第11章 算法初步复数推理证明
第1讲 算法初步
选择题
1［2018•全国Ⅱ7］计算S＝1－＋－＋…＋－设计面程序框图空白框中应填入( )
A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
答案 B
解析 S＝1－＋－＋…＋－知程序框图先奇数项累加偶数项累加相减．空白框中应填入i＝i＋2选B
2［2017•全国Ⅰ8］图示程序框图求出满足3n－2n>1000偶数n两空白框中分填入( )
A．A>1000n＝n＋1 B．A>1000n＝n＋2
C．A≤1000n＝n＋1 D．A≤1000n＝n＋2
答案 D
解析 题目求满足3n－2n＞1000偶数nn叠加值2填入n＝n＋2．程序框图知条件满足时输出n填入A≤1000．选D
3［2017•全国Ⅱ8］执行右面程序框图果输入a＝－1输出S＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 K＝1时S＝0＋(－1)×1＝－1a＝1执行K＝K＋1K＝2
K＝2时S＝－1＋1×2＝1a＝－1执行K＝K＋1K＝3
K＝3时S＝1＋(－1)×3＝－2a＝1执行K＝K＋1K＝4
K＝4时S＝－2＋1×4＝2a＝－1执行K＝K＋1K＝5
K＝5时S＝2＋(－1)×5＝－3a＝1执行K＝K＋1K＝6
K＝6时S＝－3＋1×6＝3执行K＝K＋1K＝7>6输出S＝3结束循环． 选B
4［2017•全国Ⅲ7］执行图示程序框图输出S值91输入正整数N值( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 假设N＝2程序执行程：
t＝1M＝100S＝0
1≤2S＝0＋100＝100M＝－＝－10t＝2
2≤2S＝100－10＝90M＝－＝1t＝3
3＞2输出S＝90＜91符合题意．
∴N＝2成立．显然2值．选D
5[2017•北京卷3]执行图示程序框图输出s值( )
A．2 B． C． D．
答案 C
解析 开始：k＝0s＝1
第次循环：k＝1s＝2
第二次循环：k＝2s＝
第三次循环：k＝3s＝时满足循环条件输出s
输出s值选C
6[2017•天津卷3]阅读面程序框图运行相应程序输入N值24输出N值( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 第次循环执行条件语句时N＝24243整N＝24÷3＝8
∵8≤3成立∴进入第二次循环执行条件语句时N＝883整N＝8－1＝7
∵7≤3成立∴进入第三次循环执行条件语句时N＝773整N＝7－1＝6
∵6≤3成立∴进入第四次循环执行条件语句时N＝663整N＝6÷3＝2
∵2≤3成立∴时输出N＝2选C
7[2017•山东卷6]执行两次图示程序框图第次输入x值7第二次输入x值9第次第二次输出a值分( )
A．00 B．11 C．01 D．10
答案 D
解析 x＝7时∵b＝2∴b2＝4＜7＝x
72整∴b＝2＋1＝3
时b2＝9＞7＝x∴退出循环a＝1∴输出a＝1
x＝9时∵b＝2∴b2＝4＜9＝x
92整∴b＝2＋1＝3
时b2＝9＝x93整∴退出循环a＝0
∴输出a＝0选D
8［2016•全国Ⅰ9］执行面程序框图果输入x＝0y＝1n＝1输出xy值满足( )
A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x
答案 C
解析 x＝0y＝1n＝1x＝0y＝1n＝2
x＝y＝2n＝3x＝y＝6时x2＋y2>36输出x＝y＝6满足y＝4x 选C
9［2016•全国Ⅱ8］中国古代计算项式值秦九韶算法图实现该算法程序框图．执行该程序框图输入x＝2n＝2次输入a225输出s＝( )
A．7 B．12 C．17 D．34
答案 C
解析 k＝0s＝0输入a＝2s＝0×2＋2＝2k＝1输入a＝2s＝2×2＋2＝6k＝2输入a＝5s＝6×2＋5＝17k＝3>2输出s＝17选C
10[2016•北京卷3]执行图示程序框图输入a值1输出k值( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 k＝0b＝1a＝－k＝1a＝＝－2k＝2a＝＝1满足a＝b输出k＝2选B
11[2016•全国Ⅲ7]执行面程序框图果输入a＝4b＝6输出n＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 第次循环：a＝2b＝4a＝6s＝6n＝1
第二次循环：a＝－2b＝6a＝4s＝10n＝2
第三次循环：a＝2b＝4a＝6s＝16n＝3
第四次循环：a＝－2b＝6a＝4s＝20n＝4
结束循环
输出n值4选B
12［2016•天津卷4］阅读边程序框图运行相应程序输出S值( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 S＝4n＝1S＝8n＝2S＝2n＝3S＝4n＝4结束循环输出S＝4选B
13［2016•四川卷6］秦九韶国南宋时期数学家普州(现四川省安岳县)著数书九章中提出项式求值秦九韶算法较先进算法．图示程序框图出利秦九韶算法求某项式值实例输入nx值分32输出v值( )
A．9 B．18 C．20 D．35
答案 B
解析 执行程序框图n＝3x＝2v＝1i＝2≥0v＝1×2＋2＝4i＝1≥0v＝4×2＋1＝9i＝0≥0v＝9×2＋0＝18i＝－1<0结束循环输出v＝18选B
14［2015•陕西卷8］根边框图输入x2006时输出y＝( )
A．28 B．10 C．4 D．2
答案 B
解析 x值构成首项2006公差－2等差数列．结合题意知x＝－2时输出y值时y＝32＋1＝10选B
15［2015•全国Ⅰ9］执行图示程序框图果输入t＝001输出n＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 C
解析 程序框图知
S＝1－＝m＝n＝1>001
S＝－＝m＝n＝2>001
S＝－＝m＝n＝3>001
S＝－＝m＝n＝4>001
S＝－＝m＝n＝5>001
S＝－＝m＝n＝6>001
S＝－＝m＝n＝7<001选C
16［2015•全国Ⅱ8］边程序框图算法思路源国古代数学名著九章算术中更相减损术．执行该程序框图输入ab分1418输出a＝( )
A．0 B．2 C．4 D．14
答案 B
解析 第次执行输入a＝14b＝18aba＝14－4＝10第三次执行a＝10b＝4a>ba＝10－4＝6第四次执行a＝6b＝4a>ba＝6－4＝2第五次执行a＝2b＝4a17［2015•北京卷3］执行图示程序框图输出结果( )
A．(－22) B．(－40)
C．(－4－4) D．(0－8)
答案 B
解析 初始值x＝1y＝1k＝0执行程序框图s＝0t＝2x＝0y＝2k＝1s＝－2t＝2x＝－2y＝2k＝2s＝－4t＝0x＝－4y＝0k＝3时输出(xy)输出结果(－40)选B
18［2015•天津卷3］阅读边程序框图运行相应程序输出S值( )
A．－10 B．6 C．14 D．18
答案 B
解析 执行程序：S＝20i＝1i＝2S＝20－2＝18i＝4S＝18－4＝14i＝8S＝14－8＝6满足i>5条件结束循环输出S值6选B
19［2015•重庆卷7］执行图示程序框图输出k值8判断框填入条件( )
A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤
答案 C
解析 第次循环k＝2s＝第二次循环k＝4s＝＋＝第三次循环k＝6s＝＋＝第四次循环k＝8s＝＋＝时退出循环输出k＝8判断框填入条件s≤选C
20［2014•全国Ⅰ7］执行面程序框图输入abk分123输出M＝( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 第次循环M＝a＝2b＝n＝2第二次循环M＝a＝b＝n＝3第三次循环M＝a＝b＝n＝4退出循环输出M选D
21［2014•全国Ⅱ7］执行面程序框图果输入xt均2输出S＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 D
解析 k＝1M＝×2＝2S＝2＋3＝5
k＝2M＝×2＝2S＝2＋5＝7
k＝33>t∴输出S＝7选D
22［2014•北京卷4］m＝7n＝3时执行图示程序框图输出S值( )
A．7 B．42 C．210 D．840
答案 C
解析
输出S＝210选C
23［2014•天津卷3］阅读边程序框图运行相应程序输出S值( )
A．15 B．105 C．245 D．945
答案 B
解析 S＝1i＝1S＝3i＝2S＝15i＝3S＝105i＝4结束循环输出S＝105
24 ［2014•陕西卷4］根边框图2整数N输出数列通项公式( )
A．an＝2n B．an＝2(n－1)
C．an＝2n D．an＝2n－1
答案 C
解析
输出a1＝2a2＝22a3＝23a4＝24排ABD选C
25 ［2013•安徽卷2］图示程序框图(算法流程图)输出结果( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 流程图知s＝0＋＋＋＝
26 ［2013•陕西卷2］根列算法语句输入x60时输出y值( )
输入x
If x≤50 Then
y＝05* x
Else
y＝25+06*( x50)
End If
A．25 B．30 C．31 D．61
答案 C
解析 x＝60时y＝25＋06×(60－50)＝31
27 ［2013•天津卷3］阅读右边程序框图运行相应程序．输入x值1输出S值( )
A．64 B．73 C．512 D．585
答案 B
解析 ①x＝1S＝0S＝0＋13＝1
②x＝2S＝1＋23＝9
③x＝4S＝9＋43＝73>50输出S值73选B
28 ［2013•北京卷4］执行图示程序框图输出S值( )
A．1 B． C． D．
答案 C
解析 第步S＝＝i＝0＋1＝1
第二步S＝＝i＝1＋1＝2循环结束．
输出S＝选C
29 ［2013•全国Ⅰ5］执行面程序框图果输入t∈[－13]输出s属( )
A．[－34] B．[－52] C．[－43] D．[－25]
答案 A
解析 框图知s关t分段函数：s＝t∈[－11)时s∈ [－33)
t∈[13]时s＝4t－t2＝4－(t－2)2∈[34]s∈[－34]选A
30 ［2013•浙江卷5］某程序框图图示该程序运行输出值( )
A．a＝4 B．a＝5 C．a＝6 D．a＝7
答案 A
解析 框图知：k>a时S＝1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－S＝时k＝4接着继续计算k＝k＋14≤a<5选A
31 ［2013•福建卷6］阅读图示程序框图输入k＝10该算法功( )
A．计算数列{2n－1}前10项 B．计算数列{2n－1}前9项
C．计算数列{2n－1}前10项 D．计算数列{2n－1}前9项
答案 A
解析 i＝1S＝1i＝2S＝1＋2i＝3S＝1＋2×(1＋2)＝1＋2＋22i＝4S＝1＋2×(1＋2＋22)＝1＋2＋22＋23…i＝10时S＝1＋2＋22＋…＋29选A
32 ［2013•江西卷7］阅读程序框图果输出i＝5空白矩形框中应填入语句( )
A．S＝2*i2 B．S＝2*i1 C．S＝2*I D．S＝2*i+4
答案 C
解析 i＝2S＝5i＝3S<10排Di＝4S＝9i＝5S≥10排AB选C
33 ［2013•全国Ⅱ6］执行面程序框图果输入N＝10输出S＝( )
A．1＋＋＋…＋ B．1＋＋＋…＋
C．1＋＋＋…＋ D．1＋＋＋…＋
答案 B
解析 框图知循环情况：T＝1S＝1k＝2
T＝S＝1＋k＝3T＝S＝1＋＋k＝4
T＝S＝1＋＋＋k＝5…
T＝S＝1＋＋＋…＋k＝11>10输出S选B
34 ［2013•重庆卷8］执行图示程序框图果输出s＝3判断框应填入条件( )
A．k≤6 B．k≤7 C k≤8 D．k≤9
答案 B
解析 第步s＝s·logk(k＋1)＝log23k＝2＋1＝3
第二步s＝s·logk(k＋1)＝log23·log34＝log24k＝3＋1＝4
第三步s＝s·logk(k＋1)＝log24·log45＝log25k＝5
…
第n步s＝log2(n＋1)·log(n＋1)(n＋2)＝log2(n＋2)k＝n＋2
输出s＝3log2(n＋2)＝3n＋2＝8n＝6k＝n＋2＝8说明k＝8时结束
应填k≤7选B
35 ［2013•辽宁卷8］执行图示程序框图输入n＝10输出S＝( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 第步S＝0＋i＝i＋2＝4
第二步S＝＋i＝6
第三步S＝＋＋i＝8
第四步S＝＋＋＋i＝10
第五步S＝＋＋＋＋i＝12
S＝＋＋…＋＝＝选A
二填空题
1［2017•江苏卷4］图算法流程图．输入x值输出y值________．
答案 －2
解析 输入x＝≥1成立执行y＝2＋log2＝2－4＝－2输出y值－2
