目录
第讲 全等三角形提高 1
第二讲 全等三角形强化角分线 8
第三讲 等腰三角形 14
第四讲 勾股定理 21
第五讲 行四边形 26
第六讲 特殊行四边形（） 32
第七讲 特殊行四边形（二） 37
第八讲 梯形 43
第九讲 梯形中辅助线中位线定理 47
第十讲 次函数 52
第十讲 反例函数 58
第十二讲 分式方程 64
第讲 全等三角形提高
中考考情
1全等三角形中考中考察灵活种题型出现
2找出图形中全等三角形然利全等三角形性质压轴题常考方式
知识点
1全等形：够重合两图形做全等形两三角形全等形说全等三角形两全等三角形运动定重合互相重合顶点做应顶点互相重合边做应边互相重合角做应角
2两三角形全等性质：
（1）全等三角形应角相等应边相等
（2）全等三角形应边高应相等
（3）全等三角形应角分线相等
（4）全等三角形应中线相等
（5）全等三角形面积相等
（6）全等三角形周长相等
(简称全等三角形应元素相等)
3 两三角形全等判定：
（1）三组应边分相等两三角形全等(简称SSS边边边)条说明三角形具稳定性原
（2）两边夹角应相等两三角形全等(SAS边角边)
（3）两角夹边应相等两三角形全等(ASA角边角)
（4）两角角边应相等两三角形全等(AAS角角边)
（5）直角三角形全等条件：斜边直角边应相等两直角三角形全等(HL斜边直角边)
SSSSASASAAASHL均判定三角形全等定理
注意：什SSA判断两三角形全等够画出反例图形
例题解析
考点1全等形概念
例1：中述例举模样图形做全等形描述全等形三种说法认种说法恰？
（l）形状相两图形全等形
（2）相等两图形全等形
（3）够完全重合两图形全等形．
变式1：图中6条形方格图图中实线围成图形全等？
变式2全等三角形合三角形面合三角形分真正合三角形镜面合三角形．假设△ABC△A1B1C1全等（合）三角形点AA1应点BB1应点CC1应周界A→B→C→AA1→B1→C1→A1环绕时运动方相称真正合三角形（图）运动方相反称镜面合三角形图
两真正合三角形面通移旋转重合两镜面合三角形重合必须中翻转180°图中组合三角形中镜面合三角形（ ）
考点2两三角形全等性质
例2：图中示两全等五边形指出应顶点应边应角说出图中标abcdeαβ字母表示值．
变式1：图示三全等四边形请指出应顶点应边应角写出图中标abcdαβγ字母表示值．
变式2：图绕点逆时针旋转位置已知等（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
变式3：图 ≌BC延长线交DAF交DEG 求度数
考点3两三角形全等判定
证题思路：
例1：图△ABC△DEF中出六条件中（1）AB＝DE（2）BC＝EF（3）AC＝DF （4）∠A＝∠D（5）∠B＝∠E（6）∠C＝∠F中三作已知条件判断△ABC△DEF全等（ ）
Ａ．（1）（5）（2） Ｂ．（1）（2）（3）
Ｃ．（4）（6）（1） Ｄ．（2）（3）（4）
A
B
C
D
E
F
变式1：图四边形中垂直分点．
（1）图中少全等三角形？请写出 （2）选（1）中全等三角形说明理．
A
B
D
C
O
变式2：已知图ABCDDF⊥ACFBE⊥ACEDFBE求证：AFCE
F
E
A
C
D
B
变式3：已知图ABCD相交点O△ACO≌△BDOCE∥DF求证：CEDF
F
E
O
D
C
B
A
变式4：图正方形ABCD边长1GCD边动点（点GCD重合） CG边正方形ABCD外作正方形GCEF连接DE交BG延长线H
求证：① △BCG≌△DCE
② BH⊥DE
F
E
D
C
A
B
G
H
结：例题变式练中纳概括出目前常证明三角形全等时寻找非已知条件途径
缺边时：①图中隐含公边②中点概念③等量公理④．
缺角时：①图中隐含公角②图中隐含顶角③三角形角推④角分线定义⑤行线性质⑥（等）角补（余）角相等⑦等量公理⑧．
课作业
A
E
D
C
B
1已知图AB⊥ACAB＝ACAD⊥AEAD＝AE求证：BE＝CD
G
F
E
D
C
A
B
2已知图四边形ABCD正方形△ECF等腰直角三角形中CECFGCDEF交点求证：△BCF≌△DCE
3图ΔABC中DABΔCADΔCBE等边三角形说明：（1）DEAB（2）∠EDB60°
D
A
B
C
P
E
Q
4图正方形ABCD中点P边AB动点CQAPPQCD相交点EP边AB运动时
试判断△PDQ形状证明
第二讲 全等三角形强化角分线
中考考情
1 尺规作图中常考作角分线求保留作图痕迹
2少单独考角分线性质般题结合起起考察
知识点
1角分线性质定理：角分线点角两边距离相等
2角分线判定定理：角部角两边距离相等点角分线
例题解析
全等三角形解题方法
般说考试中线段角相等需证明全等采取逆思维方式想证全等需什条件种根题目中出已知条件求出关信息然等式运（AASASASASSSSHL）证明三角形全等
例1：张长方形纸片图示方式折叠折痕求度数
A
E
C
B
A′
E′
D
变式1：图示DABEACABAC ∠B∠C求证：ADAE
变式2：矩形ABCD角线BD翻折△ABD△ABDAD交BCF图示△BDF种三角形？请说明理
例2：图已知△ABC中∠C＝2∠B∠1＝∠2求证：AB＝AC＋CD
变式1：图20示已知ABDCAEDFCEFB求证AFDE
变式2：图示已知△ACB△FCD等腰直角三角形CADAF 延长线BD交E请图中找出全等三角形写出证明全等程
般判定三角形全等时解题技巧：
（1）综合法：已知条件出发根正确定义定理逐步说理出结方法（思维：行）
（2）分析法：结出发利已学定理定义法逐步逆推已知条件拢直达已知条件（思维：逆思维）
（3）分析综合法：数学学中灵活握综合法分析法两种思维方法
分析法探索思路寻求解法
综合法进行条理表述
（先分析综合边分析边综合）
考点2角分线性质定理
例3：图E∠AOB分线点EC⊥OAED⊥OB垂足分CD
试证明OCOD．
变式1：图△ABC中∠C90°ACBCAD分∠CAB交BC点DDE⊥AB点E△BDE周长4cm求AB长．
变式2：已知：图△ABC中∠ACD90°AD分∠BAC交BCD DE⊥ABE求证：AD⊥CE
变式3： 已知：DABC中ÐBÐC分线相交DD作BC行线交ABACEF求证：EFBE+CF
考点3角分线判定定理
例4：图BDCD求证：点D分线
变式1：图∠B∠C90°MBC中点DM分∠ADC求证：AM分∠DAB
课作业
1(1) 图1∠AOB60°CD⊥OADCE⊥OBECDCE∠DOC_________
(2)图△ABC中∠C90°AD角分线DE⊥ABEDE3 cmBD5 cmBC_________ cm
2 图示∠1∠2AE⊥OBEBD⊥OAD交点C图中全等三角形（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3图示△ABC中ABACAD△ABC角分线DE⊥ABDF⊥AC垂足分EF列四结：①AD意点CB距离相等②AD意点ABAC距离相等③BDCDAD⊥BC④∠BDE∠CDF中正确数（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
4 中CD分线求证：BC＝AD＋AC
5已知右图BCE中点ADBCABDC．DE交ABF点
求证：（1）AD∥BC （2）AFBF．
第三讲 等腰三角形
中考考情
1等腰三角形性质单独考察综合考察般出现7分题9分题中
2等腰三角形中常辅助线（三线合）解题关键腰底分情况讨易错点
知识点
1等腰三角形性质
定理：等腰三角形两边相等
定理：等腰三角形两底角相等（简写成等边等角）
推1：等腰三角形顶角分线分底边垂直底边说等腰三角形顶角分线底边中线底边高互相重合
推2：等边三角形角相等角等60°等腰三角形底边垂直分线称轴轴称图形
2等腰三角形判定
定理：果三角形两角相等两角边相等（简写成等角等边）
推1：三角相等三角形等边三角形
推2：角等60°等腰三角形等边三角形
推3：直角三角形中果锐角等30°直角边等斜边半
3等边三角形
定义：三条边相等三角形
性质：三边相等三角相等60度加等腰三角形性质
判定：
（1）三条边相等三角形做等边三角形
（2）三角相等三角形做等边三角形
（3）两角等600三角形做等边三角形
（4）角等600等腰三角形做等边三角形
例题解析
考点1等腰三角形性质
例1：图等腰三角形ABC中ABAC腰中线BD等腰三角形周长分成156两部分求三角形腰长底边长
分析分AB+AD15CD+BC6AB+AD6CD+BC15两种情况讨
变式1：图已知：中DBC点求度数
变式2：已知：图中D求证：
变式3：图△ABC中∠B2∠CAD⊥BCD求证：CDAB+BD．请思考：
（1）CD截取DEDB连结AE证明．
（2）延长CBEBEAB连结AE否证出结．
说明：
1 作等腰三角形底边高线目利等腰三角形三线合性质构造角倍半关系添加底边高条常辅助线
2 线段间倍半关系常采截长补短倍长中线等辅助线添加方法角间倍半关系理构造半构造倍
变式4 （1）等腰三角形中两条边长分49周长 ．
（2）等腰三角形顶角40°底角度数
（3）等腰三角形顶角外角130°底角
（4）等腰三角形中顶角相邻外角分线底边位置关系
（5）等腰三角形角100o两角 ．
（6）等腰三角形腰高腰夹角30°顶角
考点2等腰三角形判定
例2：图示AD＝AEBD＝CEBDEC线试判断△ABC形状说明理．（两种方法证明）
变式1：图△ABC中BABC点DAB延长线点DF⊥ACF交BCE
求证：△DBE等腰三角形．
变式2：图△ABC中AB＝AC∠A＝36°BDCE分∠ABC∠ACB角分线相交点F图中等腰三角形（ ）
A 6 B 7 C 8 D 9
变式3：图中点点相交点试判断形状说明理．
B
C
D
F
A
E
考点3：等边三角形
例3：已知：图△ABC正三角形DBC延长线点连结ADAD边作等边三角形ADE连结CE学知识探索ACCDCE三条线段长度关系试写出探求程．
变式1：图已知点BCD条直线△ABC△CDE等边三角形．BE交ACFAD交CEH求证：（1）△BCE≌△ACD． （2） △BCF≌△ACH
变式2：图等边中点分边交点．
（1）求证：
（2）求度数．
D
A
E
F
B
C
变式3：图ΔABC中DABΔCADΔCBE等边三角形说明：（1）DEAB（2）∠EDB60°
