目 录
摘……………………………………………………………………………………………1
关键词…………………………………………………………………………………………1
Abstract………………………………………………………………………………………1
Key words……………………………………………………………………………………1
引言………………………………………………………………………………1
1 种常见具加性分布…………………………………………………………1
11 二项分布………………………………………………………………………………2
12 泊松分布（分布）……………………………………………………………3
13 正态分布···…………………………………………………………………4
14 伽玛分布…………………………………………………………………………… 6
15 柯西分布……………………………………………………………………………… 7
16 卡方分布 ………………………………………………………………………………7
2 具加性概率分布间关系 ……………………………………………………… 8
21 二项分布泊松似 …………………………………………………………………8
22 二项分布正态似 …………………………………………………………………9
23 正态分布泊松分布间关系………………………………………………………10
24 正态分布柯西分布卡方分布卡方分布伽玛分布关系…………………11
3 结……………………………………………………………………………………… 12
参考文献…………………………………………………………………………………… 12
致谢………………………………………………………………………………………… 13
概率中种具加性分布关系
摘 概率数理统计中概率分布加性十分重容谓分布加性指类分布独立机变量分布属类分布结合特点里出概率中种具加性分布：二项分布泊松分布正态分布柯西分布卡方分布伽玛分布文章讨类分布性质加性证明里出证明分布加性两种方法利卷积公式机变量特征函数外文章加性分布间种关系二项分布泊松似棣莫佛拉普拉斯中心极限定理等进行层次讨
关键词 概率分布 加性 相互独立 特征函数
Several Kinds of Probability Dstribution and its Relationship with Additive
Abstract Probability and mathematical statistics in the probability distribution of additivity is a very important contentThe distribution of the socalled additivity refers to the distribution of the same kind of independent random variables and distribution are still belong to this kind of distributionCombined with its characteristics here given several has additivity distribution in probability theory the binomial distribution poisson distribution and normal distribution and cauchy distribution chisquare distribution and gamma distributionArticle discusses the nature of all kinds of distribution and its proof of additivity additive of proof distribution are also given two methods namely using convolution formula and characteristic function of a random variable In addition this paper the relationships between the additive property distribution such as the binomial distribution of poisson approximation Di mo Laplace＇s central limit theorem and so on has carried on the different levels of discussion
Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function
引言 概率数理统计研究量机现象统计规律性学科概率数理统计中时候需求机变量分布情形中种求类型较特殊限相互独立分布机变量分布类型变求程称概率分布加性概率分布中机变量加性相重概念文出概率中常见六种具加性分布包括二项分布泊松分布正态分布伽玛分布柯西分布卡方分布文章讨项分布间关系二项分布泊松似正态似等等