2［2016•江苏卷6］图算法流程图输出a值________．
答案 9
解析 代值计算第次运行a＝5b＝7第二次运行a＝9b＝5a>b输出a值9
3［2016•山东卷11］执行图示程序框图输入ab值分09输出i值________．
答案 3
解析 a＝1b＝8i＝2a＝3b＝6i＝3a＝6b＝3a>b输出i＝3
4［2013•湖南卷13］执行图示程序框图果输入a＝1b＝2输出a值________．
答案 9
解析 输入a＝1b＝2执行程序框图次a值3579∵9>8成立退出循环输出a9
5［2013•湖北卷12］阅读图示程序框图运行相应程序输出结果i＝________
答案 5
解析 程序框图知a＝10i＝1a＝5i＝2
a＝16i＝3a＝8i＝4a＝4i＝5输出i＝5
6［2013•山东卷13］执行面程序框图输入ε值025输出n值________．
答案 3
解析 输入ε＝025程序执行：
①②③时输出n值3
7［2013•江苏卷5］图算法流程图输出n值________．
答案 3
解析 执行程序n＝1a＝22<20→a＝8n＝28<20→a＝26n＝326>20输出n＝3答案3
8［2013•广东卷11］执行图示程序框图输入n值4输出s值________．
答案 7
解析 程序框图知：i＝5>4输出s7
三解答题
1 ［2013•四川卷18］某算法程序框图图示中输入变量x123…2424整数中等机产生．
(1)分求出程序框图正确编程运行时输出y值i概率Pi(i＝123)
(2)甲乙两学程序框图理解编写程序重复运行n次统计记录输出y值i(i＝123)频数．甲乙作频数统计表部分数．
甲频数统计表(部分)
运行
次数n
输出y值
1频数
输出y值
2频数
输出y值
3频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2100
1027
376
697
乙频数统计表(部分)
运行
次数n
输出y值
1频数
输出y值
2频数
输出y值
3频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2100
1051
696
353
n＝2100时根表中数分写出甲乙编程序输出y值i(i＝123)频率(分数表示)判断两位学中位编程序符合算法求性较
(3)程序框图正确编写程序运行3次求输出y值2次数ξ分布列数学期．
解 (1)变量x123…2424整数中机产生数24种．
x135791113151719212312数中产生时输出y值1P1＝
x24810141620228数中产生时输出y值2P2＝
x61218244数中产生时输出y值3P3＝
输出y值1概率输出y值2概率输出y值3概率
(2)n＝2100时甲乙编程序输出y值i(i＝123)频率：
输出y值
1频率
输出y值
2频率
输出y值
3频率
甲
乙
较频率趋势概率乙学编程序符合算法求性较．
(3)机变量ξ取值0123
P(ξ＝0)＝C×0×3＝
P(ξ＝1)＝C×1×2＝
P(ξ＝2)＝C×2×1＝
P(ξ＝3)＝C×3×0＝
ξ分布列
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1
ξ数学期1
第2讲 数系扩充复数引入
选择题
1［2018•全国Ⅰ1］设z＝＋2i|z|＝( )
A．0 B C．1 D
答案 C
解析 z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i|z|＝＝1选C
2［2018•全国Ⅱ1］＝( )
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
答案 D
解析 ∵＝＝∴选D
3［2018•全国Ⅲ2］(1＋i)(2－i)＝( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
答案 D
解析 (1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i选D
4［2017•全国Ⅰ3］设面四命题
p1：复数z满足∈Rz∈R
p2：复数z满足z2∈Rz∈R
p3：复数z1z2满足z1z2∈Rz1＝2
p4：复数z∈R∈R
中真命题( )
A．p1p3 B．p1p4 C．p2p3 D．p2p4
答案 B
解析 设z＝a＋bi(ab∈R)z1＝a1＋b1i(a1b1∈R)z2＝a2＋b2i(a2b2∈R)．
p1∈R＝∈Rb＝0z＝a＋bi＝a∈Rp1真命题．
p2z2∈R(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈Rab＝0a＝0b≠0时z＝a＋bi＝bi∈ Rp2假命题．
p3z1z2∈R(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈Ra1b2＋a2b1＝0z1＝2a1＋b1i＝a2－b2ia1＝a2b1＝－b2a1b2＋a2b1＝0 a1＝a2b1＝－b2p3假命题．
p4z∈Ra＋bi∈Rb＝0＝a－bi＝a∈Rp4真命题． 选B
5［2017•全国Ⅱ1］1＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
答案 D
解析 ＝＝＝2－i选D
6[2017•全国Ⅲ2]设复数z满足(1＋i)z＝2i|z|＝( )
A． B． C． D．2
答案 C
解析 (1＋i)z＝2iz＝＝1＋i∴|z|＝选C
∵2i＝(1＋i)2
∴(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2z＝1＋i∴|z|＝选C
7[2017•北京卷2]复数(1－i)(a＋i)复面应点第二象限实数a取值范围( )
A．(－∞1) B．(－∞－1) C．(1＋∞) D．(－1＋∞)
答案 B
解析 ∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i
∵复数(1－i)(a＋i)复面应点第二象限
∴解a＜－1选B
8[2017•山东卷2]已知a∈Ri虚数单位．z＝a＋iz·＝4a＝( )
A．1－1 B．－ C．－ D．
答案 A
解析 ∵z·＝4∴|z|2＝4|z|＝2
∵z＝a＋i∴|z|＝∴＝2∴a＝±1选A
9［2017•全国Ⅰ2］设(1＋i)x＝1＋yi中xy实数|x＋yi|＝( )
A．1 B． C． D．2
答案 B
解析 ∵xy∈R(1＋i)x＝1＋yi∴x＋xi＝1＋yi
∴∴|x＋yi|＝|1＋i|＝＝选B
10［2016•全国Ⅱ1］已知z＝(m＋3)＋(m－1)i复面应点第四象限实数m取值范围( )
A．(－31) B．(－13)
C．(1＋∞) D．(－∞－3)
答案 A
解析 已知－311[2016•全国Ⅲ2]z＝1＋2i＝( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
答案 C
解析 ＝＝i
12［2016•山东卷1］复数z满足2z＋＝3－2i中i虚数单位z＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i
答案 B
解析 设z＝a＋bi(ab∈R)2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i∴a＝1b＝－2∴z＝1－2i选B
13［2015•全国Ⅰ1］设复数z满足＝i|z|＝( )
A．1 B． C． D．2
答案 A
解析 题意知1＋z＝i－ziz＝＝＝i|z|＝1
14［2015•全国Ⅱ2］a实数(2＋ai)(a－2i)＝－4ia＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 B
解析 (2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i解a＝0选B
15［2015•北京卷1］复数i(2－i)＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i
答案 A
解析 i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i选A
16［2014•全国Ⅰ2］＝( )
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
答案 D
解析 ＝·(1＋i)＝·(1＋i)＝－1－i选D
17［2014•全国Ⅱ2］设复数z1z2复面应点关虚轴称z1＝2＋iz1z2＝( )
A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i
答案 A
解析 题意z2＝－2＋i
∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5选A
18［2014•纲卷1］设z＝z轭复数( )
A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i
答案 D
解析 ∵z＝＝＝1＋3i∴＝1－3i选D
19［2014•天津卷1］i虚数单位复数＝( )
A．1－i B．－1＋i C＋i D．－＋i
答案 A
解析 ＝＝＝1－i
20［2013•福建卷1］已知复数z轭复数＝1＋2i(i虚数单位)z复面应点位( )
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 条件知：z＝1－2i复面应点(1－2)第四象限选D
21［2013•山东卷1］复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i虚数单位)z轭复数 ( )
A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i
答案 D
解析 题意z＝＋3＝＋3＝5＋i
∴＝5－i选D
22［2013•四川卷2］图复面点A表示复数z图中表示z轭复数点( )
A．A B．B C．C D．D
答案 B
解析 设z＝－a＋bi(ab∈R＋)z轭复数＝－a－bi应点坐标(－a－b)第三象限点．选B
23［2013•全国Ⅰ2］复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|z虚部( )
A．－4 B．－ C．4 D．
答案 D
解析 ∵|4＋3i|＝＝5∴z＝＝＝＋i虚部选D
24［2013•北京卷2］复面复数(2－i)2应点位( )
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i应点(3－4)位第四象限选D
25［2013•湖南卷1］复数z＝i·(1＋i)(i虚数单位)复面应点位( )
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 z＝i＋i2＝－1＋i应点(－11)点位第二象限选B
26［2013•湖北卷1］复面复数z＝(i虚数单位)轭复数应点位( )
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 z＝＝1＋i＝1－i应点(1－1)第四象限．
27［2013•全国Ⅱ2］设复数z满足(1－i)z＝2iz＝( )
A．－1＋i B －1－i C．1＋i D．1－i
答案 A
解析 题意z＝＝＝－1＋i选A
28［2013•陕西卷6］设z1z2复数列命题中假命题( )
A．|z1－z2|＝01＝2 B．z1＝21＝z2
C．|z1|＝|z2|z1·1＝z2·2 D．|z1|＝|z2|z＝z
答案 D
解析 A中|z1－z2|＝0z1＝z21＝2成立．
B中z1＝21＝z2成立．C中|z1|＝|z2||z1|2＝|z2|2z11＝z22C正确．D定成立z1＝1＋iz2＝2
|z1|＝2＝|z2|z＝－2＋2iz＝4z≠z
29［2013•江西卷1］已知集合M＝{12zi}i虚数单位N＝{34}M∩N＝{4}复数z＝( )
A．－2i B．2i C．－4i D．4i
答案 C
解析 M∩N＝{4}知4∈Mzi＝4z＝－4i选C
30［2013•安徽卷1］设i虚数单位复数z轭复数．z·i＋2＝2zz＝( )
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
答案 A
解析 设z＝a＋bi(ab∈R)z·i＋2＝(a＋bi)·(a－bi)·i＋2＝2＋(a2＋b2)i2＝2aa2＋b2＝2b解a＝1b＝1
z＝1＋i
31［2013•广东卷3］复数z满足iz＝2＋4i复面z应点坐标( )
A．(24) B．(2－4) C．(4－2) D．(42)
答案 C
解析 已知条件z＝＝4－2iz应点坐标(4－2)选C