节知识纳：
等腰三角形
课作业
1列说法中正确 ( )
①等腰三角形两腰相等②等腰三角形两底角相等③等腰三角形底边中线底边高相等④等腰三角形轴称图形．
A．1 B．2 C3 D．4
2果△ABC∠A∠B外角分线分行BCAC△ABC ( )
A．等边三角形 D．等腰三角形 C 直角三角形 D．等腰直角三角形
3面直角坐标系xOy中已知A(2－2)y轴确定点P△AOP等腰三角形符合条件点 ( )
A．2 D．3 C．4 D．5
4图列三角形中ABAC条直线分成两等腰三角形( )
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4) C (2)(3)(4) D．(1)(3)(4)
5已知等腰三角形两边长1cm2cm等腰三角形周长_______cm．
6三角形三角度数1∶2∶3边长8cm边长_______cm．
7图∠A＝15°AB＝BCCDDE＝EF∠GEF_______．
(第7题)
8等腰三角形底边长6cm腰中线三角形周长分两部分两部分差3cm等腰三角形腰长_______．
9图∠ABD∠ACD60º∠ADB90º12∠BDC求证：△ABC等腰三角形
第四讲 勾股定理
中考考情
1勾股定理解直角三角形般出现6分题者7分题中常见直角三角形
2考察知识点解三角形判定直角三角形
知识点
1勾股定理：直角三角形两条直角边方等斜边方．
表达形式：中
边分：①②③．
2勾股定理逆定理：果三角形三边长满足三角形直角三角形
勾股数：
（1）满足三正整数称勾股数．
（2）勾股数中数相整数倍勾股数345勾股数6810勾股数
（3）常见勾股数：①345②51213③881517④72425
⑤102426⑥94041．
例题解析
考点1勾股定理
例1：已知直角三角形ABC中∠C900AB10BC6求AB边高
C
A
B
变式1：直角三角形两直角边68斜边高等
变式2：直角三角形两边长512边长
变式3：图已知△ABC中ADAE分BC边高中线AB9AC7BC8求DE长
A
C
D
E
B
变式4：图折叠长方形边BC点B落AD边F处已知：AB3BC5
求折痕EF长．
A
E
B
C
D
F
变式5：图铁路AB两点相距25kmCD两村庄DA垂直ABACB垂直ABB已知DA15kmCB10km现铁路AB建土特产品收购站ECD两村E站距离相等E站应建距A站少千米处？
考点2勾股定理逆定理（直角三角形判条件）
例2：判断组线段边否组成直角三角形
（1）94140 （2）555 （3）
（4） （5）
变式1：图示已知△DEF中DE17cmEF30cmEF边中线DG8cm
求证：△DEF等腰三角形
D
E
F
G
A
B
C
D
变式2：图示△ABC中DBC点AB10BD6AD8AC17
求△ABC面积
变式3：图等边三角形试说明：
变式4：等腰直角三角形中ABAC点D斜边BC中点点EF分ABAC边点DE⊥DF
（1）证明：直角三角形
(2)BE12CF5试求面积
纳总结：利勾股定理逆定理判直角三角形般步骤：
①先找出边（c）
②计算验证否相等
△ABC直角三角形
≠△ABC直角三角形
课作业
1图边长c正方形中四斜边c全等直角三角形已知直角边长ab利图试说明勾股定理
C
第1题图
A
B
C
D
第2题图
2图四边形ABCD已知∠A90°AB3BC13CD12DA4求四边形面积
3已知图折叠长方形边AD点D落BC边点F处已知AB 8cmBC 10 cm求EC长
4图长方形ABCD中AB＝8BC＝4长方形AC折叠点D落D 处重叠部分△AFC面积少？
A
B
C
D
F
D
第五讲 行四边形
中考考情
1四边形章容中考中重点容常函数结合起出现压轴题中
2学节关键熟练掌握行四边形判定性质解9分题做准备
知识点
1边形： （1）边形角：边形角等
（2）边形外角：边形外角等360°
（3）常结：n边形顶点(n－3)条角线n边形条角线n边形顶点n边形分成(n－2)三角形
2 行四边形性质：
行四边形定义：两组边分行四边形行四边形
行四边形定义抓住两点四边形两组边分行
行四边形性质： （1）边性质：边行相等
（2）角性质：角相等邻角互补
（3）角线性质：两条角线互相分
（4）称性：轴称图形中心称图形
3行四边形判定：
（1）两组边分行四边形做行四边形（定义）
（2）两组边分相等四边形行四边形
（3）组边行相等四边形行四边形
（4）角线互相分四边形行四边形
（5）两组角分相等四边形行四边形
例题解析
考点1边形
例1：边形外角30°边形（ ）边形
变式1：果凸边形顶点出发17条角线边形角（ ）
（A）1800° （B）2400° （C）3240° （D）4206°
变式2：（1）六边形（ ）条角线
（2）边形角540°边数（ ）
（3）意边形外角（ ）度
（4）凸边形角900°边形边数（ ）条
考点2行四边形性质
例2：已知：ABCD角线ACBD相交点OEF点OABCD分相交点EF．求证：OE＝OFAECFBEDF．
变式1：已知四边形ABCD行四边形AB＝10cmAD＝8cmAC⊥BC求BCCDACOA长ABCD面积．
变式2：图12 1行四边形ABCD中AE⊥BCEAF⊥CDFAE4AF6周长等24
求行四边形ABCD边长
变式3：图12 11行四边形ABCD中DAB垂直分线DE四边形ABCD周长38cm △ABD周长四边形周长少10cm
求行四边形ABCD边长
变式4：图中边点．
（1）求证：．
（2）分求度数．
考点3行四边形判定
例3：已知图ABCD角线ACBD交点OEFAC两点AECF．求证：四边形BFDE行四边形．
变式1：已知：图A′B′∥BAB′C′∥CBC′A′∥AC．
求证：∠ABC＝∠B′∠CAB＝∠A′∠BCA＝∠C′
变式2：图已知⊿DAB⊿EAC ⊿FBC等边三角形求证：四边形DECF行四边形
变式3：图行四边形ABCD中EF分ADBCAECFAFBE交点GCEDF交点H求证：EFGH互相分
纳总结：
1学节容应掌握行四边形性质判定方法三方面记忆：
（1）边（2）角线（3）角
2解行四边形知识运包括三方面：直接运行四边形性质解决某问题．例求角度数线段长度证明角相等线段相等等二判定四边形行四边形判定直线行等三先判定四边形行四边形然行四边形性质解决某问题．
3行四边形概念性质判定非常重基础知识知识章重点容
课作业
选择题
1 图1行四边形ABCD中列式定正确（ ）
2 图2ABCD中EFABGHADEFGH交点O该图中行四边形数（ ）
A 7 B 8 C 9 D 11
二填空题
1行四边形ABCD中∠A－∠B70°∠A_______∠B_______
∠C_______∠D_________．
2ABCD中AC⊥BD相交OAC6BD8AB________BC _________．
3图9ABCD中DBDC∠C70°AE⊥BDE∠DAE_____度
三解答题
1 图11ABCD中已知角线ACBD相交点O△AOB周长25AB12求角线ACBD
2 已知图12ABCD中延长ABE延长CDFBEDF线段ACEF否互相分？说明理
3 图13ABCD中BD⊥ABAB12cmAC26cm求ADBD长．
第六讲 特殊行四边形（）
中考考情
1 特殊行四边形中考必考题常出现7分题9分题中 特殊四边形框架开综合考察代数知识
2 特殊四边形性质较难点选择条件
知识点
特殊行四边形性质：
１菱形
菱形定义：组邻边相等行四边形做菱形
菱形性质：
（1）边性质：边行四条边相等
（2）角性质：角相等邻角互补
（3）角线性质：两条角线互相垂直分相等条角线分组角
（4）称性：轴称图形两条称轴．中心称图形
2矩形
矩形定义：角直角行四边形做矩形
矩形性质：
（1）边性质：边行相等
（2）角性质：四角直角
（3）角线性质：两条角线互相分相等
（4）称性：轴称图形四条称轴．中心称图形称
3 正方形
正方形性质：
（1）边性质：边行四条边相等
（2）角性质：四角直角
（3）角线性质：两条角线互相垂直分相等条角线分组角
（4）称性：轴称图形四条称轴
例题解析
考点1菱形性质
例1：已知图菱形ABCD中∠B60° EF边BCCD∠EAF60 °
求证：AEAF
变式1：图菱形ABCD中∠B∠EAF60°∠BAE20°求∠CEF度数
A
B
C
D
E
F
考点2矩形性质
例2：图已知矩形ABCD纸片角线BD折叠C落C’处BC’边交ADEAD4CD2
（1）求AE长 （2）△BED面积
C
D
A
B
C
E
变式1：图矩形ABCD中AD9AB3折叠点D点B重合折痕EF
F
D
A
B
C
E
C’
求DEEF长
变式2：已知：矩形ABCD中AE分∠BAD∠AOD＝120°求：∠BOE
考点3正方形性质
例3：图1两正方形边长均1中正方形顶点正方形中心两正方形重合部分面积__________
变式1：图边长1正方形ABCD绕A点逆时针方旋转30°正方形
AB′C′D′旋转前正方形重叠部分面积________．
变式2：已知图正方形ABCD中AC．BD相交点OE．F分OB．OCOEOF．求证：AE⊥BF．
变式3：图正方形ABCD中HBCEF⊥AH交AB点E交DC点FAB3BH1求EF长
课作业
1列四边形中中心称图形轴称图形四条称轴（ ）．
A．行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形．
2图矩形ABCD中DE⊥ACE∠ADE：∠EDC3：2∠BDE度数（ ）．
A．36o B．18o C．27o D．9o ．
3图正方形ABCD中E角线AC点AE＝AB∠EBC＝_________．
4图正方形ABCD边BC延长线取点ECEACAECD交点F∠AFC_________．
第6题图 第7题图 第8题图
5已知：图正方形ABCDAE+CFEF求证：EDF
A
D
C
F
B
E
6已知：图矩形ABCD中AECDAB2AD求：EBC度数
A
D
E
C
B
第七讲 特殊行四边形（二）
中考考情
1特殊行四边形判定中考中考察较灵活种题型层次
2特殊四边形判定出现9分题中时根已知条件灵活选判定方法知识点
1 矩形
矩形判定：
（1）角直角行四边形矩形．
（2）角线相等行四边形矩形．
（3）三角直角四边形矩形．
2菱形
