第一章 §1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件

§12　命题关系充分条件必条件
考试求　1理解命题概念2解pq形式命题逆命题否命题逆否命题会分析四种命题相互关系3理解必条件充分条件充条件含义．


1．命题
语言符号式子表达判断真假陈述句作命题中判断真语句作真命题判断假语句作假命题．
2．四种命题相互关系
(1)四种命题间相互关系

(2)四种命题真假关系
①两命题互逆否命题具相真假性．
②两命题互逆命题互否命题真假性没关系．
3．充分条件必条件充条件概念
p⇒qpq充分条件qp必条件
pq充分必条件
p⇒qq⇏p
pq必充分条件
p⇏qq⇒p
pq充条件
p⇔q
pq充分必条件
p⇏qq⇏p

微思考
1．否命题命题否定什区？
提示　否命题否定条件否定结命题否定否定命题结．
2．条件pq集合形式出现A＝{x|p(x)}B＝{x|q(x)}pq充分条件时集合AB间什样关系？pq必充分条件集合AB间什样关系？
提示　pq充分条件时A⊆B
pq必充分条件时BA

题组　思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)x2－2x－3>0命题．(　×　)
(2)pq充分条件时qp必条件．(　√　)
(3)x>1x>0充分必条件．(　√　)
(4)原命题真命题否命题逆命题逆否命题中少真．(　√　)
题组二　教材改编
2．列命题真命题(　　)
A．矩形角线相等
B．a>bc>dac>bd
C．整数a素数a奇数
D．命题x2>0x>1逆否命题
答案　A
3．设x>0y∈Rx>yx>|y|(　　)
A．充条件
B．充分必条件
C．必充分条件
D．充分必条件
答案　C
解析　x>y推出x>|y|x>|y|推出x>yx>yx>|y|必充分条件．
4．命题位角相等两直线行逆否命题____________________________．
答案　两直线行位角相等
题组三　易错纠
5．a>bac2>bc2(　　)
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案　B
解析　a>b时c2＝0ac2＝bc2
a>b⇏ac2>bc2
ac2>bc2时c2≠0a>b
ac2>bc2⇒a>b
a>bac2>bc2必充分条件．
6．x2－x－6>0x>a必充分条件a值________．
答案　3
解析　x2－x－6>0
解x<－2x>3
x2－x－6>0x>a必充分条件
{x|x>a}{x|x<－2x>3}真子集
a≥3a值3

题型 命题关系
1．命题xy＝0x＝0逆否命题(　　)
A．xy＝0x≠0 B．xy≠0x≠0
C．xy≠0y≠0 D．x≠0xy≠0
答案　D
解析　xy＝0x＝0逆否命题x≠0xy≠0．
2．出命题：
①x＋y＝0xy互相反数逆命题
②全等三角形面积相等否命题
③ab正整数ab正整数
④f(x)增函数g(x)减函数f(x)－g(x)减函数．
中真命题________．(写出真命题序号)
答案　①
解析　①命题x＋y＝0xy互相反数逆命题xy互相反数x＋y＝0显然①真命题②否命题全等三角形面积相等全等三角形面积相等②假命题③ab正整数ab定正整数例a＝－1b＝－3③假命题④构造函数f(x)＝xg(x)＝－xf(x)－g(x)＝2x显然f(x)－g(x)增函数④假命题．综①真命题．
3．命题a<0元二次方程x2＋x＋a＝0实根逆命题否命题逆否命题中真命题数________．
答案　2

解析　a<0时Δ＝1－4a>0方程x2＋x＋a＝0实数根原命题真根原命题逆否命题真假致知逆否命题真逆命题：方程x2＋x＋a＝0实根a<0方程实根判式Δ＝1－4a≥0a≤显然a<0定成立逆命题假根否命题逆命题真假致知否命题假．真命题数2
4．命题p：x>0x>a命题q：m≤a－2m<－1p逆命题q逆否命题真命题实数a取值范围________．
答案　[01)
解析　命题p逆命题：x>ax>0真命题时a≥0q逆否命题真命题命题q真命题m≤a－2m<－1∴a－2<－1a<1综0≤a<1
思维升华　(1)写命题三种命题时需注意
①pq形式命题需先改写．
②命题前提写三种命题时需保留前提．
(2)判断命题真命题需推理证明判断命题假命题需举出反例．
(3)根原命题逆否命题真假逆命题否命题真假性质命题直接判断易进行时转化判断等价命题真假．