32［2013•浙江卷1］已知i虚数单位(－1＋i)(2－i)＝( )
A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i
答案 B
解析 (－1＋i)(2－i)＝－1＋3i选B
33［2013•辽宁卷1］复数z＝模( )
A． B． C． D．2
答案 B
解析 z＝＝＝＝－－i|z|＝ ＝选B
二填空题
1［2017•天津卷9］已知a∈Ri虚数单位实数a值________．
答案 －2
解析 ∵a∈R＝＝＝－i实数∴－＝0∴a＝－2
2［2017•浙江卷卷12］已知ab∈R(a＋bi)2＝3＋4i(i虚数单位)a2＋b2＝________ab＝________
答案 5 2
解析 (a＋bi)2＝a2－b2＋2abi
(a＋bi)2＝3＋4i解a2＝4b2＝1
a2＋b2＝5ab＝2
3［2017•江苏卷卷3］已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)中i虚数单位z模________．
答案
解析 ∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i
∴|z|＝＝
|z|＝|1＋i||1＋2i|
＝×＝
4［2016•天津卷9］已知ab∈Ri虚数单位．(1＋i)(1－bi)＝a值________．
答案 2
解析(1＋i)(1－bi)＝a1＋b＋(1－b)i＝a解＝2
5［2016•江苏卷2］复数z＝(1＋2i)(3－i)中i虚数单位z实部________．
答案 5
解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5iz实部5
6［2015•重庆卷11］设复数a＋bi(ab∈R)模(a＋bi)(a－bi)＝________
答案 3
解析 复数a＋bi(ab∈R)模＝a2＋b2＝3(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2－b2·i2＝a2＋b2＝3
7［2015•天津卷9］i虚数单位复数(1－2i)(a＋i)纯虚数实数a值________．
答案 －2
解析 题意知复数(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i纯虚数实部a＋2＝0虚部1－2a≠0解a＝－2
8[2016•北京卷9]设a∈R复数(1＋i)(a＋i)复面应点位实轴a＝________
答案 －1
解析 (1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i
∵a∈R该复数复面应点位实轴
∴a＋1＝0∴a＝－1
9［2014•北京卷9］复数＝________
答案 －1
解析 ＝＝＝－1填－1
10［2013•江苏卷2］设z＝(2－i)2(i虚数单位)复数z模________．
答案 5
解析 ∵z＝(2－i)2＝3－4i
∴|z|＝＝5
11［2013•重庆卷11］已知复数z＝(i虚数单位)|z|＝________
答案
解析 ∵z＝＝＝＝2＋i
∴|z|＝＝
12［2013•天津卷9］已知ab∈Ri虚数单位．(a＋i)·(1＋i)＝bia＋bi＝________
答案 1＋2i
解析 ∵(a＋i)(1＋i)＝a＋ai＋i＋i2＝(a－1)＋(a＋1)i
已知(a＋i)(1＋i)＝bi解a＝1b＝2a＋bi＝1＋2i
第3讲 合情推理演绎推理
选择题
1［2017•全国Ⅱ7］甲乙丙丁四位学起老师询问成语竞赛成绩．老师说：四中2位优秀2位良现甲乙丙成绩乙丙成绩丁甲成绩．甲家说：知道成绩．根信息( )
A．乙知道四成绩
B．丁知道四成绩
C．乙丁知道方成绩
D．乙丁知道成绩
答案 D
解析 甲说：知道成绩推知甲乙丙成绩1优秀1良．乙丙成绩结合甲说法丙优秀时乙良丙良时乙优秀乙知道成绩．丁甲成绩结合甲说法甲优秀时丁良甲良时丁优秀丁知道成绩．选D
2［2014•北京卷8］学生语文数学成绩均评定三等级次优秀合格合格．学生甲语文数学成绩低学生乙中少门成绩高乙称学生甲学生乙成绩．果组学生中没位学生位学生成绩存语文成绩相数学成绩相两位学生组学生 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 设学生数n成绩评定优秀合格合格三种情况n≥4时语文成绩少两相两数学成绩相意两成绩全相矛盾两数学成绩两成绩满足条件．：n<4n≤3n＝3时评定结果分优秀合格合格合格合格优秀符合题意n＝3 选B
二填空题
1［2014•全国Ⅰ14］甲乙丙三位学问否ABC三城市时
甲说：城市乙没B城市
乙说：没C城市
丙说：三城市．
判断乙城市________．
答案 A
解析 甲乙丙三城市甲没B城市乙没C城市三城市应A甲城市乙没B城市甲城市数应2乙城市应A
2［2014•陕西卷14］观察分析表中数：
面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想般凸面体中FVE满足等式________．
答案 F＋V－E＝2
解析 观察表中数计算F＋V分111214应E分91012容易观察猜想F＋V－E＝2
3 ［2013•湖北卷14］古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究种边形数．三角形数13610…第n三角形数＝n2＋n记第nk边形数N(nk)(k≥3)列出部分k边形数中第n数表达式：
三角形数 N(n3)＝n2＋n
正方形数 N(n4)＝n2
五边形数 N(n5)＝n2－n
六边形数 N(n6)＝2n2－n
……
推测N(nk)表达式计算N(1024)＝________
答案 1000
解析 N(n3)＝n2＋n
N(n4)＝n2＋n
N(n5)＝＋n
N(n6)＝n2＋n
推测N(nk)＝n2－nk≥3
N(n24)＝11n2－10nN(1024)＝1000
4 ［2013•陕西卷14］观察列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
规律第n等式________．
答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·
解析 左边方项(－1)n－1倍右边(1＋2＋3＋…＋n)(－1)n－1倍．数学纳法证明成立．
5［2016•全国Ⅱ15］三张卡片分写121323甲乙丙三取走张卡片甲乙卡片说：乙卡片相数字2乙丙卡片说：丙卡片相数字1丙说：卡片数字5甲卡片数字________．
答案 13
解析 丙说话知丙卡片数字定23丙卡片数字12乙卡片数字23甲卡片数字13满足题意丙卡片数字13乙卡片数字23时甲卡片数字12满足题意．甲卡片数字13
三解答题
1［2013•重庆卷22］正整数n记In＝{12…n}Pn＝
(1)求集合P7中元素数
(2)Pn子集A中意两元素整数方称A稀疏集．求n值Pn分成两相交稀疏集．
解 (1)k＝4时中3数I7中3数重复P7中元素数7×7－3＝46
(2)先证：n≥15时Pn分成两相交稀疏集．然设AB相交稀疏集A∪B＝PnIn妨设1∈A1＋3＝223A3∈B理6∈A10∈B推15∈A1＋15＝42A稀疏集矛盾．
证P14符合求．k＝1时＝I14分成两稀疏集事实取A1＝{124691113}B1＝{3578101214}A1B1稀疏集A1∪B1＝I14
k＝4时集中整数外剩数组成集分解面两稀疏集：A2＝B2＝k＝9时集中正整数外剩数组成集分解面两稀疏集：
A3＝
B3＝
集C＝中数分母均理数P14中数整数令A＝A1∪A2∪A3∪CB＝B1∪B2∪B3AB相交稀疏集A∪B＝P14
综求n值14
注：P14分拆方法唯．
2［2013•江苏卷19］设{an}首项a公差d等差数列(d≠0)Sn前n项．记bn＝n∈N*中c实数．
(1)c＝0b1b2b4成等数列证明：Snk＝n2Sk(kn∈N*)
(2){bn}等差数列证明：c＝0
解 题意Sn＝na＋d
(1)c＝0bn＝＝a＋d
b1b2b4成等数列b＝b1b42＝a
化简d2－2ad＝0
d≠0d＝2a
m∈N*Sm＝m2a
kn∈N*Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk
(2)设数列{bn}公差d1bn＝b1＋(n－1)d1＝b1＋(n－1)d1n∈N*代入Sn表达式整理n∈N*n3＋·n2＋cd1n＝c(d1－b1)．
令A＝d1－dB＝b1－d1－a＋d
D＝c(d1－b1)n∈N*An3＋Bn2＋cd1n＝D(*)
(*)式中分取n＝1234
A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1
②③A＝0cd1＝－5B代入方程①B＝0cd1＝0
d1－d＝0b1－d1－a＋d＝0cd1＝0
d1＝0d1－d＝0d＝0
题设矛盾d1≠0
cd1＝0c＝0
第4讲 直接证明间接证明 数学纳法
1［2017•浙江卷22］ (题满分15分)已知数列{xn}满足：x1＝1xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．
证明：n∈N*时
(1)0(2)2xn＋1－xn≤
(3)≤xn≤
证明 (1)数学纳法证明：xn>0
n＝1时x1＝1>0
假设n＝k时xk>0
n＝k＋1时
xk＋1≤00xk＋1>0
xn>0(n∈N*)．
xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1
0(2)xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)
xnxn＋1－4xn＋1＋2xn
＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)．
记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)
f′(x)＝＋ln(1＋x)>0(x>0)
函数f(x)[0＋∞)单调递增f(x)≥f(0)＝0
x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0
2xn＋1－xn≤(n∈N*)．
(3)xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1
xn≥
≥2xn＋1－xn－≥2>0
－≥2≥…≥2n－1＝2n－2
xn≤
综≤xn≤(n∈N*)．
选修4－4 坐标系参数方程
第1讲 坐标系参数方程
选择题
1 ［2013•安徽卷7］极坐标系中圆ρ＝2cosθ垂直极轴两条切线方程分( )
A．θ＝0(ρ∈R)ρcosθ＝2 B．θ＝(ρ∈R)ρcosθ＝2
C．θ＝(ρ∈R)ρcosθ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)ρcosθ＝1
答案 B
解析 直角坐标系中圆方程x2＋y2＝2x(x－1)2＋y2＝1垂直x轴两条切线方程分x＝0x＝2θ＝(ρ∈R)ρcosθ＝2
2［2014•北京卷3］曲线(θ参数)称中心( )
A．直线y＝2x B．直线y＝－2x
C．直线y＝x－1 D．直线y＝x＋1
答案 B
解析 曲线(θ参数)普通方程(x＋1)2＋(y－2)2＝1该曲线圆圆心(－12)曲线称中心直线y＝－2x选B
二填空题
1［2017•北京卷11］极坐标系中点A圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0点P坐标(10)|AP|值________．
答案 1
解析 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0
x2＋y2－2x－4y＋4＝0(x－1)2＋(y－2)2＝1
圆心坐标C(12)半径长1
∵点P坐标(10)∴点P圆C外．
∵点A圆C∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1
2［2017•天津卷11］极坐标系中直线4ρcos＋1＝0圆ρ＝2sinθ公点数________．
答案 2
解析 4ρcos＋1＝02ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0
直线直角坐标方程2x＋2y＋1＝0
ρ＝2sinθρ2＝2ρsinθ
圆直角坐标方程x2＋y2＝2y
x2＋(y－1)2＝1圆心(01)半径1
∵圆心直线2x＋2y＋1＝0距离d＝＝＜1∴直线圆相交两公点．
3［2017•北京卷11］极坐标系中直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0圆ρ＝2cosθ交AB两点|AB|＝________
答案 2
