高二数学试题 第 1 页 （ 4 页）
2019—2020 学年第学期普通高中期末质量检测
高二数学试题
试卷 4 页．满分 150 分．
注意事项：
1．答题前考生务必试题卷答题卡规定方填写姓名准考证号．考生
认真核答题卡粘贴条形码准考证号姓名考生准考证号姓名否致．
2．选择题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑．需改
动橡皮擦干净选涂答案标号．非选择题 05 毫米黑色签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答案效．
3．考试结束考生必须试卷答题卡交回．
单选题：题 8 题题 5 分 40 分．题出四选项中
选项符合题目求．
1．已知直线l 倾斜角 45 斜率
A． 3 B．1 C． 2
2
D． 3
3

2 已知i 虚数单位复数 2i
1i
A 1i B 1i C 1i D 1i
3 计算
1
0 38(3 π)()27  
A 7 π3  B 2
3 C 1
2 D 1
3

4．(1 2) 圆心原点圆方程
A 22( 1) ( 2) 5xy    B 22( 1) ( 2) 5xy   
C 22( 1) ( 2) 5xy    D 22( 1) ( 2) 5xy   
5．双曲线
2
2 14
yx 渐线方程
A 1
4yx B 1
2yx C 2yx D 4yx
6．函数 21yxx图象致





A B C D 高二数学试题 第 2 页 （ 4 页）
x
y
z
AB
CD
A1 B1
C1D1
7． π π[]22xy sin sin 0x x y y列等式定成立
A． xy B． xy C． xy D． xy
8．已知直线 l ( ) (| | 2)y t k x t t    圆 224O x y交点 k 值值分
Mm | | | |log logttMm 值
A．1 B．0 C． 1 D．
2
|| 2
2log ( )4t
t
t 

二选题：题 4 题题 5 分 20 分．题出四选项中选
项符合题目求全部选 5 分选全 3 分选错 0 分．
9．已知方程 221( )mx ny m n  R
A． 0mn  时方程表示椭圆 B． 0mn  时方程表示双曲线
C． 0m  时方程表示两条直线 D．方程表示曲线抛物线
10．图长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 15 4 3AB AD AA   直线 DA DC
1DD 分 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系
A点 1B 坐标 4 5 3
B点 1C 关点 B 称点 5 8 3
C点 A关直线 1BD 称点 0 5 3
D点C 关面 11ABB A 称点 8 5 0
11．列说法正确
A．命题 xy xy | | | |xy 真命题
B．直线 10ax y   直线 20x ay   行 1a  逆命题真命题
C． p ： xR 2 10xx   p ： xR 2 10xx  
D．{ ln( 1)}x x y x   [1 )x  充条件
12．已知函数 3( ) exf x x结正确
A ()fx R 单调递增 B
1
2
5(log 2) < (e ) < (ln π)f f f

C．方程 ( ) 1fx 实数解 D．存实数 k 方程 ()f x kx 4 实数解
高二数学试题 第 3 页 （ 4 页）
三填空题：题 4 题题 5 分 20 分．
13．已知直线 2 1 0l x y   点 1 2 垂直l 直线方程 ．
14．迎接 2022 年北京冬奥会短道速滑队组织甲乙丙等 6 名队员参加选拔赛赛结
果没列名次．记甲第名 p 乙第名 q 丙第名r
pq 真命题 pr（） 真命题第名 ．
15．已知 ()fx定义 R 奇函数 0x  时 32( ) 2 3f x x x a   ( 2)f 
曲线 ()y f x 点( 2 ( 2))f处切线方程 ． (第空 2 分第二空 3 分)
16．设原点直线双曲线
22
221yxC
ab
( 0 0)ab交 PQ 两点F C
焦点 4tan 3PFQ ∠ | | 5| |QF PF 双曲线 离心率 ．
四解答题：题 6 题 70 分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．（10 分）
已知i 虚数单位复数  2 i 4 2i iz     ．
（1）求复数 z 模||z
（2） 1 3iz mz n    （mnR z 轭复数）求 m n 值．