菱形判定：
（1）角线互相垂直行四边形菱形
（2）组邻边相等行四边形菱形
（3）四条边相等四边形菱形
3 正方形
正方形判定：
（1）角直角菱形正方形
（2）组邻边相等矩形正方形
（3）角线相等菱形正方形
（4）角线互相垂直矩形正方形
行四边形特殊行四边形关系：
例题解析
考点1矩形判定
例1：已知点E□ABCD外点AE⊥ECBE⊥DE求证：□ABCD矩形．
变式1：已知图等腰梯形ABCD中ABCDADBC点EFG分边ABBCCDAEGFGC
（1）求证：四边形AEFG行四边行
（2）时求证：四边形AEFG矩形
考点2菱形判定
例2：已知图AD △ABC角分线DE∥ACDF∥AB交ACF
求证：AD⊥EF
变式1：已知图EF矩形ABCD角线AC垂直分线EF角线AC边ADBC分交点OEF
（1）求证：四边形AFCE菱形
（2）果FE2ED求AE：ED值
变式2：已知图四边形ABCD中EAB点△ADE△BCE等边三角形ABBCCDDA中点分PQMN试判断四边形PQMN样四边形证明结．
考点3正方形判定
例3：图行四边形ABCD中点EF边ABCD中点AFDE交点HBFCE交点G
（1）求证：四边形EGFH行四边形
（2）试问：行四边形ABCD边满足条件时四边形EGFH正方形？
变式1：已知：图已知行四边形中角线交点延长线点等边三角形．
（1）求证：四边形菱形
E
C
D
B
A
O
图
（2）求证：四边形正
方法总结：（1）矩形菱形判定方法分两类：四边形判定行四边形判定果般四边形出发判断先判断行四边形进判断矩形菱形常判定方法三种：定义两判定定理．遇具体题目根条件灵活选恰方法．（2）判断四边形正方形需先判断菱形矩形然分两种方法判断正方形需根题干条件选择优方法
课作业
1列命题中正确（ ）．
A．角线相等四边形矩形
B．角线互相分相等四边形矩形
C．角线垂直四边形矩形
D．角线相等垂直四边形矩形．
2行四边形ABCD角线AC．BD相交点O列条件中判定菱形（ ）．
A．ABAD B．AC⊥BD
C．∠A∠D D．CA分∠BCD．
3列命题中真命题（ ）．
A．角线相等互相垂直四边形菱形
B．条角线分角四边形菱形
C．菱形角线互相垂直分四边形
D．菱形角线相等．
4图△ABC边AB．AC边等边三角ABD等边三角形ACE四边形ADFE行四边形．
（1）∠BAC满足什条件时四边形ADFE矩形？
（2）∠BAC满足什条件时行四边形ADFE存？
（3）△ABC分满足什条件时行四边形ADFE菱形正方形？
5已知：图正方形ABCD中GCD点延长BCECE＝CG连接BG延长交DEF．△DCE绕点D时针旋转90°△DAE′判断四边形E′BGD什四边形？说明理．
A
B
C
D
E
F
G
课表格完成
1．行四边形矩形菱形正方形性质
边
角
角线
行四边形
矩形
菱形
正方形
2．行四边形矩形菱形正方形判定
行四边形
矩形
菱形
正方形
第八讲 梯形
中考考情
1中考中般会考道梯形关题型般7分题难度中等题2常考察等腰梯形直角梯形背景进行线段长度角度计算者证明题
知识点
1 梯形
（1）梯形定义：组边行组进行四边形梯形
特殊梯形：角直角梯形直角梯形两腰相等梯形等腰梯形
（2）证明四边形梯形方法：
①证明组边行组边行
②证明组边行相等
2 等腰梯形
（1）等腰梯形定义：两腰相等梯形做等腰梯形
（2）等腰梯形判定：
①先证明梯形证明组边相等
②先证明梯形证明底两角相等
③先证明梯形证明两条角线相等
（3） 等腰梯形性质：
①等腰梯形底两角相等
②等腰梯形两条角线相等
③等腰梯形轴称图形称轴两底中点条直线
3直角梯形
直角梯形：角直角梯形做直角梯形
例题解析
考点1梯形
例1：图已知梯形ABCD中ABCDDEBC点EABBE＝4△AED周长18求梯形ABCD周长
D C
A E B
变式1：图：梯形ABCD中角线ACBD相交点O△AOB△COD面积相等？
变式2：图已知梯形ABCD中AD∥BCABCD∠BOC120°AD4BC8 求：梯形面积
D
A
B
C
O
变式3：图梯形中分交延长线点．求证：
考点2等腰梯形
例2：图等腰梯形ABCD中ADBCAD＝ABBD⊥CD 求：∠C度数
H
F
E
D
C
B
A
变式1：已知△ABC中AH⊥BCHEFD分ABACBC中点． 求证：四边形EFHD等腰梯形．
变式2：图等腰梯形ABCD中ADBCBA＝CDEAD延长线点CECD
求证：∠B∠E
考点3：直角梯形
例3：图直角梯形ABCD中AD∥BC∠A＝90°中位线EF长3cm⊿BDC等边三角形求梯形两腰ABDC长梯形面积
B
C
D
A
变式1：图直角梯形中 cm．
B
C
D
A
变式2：已知直角梯形中中点．
（1）求证：四边形正方形．
（2）求度数．
Ｄ
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｂ
变式3：直角梯形两腰1：2锐角等__________度．
课作业
填空题
1直角梯形底6底10高3梯形周长___________
2梯形两底分63两腰长分54梯形面积___________
3等腰梯形锐角60°两底分1549腰长____________
4梯形底分37腰长4腰长取值范围____________
5等腰梯形底6 底8 高 腰长___________
二选择题
1等腰梯形ABCD两条角线相点O中全等三角形（ ）
A1 B2 C3 D4
2图等腰梯形ABCD中AD∥BCAD5AB6BC8AB∥DE△DEC周长（ ）
A
B
C
D
E
A3 B12 C15 D19
3梯形ABCD中AD∥BCABCD∠A：∠B：∠C：∠D（ ）
A1：1：2：2 B1：2：2：1 C2：1：2：1 D1：2：1：2
4等腰梯形角120°高腰长（ ）
A1：2 B2：1 C1： D：2
5．果次连接四边形边中点围成四边形矩形原四边形定（ ）
（A）行四边形 （B）梯形
（C）角线相等四边形 （D）角线垂直四边形．
第九讲 梯形中辅助线中位线定理
中考考情
1题需通辅助线解题梯形中辅助线做法样需根条件结选择
2中位线梯形三角形中常辅助线出现中点作中位线性
知识点
1 常梯形中辅助线
移作梯形高移角线作中位线延长
2 中位线概念定理
（1）中位线概念：
①三角形中位线定义：连结三角形两边中点线段做三角形中位线．
②梯形中位线定义：连结梯形两腰中点线段做梯形中位线．
（2）中位线定理：
①三角形中位线定理：三角形中位线行第三边等半．
②梯形中位线定理：梯形中位线行两底等两底半．
例题解析
考点1梯形中常种作辅助线方法
（1）移条腰（移腰法）
图1梯形ABCD中AB∥DC作BM∥AD：
①梯形ABCD分成三角形________________形
②∠ADM∠____DM_____BM_____两底差DCAB_______
③ADBCDC－ABBCΔBMC______三角形∠A_______度
④AD4DC7AB2BM____MC____BC长度取值范围_____
（2）作梯形高（作高法）
图2梯形ABCD中AD∥BC作AE⊥BCDF⊥BC
①梯形ABCD分成两直角三角形______形
②AE_____底BCAD+____+______
③梯形ABCD等腰梯形BE_______底BCAD+2____
④AD3cmAB4cm ∠B600 ∠C450 BE_______cm
AE______cmDF____CF_____cm 梯形ABCD周长__________cm面积_______cm2
（3）移角线
图3梯形ABCD中AD∥BC作DE∥AC交BC延长线E
①四边形ACED___________形DE____BEAD+_____
②∠ACB∠______∠BDE∠______
③AC⊥BDAC3cmBD4cmDE___cmBE____cmAD+BC____cm 梯形ABCD面积_____
[提示：角线互相垂直四边形面积等两条角线长度积半]
（4）连结延长底端点腰中点连线
图4梯形ABCD中AD∥BCE腰DC中点连结AE延长AEBC延长线交FΔAED≌Δ______ AE_____AD+BC______
（5）延长两腰交点
图5梯形ABCD中ADBC∠B50°∠C80°AD2BC5求CD长
（5）
考点2中位线概念定理
例1：已知图（1）梯形ABCD中AD∥EF∥BCAEEBEM∥FCEM35cmDF ．
变式1：已知图（2）三角形 ABC等边三角形CF⊥AB点DCB延长线点EF∥DCAE35cmAD ．
（图1） （图2
变式2：图已知四边形ACBD中AC⊥BDEFGH分ABBCCDDA边中点求证：四边形EFGH矩形．
变式3：图已知等腰梯形ABCD中AD∥BC角线AC⊥BDAD3cmBC7cmDE⊥BCE试求DE长．
变式4：图等腰梯形ABCD中 MN分ADBC中点EF分BMCM中点
（1）求证：四边形MENF菱形
（2）四边形MENF正方形梯形ABCD高底边BC关系？
课作业
1已知：图示 行四边形ABCD中EF分ABDC中点AFEC交BDMN求证：BMMNND．
2图梯形ABCD中ABDCOBC中点∠AOD90°求证：AB＋CDAD
3图梯形ABCD中ADBCEF分BDAC中点求证：（1）EFAD（2）
第十讲 次函数
中考考情
1次函数东莞考察分值6分左右常出现解答题中知识点结合起考察
2解答题中常考定系数法求次函数解析式点坐标代入函数解析式中求相关量
知识点
1 函数相关基概念
变量：变化程中取数值量
常量：变化程中取数值量
函数：般变化程中果两变量xyx确定值y唯确定值应x称变量y称变量yx函数
*判断Y否X函数X取值确定时候Y否唯确定值应
定义域：般函数变量允许取值范围做函数定义域
函数图般说函数果变量函数应值分作点横坐标坐标面点组成图形函数图象．
函数解析式：含表示变量字母代数式表示变量式子做解析式
2正例函数性质
定义：般形ykx(k常数k≠0)函数做正例函数中k做例系数
性质：
(1) 解析式：ykx（k常数k≠0）
(2) 必点：（00）（1k）
(3) 走：k>0时图三象限k<0时图二四象限
(4) 增减性：k>0yx增增k<0yx增减
(5) 倾斜度：|k|越越接y轴|k|越越接x轴
3次函数性质
定义：般形ykx＋b(kb常数k≠0)y做x次函数b0时ykx＋bykx说正例函数种特殊次函数