解析 直线圆直角坐标方程分x－y－1＝0x2＋y2＝2x该圆圆心坐标(10)半径r＝1圆心(10)直线距离d＝＝0AB该圆直径|AB|＝2
4［2015•北京卷11］极坐标系中点直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6距离________．
答案 1
解析 点直角坐标(1)直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6直角坐标方程x＋y－6＝0点(1)直线距离d＝＝1
5［2015•重庆卷15］已知直线l参数方程(t参数)坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C极坐标方程ρ2cos2θ＝4ρ>0<θ<直线l曲线C交点极坐标________．
答案 (2π)
解析 直线l普通方程y＝x＋2曲线C直角坐标方程x2－y2＝4(x≤－2)直线l曲线C交点(－20)应极坐标(2π)．
6［2014•天津卷13］O极点极坐标系中圆ρ＝4sinθ直线ρsinθ＝a相交AB两点．△AOB等边三角形a值________．
答案 3
解析 圆直角坐标方程x2＋y2＝4y直线直角坐标方程y＝a△AOB等边三角形A代入圆方程＋a2＝4aa＝3
7 ［2014•陕西卷15B］极坐标系中点直线ρsin＝1距离________．
答案 1
解析 点极坐标直线极坐标方程化直角坐标普通方程利点直线距离公式求解．
点2化直角坐标(1)直线ρsinθ－＝1化ρsinθ－cosθ＝1y－x＝1x－y＋1＝0点(1)直线x－y＋1＝0距离＝1
8［2013•湖南卷9］面直角坐标系xOy中直线l：(t参数)椭圆C：(φ参数)右顶点常数a值________．
答案 3
解析 直线l参数方程(t参数)消参数t直线l般方程：y＝x－a椭圆参数方程知右顶点(30)．直线l椭圆右顶点3－a＝0a＝3
9［2013•重庆卷15］直角坐标系xOy中原点O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系极坐标方程ρcosθ＝4直线曲线(t参数)相交AB两点|AB|＝________
答案 16
解析 极坐标方程ρcosθ＝4普通方程x＝4
代入t＝±2
t＝2时y＝8t＝－2时y＝－8
两交点坐标分(48)(4－8)．|AB|＝16
10［2013•陕西卷15C］图原点直线倾斜角θ参数圆x2＋y2－x＝0参数方程________．
答案 (θ参数)
解析 圆半径记圆心C连CP∠PCx＝2θxP＝＋cos2θ＝cos2θyP＝sin2θ＝sinθcosθ(θ参数)．
11［2013•广东卷14］已知曲线C参数方程(t参数)C点(11)处切线l坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系l极坐标方程________．
答案 ρcosθ＋ρsinθ＝2
解析 曲线C参数方程(t参数)知曲线C普通方程x2＋y2＝2表示圆心(00)半径圆点(11)圆．切线性质知切线l斜率－1切线l方程x＋y－2＝0极坐标方程直角坐标方程互化公式切线l极坐标方程ρcosθ＋ρsinθ＝2
12 ［2013•江西卷15（1）］设曲线C参数方程(t参数)直角坐标系原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C极坐标方程________．
答案 ρcos2θ＝sinθ
解析 曲线C普通方程y＝x2x＝ρcosθy＝ρsinθ代入ρsinθ＝ρ2cos2θ整理ρcos2θ＝sinθ曲线C极坐标方程ρcos2θ＝sinθ
13 ［2013•天津卷11］已知圆极坐标方程ρ＝4cosθ圆心C点P极坐标|CP|＝________
答案 2
解析 ρ＝4cosθρ2＝4ρcosθx2＋y2＝4x(x－2)2＋y2＝4∴圆心C(20)点P极坐标点P直角坐标(22)
∴|CP|＝＝2
14 ［2013•湖北卷16］直角坐标系xOy中椭圆C参数方程(φ参数a>b>0)极坐标系(直角坐标系xOy取相长度单位原点O极点x轴正半轴极轴)中直线l圆O极坐标方程分ρsin＝m(m非零常数)ρ＝b直线l椭圆C焦点圆O相切椭圆C离心率________．
答案
解析 l直角坐标方程x＋y＝m圆O直角坐标方程x2＋y2＝b2直线l圆O相切m＝±b
椭圆焦点(b0)c＝ba＝b离心率e＝＝
15 ［2013•北京卷9］极坐标系中点直线ρsinθ＝2距离等________．
答案 1
解析 极坐标方程直角坐标方程互化关系知极坐标系中点应直角坐标(1)直线ρsinθ＝2应直角坐标方程y＝2点直线距离1
三解答题
1［2018•全国Ⅰ22］直角坐标系xOy中曲线C1方程y＝k|x|＋2坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ2＋2ρcosθ－3＝0
(1)求C2直角坐标方程
(2)C1C2仅三公点求C1方程．
解 (1)x＝ρcosθy＝ρsinθC2直角坐标方程(x＋1)2＋y2＝4
(2)(1)知C2圆心A(－10)半径2圆．
题设知C1点B(02)关y轴称两条射线曲线C1方程y＝记y轴右边射线l1y轴左边射线l2B圆C2外面C1C2仅三公点等价l1C2公点l2C2两公点l2C2公点l1C2两公点．
l1C2公点时Al1直线距离2＝2k＝－k＝0
检验k＝0时l1C2没公点k＝－时l1C2公点l2C2两公点．
l2C2公点时Al2直线距离2＝2k＝0k＝
检验k＝0时l1C2没公点k＝时l2C2没公点
综求C1方程y＝－|x|＋2
2［2018•全国Ⅱ22］直角坐标系xOy中曲线C参数方程(θ参数)直线l参数方程(t参数)．
(1)求Cl直角坐标方程
(2)曲线C截直线l线段中点坐标(12)求l斜率．
解 (1)曲线C直角坐标方程＋＝1
cosα≠0时l直角坐标方程y＝tanα·x＋2－tanαcosα＝0时l直角坐标方程x＝1
(2)l参数方程代入C直角坐标方程整理关t方程
(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0①
曲线C截直线l线段中点(12)C①两解设t1t2t1＋t2＝0
①t1＋t2＝－
2cosα＋sinα＝0直线l斜率k＝tanα＝－2
3［2018•全国Ⅲ22］面直角坐标系xOy中⊙O参数方程(θ参数)点(0－)倾斜角α直线l⊙O交AB两点．
(1)求α取值范围
(2)求AB中点P轨迹参数方程．
解 (1)⊙O直角坐标方程x2＋y2＝1α＝时l⊙O交两点．
α≠时记tanα＝kl方程y＝kx－l⊙O交两点仅<1解k<－1k>1
α∈α∈综α取值范围
(2)l参数方程t参数<α<
设ABP应参数分tAtBtPtP＝tAtB满足t2－2tsinα＋1＝0
tA＋tB＝2sinαtP＝sinα
点P坐标(xy)满足
点P轨迹参数方程
α参数<α<
4 ［2017•全国Ⅰ22］直角坐标系xOy中曲线C参数方程 (θ参数)直线l参数方程 (t参数)．
(1)a＝－1求Cl交点坐标
(2)C点l距离值求a
解 (1)曲线C普通方程＋y2＝1
a＝－1时直线l普通方程x＋4y－3＝0
解
Cl交点坐标(30)－
(2)直线l普通方程x＋4y－a－4＝0C点(3cosθsinθ)l距离d＝
a≥－4时d值
题设＝a＝8
a＜－4时d值
题设＝
a＝－16
综a＝8a＝－16
5［2017•全国Ⅱ22］直角坐标系xOy中坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C1极坐标方程ρcosθ＝4
(1)M曲线C1动点点P线段OM满足|OM|·|OP|＝16求点P轨迹C2直角坐标方程
(2)设点A极坐标点B曲线C2求△OAB面积值．
解 (1)设P极坐标(ρθ)(ρ>0)M极坐标(ρ1θ)(ρ1>0)．
题设知|OP|＝ρ|OM|＝ρ1＝
|OM|·|OP|＝16C2极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．
C2直角坐标方程(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B极坐标(ρBα)(ρB>0)．
题设知|OA|＝2ρB＝4cosα△OAB面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·
＝2≤2＋
α＝－时S取值2＋
△OAB面积值2＋
6［2017•全国Ⅲ22］直角坐标系xOy中直线l1参数方程(t参数)直线l2参数方程(m参数)．设l1l2交点Pk变化时P轨迹曲线C
(1)写出C普通方程
(2)坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0Ml3C交点求M极径．
解 (1)消参数tl1普通方程l1：y＝k(x－2)
消参数ml2普通方程l2：y＝(x＋2)．
设P(xy)题设
消kx2－y2＝4(y≠0)
C普通方程x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C极坐标方程ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2πθ≠π)
联立
cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．
tanθ＝－cos2θ＝sin2θ＝
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4ρ2＝5
交点M极径
7［2017•江苏卷21C］面直角坐标系xOy中已知直线l参数方程(t参数)曲线C参数方程(s参数)．设P曲线C动点求点P直线l距离值．
解 直线l普通方程x－2y＋8＝0
点P曲线C设P(2s22s)
点P直线l距离d＝＝
s＝时dmin＝
点P坐标(44)时曲线C点P直线l距离取值
8［2016•全国Ⅰ23］直角坐标系xOy中曲线C1参数方程(α参数)．坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρsin＝2
(1)写出C1普通方程C2直角坐标方程
(2)设点PC1点QC2求|PQ|值时P直角坐标．
解 (1)C1普通方程＋y2＝1C2直角坐标方程x＋y－4＝0
(2)题意设点P直角坐标(cosαsinα)．C2直线|PQ|值PC2距离d(α)值
d(α)＝＝
仅α＝2kπ＋(k∈Z)时d(α)取值值时P直角坐标
9［2016•全国Ⅱ23］直角坐标系xOy中圆C方程(x＋6)2＋y2＝25
(1)坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系求C极坐标方程
(2)直线l参数方程(t参数)lC交AB两点|AB|＝求l斜率．
解 (1)x＝ρcosθy＝ρsinθ圆C极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0
(2)(1)中建立极坐标系中直线l极坐标方程θ＝α(ρ∈R)．
设AB应极径分ρ1ρ2l极坐标方程代入C极坐标方程ρ2＋12ρcosα＋11＝0
ρ1＋ρ2＝－12cosαρ1ρ2＝11
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
＝
|AB|＝cos2α＝tanα＝±
l斜率－
10［2016•江苏卷21C］面直角坐标系xOy中已知直线l参数方程(t参数)椭圆C参数方程(θ参数)．设直线l椭圆C相交AB两点求线段AB长．
解 椭圆C普通方程x2＋＝1
直线l参数方程代入x2＋＝11＋t2＋＝17t2＋16t＝0
解t1＝0t2＝－AB＝|t1－t2|＝
11 ［2015•全国Ⅰ23］直角坐标系xOy中直线C1：x＝－2圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系．
(1)求C1C2极坐标方程
(2)直线C3极坐标方程θ＝(ρ∈R)设C2C3交点MN求△C2MN面积．
解 (1)x＝ρcosθy＝ρsinθC1极坐标方程ρcosθ＝－2
C2极坐标方程ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0
(2)θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0
ρ2－3ρ＋4＝0
解ρ1＝2ρ2＝ρ1－ρ2＝
|MN|＝
C2半径1△C2MN面积
12［2015•全国Ⅱ23］直角坐标系xOy中曲线C1：(t参数t≠0)中0≤α<πO极点x轴正半轴极轴极坐标系中曲线C2：ρ＝2sinθC3：ρ＝2cosθ
(1)求C2C3交点直角坐标
(2)C1C2相交点AC1C3相交点B求|AB|值．
