实验目
综合实验旨考察训练学生微分方程建模Matlb编程灵活运通实验解数学建模基思想熟练掌握数学软件解决数学问题方法提高学生综合力
二实验容
1已知微分方程组
满足初始条件．
（1） 求述微分方程组初值问题特解(解析解)画出解函数图形．
（2） 分ode23ode45求述微分方程组初值问题数值解(似解)求解区间．利画图较两种求解器间差异．
2分 Euler 折线法四阶 RungeKutta 法求解微分方程初值问题
数值解(步长h取01)求解范围区间[03] ．
3海防某部缉私艇雷达发现正东方15海里处艘走私船正20海里时速度正北方行驶缉私艇立40 海里时速度前拦截雷达进行踪时保持缉私艇速度方始终指走私船建立意时刻缉私艇位置缉私艇航线数学模型确定缉私艇追走私船位置求出追时间画出航线图形通改变速度等参数进行讨
三 实验方案（程序设计说明）
第1题： dsolve 函数ode23ode45求解器编程求解
第2题：利 Euler 折线法四阶 RungeKutta 法递推公式编程求解
第3题：实验方案：
()建立模型
时刻缉私艇位置原点正东方正轴方正北方正y轴方建立直角坐标系缉私艇走私船初始距离设缉私艇行驶路程缉私艇航线点切线轴正夹角
缉私艇：速度初始位置 时刻位置
走私艇：速度初始位置 时刻位置
题意方程：
(1)
方程(1)缉私艇意时刻位置数学模型
两边求导化简：
(2)
(3)
令(2)(3)：
(4)
方程(4)缉私艇航线数学模型
(二)模型求解
令代入(4)
积分化简：
取两边倒数：
两式相加化简：
积分化简：
中
式缉私艇航线方程
题意缉私艇追走私艇时：
题条件：：
缉私艇半时点恰追走私艇
取：
取：
程序运行结果见文
四实验步骤程序（调试正确源程序）
第1题：
M函数文件funm
function xxfun(tx)
xx[x(1)x(2) x(2)x(1)]
程序文件prog1m
clearsyms x y t
fprintf(＇特解＼n＇)
[xy]dsolve(＇Dx+x+y0＇＇Dy+xy0＇＇x(0)1＇＇y(0)0＇＇t＇)
figure(1)ezplot(xy[02])
clearfigure(2)
y0[10]
[txx]ode45(＇fun＇[02]y0)
subplot(121)plot(xx(1)xx(2)＇r＇＇LineWidth＇2)
title(＇ode45＇)
hold on
cleary0[10]
[txx]ode23(＇fun＇[02]y0)
subplot(122)plot(xx(1)xx(2)＇b＇＇LineWidth＇3)
title(＇ode23＇)
第2题：
Euler折线法：prog2_1m
clear
fsym(＇yexp(x)*cos(x)＇)
a0 b3
h01
n(ba)h+1
x0 y1
szj[xy]
for i1n1
yy+h*subs(f{＇x＇＇y＇}{xy})
xx+h
szj[szjxy]
end
szj
plot(szj(1)szj(2)＇or＇)
RungeKutta 法：prog2_2m
clear
fsym(＇yexp(x)*cos(x)＇)
a0 b3 h01
n(ba)h+1
x0 y1
szj[xy]
for i1n1
l1subs(f{＇x＇＇y＇}{xy})
l2subs(f{＇x＇＇y＇}{x+h2y+l1*h2})
l3subs(f{＇x＇＇y＇}{x+h2y+l2*h2})
l4subs(f{＇x＇＇y＇}{x+hy+l3*h})
yy+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)6
xx+h
szj[szjxy]
end
szj
plot(szj(1)szj(2) ＇dg＇)
第3题：
解析法：
prog3_1m
vz20
a15
x000515
hold on
vj40kvzvj
yja2*(((ax)a)^(1+k)(1+k)((ax)a)^(1k)(1k))+a*k(1k^2)
plot(xyj＇r＇＇LineWidth＇2)
disp([＇缉私艇速度40＇＇(15＇＇＇num2str(yj(length(yj)))＇)＇＇追走私艇时＇num2str(yj(length(yj))vz*60)＇分钟＇])
vj130kvzvj1
yj1a2*(((ax)a)^(1+k)(1+k)((ax)a)^(1k)(1k))+a*k(1k^2)
plot(xyj1＇g＇＇LineWidth＇2)
disp([＇缉私艇速度30＇＇(15＇＇＇num2str(yj1(length(yj1)))＇)＇＇追走私艇时＇num2str(yj1(length(yj1))vz*60)＇分钟＇])
vj250kvzvj2
yj2a2*(((ax)a)^(1+k)(1+k)((ax)a)^(1k)(1k))+a*k(1k^2)