性质：
（1）解析式：ykx+b(kb常数k0)
（2）必点：（0b）（0）
（3）走增减性：
b>0
b<0
b0
k>0
第二三象限
第三四象限
第三象限
图象左右升yx增增
k<0
第二四象限
第二三四象限
第二四象限
图象左右降yx增减
（4）倾斜度：|k|越图象越接y轴|k|越图象越接x轴
（5）图移： b>0时直线ykx图象移b单位
b<0时直线ykx图象移b单位
4直线yk1x+b1yk2x+b2位置关系
（1）两直线行：k1k2b1 b2
（2）两直线相交：k1k2
（3）两直线重合：k1k2b1b2
例题解析
考点1函数相关基概念
例1：（1）匀速运动公式中表示速度表示时间表示时间走路程变量________常量_______
（2）列函数中变量x取值范围x≥2（ ）
A．y B．y C．y D．y·
变式1：圆周长公式C2πr中变量________常量_________
变式2：函数中变量x取值范围___________
变式3：中变量x取值范围
考点2正例函数图象性质
例2：关x函数正例函数m n
变式1：正例函数m 时yx增增
变式2：函数y(k1)xyx增减k范围 ( )
A B C D
变式3：正例函数m
变式4：写出函数解析式 满足：函数图象（12）yx增减
变式5：已知y3x成正例x 2时y7求yx函数解析式
考点3次函数性质
例3：列函数中次函数
①②③yx④yx1⑤⑥
变式1：已知函数m 时次函数m 时正例函数
例4：直线y2x4x轴交点坐标 y轴交点坐标 该直线坐标轴围成三角形面积
变式1：已知直线y(a+2)x4a+4a 时直线原点a 时直线y轴交点（02）
变式2：已知点A（a+21a）函数y2x1图象a
变式3：已知次函数图象点A（20）y轴分交BC两点求△ABC面积
变式4：图次函数图象反例函数图象相交AB两点
（1）根图象分写出AB坐标
（2）求出两函数解析式
（3）根图象回答：值时
次函数函数值反例函数函数值
例5：次函数图象直线y2x3行点（21）次函数解析式
变式1：y(1m)x+7y(2m5)x1图象行m
变式2：直线y2xy轴移1单位直线
变式3：直线y＝3x移5单位直线 直线y＝x5移5单位直线
例6：函数yax+bybx+a图象坐标系致位置正确（ ）
变式1：m＜0 n＞0 次函数ymx+n图象 （ ）
A第象限 B 第二象限 C第三象限 D第四象限
变式2：y2x+b图象第三四象限b 0
变式3：果次函数ykx+(k1)图象第三四象限k取值范围
例7：次函数ykxb图象x轴y轴交点分（40）（04）求次函数解析式
变式1：直线ykxb点（12）y轴交点坐标3次函数解析式？
变式2：次函数图象y2x+1图象交点横坐标2yx+2图象交点坐标1求次函数解析式
例8：次函数图象x轴y轴分交（20）（01）y>0时
变式1：已知函数yx+1时
变式2：二元次方程组解集直线y2x1直线yx+2交点坐标
例9：工厂现甲种原料360千克乙种原料290千克计划利两种原料生产AB两种产品50件．已知生产件A种产品需甲种原料9千克乙种原料3千克获利润700元生产件B种产品需甲种原料4千克乙种原料10千克获利润1200元．生产AB两种产品获总利润(元)中种生产件数试写出间函数关系式说明种生产方案获总利润利润少
课作业
1列图象中yx函数（ ）
2y(1m)x+7y(2m5)x1图象行m
3次函数y2x+4次函数yx+6图象交点坐标二元次方程组
解
4y2x+1成正例x 0时y 4求yx函数解析式
5已知函数ykx+3ymx图象相交点P（21）求图中阴影部分面积
6Ａ城化肥200吨Ｂ城化肥300吨现化肥运ＣＤ两农村果Ａ城运ＣＤ两运费分20元／吨25元／吨Ｂ城运ＣＤ两运费分15元／吨22元／吨现已知Ｃ需220吨Ｄ需280吨样调运花钱
第十讲 反例函数
中考考情
1 反例函数命题放位置常出现7分题突出考查学生数形结合思想等次函数结合起考察
2节重点掌握反例函数图象性质难点理解反例函数概念
反例函数图象性质运
知识点
1 反例函数概念：
般果两变量xy间关系表示成ykx1（k常数）形式称yx反例函数
2反例函数图象性质
反例函数图象：反例函数图象双曲线两分支两分支分位第三象限第二四象限关原点称反例函数图象x轴y轴没交点双曲线两分支限接坐标轴永远坐标轴相交
画反例函数图象时注意问题：
（1）画反例函数图象方法描点法
（2）画反例函数图象注意变量取值范围两分支连接起
（3）反例函数中xy值0画出双曲线两分支分体现出限接坐标轴永远达x轴y轴变化趋势
反例函数性质
变形形式（常数）：
（1）图象位置：
时xy号图象第三象限
时xy异号图象第二四象限
（2）点(mn)反例函数图象点（mn）图象反例函数图象关原点称
（3）时象限yx增减
时象限yx增增
3反例函数解析式确定
（1）反例函数关系式确定方法：定系数法反例函数关系式中定系数k确定k值确定反例函数需出组xy应值图象点坐标代入中求出k值确定反例函数关系式
（2）定系数法求反例函数关系式般步骤：
①设求反例函数：（） ②根已知条件列出含k方程
③解出定系数k值 ④k值代入函数关系式中
5反例函数综合
例题解析
考点1例函数基题
例1：函数中变量x取值范围（ ）
Ax≠0 Bx≥2 Cx≤2 Dx≠2
变式1：反例函数图象点坐标
变式2：反例函数图第二四象限值（ ）
A－11 B 意实数 C－1 Ｄ确定
考点2反例函数图象
例2：根物理学家波义耳1662年研究结果：温度变情况气球气体压强p(pa)体积v(m3)积常数kpv＝k(k常数k＞0)列图象正确反映pv间函数关系（ ）
p
v
O
p
v
O
p
v
O
p
v
O
A
B
C
DD
变式2：已知反例函数图两点A()B()值 （ ）
A 正数 B 负数 C 非正数 D 确定
o
变式3：正例函数反例函数坐标系图象（ ）
x
y
y
x
o
y
x
o
y
x
o
考点3反例函数图象面积k问题
例3：反例函数（k0）第象限图象图1示P该图象点PQ⊥x轴设△POQ面积SSk间关系（ ）
A． B． C．Sk D．S>k
变式1：设P函数第象限图意点点P关原点称点P’P作PA行y轴P’作P’A行x轴PAP’A交A点面积（ ）
A．等2 B．等4 C．等8 D．P点变化变化
变式2：图AB反例函数y＝图象两点ACBD垂直x轴垂足分CDAB延长线交x轴点ECD坐标分（10）（40）ΔBDE面积ΔACE面积值（ ）
A． B． Ｃ． D．
变式3：反例函数第象限图象图点M图点
MP垂直轴点P果△MOP面积1值
y
x
O
P
M
考点4利图象较
例4：已知三点反例函数图象列式子正确（ ）
A． B．C． D．
变式1：函数y(k<0)图A(1y)B(－1y)C(－2y)三点列式中正确（ ）
(A) y
考点5综合考察
例5：图已知反例函数y 图象点A（1 3）次函数y kx + b图象点A点C（0 4）反例函数图象相交点B
试确定两函数表达式
变式1：图已知点A（4ｍ）B（－1ｎ）反例函数图象直线ABｘ轴交点C
（1）求n值
（2）果点Dx轴DA＝DC求点D坐标
课作业
1直角坐标面果直线双曲线没交点关系定（ ）
A <0>0 B >0<0 C 号 D 异号
2点（x1y1）（x2y2）反例函数图象点x1＜x2＜列式中正确 （ ）
Ay1＜y2 By1 >y2 Cy1 y2 D确定
3已知2成反例3时1间函数关系式
4体积20圆柱体中底面积S关高h函数关系式
5函数时y取值范围____________时时y取值范围y ______1y ______（提示：利图解答）
6图Rt△ABO顶点A双曲线直线第二象限交点
AB⊥轴BS△ABO
（1）求两函数解析式
（2）AC坐标分（3）（31）求△AOC面积
O
y
x
B
A
C
第十二讲 分式方程
中考考情
1分式难点放分式方程分式方程应题中考察般6分题解分式方程者7分题应题
2分式性质分式方程解法重点考察点
知识点
1 分式定义：果AB表示两整式B中含字母式子做分式
（1）分式意义条件分母零B≠0
（2）分式没意义条件分母等零B0
（3）分式值零条件分子零分母零B≠0A0 子零母零
2分式基性质：分式分子分母等0整式分式值变
（1）分式基性质：
（2）分式变号法：
3分式运算：
分式法法：分式分式分子积作积分子分母积作分母
分式法法：分式分式式分子分母颠倒位置式相
分式方法： 分式方分子分母分方
分式加减法：分母分式相加减分母变分子相加减异分母分式相加减先通分变分母分式然加减
4分式方程：含分式分母中含未知数方程——分式方程
（1）解分式方程步骤：
①方程两边简公分母约分母化成整式方程
②解整式方程
③整式方程根代入简公分母结果零简公分母零根原方程增根必须舍
④写出原方程根
增根应满足两条件：值应简公分母0二值应分母整式方程根
（2）分式方程检验方法：整式方程解带入简公分母果简公分母值0整式方程解原分式方程解否解原分式方程解
例题解析
考点1分式定义
例1：列代数式中：分式：
变式1：值时列分式意义
（1） （2） （3）
变式2：取值时列分式值0
（1） （3）
变式3：（1）值时分式正
（2）值时分式非正数
考点2分式基性质
例2：改变分式值分子分母系数化整数
（1） （2）
变式1：改变分式值列分式分子分母首项符号变正号
（1） （2）
变式2：已知：求值
变式3：求值
变式4：先化简代数式：然选取原式意义值代入求值．
考点3分式运算
1．确定简公分母方法：
①简公分母系数取分母系数公倍数
②简公分母字母式取分母字母高次幂
2．确定公式方法：①公式系数取分子分母系数公约数
②取分子分母相字母式低次幂
例3：列式分通分
（1） （2）
变式1：约分：
（1） （2）
变式3：计算列式：
（1） （2）
考点4分式方程
例4：解列分式方程
（1） （2）
变式1：解列方程
（1） （2）
考点5分式方程应
例5：A城市立方米水水费B城市125倍样交水费20元B城市A城市2立方米水AB两城市立方米水水费少元？
变式1：甲乙两相距19千米某甲乙先步行7千米然改骑行车2时达乙已知骑行车速度步行速度4倍求步行速度骑行车速度
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第讲 全等三角形提高 1
