若∠ABC=60°，∠C=45°，DE=，求BC的长． 24．（本题7分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入﹣成本），并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 25．（本题7分） 某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类(篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活动中任选一项(只能选一项)参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级(2)班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图： 八年级(2)班参加球类活动人数情况统计表 项目 篮球 足球 乒乓球 排球 羽毛球 人数 a 6 5 7 6 八年级(2)班学生参加球类 活动人数情况扇形统计图 根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)a＝ ，b＝ ． (2)该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约 人； (3)该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学(A，B，C)和2位女同学(D，E)，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率． 26. （本题8分）某服装店用4 500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2 100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元． (1)这两次各购进这种衬衫多少件？ (2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1 950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？ 27．（本题9分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，O为BC的中点，动点E在BA边上移动，动点F在AC边上移动． (1)当点E，F分别为边BA，AC的中点时，求线段EF的长； (2)当∠EOF＝45°时， ①设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式； ②若以O为圆心的圆与AB相切(如图)，试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论． 28.（本题9分）如图，已知抛物线y=+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP 的面积最大时，求点P的坐标； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、选择题:（3分×10=30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 B B C D D A B C C C 二、填空题:（3分×8=24分） 11、x≠1 12、 13、 14、 15、> 16、180° 17、 18、（6n-2） 三、解答题(本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （本题4分）计算： 解：原式解：原式=-2-1+ 2 ………………………….3分（算对一个1分） = -1 ……………………………..4分（结论一分） 20．（本题4分） 解：原式===，........................2分 ∵， ∴， 即原式=2． ...................….…..4分 21．（本题5分） 解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个 ∴a+b=2，ab=-1； 且a2﹣2a﹣1=0即 a2=2a+1 ； ................3分 a2-a+b+3ab=2a+1-a+b3ab =a+b+1+3ab=2+1-3=0． ................... .......5分 根 22．（本题6分） 解：（1）∵S△AOB=6，S△BOC=2， ∴S△AOC=4， ∴•2•OC=4，解得OC=4， …………………………………….1分 ∴C点坐标为（0，4）， 把A（﹣2，0），C（0，4）代入y=ax+b， 得，解得， ∴一次函数解析式为y=2x+4 …………………………………….3分 （2）设B为（m，2m+4）， ∵S△BOC=2， ∴×4×m=2，解得m=1， ∴B点坐标为（1，6） …………………………………….5分 把B（1，6）代入y= 得k=1×6=6， ∴反比例函数解析式为y=． …………………………………….6分 23．