解 (1)曲线C2直角坐标方程x2＋y2－2y＝0曲线C3直角坐标方程x2＋y2－2x＝0
联立解
C2C3交点直角坐标(00)
(2)曲线C1极坐标方程θ＝α(ρ∈Rρ≠0)中0≤α＜π
A极坐标(2sinαα)B极坐标(2cosαα)．
|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4
α＝时|AB|取值值4
13［2015•陕西卷23］直角坐标系xOy中直线l参数方程
(t参数)．原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系⊙C极坐标方程ρ＝2sinθ
(1)写出⊙C直角坐标方程
(2)P直线l动点P圆心C距离时求P直角坐标．
解 (1)ρ＝2sinθρ2＝2ρsinθ
x2＋y2＝2yx2＋(y－)2＝3
(2)设PC(0)
|PC|＝＝
t＝0时|PC|取值
时P点直角坐标(30)．
14［2014•全国Ⅰ23］已知曲线C：＋＝1直线l：(t参数)．
(1)写出曲线C参数方程直线l普通方程
(2)曲线C意点P作l夹角30°直线交l点A求|PA|值值．
解 (1)曲线C参数方程(θ参数)．
直线l普通方程2x＋y－6＝0
(2)曲线C意点P(2cosθ3sinθ)l距离d＝|4cosθ＋3sinθ－6|
|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|
中α锐角tanα＝
sin(θ＋α)＝－1时|PA|取值值
sin(θ＋α)＝1时|PA|取值值
15［2013•全国Ⅰ23］已知曲线C1参数方程(t参数)坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ＝2sinθ
(1)C1参数方程化极坐标方程
(2)求C1C2交点极坐标(ρ≥00≤θ<2π)．
解 (1)消参数t化普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0
C1极坐标方程
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0
(2)C2普通方程x2＋y2－2y＝0
解
C1C2交点极坐标分()(2)．
16［2014•全国Ⅱ23］直角坐标系xOy中坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系半圆C极坐标方程ρ＝2cosθθ∈
(1)求C参数方程
(2)设点DCCD处切线直线l：y＝x＋2垂直根(1)中参数方程确定D坐标．
解 (1)C普通方程(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
C参数方程(t参数0≤t≤π)．
(2)设D(1＋costsint)．(1)知CG(10)圆心1半径半圆．
C点D处切线l垂直直线GDl斜率相tant＝t＝
D直角坐标
17［2013•全国Ⅰ23］已知曲线C1参数方程(t参数)坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ＝2sinθ
(1)C1参数方程化极坐标方程
(2)求C1C2交点极坐标(ρ≥00≤θ<2π)．
解 (1)消参数t化普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0
C1极坐标方程
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0
(2)C2普通方程x2＋y2－2y＝0
解
C1C2交点极坐标分()(2)．
18［2013•辽宁卷23］直角坐标系xOy中O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系．圆C1直线C2极坐标方程分ρ＝4sinθρcos(θ－)＝2
(1)求C1C2交点极坐标
(2)设PC1圆心QC1C2交点连线中点．已知直线PQ参数方程(t∈R参数)求ab值．
解 (1)圆C1直角坐标方程x2＋(y－2)2＝4
直线C2直角坐标方程x＋y－4＝0
解
C1C2交点极坐标(4)(2)．
注：极坐标系点表示唯．
(2)(1)P点Q点直角坐标分(02)(13)．
直线PQ直角坐标方程x－y＋2＝0
参数方程y＝x－＋1
解a＝－1b＝2
19［2013•全国Ⅱ23］已知动点PQ曲线C：(t参数)应参数分t＝αt＝2α(0<α<2π)MPQ中点．
(1)求M轨迹参数方程
(2)M坐标原点距离d表示α函数判断M轨迹否坐标原点．
解 (1)题意P(2cosα2sinα)Q(2cos2α2sin2α)M(cosα＋cos2αsinα＋sin2α)．
M
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第1讲 算法初步
选择题
1［2018•全国Ⅱ7］计算S＝1－＋－＋…＋－设计面程序框图空白框中应填入( )
A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
答案 B
解析 S＝1－＋－＋…＋－知程序框图先奇数项累加偶数项累加相减．空白框中应填入i＝i＋2选B
2［2017•全国Ⅰ8］图示程序框图求出满足3n－2n>1000偶数n两空白框中分填入( )
A．A>1000n＝n＋1 B．A>1000n＝n＋2
C．A≤1000n＝n＋1 D．A≤1000n＝n＋2
答案 D
解析 题目求满足3n－2n＞1000偶数nn叠加值2填入n＝n＋2．程序框图知条件满足时输出n填入A≤1000．选D
3［2017•全国Ⅱ8］执行右面程序框图果输入a＝－1输出S＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 K＝1时S＝0＋(－1)×1＝－1a＝1执行K＝K＋1K＝2
K＝2时S＝－1＋1×2＝1a＝－1执行K＝K＋1K＝3
K＝3时S＝1＋(－1)×3＝－2a＝1执行K＝K＋1K＝4
K＝4时S＝－2＋1×4＝2a＝－1执行K＝K＋1K＝5
K＝5时S＝2＋(－1)×5＝－3a＝1执行K＝K＋1K＝6
K＝6时S＝－3＋1×6＝3执行K＝K＋1K＝7>6输出S＝3结束循环． 选B
4［2017•全国Ⅲ7］执行图示程序框图输出S值91输入正整数N值( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 假设N＝2程序执行程：
t＝1M＝100S＝0
1≤2S＝0＋100＝100M＝－＝－10t＝2
2≤2S＝100－10＝90M＝－＝1t＝3
3＞2输出S＝90＜91符合题意．
∴N＝2成立．显然2值．选D
5[2017•北京卷3]执行图示程序框图输出s值( )
A．2 B． C． D．
答案 C
解析 开始：k＝0s＝1
第次循环：k＝1s＝2
第二次循环：k＝2s＝
第三次循环：k＝3s＝时满足循环条件输出s
输出s值选C
6[2017•天津卷3]阅读面程序框图运行相应程序输入N值24输出N值( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 第次循环执行条件语句时N＝24243整N＝24÷3＝8
∵8≤3成立∴进入第二次循环执行条件语句时N＝883整N＝8－1＝7
∵7≤3成立∴进入第三次循环执行条件语句时N＝773整N＝7－1＝6
∵6≤3成立∴进入第四次循环执行条件语句时N＝663整N＝6÷3＝2
∵2≤3成立∴时输出N＝2选C
7[2017•山东卷6]执行两次图示程序框图第次输入x值7第二次输入x值9第次第二次输出a值分( )
A．00 B．11 C．01 D．10
答案 D
解析 x＝7时∵b＝2∴b2＝4＜7＝x
72整∴b＝2＋1＝3
时b2＝9＞7＝x∴退出循环a＝1∴输出a＝1
x＝9时∵b＝2∴b2＝4＜9＝x
92整∴b＝2＋1＝3
时b2＝9＝x93整∴退出循环a＝0
∴输出a＝0选D
8［2016•全国Ⅰ9］执行面程序框图果输入x＝0y＝1n＝1输出xy值满足( )
A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x
答案 C
解析 x＝0y＝1n＝1x＝0y＝1n＝2
x＝y＝2n＝3x＝y＝6时x2＋y2>36输出x＝y＝6满足y＝4x 选C
9［2016•全国Ⅱ8］中国古代计算项式值秦九韶算法图实现该算法程序框图．执行该程序框图输入x＝2n＝2次输入a225输出s＝( )
A．7 B．12 C．17 D．34
答案 C
解析 k＝0s＝0输入a＝2s＝0×2＋2＝2k＝1输入a＝2s＝2×2＋2＝6k＝2输入a＝5s＝6×2＋5＝17k＝3>2输出s＝17选C
10[2016•北京卷3]执行图示程序框图输入a值1输出k值( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 k＝0b＝1a＝－k＝1a＝＝－2k＝2a＝＝1满足a＝b输出k＝2选B
11[2016•全国Ⅲ7]执行面程序框图果输入a＝4b＝6输出n＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 第次循环：a＝2b＝4a＝6s＝6n＝1
第二次循环：a＝－2b＝6a＝4s＝10n＝2
第三次循环：a＝2b＝4a＝6s＝16n＝3
第四次循环：a＝－2b＝6a＝4s＝20n＝4
结束循环
输出n值4选B
12［2016•天津卷4］阅读边程序框图运行相应程序输出S值( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 S＝4n＝1S＝8n＝2S＝2n＝3S＝4n＝4结束循环输出S＝4选B
13［2016•四川卷6］秦九韶国南宋时期数学家普州(现四川省安岳县)著数书九章中提出项式求值秦九韶算法较先进算法．图示程序框图出利秦九韶算法求某项式值实例输入nx值分32输出v值( )
A．9 B．18 C．20 D．35
答案 B
解析 执行程序框图n＝3x＝2v＝1i＝2≥0v＝1×2＋2＝4i＝1≥0v＝4×2＋1＝9i＝0≥0v＝9×2＋0＝18i＝－1<0结束循环输出v＝18选B
14［2015•陕西卷8］根边框图输入x2006时输出y＝( )
A．28 B．10 C．4 D．2
答案 B
解析 x值构成首项2006公差－2等差数列．结合题意知x＝－2时输出y值时y＝32＋1＝10选B
15［2015•全国Ⅰ9］执行图示程序框图果输入t＝001输出n＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 C
解析 程序框图知
S＝1－＝m＝n＝1>001
S＝－＝m＝n＝2>001
S＝－＝m＝n＝3>001
S＝－＝m＝n＝4>001
S＝－＝m＝n＝5>001
S＝－＝m＝n＝6>001
S＝－＝m＝n＝7<001选C
16［2015•全国Ⅱ8］边程序框图算法思路源国古代数学名著九章算术中更相减损术．执行该程序框图输入ab分1418输出a＝( )
A．0 B．2 C．4 D．14
答案 B
解析 第次执行输入a＝14b＝18a
A．(－22) B．(－40)
C．(－4－4) D．(0－8)
答案 B
解析 初始值x＝1y＝1k＝0执行程序框图s＝0t＝2x＝0y＝2k＝1s＝－2t＝2x＝－2y＝2k＝2s＝－4t＝0x＝－4y＝0k＝3时输出(xy)输出结果(－40)选B
18［2015•天津卷3］阅读边程序框图运行相应程序输出S值( )
A．－10 B．6 C．14 D．18
答案 B
解析 执行程序：S＝20i＝1i＝2S＝20－2＝18i＝4S＝18－4＝14i＝8S＝14－8＝6满足i>5条件结束循环输出S值6选B
19［2015•重庆卷7］执行图示程序框图输出k值8判断框填入条件( )
A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤
答案 C
解析 第次循环k＝2s＝第二次循环k＝4s＝＋＝第三次循环k＝6s＝＋＝第四次循环k＝8s＝＋＝时退出循环输出k＝8判断框填入条件s≤选C
20［2014•全国Ⅰ7］执行面程序框图输入abk分123输出M＝( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 第次循环M＝a＝2b＝n＝2第二次循环M＝a＝b＝n＝3第三次循环M＝a＝b＝n＝4退出循环输出M选D
21［2014•全国Ⅱ7］执行面程序框图果输入xt均2输出S＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 D
解析 k＝1M＝×2＝2S＝2＋3＝5
k＝2M＝×2＝2S＝2＋5＝7
k＝33>t∴输出S＝7选D
22［2014•北京卷4］m＝7n＝3时执行图示程序框图输出S值( )