第二讲 全等三角形强化角分线 8
第三讲 等腰三角形 14
第四讲 勾股定理 21
第五讲 行四边形 26
第六讲 特殊行四边形（） 32
第七讲 特殊行四边形（二） 37
第八讲 梯形 43
第九讲 梯形中辅助线中位线定理 47
第十讲 次函数 52
第十讲 反例函数 58
第十二讲 分式方程 64
第讲 全等三角形提高
中考考情
1全等三角形中考中考察灵活种题型出现
2找出图形中全等三角形然利全等三角形性质压轴题常考方式
知识点
1全等形：够重合两图形做全等形两三角形全等形说全等三角形两全等三角形运动定重合互相重合顶点做应顶点互相重合边做应边互相重合角做应角
2两三角形全等性质：
（1）全等三角形应角相等应边相等
（2）全等三角形应边高应相等
（3）全等三角形应角分线相等
（4）全等三角形应中线相等
（5）全等三角形面积相等
（6）全等三角形周长相等
(简称全等三角形应元素相等)
3 两三角形全等判定：
（1）三组应边分相等两三角形全等(简称SSS边边边)条说明三角形具稳定性原
（2）两边夹角应相等两三角形全等(SAS边角边)
（3）两角夹边应相等两三角形全等(ASA角边角)
（4）两角角边应相等两三角形全等(AAS角角边)
（5）直角三角形全等条件：斜边直角边应相等两直角三角形全等(HL斜边直角边)
SSSSASASAAASHL均判定三角形全等定理
注意：什SSA判断两三角形全等够画出反例图形
例题解析
考点1全等形概念
例1：中述例举模样图形做全等形描述全等形三种说法认种说法恰？
（l）形状相两图形全等形
（2）相等两图形全等形
（3）够完全重合两图形全等形．
变式1：图中6条形方格图图中实线围成图形全等？
变式2全等三角形合三角形面合三角形分真正合三角形镜面合三角形．假设△ABC△A1B1C1全等（合）三角形点AA1应点BB1应点CC1应周界A→B→C→AA1→B1→C1→A1环绕时运动方相称真正合三角形（图）运动方相反称镜面合三角形图
两真正合三角形面通移旋转重合两镜面合三角形重合必须中翻转180°图中组合三角形中镜面合三角形（ ）
考点2两三角形全等性质
例2：图中示两全等五边形指出应顶点应边应角说出图中标abcdeαβ字母表示值．
变式1：图示三全等四边形请指出应顶点应边应角写出图中标abcdαβγ字母表示值．
变式2：图绕点逆时针旋转位置已知等（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
变式3：图 ≌BC延长线交DAF交DEG 求度数
考点3两三角形全等判定
证题思路：
例1：图△ABC△DEF中出六条件中（1）AB＝DE（2）BC＝EF（3）AC＝DF （4）∠A＝∠D（5）∠B＝∠E（6）∠C＝∠F中三作已知条件判断△ABC△DEF全等（ ）
Ａ．（1）（5）（2） Ｂ．（1）（2）（3）
Ｃ．（4）（6）（1） Ｄ．（2）（3）（4）
A
B
C
D
E
F
变式1：图四边形中垂直分点．
（1）图中少全等三角形？请写出 （2）选（1）中全等三角形说明理．
A
B
D
C
O
变式2：已知图ABCDDF⊥ACFBE⊥ACEDFBE求证：AFCE
F
E
A
C
D
B
变式3：已知图ABCD相交点O△ACO≌△BDOCE∥DF求证：CEDF
F
E
O
D
C
B
A
变式4：图正方形ABCD边长1GCD边动点（点GCD重合） CG边正方形ABCD外作正方形GCEF连接DE交BG延长线H
求证：① △BCG≌△DCE
② BH⊥DE
F
E
D
C
A
B
G
H
结：例题变式练中纳概括出目前常证明三角形全等时寻找非已知条件途径
缺边时：①图中隐含公边②中点概念③等量公理④．
缺角时：①图中隐含公角②图中隐含顶角③三角形角推④角分线定义⑤行线性质⑥（等）角补（余）角相等⑦等量公理⑧．
课作业
A
E
D
C
B
1已知图AB⊥ACAB＝ACAD⊥AEAD＝AE求证：BE＝CD
G
F
E
D
C
A
B
2已知图四边形ABCD正方形△ECF等腰直角三角形中CECFGCDEF交点求证：△BCF≌△DCE
3图ΔABC中DABΔCADΔCBE等边三角形说明：（1）DEAB（2）∠EDB60°
D
A
B
C
P
E
Q
4图正方形ABCD中点P边AB动点CQAPPQCD相交点EP边AB运动时
试判断△PDQ形状证明
第二讲 全等三角形强化角分线
中考考情
1 尺规作图中常考作角分线求保留作图痕迹
2少单独考角分线性质般题结合起起考察
知识点
1角分线性质定理：角分线点角两边距离相等
2角分线判定定理：角部角两边距离相等点角分线
例题解析
全等三角形解题方法
般说考试中线段角相等需证明全等采取逆思维方式想证全等需什条件种根题目中出已知条件求出关信息然等式运（AASASASASSSSHL）证明三角形全等
例1：张长方形纸片图示方式折叠折痕求度数
A
E
C
B
A′
E′
D
变式1：图示DABEACABAC ∠B∠C求证：ADAE
变式2：矩形ABCD角线BD翻折△ABD△ABDAD交BCF图示△BDF种三角形？请说明理
例2：图已知△ABC中∠C＝2∠B∠1＝∠2求证：AB＝AC＋CD
变式1：图20示已知ABDCAEDFCEFB求证AFDE
变式2：图示已知△ACB△FCD等腰直角三角形CADAF 延长线BD交E请图中找出全等三角形写出证明全等程
般判定三角形全等时解题技巧：
（1）综合法：已知条件出发根正确定义定理逐步说理出结方法（思维：行）
（2）分析法：结出发利已学定理定义法逐步逆推已知条件拢直达已知条件（思维：逆思维）
（3）分析综合法：数学学中灵活握综合法分析法两种思维方法
分析法探索思路寻求解法
综合法进行条理表述
（先分析综合边分析边综合）
考点2角分线性质定理
例3：图E∠AOB分线点EC⊥OAED⊥OB垂足分CD
试证明OCOD．
变式1：图△ABC中∠C90°ACBCAD分∠CAB交BC点DDE⊥AB点E△BDE周长4cm求AB长．
变式2：已知：图△ABC中∠ACD90°AD分∠BAC交BCD DE⊥ABE求证：AD⊥CE
变式3： 已知：DABC中ÐBÐC分线相交DD作BC行线交ABACEF求证：EFBE+CF
考点3角分线判定定理
例4：图BDCD求证：点D分线
变式1：图∠B∠C90°MBC中点DM分∠ADC求证：AM分∠DAB
课作业
1(1) 图1∠AOB60°CD⊥OADCE⊥OBECDCE∠DOC_________
(2)图△ABC中∠C90°AD角分线DE⊥ABEDE3 cmBD5 cmBC_________ cm
2 图示∠1∠2AE⊥OBEBD⊥OAD交点C图中全等三角形（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3图示△ABC中ABACAD△ABC角分线DE⊥ABDF⊥AC垂足分EF列四结：①AD意点CB距离相等②AD意点ABAC距离相等③BDCDAD⊥BC④∠BDE∠CDF中正确数（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
4 中CD分线求证：BC＝AD＋AC
5已知右图BCE中点ADBCABDC．DE交ABF点
求证：（1）AD∥BC （2）AFBF．
第三讲 等腰三角形
中考考情
1等腰三角形性质单独考察综合考察般出现7分题9分题中
2等腰三角形中常辅助线（三线合）解题关键腰底分情况讨易错点
知识点
1等腰三角形性质
定理：等腰三角形两边相等
定理：等腰三角形两底角相等（简写成等边等角）
推1：等腰三角形顶角分线分底边垂直底边说等腰三角形顶角分线底边中线底边高互相重合
推2：等边三角形角相等角等60°等腰三角形底边垂直分线称轴轴称图形
2等腰三角形判定
定理：果三角形两角相等两角边相等（简写成等角等边）
推1：三角相等三角形等边三角形
推2：角等60°等腰三角形等边三角形
推3：直角三角形中果锐角等30°直角边等斜边半
3等边三角形
定义：三条边相等三角形
性质：三边相等三角相等60度加等腰三角形性质
判定：
（1）三条边相等三角形做等边三角形
（2）三角相等三角形做等边三角形
（3）两角等600三角形做等边三角形
（4）角等600等腰三角形做等边三角形
例题解析
考点1等腰三角形性质
例1：图等腰三角形ABC中ABAC腰中线BD等腰三角形周长分成156两部分求三角形腰长底边长
分析分AB+AD15CD+BC6AB+AD6CD+BC15两种情况讨
变式1：图已知：中DBC点求度数
变式2：已知：图中D求证：
变式3：图△ABC中∠B2∠CAD⊥BCD求证：CDAB+BD．请思考：
（1）CD截取DEDB连结AE证明．
（2）延长CBEBEAB连结AE否证出结．
说明：
1 作等腰三角形底边高线目利等腰三角形三线合性质构造角倍半关系添加底边高条常辅助线
2 线段间倍半关系常采截长补短倍长中线等辅助线添加方法角间倍半关系理构造半构造倍
变式4 （1）等腰三角形中两条边长分49周长 ．
（2）等腰三角形顶角40°底角度数
（3）等腰三角形顶角外角130°底角
（4）等腰三角形中顶角相邻外角分线底边位置关系
（5）等腰三角形角100o两角 ．
（6）等腰三角形腰高腰夹角30°顶角
考点2等腰三角形判定
例2：图示AD＝AEBD＝CEBDEC线试判断△ABC形状说明理．（两种方法证明）
变式1：图△ABC中BABC点DAB延长线点DF⊥ACF交BCE
求证：△DBE等腰三角形．
变式2：图△ABC中AB＝AC∠A＝36°BDCE分∠ABC∠ACB角分线相交点F图中等腰三角形（ ）
A 6 B 7 C 8 D 9
变式3：图中点点相交点试判断形状说明理．
B
C
D
F
A
E
考点3：等边三角形
例3：已知：图△ABC正三角形DBC延长线点连结ADAD边作等边三角形ADE连结CE学知识探索ACCDCE三条线段长度关系试写出探求程．
变式1：图已知点BCD条直线△ABC△CDE等边三角形．BE交ACFAD交CEH求证：（1）△BCE≌△ACD． （2） △BCF≌△ACH
变式2：图等边中点分边交点．
（1）求证：
（2）求度数．
D
A
E
F
B
C
变式3：图ΔABC中DABΔCADΔCBE等边三角形说明：（1）DEAB（2）∠EDB60°