（本题7分） 解：（1）四边形EBGD为菱形； ……………….1分 理由：∵EG垂直平分BD， ∴EB=ED，GB=GD， ∴∠EBD=∠EDB， ∵∠EBD=∠DBC， ∴∠EDF=∠GBF， ∴DE∥BG，同理BE∥DG， ∴四边形BEDG为平行四边形， 又∵DE=BE，∴四边形EBGD为菱形； ……………….4分 （2）如答图，过D作DM⊥BC于M，由（1）知，∠DGC=∠ABC=60°，∠DBM=∠ABC=30°，DE=DG=， ∴在Rt△DMG中，得DM=3，在Rt△DMB中，得BM=，………….5分 又∵∠C=45°，∴CM=DM=3， ……………….6分 ∴BC=3+． ……………….7分 其他正确的证明方法可参照此标准给分。 24．（本题7分）解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，将（50，100），（60，80）分别代入表达式，得 ， 解得， …………………………………….2分 即y与x之间的函数表达式是y=﹣2x+200； ………………………………….3分 （2）由题意可得， W=（x﹣40）（﹣2x+200）=﹣2x2+280x﹣8000， ………………….4分 即W与x之间的函数表达式是W=﹣2x2+280x﹣8000； ∵W=﹣2x2+280x﹣8000=﹣2（x﹣70）2+1800， ∴当x=70时，W取得最大值，此时W=1800， …………………….6分 答：售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．……………….7分 25．（本题7分） 解：(1)a＝16，b＝17.5． ……………….2分 (2)90 ……………….3分 (3)解：如图， 共有20种等可能的结果， 两名同学恰为一男一女的有12种情况 ……………….6分 ∴P(恰好选到一男一女)＝＝ .……………….7分 26．（本题8分） 解：(1)设第一批衬衫每件进价是x元，则第二批每件进价是(x－10)元，根据题意，得 .……………….1分 ×＝ . .……………….3分 解得x＝150 经检验，x＝150是原方程的解． …………… 4分 ∴第一批衬衫每件进价是150元，第二批衬衫每件进价是140元． ＝30(件)，＝15(件)． 答：第一批衬衫进了30件，第二批进了15件． . .……………….5分 (2)设第二批衬衫每件售价y元，根据题意，得 30×(200－150)＋15(y－140)≥1 950. 解得y≥170. 答：第二批衬衫每件至少要售170元． . .………………. 8分 27．（本题9分） 解：(1)在△ABC中， AB＝AC＝2，∠A＝90°， ∴根据勾股定理， 得BC＝＝2 .. .………………. 1分 ∵点E，F分别为边BA，AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线． ∴EF＝ .. .………………. 3分 (2)①在△OEB和△FOC中， ∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠B＝45°. ∵∠EOB＋∠FOC＝135°，∠EOB＋∠OEB＝135°， ∴∠FOC＝∠OEB. 又∵∠B＝∠C， ∴△OEB∽△FOC. ∴＝. ∵BE＝x，CF＝y，OB＝OC＝， ∴＝，即y＝，(1≤x≤2.）（不写范围不扣分）. .………………. 6分 ②解：直线EF与⊙O相切， . .………………. 7分 理由：∵△OEB∽△FOC， ∴＝. ∴＝，即＝. 又∵∠B＝∠EOF＝45°， ∴△BEO∽△OEF. ∴∠BEO＝∠OEF. ∴点O到AB和EF的距离相等． ∵AB与⊙O相切， ∴点O到EF的距离等于⊙O的半径． ∴直线EF与⊙O相切．. .………………. 9分 28. 解：（1）将A（0，1），B（﹣9，10）代入函数解析式， 得 解得， 抛物线的解析式y=+2x+1；…………. 3分 （2）∵AC∥x轴，A（0，1）， ∴x2+2x+1=1，解得x1=﹣6，x2=0，∴C点坐标为（﹣6，1），……4分 ∵点A（0，1），点B（﹣9，10）， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，设P（m， m2+2m+1）， ∴E（m，﹣m+1）， ∴PE=﹣m+1﹣（m2+2m+1）=﹣m2﹣3m， ∵AC⊥PE，AC=6，…………. 5分 ∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC•EF+AC•PF， =AC•（EF+PF）=AC•EP=×6（﹣m2﹣3m）=﹣m2﹣9m=﹣（m+）2+， ∵﹣6＜m＜0，（不写范围不扣分） ∴当m=﹣时，四边形AECP的面积最大值是，此时P（﹣，﹣） (7分) （3）Q点的坐标为（﹣4，1）或（3，1）．…………. 9分 注：每写出1个坐标点得1分 附解析∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2， ∴顶点P（﹣3，﹣2）． ∴PF=2+1=3，CF=6﹣3=3， ∴PF=CF，PC=3， ∴∠PCF=45°， 同理可得∠EAF=45°， ∴∠PCF=∠EAF， ∵A（0，1），B（﹣9，10）， ∴AB==9， ∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1）， ∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似， ①当△CPQ∽△ABC时， =， ，CQ=2，（7分） ∴Q（﹣4，1）；（8分） ②当△CPQ∽△ACB时，则， ∴=，CQ=9 ∴Q（3，1）； 综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为（﹣4，1）或（3，1）．