plot(xyj2＇b＇＇LineWidth＇2)
disp([＇缉私艇速度50＇＇(15＇＇＇num2str(yj2(length(yj2)))＇)＇＇追走私艇时＇num2str(yj2(length(yj2))vz*60)＇分钟＇])
maxlmax([yj(length(yj))yj1(length(yj1))yj2(length(yj2))])
xz[1515]yz[0maxl]
plot(15[yj(length(yj))yj1(length(yj1))yj2(length(yj2))]＇rs＇xzyz＇k＇＇LineWidth＇2＇)
legend(＇缉私艇速度40＇＇缉私艇速度30＇＇缉私艇速度50＇2)
axis([0160maxl+1])
数值法：
jstm
function dxjst(txvzvja)
ssqrt((ax(1))^2+(vz*tx(2))^2)
dx[vj*(ax(1))svj*(vz*tx(2))s]
prog3_2m
vz20vj40a15
tfa*vj(vj^2vz^2)
ts0005tf
x0[00]
optodeset(＇reltol＇1e6＇abstol＇1e9)
[tx]ode45(@jsttsx0optvzvja)
ttt(length(t))xtx(length(x)1)ytx(length(x)2)
fprintf(＇缉私艇s时追走私艇坐标(ss)＇num2str(tt)num2str(xt)num2str(yt))
figure(1)plot(tx＇LineWidth＇2)
title(＇x(t)y(t)图＇)gridgtext(＇x(t)＇) gtext(＇y(t)＇)
figure(2)plot(x(1)x(2)＇LineWidth＇2)
title(＇y(x)图＇)gridgtext(＇x＇)gtext(＇y＇)
五．程序运行结果
第1题：
特解
x
12*exp(2^(12)*t)+12*exp(2^(12)*t)14*2^(12)*exp(2^(12)*t)+14*2^(12)*exp(2^(12)*t)
y
14*2^(12)*exp(2^(12)*t)+14*2^(12)*exp(2^(12)*t)
第2题：
Euler折线法：
szj
0 10000
01000 10000
02000 09900
03000 09693
04000 09373
05000 08936
06000 08383
07000 07718
08000 06949
09000 06093
10000 05174
11000 04223
12000 03282
13000 02407
14000 01666
15000 01144
16000 00941
17000 01180
18000 02003
19000 03578
20000 06097
21000 09782
22000 14883
23000 21682
24000 30496
25000 41674
26000 55602
27000 72699
28000 93421
29000 118258
30000 147730
RungeKutta 法：
szj
0 10000
01000 09948
02000 09787
03000 09509
04000 09109
05000 08583
06000 07933
07000 07165
08000 06290
09000 05329
10000 04309
11000 03268
12000 02256
13000 01337
14000 00590
15000 00112
16000 00021
17000 00456
18000 01582
19000 03590
20000 06702
21000 11171
22000 17283
23000 25364
24000 35774
25000 48916
26000 65231
27000 85204
28000 109359
29000 138260
30000 172510
第3题：
prog3_1m（解析法）
缉私艇速度40(1510)追走私艇时30分钟
缉私艇速度30(1518)追走私艇时54分钟
缉私艇速度50(1571429)追走私艇时214286分钟
prog3_2m（数值法）
六．实验总结
综合实验考察微分方程求解利微分方程建立实际问题数学模型求知识点非常全面包括解微分方程Matlb编程等通实验解数学建模基思想进步掌握Matlb解决数学问题方法
实验中第3题解题程较复杂微分方程化简求解出解析解算法Matlab已函数求解模拟运动程时间水限没加入容应该继续努力
学生签名：
年 月 日
七．教师评语成绩
教师签名：
年 月 日
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综合实验旨考察训练学生微分方程建模Matlb编程灵活运通实验解数学建模基思想熟练掌握数学软件解决数学问题方法提高学生综合力