节知识纳：
等腰三角形
课作业
1列说法中正确 ( )
①等腰三角形两腰相等②等腰三角形两底角相等③等腰三角形底边中线底边高相等④等腰三角形轴称图形．
A．1 B．2 C3 D．4
2果△ABC∠A∠B外角分线分行BCAC△ABC ( )
A．等边三角形 D．等腰三角形 C 直角三角形 D．等腰直角三角形
3面直角坐标系xOy中已知A(2－2)y轴确定点P△AOP等腰三角形符合条件点 ( )
A．2 D．3 C．4 D．5
4图列三角形中ABAC条直线分成两等腰三角形( )
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4) C (2)(3)(4) D．(1)(3)(4)
5已知等腰三角形两边长1cm2cm等腰三角形周长_______cm．
6三角形三角度数1∶2∶3边长8cm边长_______cm．
7图∠A＝15°AB＝BCCDDE＝EF∠GEF_______．
(第7题)
8等腰三角形底边长6cm腰中线三角形周长分两部分两部分差3cm等腰三角形腰长_______．
9图∠ABD∠ACD60º∠ADB90º12∠BDC求证：△ABC等腰三角形
第四讲 勾股定理
中考考情
1勾股定理解直角三角形般出现6分题者7分题中常见直角三角形
2考察知识点解三角形判定直角三角形
知识点
1勾股定理：直角三角形两条直角边方等斜边方．
表达形式：中
边分：①②③．
2勾股定理逆定理：果三角形三边长满足三角形直角三角形
勾股数：
（1）满足三正整数称勾股数．
（2）勾股数中数相整数倍勾股数345勾股数6810勾股数
（3）常见勾股数：①345②51213③881517④72425
⑤102426⑥94041．
例题解析
考点1勾股定理
例1：已知直角三角形ABC中∠C900AB10BC6求AB边高
C
A
B
变式1：直角三角形两直角边68斜边高等
变式2：直角三角形两边长512边长
变式3：图已知△ABC中ADAE分BC边高中线AB9AC7BC8求DE长
A
C
D
E
B
变式4：图折叠长方形边BC点B落AD边F处已知：AB3BC5
求折痕EF长．
A
E
B
C
D
F
变式5：图铁路AB两点相距25kmCD两村庄DA垂直ABACB垂直ABB已知DA15kmCB10km现铁路AB建土特产品收购站ECD两村E站距离相等E站应建距A站少千米处？
考点2勾股定理逆定理（直角三角形判条件）
例2：判断组线段边否组成直角三角形
（1）94140 （2）555 （3）
（4） （5）
变式1：图示已知△DEF中DE17cmEF30cmEF边中线DG8cm
求证：△DEF等腰三角形
D
E
F
G
A
B
C
D
变式2：图示△ABC中DBC点AB10BD6AD8AC17
求△ABC面积
变式3：图等边三角形试说明：
变式4：等腰直角三角形中ABAC点D斜边BC中点点EF分ABAC边点DE⊥DF
（1）证明：直角三角形
(2)BE12CF5试求面积
纳总结：利勾股定理逆定理判直角三角形般步骤：
①先找出边（c）
②计算验证否相等
△ABC直角三角形
≠△ABC直角三角形
课作业
1图边长c正方形中四斜边c全等直角三角形已知直角边长ab利图试说明勾股定理
C
第1题图
A
B
C
D
第2题图
2图四边形ABCD已知∠A90°AB3BC13CD12DA4求四边形面积
3已知图折叠长方形边AD点D落BC边点F处已知AB 8cmBC 10 cm求EC长
4图长方形ABCD中AB＝8BC＝4长方形AC折叠点D落D 处重叠部分△AFC面积少？
A
B
C
D
F
D
第五讲 行四边形
中考考情
1四边形章容中考中重点容常函数结合起出现压轴题中
2学节关键熟练掌握行四边形判定性质解9分题做准备
知识点
1边形： （1）边形角：边形角等
（2）边形外角：边形外角等360°
（3）常结：n边形顶点(n－3)条角线n边形条角线n边形顶点n边形分成(n－2)三角形
2 行四边形性质：
行四边形定义：两组边分行四边形行四边形
行四边形定义抓住两点四边形两组边分行
行四边形性质： （1）边性质：边行相等
（2）角性质：角相等邻角互补
（3）角线性质：两条角线互相分
（4）称性：轴称图形中心称图形
3行四边形判定：
（1）两组边分行四边形做行四边形（定义）
（2）两组边分相等四边形行四边形
（3）组边行相等四边形行四边形
（4）角线互相分四边形行四边形
（5）两组角分相等四边形行四边形
例题解析
考点1边形
例1：边形外角30°边形（ ）边形
变式1：果凸边形顶点出发17条角线边形角（ ）
（A）1800° （B）2400° （C）3240° （D）4206°
变式2：（1）六边形（ ）条角线
（2）边形角540°边数（ ）
（3）意边形外角（ ）度
（4）凸边形角900°边形边数（ ）条
考点2行四边形性质
例2：已知：ABCD角线ACBD相交点OEF点OABCD分相交点EF．求证：OE＝OFAECFBEDF．
变式1：已知四边形ABCD行四边形AB＝10cmAD＝8cmAC⊥BC求BCCDACOA长ABCD面积．
变式2：图12 1行四边形ABCD中AE⊥BCEAF⊥CDFAE4AF6周长等24
求行四边形ABCD边长
变式3：图12 11行四边形ABCD中DAB垂直分线DE四边形ABCD周长38cm △ABD周长四边形周长少10cm
求行四边形ABCD边长
变式4：图中边点．
（1）求证：．
（2）分求度数．
考点3行四边形判定
例3：已知图ABCD角线ACBD交点OEFAC两点AECF．求证：四边形BFDE行四边形．
变式1：已知：图A′B′∥BAB′C′∥CBC′A′∥AC．
求证：∠ABC＝∠B′∠CAB＝∠A′∠BCA＝∠C′
变式2：图已知⊿DAB⊿EAC ⊿FBC等边三角形求证：四边形DECF行四边形
变式3：图行四边形ABCD中EF分ADBCAECFAFBE交点GCEDF交点H求证：EFGH互相分
纳总结：
1学节容应掌握行四边形性质判定方法三方面记忆：
（1）边（2）角线（3）角
2解行四边形知识运包括三方面：直接运行四边形性质解决某问题．例求角度数线段长度证明角相等线段相等等二判定四边形行四边形判定直线行等三先判定四边形行四边形然行四边形性质解决某问题．
3行四边形概念性质判定非常重基础知识知识章重点容
课作业
选择题
1 图1行四边形ABCD中列式定正确（ ）
2 图2ABCD中EFABGHADEFGH交点O该图中行四边形数（ ）
A 7 B 8 C 9 D 11
二填空题
1行四边形ABCD中∠A－∠B70°∠A_______∠B_______
∠C_______∠D_________．
2ABCD中AC⊥BD相交OAC6BD8AB________BC _________．
3图9ABCD中DBDC∠C70°AE⊥BDE∠DAE_____度
三解答题
1 图11ABCD中已知角线ACBD相交点O△AOB周长25AB12求角线ACBD
2 已知图12ABCD中延长ABE延长CDFBEDF线段ACEF否互相分？说明理
3 图13ABCD中BD⊥ABAB12cmAC26cm求ADBD长．
第六讲 特殊行四边形（）
中考考情
1 特殊行四边形中考必考题常出现7分题9分题中 特殊四边形框架开综合考察代数知识
2 特殊四边形性质较难点选择条件
知识点
特殊行四边形性质：
１菱形
菱形定义：组邻边相等行四边形做菱形
菱形性质：
（1）边性质：边行四条边相等
（2）角性质：角相等邻角互补
（3）角线性质：两条角线互相垂直分相等条角线分组角
（4）称性：轴称图形两条称轴．中心称图形
2矩形
矩形定义：角直角行四边形做矩形
矩形性质：
（1）边性质：边行相等
（2）角性质：四角直角
（3）角线性质：两条角线互相分相等
（4）称性：轴称图形四条称轴．中心称图形称
3 正方形
正方形性质：
（1）边性质：边行四条边相等
（2）角性质：四角直角
（3）角线性质：两条角线互相垂直分相等条角线分组角
（4）称性：轴称图形四条称轴
例题解析
考点1菱形性质
例1：已知图菱形ABCD中∠B60° EF边BCCD∠EAF60 °
求证：AEAF
变式1：图菱形ABCD中∠B∠EAF60°∠BAE20°求∠CEF度数
A
B
C
D
E
F
考点2矩形性质
例2：图已知矩形ABCD纸片角线BD折叠C落C’处BC’边交ADEAD4CD2
（1）求AE长 （2）△BED面积
C
D
A
B
C
E
变式1：图矩形ABCD中AD9AB3折叠点D点B重合折痕EF
F
D
A
B
C
E
C’
求DEEF长
变式2：已知：矩形ABCD中AE分∠BAD∠AOD＝120°求：∠BOE
考点3正方形性质
例3：图1两正方形边长均1中正方形顶点正方形中心两正方形重合部分面积__________
变式1：图边长1正方形ABCD绕A点逆时针方旋转30°正方形
AB′C′D′旋转前正方形重叠部分面积________．
变式2：已知图正方形ABCD中AC．BD相交点OE．F分OB．OCOEOF．求证：AE⊥BF．
变式3：图正方形ABCD中HBCEF⊥AH交AB点E交DC点FAB3BH1求EF长
课作业
1列四边形中中心称图形轴称图形四条称轴（ ）．
A．行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形．
2图矩形ABCD中DE⊥ACE∠ADE：∠EDC3：2∠BDE度数（ ）．
A．36o B．18o C．27o D．9o ．
3图正方形ABCD中E角线AC点AE＝AB∠EBC＝_________．
4图正方形ABCD边BC延长线取点ECEACAECD交点F∠AFC_________．
第6题图 第7题图 第8题图
5已知：图正方形ABCDAE+CFEF求证：EDF
A
D
C
F
B
E
6已知：图矩形ABCD中AECDAB2AD求：EBC度数
A
D
E
C
B
第七讲 特殊行四边形（二）
中考考情
1特殊行四边形判定中考中考察较灵活种题型层次
2特殊四边形判定出现9分题中时根已知条件灵活选判定方法知识点
1 矩形
矩形判定：
（1）角直角行四边形矩形．
（2）角线相等行四边形矩形．
（3）三角直角四边形矩形．
2菱形
菱形判定：