题型二 充分必条件判定

例1　(1)已知p：x<1q：log2x<0pq(　　)
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案　B
解析　x<1知x>0p应x范围(0＋∞)log2x<0知0(2)a>2b>2a＋b>4ab>4(　　)
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充条件
D．充分必条件
答案　A
解析　a>2b>2a＋b>4ab>4
a＝1b＝5时满足a＋b>4ab>4满足a>2b>2a＋b>4ab>4⇏a>2b>2
a>2b>2a＋b>4ab>4充分必条件．
思维升华　充分条件必条件两种判定方法
(1)定义法：根p⇒qq⇒p进行判断适定义定理判断性问题．
(2)集合法：根pq应集合间包含关系进行判断适条件中涉参数范围推断问题．
踪训练1　(1)已知abcd实数ad＝bcabcd成等数列(　　)
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充条件
D．充分必条件
答案　B
解析　a＝b＝c＝d＝0时ad＝bcabcd成等数列
abcd成等数列时ad＝bcad＝bcabcd成等数列必充分条件．
(2)设λ∈Rλ＝－3直线2λx＋(λ－1)y＝1直线6x＋(1－λ)y＝4行(　　)
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案　A
解析　直线2λx＋(λ－1)y＝1直线6x＋(1－λ)y＝4行
2λ(1－λ)－6(λ－1)＝0
解λ＝1λ＝－3
检验λ＝1λ＝－3时两直线行选A

题型三 充分必条件应

例2　已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．x∈Ax∈B必条件求m取值范围．
解　x2－8x－20≤0－2≤x≤10
∴A＝{x|－2≤x≤10}．
x∈Ax∈B必条件知B⊆A

∴0≤m≤3时x∈Ax∈B必条件
求m取值范围[03]．
例中条件改x∈Ax∈B必充分条件求m取值范围．
解　x∈Ax∈B必充分条件知BA
∴
解0≤m≤30≤m<3∴0≤m≤3
m取值范围[03]．
思维升华　充分条件必条件应般表现参数问题求解．解题时需注意
(1)充分条件必条件充条件转化集合间关系然根集合间关系列出关参数等式(等式组)求解．
(2)注意区间端点值检验．
踪训练2　(1)≥1成立充分必条件(　　)
A．1C．x<2 D．0答案　B
解析　≥10题意选项组成集合(02]真子集选B
(2)关x等式|x－1|答案　[3＋∞)
解析　|x－1|课时精练