A．7 B．42 C．210 D．840
答案 C
解析
输出S＝210选C
23［2014•天津卷3］阅读边程序框图运行相应程序输出S值( )
A．15 B．105 C．245 D．945
答案 B
解析 S＝1i＝1S＝3i＝2S＝15i＝3S＝105i＝4结束循环输出S＝105
24 ［2014•陕西卷4］根边框图2整数N输出数列通项公式( )
A．an＝2n B．an＝2(n－1)
C．an＝2n D．an＝2n－1
答案 C
解析
输出a1＝2a2＝22a3＝23a4＝24排ABD选C
25 ［2013•安徽卷2］图示程序框图(算法流程图)输出结果( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 流程图知s＝0＋＋＋＝
26 ［2013•陕西卷2］根列算法语句输入x60时输出y值( )
输入x
If x≤50 Then
y＝05* x
Else
y＝25+06*( x50)
End If
A．25 B．30 C．31 D．61
答案 C
解析 x＝60时y＝25＋06×(60－50)＝31
27 ［2013•天津卷3］阅读右边程序框图运行相应程序．输入x值1输出S值( )
A．64 B．73 C．512 D．585
答案 B
解析 ①x＝1S＝0S＝0＋13＝1
②x＝2S＝1＋23＝9
③x＝4S＝9＋43＝73>50输出S值73选B
28 ［2013•北京卷4］执行图示程序框图输出S值( )
A．1 B． C． D．
答案 C
解析 第步S＝＝i＝0＋1＝1
第二步S＝＝i＝1＋1＝2循环结束．
输出S＝选C
29 ［2013•全国Ⅰ5］执行面程序框图果输入t∈[－13]输出s属( )
A．[－34] B．[－52] C．[－43] D．[－25]
答案 A
解析 框图知s关t分段函数：s＝t∈[－11)时s∈ [－33)
t∈[13]时s＝4t－t2＝4－(t－2)2∈[34]s∈[－34]选A
30 ［2013•浙江卷5］某程序框图图示该程序运行输出值( )
A．a＝4 B．a＝5 C．a＝6 D．a＝7
答案 A
解析 框图知：k>a时S＝1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－S＝时k＝4接着继续计算k＝k＋14≤a<5选A
31 ［2013•福建卷6］阅读图示程序框图输入k＝10该算法功( )
A．计算数列{2n－1}前10项 B．计算数列{2n－1}前9项
C．计算数列{2n－1}前10项 D．计算数列{2n－1}前9项
答案 A
解析 i＝1S＝1i＝2S＝1＋2i＝3S＝1＋2×(1＋2)＝1＋2＋22i＝4S＝1＋2×(1＋2＋22)＝1＋2＋22＋23…i＝10时S＝1＋2＋22＋…＋29选A
32 ［2013•江西卷7］阅读程序框图果输出i＝5空白矩形框中应填入语句( )
A．S＝2*i2 B．S＝2*i1 C．S＝2*I D．S＝2*i+4
答案 C
解析 i＝2S＝5i＝3S<10排Di＝4S＝9i＝5S≥10排AB选C
33 ［2013•全国Ⅱ6］执行面程序框图果输入N＝10输出S＝( )
A．1＋＋＋…＋ B．1＋＋＋…＋
C．1＋＋＋…＋ D．1＋＋＋…＋
答案 B
解析 框图知循环情况：T＝1S＝1k＝2
T＝S＝1＋k＝3T＝S＝1＋＋k＝4
T＝S＝1＋＋＋k＝5…
T＝S＝1＋＋＋…＋k＝11>10输出S选B
34 ［2013•重庆卷8］执行图示程序框图果输出s＝3判断框应填入条件( )
A．k≤6 B．k≤7 C k≤8 D．k≤9
答案 B
解析 第步s＝s·logk(k＋1)＝log23k＝2＋1＝3
第二步s＝s·logk(k＋1)＝log23·log34＝log24k＝3＋1＝4
第三步s＝s·logk(k＋1)＝log24·log45＝log25k＝5
…
第n步s＝log2(n＋1)·log(n＋1)(n＋2)＝log2(n＋2)k＝n＋2
输出s＝3log2(n＋2)＝3n＋2＝8n＝6k＝n＋2＝8说明k＝8时结束
应填k≤7选B
35 ［2013•辽宁卷8］执行图示程序框图输入n＝10输出S＝( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 第步S＝0＋i＝i＋2＝4
第二步S＝＋i＝6
第三步S＝＋＋i＝8
第四步S＝＋＋＋i＝10
第五步S＝＋＋＋＋i＝12
S＝＋＋…＋＝＝选A
二填空题
1［2017•江苏卷4］图算法流程图．输入x值输出y值________．
答案 －2
解析 输入x＝≥1成立执行y＝2＋log2＝2－4＝－2输出y值－2
2［2016•江苏卷6］图算法流程图输出a值________．
答案 9
解析 代值计算第次运行a＝5b＝7第二次运行a＝9b＝5a>b输出a值9
3［2016•山东卷11］执行图示程序框图输入ab值分09输出i值________．
答案 3
解析 a＝1b＝8i＝2a＝3b＝6i＝3a＝6b＝3a>b输出i＝3
4［2013•湖南卷13］执行图示程序框图果输入a＝1b＝2输出a值________．
答案 9
解析 输入a＝1b＝2执行程序框图次a值3579∵9>8成立退出循环输出a9
5［2013•湖北卷12］阅读图示程序框图运行相应程序输出结果i＝________
答案 5
解析 程序框图知a＝10i＝1a＝5i＝2
a＝16i＝3a＝8i＝4a＝4i＝5输出i＝5
6［2013•山东卷13］执行面程序框图输入ε值025输出n值________．
答案 3
解析 输入ε＝025程序执行：
①②③时输出n值3
7［2013•江苏卷5］图算法流程图输出n值________．
答案 3
解析 执行程序n＝1a＝22<20→a＝8n＝28<20→a＝26n＝326>20输出n＝3答案3
8［2013•广东卷11］执行图示程序框图输入n值4输出s值________．
答案 7
解析 程序框图知：i＝5>4输出s7
三解答题
1 ［2013•四川卷18］某算法程序框图图示中输入变量x123…2424整数中等机产生．
(1)分求出程序框图正确编程运行时输出y值i概率Pi(i＝123)
(2)甲乙两学程序框图理解编写程序重复运行n次统计记录输出y值i(i＝123)频数．甲乙作频数统计表部分数．
甲频数统计表(部分)
运行
次数n
输出y值
1频数
输出y值
2频数
输出y值
3频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2100
1027
376
697
乙频数统计表(部分)
运行
次数n
输出y值
1频数
输出y值
2频数
输出y值
3频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2100
1051
696
353
n＝2100时根表中数分写出甲乙编程序输出y值i(i＝123)频率(分数表示)判断两位学中位编程序符合算法求性较
(3)程序框图正确编写程序运行3次求输出y值2次数ξ分布列数学期．
解 (1)变量x123…2424整数中机产生数24种．
x135791113151719212312数中产生时输出y值1P1＝
x24810141620228数中产生时输出y值2P2＝
x61218244数中产生时输出y值3P3＝
输出y值1概率输出y值2概率输出y值3概率
(2)n＝2100时甲乙编程序输出y值i(i＝123)频率：
输出y值
1频率
输出y值
2频率
输出y值
3频率
甲
乙
较频率趋势概率乙学编程序符合算法求性较．
(3)机变量ξ取值0123
P(ξ＝0)＝C×0×3＝
P(ξ＝1)＝C×1×2＝
P(ξ＝2)＝C×2×1＝
P(ξ＝3)＝C×3×0＝
ξ分布列
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1
ξ数学期1
第2讲 数系扩充复数引入
选择题
1［2018•全国Ⅰ1］设z＝＋2i|z|＝( )
A．0 B C．1 D
答案 C
解析 z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i|z|＝＝1选C
2［2018•全国Ⅱ1］＝( )
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
答案 D
解析 ∵＝＝∴选D
3［2018•全国Ⅲ2］(1＋i)(2－i)＝( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
答案 D
解析 (1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i选D
4［2017•全国Ⅰ3］设面四命题
p1：复数z满足∈Rz∈R
p2：复数z满足z2∈Rz∈R
p3：复数z1z2满足z1z2∈Rz1＝2
p4：复数z∈R∈R
中真命题( )
A．p1p3 B．p1p4 C．p2p3 D．p2p4
答案 B
解析 设z＝a＋bi(ab∈R)z1＝a1＋b1i(a1b1∈R)z2＝a2＋b2i(a2b2∈R)．
p1∈R＝∈Rb＝0z＝a＋bi＝a∈Rp1真命题．
p2z2∈R(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈Rab＝0a＝0b≠0时z＝a＋bi＝bi∈ Rp2假命题．
p3z1z2∈R(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈Ra1b2＋a2b1＝0z1＝2a1＋b1i＝a2－b2ia1＝a2b1＝－b2a1b2＋a2b1＝0 a1＝a2b1＝－b2p3假命题．
p4z∈Ra＋bi∈Rb＝0＝a－bi＝a∈Rp4真命题． 选B
5［2017•全国Ⅱ1］1＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
答案 D
解析 ＝＝＝2－i选D
6[2017•全国Ⅲ2]设复数z满足(1＋i)z＝2i|z|＝( )
A． B． C． D．2
答案 C
解析 (1＋i)z＝2iz＝＝1＋i∴|z|＝选C
∵2i＝(1＋i)2
∴(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2z＝1＋i∴|z|＝选C
7[2017•北京卷2]复数(1－i)(a＋i)复面应点第二象限实数a取值范围( )
A．(－∞1) B．(－∞－1) C．(1＋∞) D．(－1＋∞)
答案 B
解析 ∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i
∵复数(1－i)(a＋i)复面应点第二象限
∴解a＜－1选B
8[2017•山东卷2]已知a∈Ri虚数单位．z＝a＋iz·＝4a＝( )
A．1－1 B．－ C．－ D．
答案 A
解析 ∵z·＝4∴|z|2＝4|z|＝2
∵z＝a＋i∴|z|＝∴＝2∴a＝±1选A
9［2017•全国Ⅰ2］设(1＋i)x＝1＋yi中xy实数|x＋yi|＝( )
A．1 B． C． D．2
答案 B
解析 ∵xy∈R(1＋i)x＝1＋yi∴x＋xi＝1＋yi
∴∴|x＋yi|＝|1＋i|＝＝选B
10［2016•全国Ⅱ1］已知z＝(m＋3)＋(m－1)i复面应点第四象限实数m取值范围( )
A．(－31) B．(－13)
C．(1＋∞) D．(－∞－3)
答案 A
解析 已知－3
A．1 B．－1 C．i D．－i
答案 C
解析 ＝＝i
12［2016•山东卷1］复数z满足2z＋＝3－2i中i虚数单位z＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i
答案 B
解析 设z＝a＋bi(ab∈R)2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i∴a＝1b＝－2∴z＝1－2i选B
13［2015•全国Ⅰ1］设复数z满足＝i|z|＝( )
A．1 B． C． D．2
答案 A
解析 题意知1＋z＝i－ziz＝＝＝i|z|＝1
14［2015•全国Ⅱ2］a实数(2＋ai)(a－2i)＝－4ia＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 B
解析 (2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i解a＝0选B
15［2015•北京卷1］复数i(2－i)＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i
答案 A
解析 i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i选A
16［2014•全国Ⅰ2］＝( )