二实验容
1已知微分方程组
满足初始条件．
（1） 求述微分方程组初值问题特解(解析解)画出解函数图形．
（2） 分ode23ode45求述微分方程组初值问题数值解(似解)求解区间．利画图较两种求解器间差异．
2分 Euler 折线法四阶 RungeKutta 法求解微分方程初值问题
数值解(步长h取01)求解范围区间[03] ．
3海防某部缉私艇雷达发现正东方15海里处艘走私船正20海里时速度正北方行驶缉私艇立40 海里时速度前拦截雷达进行踪时保持缉私艇速度方始终指走私船建立意时刻缉私艇位置缉私艇航线数学模型确定缉私艇追走私船位置求出追时间画出航线图形通改变速度等参数进行讨
三 实验方案（程序设计说明）
第1题： dsolve 函数ode23ode45求解器编程求解
第2题：利 Euler 折线法四阶 RungeKutta 法递推公式编程求解
第3题：实验方案：
()建立模型
时刻缉私艇位置原点正东方正轴方正北方正y轴方建立直角坐标系缉私艇走私船初始距离设缉私艇行驶路程缉私艇航线点切线轴正夹角
缉私艇：速度初始位置 时刻位置
走私艇：速度初始位置 时刻位置
题意方程：
(1)
方程(1)缉私艇意时刻位置数学模型
两边求导化简：
(2)
(3)
令(2)(3)：
(4)
方程(4)缉私艇航线数学模型
(二)模型求解
令代入(4)
积分化简：
取两边倒数：
两式相加化简：
积分化简：
中
式缉私艇航线方程
题意缉私艇追走私艇时：
题条件：：
缉私艇半时点恰追走私艇
取：
取：
程序运行结果见文
四实验步骤程序（调试正确源程序）
第1题：
M函数文件funm
function xxfun(tx)
xx[x(1)x(2) x(2)x(1)]
程序文件prog1m
clearsyms x y t
fprintf(＇特解＼n＇)
[xy]dsolve(＇Dx+x+y0＇＇Dy+xy0＇＇x(0)1＇＇y(0)0＇＇t＇)
figure(1)ezplot(xy[02])
clearfigure(2)
y0[10]
[txx]ode45(＇fun＇[02]y0)
subplot(121)plot(xx(1)xx(2)＇r＇＇LineWidth＇2)
title(＇ode45＇)
hold on
cleary0[10]
[txx]ode23(＇fun＇[02]y0)
subplot(122)plot(xx(1)xx(2)＇b＇＇LineWidth＇3)
title(＇ode23＇)
第2题：
Euler折线法：prog2_1m
clear
fsym(＇yexp(x)*cos(x)＇)
a0 b3
h01
n(ba)h+1
x0 y1
szj[xy]
for i1n1
yy+h*subs(f{＇x＇＇y＇}{xy})
xx+h
szj[szjxy]
end
szj
plot(szj(1)szj(2)＇or＇)
RungeKutta 法：prog2_2m
clear
fsym(＇yexp(x)*cos(x)＇)
a0 b3 h01
n(ba)h+1
x0 y1
szj[xy]
for i1n1
l1subs(f{＇x＇＇y＇}{xy})
l2subs(f{＇x＇＇y＇}{x+h2y+l1*h2})
l3subs(f{＇x＇＇y＇}{x+h2y+l2*h2})
l4subs(f{＇x＇＇y＇}{x+hy+l3*h})
yy+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)6
xx+h
szj[szjxy]
end
szj
plot(szj(1)szj(2) ＇dg＇)
第3题：
解析法：
prog3_1m
vz20
a15
x000515
hold on
vj40kvzvj
yja2*(((ax)a)^(1+k)(1+k)((ax)a)^(1k)(1k))+a*k(1k^2)
plot(xyj＇r＇＇LineWidth＇2)
disp([＇缉私艇速度40＇＇(15＇＇＇num2str(yj(length(yj)))＇)＇＇追走私艇时＇num2str(yj(length(yj))vz*60)＇分钟＇])
vj130kvzvj1
yj1a2*(((ax)a)^(1+k)(1+k)((ax)a)^(1k)(1k))+a*k(1k^2)
plot(xyj1＇g＇＇LineWidth＇2)
disp([＇缉私艇速度30＇＇(15＇＇＇num2str(yj1(length(yj1)))＇)＇＇追走私艇时＇num2str(yj1(length(yj1))vz*60)＇分钟＇])
vj250kvzvj2
yj2a2*(((ax)a)^(1+k)(1+k)((ax)a)^(1k)(1k))+a*k(1k^2)
plot(xyj2＇b＇＇LineWidth＇2)