1．已知命题p：正数a方等0命题q：a正数方等0qp(　　)
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
答案　B
解析　命题p：正数a方等0写成a正数方等0qp否命题．
2．命题x2<1－1A．x2≥1x≥1x≤－1
B．－1C．x>1x<－1x2>1
D．x≥1x≤－1x2≥1
答案　D
解析　原命题逆否命题条件结否定交换条件结注意－13．命题x2＋y2＝0x＝y＝0否命题(　　)
A．x2＋y2＝0xy中少0
B．x2＋y2≠0xy中少0
C．x2＋y2≠0xy0
D．x2＋y2＝0xy0
答案　B
解析　否命题否定条件否定结．
4．x<0ln(x＋1)<0(　　)
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充条件
D．充分必条件
答案　B
解析　ln(x＋1)<0⇒0－1x<0ln(x＋1)<0必充分条件选B
5．命题m>－1m>－4逆命题否命题逆否命题中假命题数(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　原命题真命题逆否命题真命题逆命题m>－4m>－1假命题否命题假命题选B
6．列命题：
①x＋y>0x>0y>0否命题
②矩形角线相等否命题
③m≥1mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0解集R逆命题
④a＋7理数a理数逆否命题．
中真命题(　　)
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①④
答案　C
解析　①逆命题x>0y>0x＋y>0真否命题真②否命题矩形图形角线相等假命题③逆命题mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0解集Rm≥1m＝0时解集R应m>1③真命题④原命题真逆否命题真．
7．实数ab满足a>0b>0a>ba＋ln a>b＋ln b成立(　　)
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
答案　C
解析　设f(x)＝x＋ln x显然f(x)(0＋∞)增加
∵a>b∴f(a)>f(b)
∴a＋ln a>b＋ln b充分性成立
∵a＋ln a>b＋ln b
∴f(a)>f(b)∴a>b必性成立
a>ba＋ln a>b＋ln b成立充条件选C
8．x>1等式2x>a－x成立必充分条件实数a取值范围(　　)
A．a>3 B．a<3 C．a>4 D．a<4
答案　A
解析　2x>a－x2x＋x>a设f(x)＝2x＋x函数f(x)增函数．题意知2x＋x>a成立f(x)>a成立x>1反成立．x>1时f(x)>3∴a>3
9．设ab两面量a＝b|a|＝|b|________条件．
答案　充分必
解析　量相关定义知a＝b⇒|a|＝|b||a|＝|b|⇏a＝b
a＝b|a|＝|b|充分必条件．
10．列命题中真命题________．(填序号)
①命题x>1x2>1否命题
②命题x>yx>|y|逆命题
③命题x＝1x2＋x－2＝0否命题
④命题a>bac>bc逆否命题．
答案　②
解析　①命题x>1x2>1否命题x≤1x2≤1易知x＝－2时x2＝4>1①假命题②命题x>yx>|y|逆命题x>|y|x>y分析知②真命题③命题x＝1x2＋x－2＝0否命题x≠1x2＋x－2≠0易知x＝－2时x2＋x－2＝0③假命题④命题a>bac>bc假命题逆否命题假命题．
11．(2020·青岛二中检测)直线x－y－k＝0圆(x－1)2＋y2＝2两交点充条件________．
答案　－1解析　直线x－y－k＝0圆(x－1)2＋y2＝2两交点等价<解－112．已知等式|x－m|<1成立充分必条件答案　
解析　解等式|x－m|<1m－1
13．(2020·深圳模拟)意实数x〈x〉表示x整数例〈11〉＝2〈－11〉＝－1|x－y|<1〈x〉＝〈y〉(　　)
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充条件
D．充分必条件
答案　B
解析　令x＝18y＝09满足|x－y|<1〈18〉＝2〈09〉＝1〈x〉≠〈y〉知充分性成立．〈x〉＝〈y〉时设〈x〉＝x＋m〈y〉＝y＋nmn∈[01)|x－y|＝|n－m|
<1知必性成立．|x－y|<1〈x〉＝〈y〉必充分条件．选B
14．已知p：实数m满足3a0)q：方程＋＝1表示焦点y轴椭圆pq充分条件a取值范围________________．
答案　
解析　2－m>m－1>01
15．已知集合A＝B＝{x|x＋m2≥2}p：x∈Aq：x∈Bpq充分条件实数m取值范围________________．
答案　∪
解析　y＝x2－x＋1＝2＋0≤x≤2
≤y≤2∴A＝
题意知A⊆B∴2－m2≤∴m2≥
∴m≥m≤－
16．已知r>0xy∈Rp：|x|＋≤1q：x2＋y2≤r2pq必充分条件实数r取值范围________．
答案　
解析　画出|x|＋≤1表示面区域(图略)图p应面区域菱形部x>0y>0时菱形边直线方程x＋＝12x＋y－2＝0pq必充分条件圆x2＋y2＝r2圆心(00)直线2x＋y－2＝0距离d＝＝≥rr>0实数r取值范围
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