1 种常见具加性分布
讨概率分布加性前先卷积公式机变量特征函数首先卷积公式[1]：
①离散场合卷积公式 设离散型机变量彼独立分布列分概率分布列表示
②连续场合卷积公式 设连续型机变量彼独立密度函数分密度函数
证明：
分布函数
中分布函数式两端进行求导密度函数：
证
概率分布加性证明中卷积公式常证明方法利机变量特征函数
面讨种具加性分布加性证明程中卷积公式特征函数应
11 二项分布
111 二项分布概念
果记n次伯努利试验中成功（记事件A）次数取值012……n记p事件A发生概率记
n次伯努利试验基结果记作 ѡ（w1w2…ѡn）wi样w2n样点w组成样空间Ω
求分布列求事件{}概率某样点 ѡ（w1w2…ѡn）∈{}意味着w1w2…ѡn中独立性()
事件{}中样w分布列
（1p）
分布称二项分布记作易验证恒
n1时二项分布称两点分布时称分布
二项分布图具特点：
①二项分布图形状取决着增加分布图高峰逐渐右移
②时图称
112 二项分布加性
定理111设相互独立记
证明 易知取等值根卷积公式事件概率表示
说证
12 泊松分布分布
二项分布样泊松分布种离散分布许机现象特社会现象物理学中机现象服泊松分布泊松分布作描述量试验中稀事件出现次数概率分布数学模型
121 泊松分布概率分布列
泊松分布概率分布示：
…中记作
泊松分布言参数期方差：
方差
122泊松分布加性
定理121 设机变量相互独立
证明 处
根卷积公式
证
样利特征函数进行证明处赘述
13 正态分布
131 正态分布定义[6]
定义13 已定两常数>0定义函数
含两参数显然取正值
称密度函数分布正态分布记作分布函数记
正态分布密度函数图条钟形曲线中间高两边低关称处取值称该正态分布中心附取值性较处拐点
固定改变取值越曲线峰顶越低图较坦越曲线封顶越高图较陡峭正态密度函数尺度确定称尺度参数
样固定改变值会发现图轴移改变形状说明该函数位置决定称位置参数
时正态分布称标准正态分布记作密度函数记分布函数记
132 般正态分布标准化
正态分布族
标准正态分布中成员实应中少机变量恰服标准正态分布般正态分布均利线性变换转变成标准正态分布切正态变量关事件概率均通标准正态分布分布求取
定理131 果机变量中标准正态变量
证明 记分布函数分易知
正态分布函数严格递增处处导果记密度函数分会
证
标准正态机变量数学期
积函数奇函数述积分值0说
般正态变量果满足数学期线性性质
知道正态分布数学期参数
方差性质
说正态分布方差参数
133 正态分布加性
定理132 设机变量彼独立
证明 知服正态分布密度函数分
彼独立
正数学期方差正态分布特征函数证
样连续场合卷积公式进行证明详见文献[5]处赘述
14 伽玛分布
讨伽玛分布前先伽玛函数：
称
伽玛函数参数性质：
①
②取然数时候
141 伽玛分布定义
定义14 果机变量密度函数
称作服伽玛分布记值均0伽玛分布形状参数尺度参数时严格单调递减函数处取奇异点
时严格单调减时
时单峰函数先凸然凸
时先凸凸凸着增逐渐接正态分布密度函数
142 伽玛分布加性
定理141 设机变量彼独立
证明 知
彼独立
特征函数根惟性定理知结证
正态分布伽玛分布样利连续场合卷积公式加性进行证明详见文献[5]
15 柯西分布[4]
151 柯西分布密度函数
柯西分布常见连续分布密度函数
时柯西分布密度函数称标准柯西分布密度函数
方便起见分记两类密度函数
柯西分布数学期方差
收敛柯西分布数学期方差均存
152 柯西分布加性
定理151 设机变量彼独立
证明 均服柯西分布特征函数分
彼独立
恰参数柯西分布特征函数证
16 卡方分布（分布）
161卡方分布（分布）定义密度函数
定义16[7] 设独立分布标准正态分布分布称服分布度卡方分布记
卡方分布密度函数
162 卡方分布加性
卡方分布密度函数图取非负值偏态图图着度增加逐渐趋称度时图趋正态分布图侧面告诉卡方分布度决定度应卡方分布
161知道卡方分布伽玛分布特例伽玛分布加性易知卡方分布满足加性定理
定理161[5] 设彼独立
证明 卡方分布定义设
彼独立
卡方分布定义证
2 具加性概率分布间关系
21 二项分布泊松似[4]
取值时二项分布计算令头疼里介绍泊松分布十分特性利泊松分布作二项分布种特殊似二项分布泊松似面泊松定理取值较取值偏情况泊松定理减二项分布计算量
定理21[8]（定理) 重伯努利试验中记事件次试验中发生概率试验发生次数关时意定（非负整数）
证明 设
已知定值
证
定理条件二项分布计算中值值适中时（般认时）二项分布参数泊松分布做似
二项分布泊松似值应样计算结果更精确
二项分布泊松似常稀事件（次试验中事件发生概率）研究中量实例表明般情况概率时泊松似非常甚取值必
22 二项分布正态似
定理22[7]（棣莫佛拉普拉斯（ ）极限定理） 设机变量（）意实数
证明 机变量服二项分布做相互独立服参数两点分布机变量
根中心极限定理
定理证
中心极限定理说明相时服二项分布机变量概率计算服正态分布机变量计算说二项分布正态分布似计算较时候计算量时十分根 中心极限定理 似服标准正态分布者说似服分布说