18．（12 分）
已知函数 2 0()
log 0
x
a
xfx
xx
   
[ ( 2)] 1ff   ．
（1）求实数 a 值
（2） [ 22)x 时求 ()fx值域．

19．（12 分）
已知动点 P y 轴右侧点 轴距离点  1 0F 距离1 ．
（1）求动点 P 轨迹C 方程
（2）设斜率 1 点 (1 2)M 直线交 AB两点直线 MA MB 斜率分
12kk求 12kk 值．

高二数学试题 第 4 页 （ 4 页）
AB
CD
P
O
20．（ 12 分）
已知四棱锥 P ABCD 底面 ABCD等腰梯形 AB CD AC BD O
22AO OC 2 2 PA PB AB AC PB    ．
（1）证明：面 PBD 面 ABCD
（2）求二面角 A PD B余弦值．



21．（12 分）
阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）仅著名物理学家著名数学家
利逼法椭圆面积圆周率 π 等椭圆长半轴短半轴积已知面
直角坐标系 xOy 中椭圆C：
22
221( 0)xy abab    面积23π 两焦点短轴
顶点构成等边三角形
（1）求椭圆C 标准方程
（2）点 (1 0)P 直线l C 交两点 AB求 OAB△ 面积值


22．（12 分）
已知函数 ( ) ln ( )f x x ax a  R
（1）讨 ()fx单调性
（2） 极值点 0x 两零点 12xx  1 2 0 1 2 0x x mx x x   恒成立求实
数 m 取值范围．
高二数学试题答案 第 1 页 （ 5 页）


高二数学试题答案评分参考
评分说明：
1．解答出种种解法供参考果考生解法解答根试题
考查容评分标准制定相应评分细
2．计算题考生解答某步出现错误时果继部分解答未改变该题
容难度视影响程度决定继部分分超该部分正确解答应分数半
果继部分解答较严重错误分
3．解答右端注分数表示考生正确做步应累加分数
4．整数分数选择题填空题中间分
单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C C D D B
二选题
9 BD 10 ACD 11 AB 12 BCD
三填空题
13 2 4 0xy   14 乙 15 4 12 20 0xy   16 2
四解答题
17 解：（1） 2 i 4 2i)iz    （
2 i 4i 2 4 3iz       3 分
22| | 4 3 5z  5 分
（2）（1）知 4 3iz  4 3iz  6 分
4 3i (43i) 13iz mz n m n        
4 4 (3 3 )i 1 3im n m      8 分
4 4 1
3 3 3
mn
m
  
 
解 0
3
m
n

 
10 分
18 解：（1）已知 2 1( 2) 2 4f  2 分
11[ ( 2)] ( ) log44af f f   4 分
令 1log 14a  解 4a  6 分
（2） [ 20]x 时 ( ) 2xfx 区间[ 20] 单调递增
1( ) [ 1]4fx 8 分 高二数学试题答案 第 2 页 （ 5 页）

(02)x 时 4( ) logf x x 区间(02) 单调递增
1()()2fx  10 分
综 [ 22)x 时函数 ()fx值域 ( 1] 12 分
19．解法：（1）题意动点 P 轨迹抛物线（原点）
焦点 (10)F准线 1x  3 分
设方程 2 2 ( 0)y px p 12
p  解 2p 
动点 轨迹C 方程 2 4 ( 0)y x x 5 分
（2）设直线 ( 3)AB y x b b    11()A x y 22()B x y

2 4

yx
y x b
 
   

2
4
yyb   2 4 4 0y y b   7 分
Δ 16 16 0b   1b  124yy   8 分

2
1
1 4
yx 
2
2
2 4
yx 
2 1 2 1
12 2 2 2 2
2 1 2 1
2 2 4( 2) 4( 2)
441144
y y y ykk
y y y y
      