（1）角线互相垂直行四边形菱形
（2）组邻边相等行四边形菱形
（3）四条边相等四边形菱形
3 正方形
正方形判定：
（1）角直角菱形正方形
（2）组邻边相等矩形正方形
（3）角线相等菱形正方形
（4）角线互相垂直矩形正方形
行四边形特殊行四边形关系：
例题解析
考点1矩形判定
例1：已知点E□ABCD外点AE⊥ECBE⊥DE求证：□ABCD矩形．
变式1：已知图等腰梯形ABCD中ABCDADBC点EFG分边ABBCCDAEGFGC
（1）求证：四边形AEFG行四边行
（2）时求证：四边形AEFG矩形
考点2菱形判定
例2：已知图AD △ABC角分线DE∥ACDF∥AB交ACF
求证：AD⊥EF
变式1：已知图EF矩形ABCD角线AC垂直分线EF角线AC边ADBC分交点OEF
（1）求证：四边形AFCE菱形
（2）果FE2ED求AE：ED值
变式2：已知图四边形ABCD中EAB点△ADE△BCE等边三角形ABBCCDDA中点分PQMN试判断四边形PQMN样四边形证明结．
考点3正方形判定
例3：图行四边形ABCD中点EF边ABCD中点AFDE交点HBFCE交点G
（1）求证：四边形EGFH行四边形
（2）试问：行四边形ABCD边满足条件时四边形EGFH正方形？
变式1：已知：图已知行四边形中角线交点延长线点等边三角形．
（1）求证：四边形菱形
E
C
D
B
A
O
图
（2）求证：四边形正
方法总结：（1）矩形菱形判定方法分两类：四边形判定行四边形判定果般四边形出发判断先判断行四边形进判断矩形菱形常判定方法三种：定义两判定定理．遇具体题目根条件灵活选恰方法．（2）判断四边形正方形需先判断菱形矩形然分两种方法判断正方形需根题干条件选择优方法
课作业
1列命题中正确（ ）．
A．角线相等四边形矩形
B．角线互相分相等四边形矩形
C．角线垂直四边形矩形
D．角线相等垂直四边形矩形．
2行四边形ABCD角线AC．BD相交点O列条件中判定菱形（ ）．
A．ABAD B．AC⊥BD
C．∠A∠D D．CA分∠BCD．
3列命题中真命题（ ）．
A．角线相等互相垂直四边形菱形
B．条角线分角四边形菱形
C．菱形角线互相垂直分四边形
D．菱形角线相等．
4图△ABC边AB．AC边等边三角ABD等边三角形ACE四边形ADFE行四边形．
（1）∠BAC满足什条件时四边形ADFE矩形？
（2）∠BAC满足什条件时行四边形ADFE存？
（3）△ABC分满足什条件时行四边形ADFE菱形正方形？
5已知：图正方形ABCD中GCD点延长BCECE＝CG连接BG延长交DEF．△DCE绕点D时针旋转90°△DAE′判断四边形E′BGD什四边形？说明理．
A
B
C
D
E
F
G
课表格完成
1．行四边形矩形菱形正方形性质
边
角
角线
行四边形
矩形
菱形
正方形
2．行四边形矩形菱形正方形判定
行四边形
矩形
菱形
正方形
第八讲 梯形
中考考情
1中考中般会考道梯形关题型般7分题难度中等题2常考察等腰梯形直角梯形背景进行线段长度角度计算者证明题
知识点
1 梯形
（1）梯形定义：组边行组进行四边形梯形
特殊梯形：角直角梯形直角梯形两腰相等梯形等腰梯形
（2）证明四边形梯形方法：
①证明组边行组边行
②证明组边行相等
2 等腰梯形
（1）等腰梯形定义：两腰相等梯形做等腰梯形
（2）等腰梯形判定：
①先证明梯形证明组边相等
②先证明梯形证明底两角相等
③先证明梯形证明两条角线相等
（3） 等腰梯形性质：
①等腰梯形底两角相等
②等腰梯形两条角线相等
③等腰梯形轴称图形称轴两底中点条直线
3直角梯形
直角梯形：角直角梯形做直角梯形
例题解析
考点1梯形
例1：图已知梯形ABCD中ABCDDEBC点EABBE＝4△AED周长18求梯形ABCD周长
D C
A E B
变式1：图：梯形ABCD中角线ACBD相交点O△AOB△COD面积相等？
变式2：图已知梯形ABCD中AD∥BCABCD∠BOC120°AD4BC8 求：梯形面积
D
A
B
C
O
变式3：图梯形中分交延长线点．求证：
考点2等腰梯形
例2：图等腰梯形ABCD中ADBCAD＝ABBD⊥CD 求：∠C度数
H
F
E
D
C
B
A
变式1：已知△ABC中AH⊥BCHEFD分ABACBC中点． 求证：四边形EFHD等腰梯形．
变式2：图等腰梯形ABCD中ADBCBA＝CDEAD延长线点CECD
求证：∠B∠E
考点3：直角梯形
例3：图直角梯形ABCD中AD∥BC∠A＝90°中位线EF长3cm⊿BDC等边三角形求梯形两腰ABDC长梯形面积
B
C
D
A
变式1：图直角梯形中 cm．
B
C
D
A
变式2：已知直角梯形中中点．
（1）求证：四边形正方形．
（2）求度数．
Ｄ
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｂ
变式3：直角梯形两腰1：2锐角等__________度．
课作业
填空题
1直角梯形底6底10高3梯形周长___________
2梯形两底分63两腰长分54梯形面积___________
3等腰梯形锐角60°两底分1549腰长____________
4梯形底分37腰长4腰长取值范围____________
5等腰梯形底6 底8 高 腰长___________
二选择题
1等腰梯形ABCD两条角线相点O中全等三角形（ ）
A1 B2 C3 D4
2图等腰梯形ABCD中AD∥BCAD5AB6BC8AB∥DE△DEC周长（ ）
A
B
C
D
E
A3 B12 C15 D19
3梯形ABCD中AD∥BCABCD∠A：∠B：∠C：∠D（ ）
A1：1：2：2 B1：2：2：1 C2：1：2：1 D1：2：1：2
4等腰梯形角120°高腰长（ ）
A1：2 B2：1 C1： D：2
5．果次连接四边形边中点围成四边形矩形原四边形定（ ）
（A）行四边形 （B）梯形
（C）角线相等四边形 （D）角线垂直四边形．
第九讲 梯形中辅助线中位线定理
中考考情
1题需通辅助线解题梯形中辅助线做法样需根条件结选择
2中位线梯形三角形中常辅助线出现中点作中位线性
知识点
1 常梯形中辅助线
移作梯形高移角线作中位线延长
2 中位线概念定理
（1）中位线概念：
①三角形中位线定义：连结三角形两边中点线段做三角形中位线．
②梯形中位线定义：连结梯形两腰中点线段做梯形中位线．
（2）中位线定理：
①三角形中位线定理：三角形中位线行第三边等半．
②梯形中位线定理：梯形中位线行两底等两底半．
例题解析
考点1梯形中常种作辅助线方法
（1）移条腰（移腰法）
图1梯形ABCD中AB∥DC作BM∥AD：
①梯形ABCD分成三角形________________形
②∠ADM∠____DM_____BM_____两底差DCAB_______
③ADBCDC－ABBCΔBMC______三角形∠A_______度
④AD4DC7AB2BM____MC____BC长度取值范围_____
（2）作梯形高（作高法）
图2梯形ABCD中AD∥BC作AE⊥BCDF⊥BC
①梯形ABCD分成两直角三角形______形
②AE_____底BCAD+____+______
③梯形ABCD等腰梯形BE_______底BCAD+2____
④AD3cmAB4cm ∠B600 ∠C450 BE_______cm
AE______cmDF____CF_____cm 梯形ABCD周长__________cm面积_______cm2
（3）移角线
图3梯形ABCD中AD∥BC作DE∥AC交BC延长线E
①四边形ACED___________形DE____BEAD+_____
②∠ACB∠______∠BDE∠______
③AC⊥BDAC3cmBD4cmDE___cmBE____cmAD+BC____cm 梯形ABCD面积_____
[提示：角线互相垂直四边形面积等两条角线长度积半]
（4）连结延长底端点腰中点连线
图4梯形ABCD中AD∥BCE腰DC中点连结AE延长AEBC延长线交FΔAED≌Δ______ AE_____AD+BC______
（5）延长两腰交点
图5梯形ABCD中ADBC∠B50°∠C80°AD2BC5求CD长
（5）
考点2中位线概念定理
例1：已知图（1）梯形ABCD中AD∥EF∥BCAEEBEM∥FCEM35cmDF ．
变式1：已知图（2）三角形 ABC等边三角形CF⊥AB点DCB延长线点EF∥DCAE35cmAD ．
（图1） （图2
变式2：图已知四边形ACBD中AC⊥BDEFGH分ABBCCDDA边中点求证：四边形EFGH矩形．
变式3：图已知等腰梯形ABCD中AD∥BC角线AC⊥BDAD3cmBC7cmDE⊥BCE试求DE长．
变式4：图等腰梯形ABCD中 MN分ADBC中点EF分BMCM中点
（1）求证：四边形MENF菱形
（2）四边形MENF正方形梯形ABCD高底边BC关系？
课作业
1已知：图示 行四边形ABCD中EF分ABDC中点AFEC交BDMN求证：BMMNND．
2图梯形ABCD中ABDCOBC中点∠AOD90°求证：AB＋CDAD
3图梯形ABCD中ADBCEF分BDAC中点求证：（1）EFAD（2）
第十讲 次函数
中考考情
1次函数东莞考察分值6分左右常出现解答题中知识点结合起考察
2解答题中常考定系数法求次函数解析式点坐标代入函数解析式中求相关量
知识点
1 函数相关基概念
变量：变化程中取数值量
常量：变化程中取数值量
函数：般变化程中果两变量xyx确定值y唯确定值应x称变量y称变量yx函数
*判断Y否X函数X取值确定时候Y否唯确定值应
定义域：般函数变量允许取值范围做函数定义域
函数图般说函数果变量函数应值分作点横坐标坐标面点组成图形函数图象．
函数解析式：含表示变量字母代数式表示变量式子做解析式
2正例函数性质
定义：般形ykx(k常数k≠0)函数做正例函数中k做例系数
性质：
(1) 解析式：ykx（k常数k≠0）
(2) 必点：（00）（1k）
(3) 走：k>0时图三象限k<0时图二四象限
(4) 增减性：k>0yx增增k<0yx增减
(5) 倾斜度：|k|越越接y轴|k|越越接x轴
3次函数性质
定义：般形ykx＋b(kb常数k≠0)y做x次函数b0时ykx＋bykx说正例函数种特殊次函数