需查标准正态分布表求出需相精确值较者较时似效果差利公式时值满足外二项分布离散分布正态分布连续分布实际应中减误差
常常
换式
23 正态分布泊松分布间关系[9]
面定理21定理22知道二项分布泊松分布做似样正态分布似某方面说泊松分布正态分布具某种似关系首先特征函数连续性定理
定理231[11] 分布函数列弱收敛分布函数充分必条件相应特征函数列收敛特征函数
定理232[11] 设机变量
证明 知服泊松分布特征函数
特征函数
意点列
知标准正态分布特征函数连续性定理
意性成立
泊松分布正态逼
定理233[8] 意
中
证明见文献[8]
前知正态似泊松似条件取值特时怕值太泊松分布似二项分布种情况正态似合理想象值值太值肯定会定理231知时正态分布进行泊松似
24 正态分布柯西分布卡方分布卡方分布伽玛分布间关系
首先正态分布柯西分布关系
定理241 设独立分布记
证明 易知取值范围利商公式
正时柯西分布密度函数结证
正态分布卡方分布关系：
定理242 机变量
定理证明见文献[10]说明标准正态分布度1卡方分布间关系
彼独立记根卡方分布定义知服度卡方分布
伽玛分布参数时度卡方分布记
3 结
文章第部分讨六种具加性分布简单性质述分布加性均利卷积公式者特征函数进行证明正态分布概率中重分布般果某数量指标受量机素影响素起作数量指标似服正态分布第二部分里研究二项分布正态分布泊松分布关系处知道二项分布仅泊松分布似样正态分布似
参考文献
[1] 罗建华卷积公式应注记[J]中南林业科技学学报2007年第27卷第1期：152页
[2] 李贤沈崇生陈子毅概率数理统计[M]海：复旦学出版社20035：221231
[3]唐玲徐怀复合泊松分布泊松程加性[J]安徽建筑工业学院学报200705：83页
[4] 郭彦柯西分布性质进步讨[J]淮阴工学院学报200505：12页
[5] 茆诗松程明濮晓龙概率数理统计教程[M]北京：高等教育出版社20047155160
[6] 王梓坤概率基础应[M]北京：北京师范学出版社199636164
[7] 宋立新概率数理统计[M]北京：民学出版社20039176177
[8]洋浅析二项分布泊松分布正态分布间关系[J]企业科技发展2008 年第20期：120页
[9]魏宗舒等概率数理统计教程[M]北京：高等教育出版社198310208211
[10]孟华浅谈种概率分布间相互关系[J]信阳农专学报1992年第3卷第2期6365
[11]王淑云特征函数应[J]邯郸学院学报2008年第18卷第3期5256
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目 录
摘……………………………………………………………………………………………1
关键词…………………………………………………………………………………………1
Abstract………………………………………………………………………………………1
Key words……………………………………………………………………………………1
引言………………………………………………………………………………1
1 种常见具加性分布…………………………………………………………1
11 二项分布………………………………………………………………………………2
12 泊松分布（分布）……………………………………………………………3
13 正态分布···…………………………………………………………………4
14 伽玛分布…………………………………………………………………………… 6
15 柯西分布……………………………………………………………………………… 7
16 卡方分布 ………………………………………………………………………………7
2 具加性概率分布间关系 ……………………………………………………… 8
21 二项分布泊松似 …………………………………………………………………8
22 二项分布正态似 …………………………………………………………………9
23 正态分布泊松分布间关系………………………………………………………10
24 正态分布柯西分布卡方分布卡方分布伽玛分布关系…………………11
3 结……………………………………………………………………………………… 12
参考文献…………………………………………………………………………………… 12
致谢………………………………………………………………………………………… 13
概率中种具加性分布关系
摘 概率数理统计中概率分布加性十分重容谓分布加性指类分布独立机变量分布属类分布结合特点里出概率中种具加性分布：二项分布泊松分布正态分布柯西分布卡方分布伽玛分布文章讨类分布性质加性证明里出证明分布加性两种方法利卷积公式机变量特征函数外文章加性分布间种关系二项分布泊松似棣莫佛拉普拉斯中心极限定理等进行层次讨
关键词 概率分布 加性 相互独立 特征函数
Several Kinds of Probability Dstribution and its Relationship with Additive