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
答案 D
解析 ＝·(1＋i)＝·(1＋i)＝－1－i选D
17［2014•全国Ⅱ2］设复数z1z2复面应点关虚轴称z1＝2＋iz1z2＝( )
A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i
答案 A
解析 题意z2＝－2＋i
∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5选A
18［2014•纲卷1］设z＝z轭复数( )
A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i
答案 D
解析 ∵z＝＝＝1＋3i∴＝1－3i选D
19［2014•天津卷1］i虚数单位复数＝( )
A．1－i B．－1＋i C＋i D．－＋i
答案 A
解析 ＝＝＝1－i
20［2013•福建卷1］已知复数z轭复数＝1＋2i(i虚数单位)z复面应点位( )
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 条件知：z＝1－2i复面应点(1－2)第四象限选D
21［2013•山东卷1］复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i虚数单位)z轭复数 ( )
A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i
答案 D
解析 题意z＝＋3＝＋3＝5＋i
∴＝5－i选D
22［2013•四川卷2］图复面点A表示复数z图中表示z轭复数点( )
A．A B．B C．C D．D
答案 B
解析 设z＝－a＋bi(ab∈R＋)z轭复数＝－a－bi应点坐标(－a－b)第三象限点．选B
23［2013•全国Ⅰ2］复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|z虚部( )
A．－4 B．－ C．4 D．
答案 D
解析 ∵|4＋3i|＝＝5∴z＝＝＝＋i虚部选D
24［2013•北京卷2］复面复数(2－i)2应点位( )
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i应点(3－4)位第四象限选D
25［2013•湖南卷1］复数z＝i·(1＋i)(i虚数单位)复面应点位( )
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 z＝i＋i2＝－1＋i应点(－11)点位第二象限选B
26［2013•湖北卷1］复面复数z＝(i虚数单位)轭复数应点位( )
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 z＝＝1＋i＝1－i应点(1－1)第四象限．
27［2013•全国Ⅱ2］设复数z满足(1－i)z＝2iz＝( )
A．－1＋i B －1－i C．1＋i D．1－i
答案 A
解析 题意z＝＝＝－1＋i选A
28［2013•陕西卷6］设z1z2复数列命题中假命题( )
A．|z1－z2|＝01＝2 B．z1＝21＝z2
C．|z1|＝|z2|z1·1＝z2·2 D．|z1|＝|z2|z＝z
答案 D
解析 A中|z1－z2|＝0z1＝z21＝2成立．
B中z1＝21＝z2成立．C中|z1|＝|z2||z1|2＝|z2|2z11＝z22C正确．D定成立z1＝1＋iz2＝2
|z1|＝2＝|z2|z＝－2＋2iz＝4z≠z
29［2013•江西卷1］已知集合M＝{12zi}i虚数单位N＝{34}M∩N＝{4}复数z＝( )
A．－2i B．2i C．－4i D．4i
答案 C
解析 M∩N＝{4}知4∈Mzi＝4z＝－4i选C
30［2013•安徽卷1］设i虚数单位复数z轭复数．z·i＋2＝2zz＝( )
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
答案 A
解析 设z＝a＋bi(ab∈R)z·i＋2＝(a＋bi)·(a－bi)·i＋2＝2＋(a2＋b2)i2＝2aa2＋b2＝2b解a＝1b＝1
z＝1＋i
31［2013•广东卷3］复数z满足iz＝2＋4i复面z应点坐标( )
A．(24) B．(2－4) C．(4－2) D．(42)
答案 C
解析 已知条件z＝＝4－2iz应点坐标(4－2)选C
32［2013•浙江卷1］已知i虚数单位(－1＋i)(2－i)＝( )
A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i
答案 B
解析 (－1＋i)(2－i)＝－1＋3i选B
33［2013•辽宁卷1］复数z＝模( )
A． B． C． D．2
答案 B
解析 z＝＝＝＝－－i|z|＝ ＝选B
二填空题
1［2017•天津卷9］已知a∈Ri虚数单位实数a值________．
答案 －2
解析 ∵a∈R＝＝＝－i实数∴－＝0∴a＝－2
2［2017•浙江卷卷12］已知ab∈R(a＋bi)2＝3＋4i(i虚数单位)a2＋b2＝________ab＝________
答案 5 2
解析 (a＋bi)2＝a2－b2＋2abi
(a＋bi)2＝3＋4i解a2＝4b2＝1
a2＋b2＝5ab＝2
3［2017•江苏卷卷3］已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)中i虚数单位z模________．
答案
解析 ∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i
∴|z|＝＝
|z|＝|1＋i||1＋2i|
＝×＝
4［2016•天津卷9］已知ab∈Ri虚数单位．(1＋i)(1－bi)＝a值________．
答案 2
解析(1＋i)(1－bi)＝a1＋b＋(1－b)i＝a解＝2
5［2016•江苏卷2］复数z＝(1＋2i)(3－i)中i虚数单位z实部________．
答案 5
解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5iz实部5
6［2015•重庆卷11］设复数a＋bi(ab∈R)模(a＋bi)(a－bi)＝________
答案 3
解析 复数a＋bi(ab∈R)模＝a2＋b2＝3(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2－b2·i2＝a2＋b2＝3
7［2015•天津卷9］i虚数单位复数(1－2i)(a＋i)纯虚数实数a值________．
答案 －2
解析 题意知复数(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i纯虚数实部a＋2＝0虚部1－2a≠0解a＝－2
8[2016•北京卷9]设a∈R复数(1＋i)(a＋i)复面应点位实轴a＝________
答案 －1
解析 (1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i
∵a∈R该复数复面应点位实轴
∴a＋1＝0∴a＝－1
9［2014•北京卷9］复数＝________
答案 －1
解析 ＝＝＝－1填－1
10［2013•江苏卷2］设z＝(2－i)2(i虚数单位)复数z模________．
答案 5
解析 ∵z＝(2－i)2＝3－4i
∴|z|＝＝5
11［2013•重庆卷11］已知复数z＝(i虚数单位)|z|＝________
答案
解析 ∵z＝＝＝＝2＋i
∴|z|＝＝
12［2013•天津卷9］已知ab∈Ri虚数单位．(a＋i)·(1＋i)＝bia＋bi＝________
答案 1＋2i
解析 ∵(a＋i)(1＋i)＝a＋ai＋i＋i2＝(a－1)＋(a＋1)i
已知(a＋i)(1＋i)＝bi解a＝1b＝2a＋bi＝1＋2i
第3讲 合情推理演绎推理
选择题
1［2017•全国Ⅱ7］甲乙丙丁四位学起老师询问成语竞赛成绩．老师说：四中2位优秀2位良现甲乙丙成绩乙丙成绩丁甲成绩．甲家说：知道成绩．根信息( )
A．乙知道四成绩
B．丁知道四成绩
C．乙丁知道方成绩
D．乙丁知道成绩
答案 D
解析 甲说：知道成绩推知甲乙丙成绩1优秀1良．乙丙成绩结合甲说法丙优秀时乙良丙良时乙优秀乙知道成绩．丁甲成绩结合甲说法甲优秀时丁良甲良时丁优秀丁知道成绩．选D
2［2014•北京卷8］学生语文数学成绩均评定三等级次优秀合格合格．学生甲语文数学成绩低学生乙中少门成绩高乙称学生甲学生乙成绩．果组学生中没位学生位学生成绩存语文成绩相数学成绩相两位学生组学生 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 设学生数n成绩评定优秀合格合格三种情况n≥4时语文成绩少两相两数学成绩相意两成绩全相矛盾两数学成绩两成绩满足条件．：n<4n≤3n＝3时评定结果分优秀合格合格合格合格优秀符合题意n＝3 选B
二填空题
1［2014•全国Ⅰ14］甲乙丙三位学问否ABC三城市时
甲说：城市乙没B城市
乙说：没C城市
丙说：三城市．
判断乙城市________．
答案 A
解析 甲乙丙三城市甲没B城市乙没C城市三城市应A甲城市乙没B城市甲城市数应2乙城市应A
2［2014•陕西卷14］观察分析表中数：
面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想般凸面体中FVE满足等式________．
答案 F＋V－E＝2
解析 观察表中数计算F＋V分111214应E分91012容易观察猜想F＋V－E＝2
3 ［2013•湖北卷14］古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究种边形数．三角形数13610…第n三角形数＝n2＋n记第nk边形数N(nk)(k≥3)列出部分k边形数中第n数表达式：
三角形数 N(n3)＝n2＋n
正方形数 N(n4)＝n2
五边形数 N(n5)＝n2－n
六边形数 N(n6)＝2n2－n
……
推测N(nk)表达式计算N(1024)＝________
答案 1000
解析 N(n3)＝n2＋n
N(n4)＝n2＋n
N(n5)＝＋n
N(n6)＝n2＋n
推测N(nk)＝n2－nk≥3
N(n24)＝11n2－10nN(1024)＝1000
4 ［2013•陕西卷14］观察列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
规律第n等式________．
答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·
解析 左边方项(－1)n－1倍右边(1＋2＋3＋…＋n)(－1)n－1倍．数学纳法证明成立．
5［2016•全国Ⅱ15］三张卡片分写121323甲乙丙三取走张卡片甲乙卡片说：乙卡片相数字2乙丙卡片说：丙卡片相数字1丙说：卡片数字5甲卡片数字________．
答案 13
解析 丙说话知丙卡片数字定23丙卡片数字12乙卡片数字23甲卡片数字13满足题意丙卡片数字13乙卡片数字23时甲卡片数字12满足题意．甲卡片数字13
三解答题
1［2013•重庆卷22］正整数n记In＝{12…n}Pn＝
(1)求集合P7中元素数
(2)Pn子集A中意两元素整数方称A稀疏集．求n值Pn分成两相交稀疏集．
解 (1)k＝4时中3数I7中3数重复P7中元素数7×7－3＝46
(2)先证：n≥15时Pn分成两相交稀疏集．然设AB相交稀疏集A∪B＝PnIn妨设1∈A1＋3＝223A3∈B理6∈A10∈B推15∈A1＋15＝42A稀疏集矛盾．
证P14符合求．k＝1时＝I14分成两稀疏集事实取A1＝{124691113}B1＝{3578101214}A1B1稀疏集A1∪B1＝I14
k＝4时集中整数外剩数组成集分解面两稀疏集：A2＝B2＝k＝9时集中正整数外剩数组成集分解面两稀疏集：
A3＝
B3＝
集C＝中数分母均理数P14中数整数令A＝A1∪A2∪A3∪CB＝B1∪B2∪B3AB相交稀疏集A∪B＝P14
综求n值14
注：P14分拆方法唯．
2［2013•江苏卷19］设{an}首项a公差d等差数列(d≠0)Sn前n项．记bn＝n∈N*中c实数．
(1)c＝0b1b2b4成等数列证明：Snk＝n2Sk(kn∈N*)
(2){bn}等差数列证明：c＝0
解 题意Sn＝na＋d
(1)c＝0bn＝＝a＋d
b1b2b4成等数列b＝b1b42＝a
化简d2－2ad＝0
d≠0d＝2a
m∈N*Sm＝m2a
kn∈N*Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk
(2)设数列{bn}公差d1bn＝b1＋(n－1)d1＝b1＋(n－1)d1n∈N*代入Sn表达式整理n∈N*n3＋·n2＋cd1n＝c(d1－b1)．