性质：
（1）解析式：ykx+b(kb常数k0)
（2）必点：（0b）（0）
（3）走增减性：
b>0
b<0
b0
k>0
第二三象限
第三四象限
第三象限
图象左右升yx增增
k<0
第二四象限
第二三四象限
第二四象限
图象左右降yx增减
（4）倾斜度：|k|越图象越接y轴|k|越图象越接x轴
（5）图移： b>0时直线ykx图象移b单位
b<0时直线ykx图象移b单位
4直线yk1x+b1yk2x+b2位置关系
（1）两直线行：k1k2b1 b2
（2）两直线相交：k1k2
（3）两直线重合：k1k2b1b2
例题解析
考点1函数相关基概念
例1：（1）匀速运动公式中表示速度表示时间表示时间走路程变量________常量_______
（2）列函数中变量x取值范围x≥2（ ）
A．y B．y C．y D．y·
变式1：圆周长公式C2πr中变量________常量_________
变式2：函数中变量x取值范围___________
变式3：中变量x取值范围
考点2正例函数图象性质
例2：关x函数正例函数m n
变式1：正例函数m 时yx增增
变式2：函数y(k1)xyx增减k范围 ( )
A B C D
变式3：正例函数m
变式4：写出函数解析式 满足：函数图象（12）yx增减
变式5：已知y3x成正例x 2时y7求yx函数解析式
考点3次函数性质
例3：列函数中次函数
①②③yx④yx1⑤⑥
变式1：已知函数m 时次函数m 时正例函数
例4：直线y2x4x轴交点坐标 y轴交点坐标 该直线坐标轴围成三角形面积
变式1：已知直线y(a+2)x4a+4a 时直线原点a 时直线y轴交点（02）
变式2：已知点A（a+21a）函数y2x1图象a
变式3：已知次函数图象点A（20）y轴分交BC两点求△ABC面积
变式4：图次函数图象反例函数图象相交AB两点
（1）根图象分写出AB坐标
（2）求出两函数解析式
（3）根图象回答：值时
次函数函数值反例函数函数值
例5：次函数图象直线y2x3行点（21）次函数解析式
变式1：y(1m)x+7y(2m5)x1图象行m
变式2：直线y2xy轴移1单位直线
变式3：直线y＝3x移5单位直线 直线y＝x5移5单位直线
例6：函数yax+bybx+a图象坐标系致位置正确（ ）
变式1：m＜0 n＞0 次函数ymx+n图象 （ ）
A第象限 B 第二象限 C第三象限 D第四象限
变式2：y2x+b图象第三四象限b 0
变式3：果次函数ykx+(k1)图象第三四象限k取值范围
例7：次函数ykxb图象x轴y轴交点分（40）（04）求次函数解析式
变式1：直线ykxb点（12）y轴交点坐标3次函数解析式？
变式2：次函数图象y2x+1图象交点横坐标2yx+2图象交点坐标1求次函数解析式
例8：次函数图象x轴y轴分交（20）（01）y>0时
变式1：已知函数yx+1时
变式2：二元次方程组解集直线y2x1直线yx+2交点坐标
例9：工厂现甲种原料360千克乙种原料290千克计划利两种原料生产AB两种产品50件．已知生产件A种产品需甲种原料9千克乙种原料3千克获利润700元生产件B种产品需甲种原料4千克乙种原料10千克获利润1200元．生产AB两种产品获总利润(元)中种生产件数试写出间函数关系式说明种生产方案获总利润利润少
课作业
1列图象中yx函数（ ）
2y(1m)x+7y(2m5)x1图象行m
3次函数y2x+4次函数yx+6图象交点坐标二元次方程组
解
4y2x+1成正例x 0时y 4求yx函数解析式
5已知函数ykx+3ymx图象相交点P（21）求图中阴影部分面积
6Ａ城化肥200吨Ｂ城化肥300吨现化肥运ＣＤ两农村果Ａ城运ＣＤ两运费分20元／吨25元／吨Ｂ城运ＣＤ两运费分15元／吨22元／吨现已知Ｃ需220吨Ｄ需280吨样调运花钱
第十讲 反例函数
中考考情
1 反例函数命题放位置常出现7分题突出考查学生数形结合思想等次函数结合起考察
2节重点掌握反例函数图象性质难点理解反例函数概念
反例函数图象性质运
知识点
1 反例函数概念：
般果两变量xy间关系表示成ykx1（k常数）形式称yx反例函数
2反例函数图象性质
反例函数图象：反例函数图象双曲线两分支两分支分位第三象限第二四象限关原点称反例函数图象x轴y轴没交点双曲线两分支限接坐标轴永远坐标轴相交
画反例函数图象时注意问题：
（1）画反例函数图象方法描点法
（2）画反例函数图象注意变量取值范围两分支连接起
（3）反例函数中xy值0画出双曲线两分支分体现出限接坐标轴永远达x轴y轴变化趋势
反例函数性质
变形形式（常数）：
（1）图象位置：
时xy号图象第三象限
时xy异号图象第二四象限
（2）点(mn)反例函数图象点（mn）图象反例函数图象关原点称
（3）时象限yx增减
时象限yx增增
3反例函数解析式确定
（1）反例函数关系式确定方法：定系数法反例函数关系式中定系数k确定k值确定反例函数需出组xy应值图象点坐标代入中求出k值确定反例函数关系式
（2）定系数法求反例函数关系式般步骤：
①设求反例函数：（） ②根已知条件列出含k方程
③解出定系数k值 ④k值代入函数关系式中
5反例函数综合
例题解析
考点1例函数基题
例1：函数中变量x取值范围（ ）
Ax≠0 Bx≥2 Cx≤2 Dx≠2
变式1：反例函数图象点坐标
变式2：反例函数图第二四象限值（ ）
A－11 B 意实数 C－1 Ｄ确定
考点2反例函数图象
例2：根物理学家波义耳1662年研究结果：温度变情况气球气体压强p(pa)体积v(m3)积常数kpv＝k(k常数k＞0)列图象正确反映pv间函数关系（ ）
p
v
O
p
v
O
p
v
O
p
v
O
A
B
C
DD
变式2：已知反例函数图两点A()B()值 （ ）
A 正数 B 负数 C 非正数 D 确定
o
变式3：正例函数反例函数坐标系图象（ ）
x
y
y
x
o
y
x
o
y
x
o
考点3反例函数图象面积k问题
例3：反例函数（k0）第象限图象图1示P该图象点PQ⊥x轴设△POQ面积SSk间关系（ ）
A． B． C．Sk D．S>k
变式1：设P函数第象限图意点点P关原点称点P’P作PA行y轴P’作P’A行x轴PAP’A交A点面积（ ）
A．等2 B．等4 C．等8 D．P点变化变化
变式2：图AB反例函数y＝图象两点ACBD垂直x轴垂足分CDAB延长线交x轴点ECD坐标分（10）（40）ΔBDE面积ΔACE面积值（ ）
A． B． Ｃ． D．
变式3：反例函数第象限图象图点M图点
MP垂直轴点P果△MOP面积1值
y
x
O
P
M
考点4利图象较
例4：已知三点反例函数图象列式子正确（ ）
A． B．C． D．
变式1：函数y(k<0)图A(1y)B(－1y)C(－2y)三点列式中正确（ ）
(A) y
考点5综合考察
例5：图已知反例函数y 图象点A（1 3）次函数y kx + b图象点A点C（0 4）反例函数图象相交点B
试确定两函数表达式
变式1：图已知点A（4ｍ）B（－1ｎ）反例函数图象直线ABｘ轴交点C
（1）求n值
（2）果点Dx轴DA＝DC求点D坐标
课作业
1直角坐标面果直线双曲线没交点关系定（ ）
A <0>0 B >0<0 C 号 D 异号
2点（x1y1）（x2y2）反例函数图象点x1＜x2＜列式中正确 （ ）
Ay1＜y2 By1 >y2 Cy1 y2 D确定
3已知2成反例3时1间函数关系式
4体积20圆柱体中底面积S关高h函数关系式
5函数时y取值范围____________时时y取值范围y ______1y ______（提示：利图解答）
6图Rt△ABO顶点A双曲线直线第二象限交点
AB⊥轴BS△ABO
（1）求两函数解析式
（2）AC坐标分（3）（31）求△AOC面积
O
y
x
B
A
C
第十二讲 分式方程
中考考情
1分式难点放分式方程分式方程应题中考察般6分题解分式方程者7分题应题
2分式性质分式方程解法重点考察点
知识点
1 分式定义：果AB表示两整式B中含字母式子做分式
（1）分式意义条件分母零B≠0
（2）分式没意义条件分母等零B0
（3）分式值零条件分子零分母零B≠0A0 子零母零
2分式基性质：分式分子分母等0整式分式值变
（1）分式基性质：
（2）分式变号法：
3分式运算：
分式法法：分式分式分子积作积分子分母积作分母
分式法法：分式分式式分子分母颠倒位置式相
分式方法： 分式方分子分母分方
分式加减法：分母分式相加减分母变分子相加减异分母分式相加减先通分变分母分式然加减
4分式方程：含分式分母中含未知数方程——分式方程
（1）解分式方程步骤：
①方程两边简公分母约分母化成整式方程
②解整式方程
③整式方程根代入简公分母结果零简公分母零根原方程增根必须舍
④写出原方程根
增根应满足两条件：值应简公分母0二值应分母整式方程根
（2）分式方程检验方法：整式方程解带入简公分母果简公分母值0整式方程解原分式方程解否解原分式方程解
例题解析
考点1分式定义
例1：列代数式中：分式：
变式1：值时列分式意义
（1） （2） （3）
变式2：取值时列分式值0
（1） （3）
变式3：（1）值时分式正
（2）值时分式非正数
考点2分式基性质
例2：改变分式值分子分母系数化整数
（1） （2）
变式1：改变分式值列分式分子分母首项符号变正号
（1） （2）
变式2：已知：求值
变式3：求值
变式4：先化简代数式：然选取原式意义值代入求值．
考点3分式运算
1．确定简公分母方法：
①简公分母系数取分母系数公倍数
②简公分母字母式取分母字母高次幂
2．确定公式方法：①公式系数取分子分母系数公约数
②取分子分母相字母式低次幂
例3：列式分通分
（1） （2）
变式1：约分：
（1） （2）
变式3：计算列式：
（1） （2）
考点4分式方程
例4：解列分式方程
（1） （2）
变式1：解列方程
（1） （2）
考点5分式方程应
例5：A城市立方米水水费B城市125倍样交水费20元B城市A城市2立方米水AB两城市立方米水水费少元？
变式1：甲乙两相距19千米某甲乙先步行7千米然改骑行车2时达乙已知骑行车速度步行速度4倍求步行速度骑行车速度
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