Abstract Probability and mathematical statistics in the probability distribution of additivity is a very important contentThe distribution of the socalled additivity refers to the distribution of the same kind of independent random variables and distribution are still belong to this kind of distributionCombined with its characteristics here given several has additivity distribution in probability theory the binomial distribution poisson distribution and normal distribution and cauchy distribution chisquare distribution and gamma distributionArticle discusses the nature of all kinds of distribution and its proof of additivity additive of proof distribution are also given two methods namely using convolution formula and characteristic function of a random variable In addition this paper the relationships between the additive property distribution such as the binomial distribution of poisson approximation Di mo Laplace＇s central limit theorem and so on has carried on the different levels of discussion
Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function
引言 概率数理统计研究量机现象统计规律性学科概率数理统计中时候需求机变量分布情形中种求类型较特殊限相互独立分布机变量分布类型变求程称概率分布加性概率分布中机变量加性相重概念文出概率中常见六种具加性分布包括二项分布泊松分布正态分布伽玛分布柯西分布卡方分布文章讨项分布间关系二项分布泊松似正态似等等
1 种常见具加性分布
讨概率分布加性前先卷积公式机变量特征函数首先卷积公式[1]：
①离散场合卷积公式 设离散型机变量彼独立分布列分概率分布列表示
②连续场合卷积公式 设连续型机变量彼独立密度函数分密度函数
证明：
分布函数
中分布函数式两端进行求导密度函数：
证
概率分布加性证明中卷积公式常证明方法利机变量特征函数
面讨种具加性分布加性证明程中卷积公式特征函数应
11 二项分布
111 二项分布概念
果记n次伯努利试验中成功（记事件A）次数取值012……n记p事件A发生概率记
n次伯努利试验基结果记作 ѡ（w1w2…ѡn）wi样w2n样点w组成样空间Ω
求分布列求事件{}概率某样点 ѡ（w1w2…ѡn）∈{}意味着w1w2…ѡn中独立性()
事件{}中样w分布列
（1p）
分布称二项分布记作易验证恒
n1时二项分布称两点分布时称分布
二项分布图具特点：
①二项分布图形状取决着增加分布图高峰逐渐右移
②时图称
112 二项分布加性
定理111设相互独立记
证明 易知取等值根卷积公式事件概率表示
说证
12 泊松分布分布
二项分布样泊松分布种离散分布许机现象特社会现象物理学中机现象服泊松分布泊松分布作描述量试验中稀事件出现次数概率分布数学模型
121 泊松分布概率分布列
泊松分布概率分布示：
…中记作
泊松分布言参数期方差：
方差
122泊松分布加性
定理121 设机变量相互独立
证明 处
根卷积公式
证
样利特征函数进行证明处赘述
13 正态分布
131 正态分布定义[6]
定义13 已定两常数>0定义函数
含两参数显然取正值
称密度函数分布正态分布记作分布函数记
正态分布密度函数图条钟形曲线中间高两边低关称处取值称该正态分布中心附取值性较处拐点
固定改变取值越曲线峰顶越低图较坦越曲线封顶越高图较陡峭正态密度函数尺度确定称尺度参数
样固定改变值会发现图轴移改变形状说明该函数位置决定称位置参数
时正态分布称标准正态分布记作密度函数记分布函数记
132 般正态分布标准化
正态分布族
标准正态分布中成员实应中少机变量恰服标准正态分布般正态分布均利线性变换转变成标准正态分布切正态变量关事件概率均通标准正态分布分布求取
定理131 果机变量中标准正态变量
证明 记分布函数分易知
正态分布函数严格递增处处导果记密度函数分会
证
标准正态机变量数学期
积函数奇函数述积分值0说
般正态变量果满足数学期线性性质
知道正态分布数学期参数
方差性质
说正态分布方差参数