12
2 1 2 1
4( 2 2)44 02 2 ( 2)( 2)
yy
y y y y
        
120kk． 12 分
解法二：（1）解法． 5 分
（2）设 12()yy 直线l 交点
21
22
21 12
4
44
AB
yyk yyyy

7 分
直线 斜率 1
12
4 1yy 8 分


． 12 分
高二数学试题答案 第 3 页 （ 5 页）

z
yx
O
P
DC
BA
20 解：（1）等腰梯形 ABCD中 2OA OB 22AB 
2 2 2AB OA OB   OA OB AC BD 2 分
PB AC BD PB B AC 面 PBD 3 分
AC  面 ABCD面 PBD 面 ABCD 4 分






（2）连接 PO (1)知 面 AC PO
222PO PA OA   2 2 2PB PO OB PO OB 5 分
OA OB OA OB OP 直线分 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系
     200 0 10 002ADP 7 分
设面 PAD 法量  x y zn    20 2 0 1 2PA PD    
0
0
PA
PD
 

n
n
2 2 0
2 0
xz
yz

  
令 1z  1 2xy  
面 法量  1 2 1n 9 分
面 面 PBD 法量  1 0 0m 10 分
6cos 6
mnmn mn 二面角 A PD B余弦值 6
6
12 分
21．解：（1）题意
2 2 2
2 3
2

ab
ac
a b c
 
 
 
2 分
解
2
3
a
b
 
高二数学试题答案 第 4 页 （ 5 页）

椭圆C 标准方程
22
143
yx  4 分
（2）题意直线l 斜率 0设直线l 方程 1x my 5 分
方程组 22
1
143
x my
yx
 
22(3 4) 6 9 0m y my    7 分
设 11()A x y 22()B x y
12 2
6
34
myy
m
  

12 2
9
34
yy
m
  

8 分

2
2
1 2 1 2 1 2 2
12 1| | ( ) 4
34
my y y y y y
m
     

9 分
12
1 | | | |2OABS OP y y   △
2
2
61
34
m
m


10 分
令 2 1tm（ 1t  ） 221mt
2
66
1313
OAB
tS
t t t

 
△ 11 分
13t t [1 ) 单调递增
1t  0m  时 OAB△ 面积取值 3
2
12 分
22 解：（1）()fx定义域 0 11() axf x axx
    1 分
① 0a  时 ( ) 0fx  ()fx 0 单调递增 2 分
② 0a  时令 ( ) 0fx  1x a
10 x a 时 ( ) 0fx  1x a 时 ( ) 0fx 
1(0 )a
单调递增 1()a  单调递减 4 分
（2）（1）知  0
1 0xaa 5 分 高二数学试题答案 第 5 页 （ 5 页）

12xx ()fx两零点 11
22
ln
ln
x ax
x ax
 
 2
21
1
ln x a x xx   6 分
 1 2 0 1 2 0x x mx x x   恒成立  12
12 0m x xxx a
   恒成立
 1 2 1 2 0ax x m x x    恒成立  2 1 2
12
1 2 1
ln 0x x x m x xx x x
   
恒成立
妨设 12xx
22
2 2 1
1 1 2
ln 0x x xmx x x
   恒成立 2 2 1
1 1 2
ln 0x x xmx x x
   

恒成立
令  2
1
1x ttx  1ln ( ) 0t m t t    1t   恒成立 8 分
1ln 0 0ttt   0m  时 成立
令 1( ) ln ( )g t t m t t  

22
2 2 2
1 1 (1 )(1) 0 ( ) (1 ) m t t mt t mg g t mt t t t
        
① 1
2m  时        22 2 21 1 11 1 1 2 1 02 2 2m t t t t t t t       
( ) 0gt  ()gt区间 1  单调递减
1t  时 ( ) (1) 0g t g恒成立 10 分
② 1 02 m   时 方程 2 0mt t m   21 4 0m   
方程 两根 12tt 1 2 1 2
11 0t t t t m     妨设 1201tt  
 21tt 时 2 0mt t m     0gt 
()gt区间 21 t 单调递增时 ( ) (1) 0g t g
 1t   恒成立
综述 m 取值范围 1(]2  12 分

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