初二数学竞赛试题


    2014年秋初二数学竞赛试题 (满分:150分;考试时间:120分钟) 一、选择题(每小题3分,共21分):每小题有四个答案,其中有且只有一个答案是正确的.答对的得3分,答错、不答或答案超过一个的一律得0分. 1.在实数范围内算术平方根等于它本身的数有( ) A.个 B. 个 C.个 D. 个 2.下列各数中,属于无理数的是( ) A. B. C. D. 3.下列分解因式正确的是( ) A. B. C. D. 4.下列运算错误的是( ) A. B. C. D. 5.下列命题正确的是( ) A. 三个角对应相等的两个三角形全等 B. 三边对应相等的两个三角形全等 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 周长相等的两个三角形全等 6.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如下图所示,则能说明 的依据是(  ) A.ASA B. SSS C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 7.若 ,则的值为( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题4分,共40分): 8. 计算: . 9. 写出两个不同的无理数,使这两个无理数的积为有理数,那么 这两个无理数可以是 和 . 10.如果,且,那么        . 11. 计算: . 12. 命题:“如果两个角互余,那么这两个角的和为”的逆命题为 . 13.如图,已知在中,是的中点,,,垂足分别是、,,则图中有 对 全等三角形. 14.若 则__________. 15..如图,在△ABC中,BC边不动,点A竖直向上运动,∠A越来越小,∠B,∠C越来越大,若∠A减少α度,∠B增加β度,∠C增加γ度,则α,β,γ三者之间的等量关系是__________. 16.如图,已知中,,是高和的交点,,则线段的长度为 . 17.如图,锐角△ABC中,BC>AB>AC,小菁依下列方法作图: ① 作∠A的角平分线交BC于D点. ② 作AD的中垂线交AC于E点,交AD于F点. ③ 连接. (1)根据所画的图形,下列正确的是(填序号) ; A.DE⊥AC B.DE∥AB C.CD=DE D.CD=BD (2)若,则__________. 三、解答题(共89分): 18.(9分)计算: 19. (9分) 计算: 20. (9分)已知,求代数式的值. 21. (9分)如图,在中,,,点是的中点,将一块锐角为的直角三角板如图放置,使三角板 斜边的两个端点分别与,重合,连接,.试猜 想线段和的数量及位置关系,并加以证明. 22.(9分)若,求代数式的值. 23.(9分)如图,已知于点,于点,且,相交于点. 求证:(1)当时,; (2)当时,. 24.(9分)如图,在四边形中,,是的平分线, ∥,连接、, 求证:(1) (2)是的平分线. 25.(13分)如图,把一张边长为厘米的正方形纸片四角均剪去一个边长为 (<)厘米的小正方形,折合成一个无盖的长方体纸盒. (1)①用含、的代数式表示纸片(阴影部分)的面积; ②当,时,利用因式分解计算折合后纸盒的表面积; (2)当,时,求出纸盒的底面积. 26.(13分)已知:如图1,点为线段上一点,,都是等边三角形,交于点,交于点. (1)求证:; (2)求证:为等边三角形; (3)将绕点按逆时针方向旋转,其他条件不变,在图2中补出符合要求的图形,并判断第(1)、(2)两小题的结论是否仍然成立(不要求证明). 初二 数 学 试 题 参考答案及评分意见 说明: (一)考生的正确解法与“参考答案”不同时,可参照“参考答案及评分意见”的精神进行评分. (二)如解答的某一步出现错误,这一错误没有改变后续部分的考查目的,可酌情给分,但原则上不超过后面应得的分数的二分之一;如属严重的概念性错误,就不给分. 一、选择题(每小题3分,共21分) 1.C  2.C  3.D  4.A  5.B 6.B 7.A 二、填空题(每小题4分,共40分) 8. 9.不唯一 如:, 10.  11. 12.如果两个角的和为,那么这两个角互余. 13. 14. 15.α=β+γ 16.4 17.⑴ B ⑵ 三、解答题(共89分) 18. 解原式……………………………………………6分 …………………………………………………………9分 19.解:原式 …………………………3分 ………………………………………6分 ……………………………………………………9分 20.解:∵ …………………………………4分 当 即 ∴……………………………………9分 21.解:BE=EC,BE⊥EC 证明:∵AC=2AB,点D是AC的中点,∴AB=AD=CD. ∵∠EAD=∠EDA=45°,∴∠EAB=∠EDC=135°. 又∵EA=ED ∴△EAB≌△EDC (SAS) ……………………………………………………5分 ∴∠AEB=∠DEC,EB=EC. ∴∠BEC=∠AED=90°.∴BE=EC,BE⊥EC. ……………………9分 22.解:由,得: …………………………………5分 ………………………9分 23.证明:(1)∵∠1=∠2,CD⊥AB,BE⊥AC, ∴OE=OD. ∵∠3=∠4,∠CEO=∠BDO=90°, ∴△OEC≌△ODB(AAS) ∴OB=OC. ………………………………………………………………4分 (2)∵∠3=∠4,∠CEO=∠BDO=90°,OB=OC, ∴△OEC≌△ODB(AAS) ∴OE=OD. ∵CD⊥AB,BE⊥AC, ∴△OEA≌△ODA(HL) ∴∠1=∠2. ………………………………………………………………9分 24.解:(1)∵是的平分线,∴ 又 ∴≌(SAS) ∴. ………………………………………5分 (2)∵≌ ∴ ∴ ∵∥ ∴ ∴ ∴是的平分线……………………9分 25.解:(1)①().…………………………………(4分) ② 折合后纸盒的表面积=.…………(6分) 当a=6.4,b=1.8时, 原式=(6.4+2×1.8)(6.4-2×1.8)=28 …………………………(8分) (注:没有因式分解得出正确结果,扣1分) (2) 纸盒的底面积=……………………………………(10分) 当a+2b=8,ab=2时, ………………………(13分) 26.证明(1)∵△ACM, △CBN是等边三角形 ∴AC=MC,BC=NC, ∠ACM=60°, ∠NCB=60°…………………2分 ∴△CAN绕着C点顺时针旋转60°会与△MCB重合, ∴△CAN≌△MCB ∴AN=BM ……………………………………………4分 (2) ∵△CAN≌△MCB ∴∠CAN=∠CMB 又∵∠MCF=180°∠ACM∠NCB=180°60°60°=60° ∴∠MCF=∠ACE ∴△CAE绕着C点顺时针旋转60°会与△CMF重合, ∴△CAE≌△CMF……………………………………………………7分 ∴CE=CF ∴△CEF为等腰三角形, 又∵∠ECF=60° ∴△CEF为等边三角形.……………………………………………(9分) (3)画图正确 ………………………………………………(11分) 结论仍然成立. ………………………………………………………(13分) 本文档由香当网(https://www.xiangdang.net)用户上传

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