133 正态分布加性
定理132 设机变量彼独立
证明 知服正态分布密度函数分
彼独立
正数学期方差正态分布特征函数证
样连续场合卷积公式进行证明详见文献[5]处赘述
14 伽玛分布
讨伽玛分布前先伽玛函数：
称
伽玛函数参数性质：
①
②取然数时候
141 伽玛分布定义
定义14 果机变量密度函数
称作服伽玛分布记值均0伽玛分布形状参数尺度参数时严格单调递减函数处取奇异点
时严格单调减时
时单峰函数先凸然凸
时先凸凸凸着增逐渐接正态分布密度函数
142 伽玛分布加性
定理141 设机变量彼独立
证明 知
彼独立
特征函数根惟性定理知结证
正态分布伽玛分布样利连续场合卷积公式加性进行证明详见文献[5]
15 柯西分布[4]
151 柯西分布密度函数
柯西分布常见连续分布密度函数
时柯西分布密度函数称标准柯西分布密度函数
方便起见分记两类密度函数
柯西分布数学期方差
收敛柯西分布数学期方差均存
152 柯西分布加性
定理151 设机变量彼独立
证明 均服柯西分布特征函数分
彼独立
恰参数柯西分布特征函数证
16 卡方分布（分布）
161卡方分布（分布）定义密度函数
定义16[7] 设独立分布标准正态分布分布称服分布度卡方分布记
卡方分布密度函数
162 卡方分布加性
卡方分布密度函数图取非负值偏态图图着度增加逐渐趋称度时图趋正态分布图侧面告诉卡方分布度决定度应卡方分布
161知道卡方分布伽玛分布特例伽玛分布加性易知卡方分布满足加性定理
定理161[5] 设彼独立
证明 卡方分布定义设
彼独立
卡方分布定义证
2 具加性概率分布间关系
21 二项分布泊松似[4]
取值时二项分布计算令头疼里介绍泊松分布十分特性利泊松分布作二项分布种特殊似二项分布泊松似面泊松定理取值较取值偏情况泊松定理减二项分布计算量
定理21[8]（定理) 重伯努利试验中记事件次试验中发生概率试验发生次数关时意定（非负整数）
证明 设
已知定值
证
定理条件二项分布计算中值值适中时（般认时）二项分布参数泊松分布做似
二项分布泊松似值应样计算结果更精确
二项分布泊松似常稀事件（次试验中事件发生概率）研究中量实例表明般情况概率时泊松似非常甚取值必
22 二项分布正态似
定理22[7]（棣莫佛拉普拉斯（ ）极限定理） 设机变量（）意实数
证明 机变量服二项分布做相互独立服参数两点分布机变量
根中心极限定理
定理证
中心极限定理说明相时服二项分布机变量概率计算服正态分布机变量计算说二项分布正态分布似计算较时候计算量时十分根 中心极限定理 似服标准正态分布者说似服分布说
需查标准正态分布表求出需相精确值较者较时似效果差利公式时值满足外二项分布离散分布正态分布连续分布实际应中减误差
常常
换式
23 正态分布泊松分布间关系[9]
面定理21定理22知道二项分布泊松分布做似样正态分布似某方面说泊松分布正态分布具某种似关系首先特征函数连续性定理
定理231[11] 分布函数列弱收敛分布函数充分必条件相应特征函数列收敛特征函数
定理232[11] 设机变量
证明 知服泊松分布特征函数
特征函数
意点列
知标准正态分布特征函数连续性定理
意性成立
泊松分布正态逼
定理233[8] 意
中
证明见文献[8]
前知正态似泊松似条件取值特时怕值太泊松分布似二项分布种情况正态似合理想象值值太值肯定会定理231知时正态分布进行泊松似
24 正态分布柯西分布卡方分布卡方分布伽玛分布间关系
首先正态分布柯西分布关系
定理241 设独立分布记
证明 易知取值范围利商公式
正时柯西分布密度函数结证
正态分布卡方分布关系：
定理242 机变量
定理证明见文献[10]说明标准正态分布度1卡方分布间关系
彼独立记根卡方分布定义知服度卡方分布
伽玛分布参数时度卡方分布记
3 结
文章第部分讨六种具加性分布简单性质述分布加性均利卷积公式者特征函数进行证明正态分布概率中重分布般果某数量指标受量机素影响素起作数量指标似服正态分布第二部分里研究二项分布正态分布泊松分布关系处知道二项分布仅泊松分布似样正态分布似
参考文献
[1] 罗建华卷积公式应注记[J]中南林业科技学学报2007年第27卷第1期：152页
[2] 李贤沈崇生陈子毅概率数理统计[M]海：复旦学出版社20035：221231
[3]唐玲徐怀复合泊松分布泊松程加性[J]安徽建筑工业学院学报200705：83页
[4] 郭彦柯西分布性质进步讨[J]淮阴工学院学报200505：12页
[5] 茆诗松程明濮晓龙概率数理统计教程[M]北京：高等教育出版社20047155160
[6] 王梓坤概率基础应[M]北京：北京师范学出版社199636164
[7] 宋立新概率数理统计[M]北京：民学出版社20039176177
[8]洋浅析二项分布泊松分布正态分布间关系[J]企业科技发展2008 年第20期：120页
[9]魏宗舒等概率数理统计教程[M]北京：高等教育出版社198310208211
[10]孟华浅谈种概率分布间相互关系[J]信阳农专学报1992年第3卷第2期6365
[11]王淑云特征函数应[J]邯郸学院学报2008年第18卷第3期5256
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