disp([＇缉私艇速度50＇＇(15＇＇＇num2str(yj2(length(yj2)))＇)＇＇追走私艇时＇num2str(yj2(length(yj2))vz*60)＇分钟＇])
maxlmax([yj(length(yj))yj1(length(yj1))yj2(length(yj2))])
xz[1515]yz[0maxl]
plot(15[yj(length(yj))yj1(length(yj1))yj2(length(yj2))]＇rs＇xzyz＇k＇＇LineWidth＇2＇)
legend(＇缉私艇速度40＇＇缉私艇速度30＇＇缉私艇速度50＇2)
axis([0160maxl+1])
数值法：
jstm
function dxjst(txvzvja)
ssqrt((ax(1))^2+(vz*tx(2))^2)
dx[vj*(ax(1))svj*(vz*tx(2))s]
prog3_2m
vz20vj40a15
tfa*vj(vj^2vz^2)
ts0005tf
x0[00]
optodeset(＇reltol＇1e6＇abstol＇1e9)
[tx]ode45(@jsttsx0optvzvja)
ttt(length(t))xtx(length(x)1)ytx(length(x)2)
fprintf(＇缉私艇s时追走私艇坐标(ss)＇num2str(tt)num2str(xt)num2str(yt))
figure(1)plot(tx＇LineWidth＇2)
title(＇x(t)y(t)图＇)gridgtext(＇x(t)＇) gtext(＇y(t)＇)
figure(2)plot(x(1)x(2)＇LineWidth＇2)
title(＇y(x)图＇)gridgtext(＇x＇)gtext(＇y＇)
五．程序运行结果
第1题：
特解
x
12*exp(2^(12)*t)+12*exp(2^(12)*t)14*2^(12)*exp(2^(12)*t)+14*2^(12)*exp(2^(12)*t)
y
14*2^(12)*exp(2^(12)*t)+14*2^(12)*exp(2^(12)*t)
第2题：
Euler折线法：
szj
0 10000
01000 10000
02000 09900
03000 09693
04000 09373
05000 08936
06000 08383
07000 07718
08000 06949
09000 06093
10000 05174
11000 04223
12000 03282
13000 02407
14000 01666
15000 01144
16000 00941
17000 01180
18000 02003
19000 03578
20000 06097
21000 09782
22000 14883
23000 21682
24000 30496
25000 41674
26000 55602
27000 72699
28000 93421
29000 118258
30000 147730
RungeKutta 法：
szj
0 10000
01000 09948
02000 09787
03000 09509
04000 09109
05000 08583
06000 07933
07000 07165
08000 06290
09000 05329
10000 04309
11000 03268
12000 02256
13000 01337
14000 00590
15000 00112
16000 00021
17000 00456
18000 01582
19000 03590
20000 06702
21000 11171
22000 17283
23000 25364
24000 35774
25000 48916
26000 65231
27000 85204
28000 109359
29000 138260
30000 172510
第3题：
prog3_1m（解析法）
缉私艇速度40(1510)追走私艇时30分钟
缉私艇速度30(1518)追走私艇时54分钟
缉私艇速度50(1571429)追走私艇时214286分钟
prog3_2m（数值法）
六．实验总结
综合实验考察微分方程求解利微分方程建立实际问题数学模型求知识点非常全面包括解微分方程Matlb编程等通实验解数学建模基思想进步掌握Matlb解决数学问题方法
实验中第3题解题程较复杂微分方程化简求解出解析解算法Matlab已函数求解模拟运动程时间水限没加入容应该继续努力
学生签名：
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七．教师评语成绩
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