令A＝d1－dB＝b1－d1－a＋d
D＝c(d1－b1)n∈N*An3＋Bn2＋cd1n＝D(*)
(*)式中分取n＝1234
A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1
②③A＝0cd1＝－5B代入方程①B＝0cd1＝0
d1－d＝0b1－d1－a＋d＝0cd1＝0
d1＝0d1－d＝0d＝0
题设矛盾d1≠0
cd1＝0c＝0
第4讲 直接证明间接证明 数学纳法
1［2017•浙江卷22］ (题满分15分)已知数列{xn}满足：x1＝1xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．
证明：n∈N*时
(1)0
(3)≤xn≤
证明 (1)数学纳法证明：xn>0
n＝1时x1＝1>0
假设n＝k时xk>0
n＝k＋1时
xk＋1≤00
xn>0(n∈N*)．
xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1
0
xnxn＋1－4xn＋1＋2xn
＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)．
记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)
f′(x)＝＋ln(1＋x)>0(x>0)
函数f(x)[0＋∞)单调递增f(x)≥f(0)＝0
x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0
2xn＋1－xn≤(n∈N*)．
(3)xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1
xn≥
≥2xn＋1－xn－≥2>0
－≥2≥…≥2n－1＝2n－2
xn≤
综≤xn≤(n∈N*)．
选修4－4 坐标系参数方程
第1讲 坐标系参数方程
选择题
1 ［2013•安徽卷7］极坐标系中圆ρ＝2cosθ垂直极轴两条切线方程分( )
A．θ＝0(ρ∈R)ρcosθ＝2 B．θ＝(ρ∈R)ρcosθ＝2
C．θ＝(ρ∈R)ρcosθ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)ρcosθ＝1
答案 B
解析 直角坐标系中圆方程x2＋y2＝2x(x－1)2＋y2＝1垂直x轴两条切线方程分x＝0x＝2θ＝(ρ∈R)ρcosθ＝2
2［2014•北京卷3］曲线(θ参数)称中心( )
A．直线y＝2x B．直线y＝－2x
C．直线y＝x－1 D．直线y＝x＋1
答案 B
解析 曲线(θ参数)普通方程(x＋1)2＋(y－2)2＝1该曲线圆圆心(－12)曲线称中心直线y＝－2x选B
二填空题
1［2017•北京卷11］极坐标系中点A圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0点P坐标(10)|AP|值________．
答案 1
解析 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0
x2＋y2－2x－4y＋4＝0(x－1)2＋(y－2)2＝1
圆心坐标C(12)半径长1
∵点P坐标(10)∴点P圆C外．
∵点A圆C∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1
2［2017•天津卷11］极坐标系中直线4ρcos＋1＝0圆ρ＝2sinθ公点数________．
答案 2
解析 4ρcos＋1＝02ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0
直线直角坐标方程2x＋2y＋1＝0
ρ＝2sinθρ2＝2ρsinθ
圆直角坐标方程x2＋y2＝2y
x2＋(y－1)2＝1圆心(01)半径1
∵圆心直线2x＋2y＋1＝0距离d＝＝＜1∴直线圆相交两公点．
3［2017•北京卷11］极坐标系中直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0圆ρ＝2cosθ交AB两点|AB|＝________
答案 2
解析 直线圆直角坐标方程分x－y－1＝0x2＋y2＝2x该圆圆心坐标(10)半径r＝1圆心(10)直线距离d＝＝0AB该圆直径|AB|＝2
4［2015•北京卷11］极坐标系中点直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6距离________．
答案 1
解析 点直角坐标(1)直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6直角坐标方程x＋y－6＝0点(1)直线距离d＝＝1
5［2015•重庆卷15］已知直线l参数方程(t参数)坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C极坐标方程ρ2cos2θ＝4ρ>0<θ<直线l曲线C交点极坐标________．
答案 (2π)
解析 直线l普通方程y＝x＋2曲线C直角坐标方程x2－y2＝4(x≤－2)直线l曲线C交点(－20)应极坐标(2π)．
6［2014•天津卷13］O极点极坐标系中圆ρ＝4sinθ直线ρsinθ＝a相交AB两点．△AOB等边三角形a值________．
答案 3
解析 圆直角坐标方程x2＋y2＝4y直线直角坐标方程y＝a△AOB等边三角形A代入圆方程＋a2＝4aa＝3
7 ［2014•陕西卷15B］极坐标系中点直线ρsin＝1距离________．
答案 1
解析 点极坐标直线极坐标方程化直角坐标普通方程利点直线距离公式求解．
点2化直角坐标(1)直线ρsinθ－＝1化ρsinθ－cosθ＝1y－x＝1x－y＋1＝0点(1)直线x－y＋1＝0距离＝1
8［2013•湖南卷9］面直角坐标系xOy中直线l：(t参数)椭圆C：(φ参数)右顶点常数a值________．
答案 3
解析 直线l参数方程(t参数)消参数t直线l般方程：y＝x－a椭圆参数方程知右顶点(30)．直线l椭圆右顶点3－a＝0a＝3
9［2013•重庆卷15］直角坐标系xOy中原点O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系极坐标方程ρcosθ＝4直线曲线(t参数)相交AB两点|AB|＝________
答案 16
解析 极坐标方程ρcosθ＝4普通方程x＝4
代入t＝±2
t＝2时y＝8t＝－2时y＝－8
两交点坐标分(48)(4－8)．|AB|＝16
10［2013•陕西卷15C］图原点直线倾斜角θ参数圆x2＋y2－x＝0参数方程________．
答案 (θ参数)
解析 圆半径记圆心C连CP∠PCx＝2θxP＝＋cos2θ＝cos2θyP＝sin2θ＝sinθcosθ(θ参数)．
11［2013•广东卷14］已知曲线C参数方程(t参数)C点(11)处切线l坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系l极坐标方程________．
答案 ρcosθ＋ρsinθ＝2
解析 曲线C参数方程(t参数)知曲线C普通方程x2＋y2＝2表示圆心(00)半径圆点(11)圆．切线性质知切线l斜率－1切线l方程x＋y－2＝0极坐标方程直角坐标方程互化公式切线l极坐标方程ρcosθ＋ρsinθ＝2
12 ［2013•江西卷15（1）］设曲线C参数方程(t参数)直角坐标系原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C极坐标方程________．
答案 ρcos2θ＝sinθ
解析 曲线C普通方程y＝x2x＝ρcosθy＝ρsinθ代入ρsinθ＝ρ2cos2θ整理ρcos2θ＝sinθ曲线C极坐标方程ρcos2θ＝sinθ
13 ［2013•天津卷11］已知圆极坐标方程ρ＝4cosθ圆心C点P极坐标|CP|＝________
答案 2
解析 ρ＝4cosθρ2＝4ρcosθx2＋y2＝4x(x－2)2＋y2＝4∴圆心C(20)点P极坐标点P直角坐标(22)
∴|CP|＝＝2
14 ［2013•湖北卷16］直角坐标系xOy中椭圆C参数方程(φ参数a>b>0)极坐标系(直角坐标系xOy取相长度单位原点O极点x轴正半轴极轴)中直线l圆O极坐标方程分ρsin＝m(m非零常数)ρ＝b直线l椭圆C焦点圆O相切椭圆C离心率________．
答案
解析 l直角坐标方程x＋y＝m圆O直角坐标方程x2＋y2＝b2直线l圆O相切m＝±b
椭圆焦点(b0)c＝ba＝b离心率e＝＝
15 ［2013•北京卷9］极坐标系中点直线ρsinθ＝2距离等________．
答案 1
解析 极坐标方程直角坐标方程互化关系知极坐标系中点应直角坐标(1)直线ρsinθ＝2应直角坐标方程y＝2点直线距离1
三解答题
1［2018•全国Ⅰ22］直角坐标系xOy中曲线C1方程y＝k|x|＋2坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ2＋2ρcosθ－3＝0
(1)求C2直角坐标方程
(2)C1C2仅三公点求C1方程．
解 (1)x＝ρcosθy＝ρsinθC2直角坐标方程(x＋1)2＋y2＝4
(2)(1)知C2圆心A(－10)半径2圆．
题设知C1点B(02)关y轴称两条射线曲线C1方程y＝记y轴右边射线l1y轴左边射线l2B圆C2外面C1C2仅三公点等价l1C2公点l2C2两公点l2C2公点l1C2两公点．
l1C2公点时Al1直线距离2＝2k＝－k＝0
检验k＝0时l1C2没公点k＝－时l1C2公点l2C2两公点．
l2C2公点时Al2直线距离2＝2k＝0k＝
检验k＝0时l1C2没公点k＝时l2C2没公点
综求C1方程y＝－|x|＋2
2［2018•全国Ⅱ22］直角坐标系xOy中曲线C参数方程(θ参数)直线l参数方程(t参数)．
(1)求Cl直角坐标方程
(2)曲线C截直线l线段中点坐标(12)求l斜率．
解 (1)曲线C直角坐标方程＋＝1
cosα≠0时l直角坐标方程y＝tanα·x＋2－tanαcosα＝0时l直角坐标方程x＝1
(2)l参数方程代入C直角坐标方程整理关t方程
(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0①
曲线C截直线l线段中点(12)C①两解设t1t2t1＋t2＝0
①t1＋t2＝－
2cosα＋sinα＝0直线l斜率k＝tanα＝－2
3［2018•全国Ⅲ22］面直角坐标系xOy中⊙O参数方程(θ参数)点(0－)倾斜角α直线l⊙O交AB两点．
(1)求α取值范围
(2)求AB中点P轨迹参数方程．
解 (1)⊙O直角坐标方程x2＋y2＝1α＝时l⊙O交两点．
α≠时记tanα＝kl方程y＝kx－l⊙O交两点仅<1解k<－1k>1
α∈α∈综α取值范围
(2)l参数方程t参数<α<
设ABP应参数分tAtBtPtP＝tAtB满足t2－2tsinα＋1＝0
tA＋tB＝2sinαtP＝sinα
点P坐标(xy)满足
点P轨迹参数方程
α参数<α<
4 ［2017•全国Ⅰ22］直角坐标系xOy中曲线C参数方程 (θ参数)直线l参数方程 (t参数)．
(1)a＝－1求Cl交点坐标
(2)C点l距离值求a
解 (1)曲线C普通方程＋y2＝1
a＝－1时直线l普通方程x＋4y－3＝0
解
Cl交点坐标(30)－
(2)直线l普通方程x＋4y－a－4＝0C点(3cosθsinθ)l距离d＝
a≥－4时d值
题设＝a＝8
a＜－4时d值
题设＝
a＝－16
综a＝8a＝－16
5［2017•全国Ⅱ22］直角坐标系xOy中坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C1极坐标方程ρcosθ＝4
(1)M曲线C1动点点P线段OM满足|OM|·|OP|＝16求点P轨迹C2直角坐标方程
(2)设点A极坐标点B曲线C2求△OAB面积值．
解 (1)设P极坐标(ρθ)(ρ>0)M极坐标(ρ1θ)(ρ1>0)．
题设知|OP|＝ρ|OM|＝ρ1＝
|OM|·|OP|＝16C2极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．
C2直角坐标方程(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B极坐标(ρBα)(ρB>0)．
题设知|OA|＝2ρB＝4cosα△OAB面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·
＝2≤2＋
α＝－时S取值2＋
△OAB面积值2＋
6［2017•全国Ⅲ22］直角坐标系xOy中直线l1参数方程(t参数)直线l2参数方程(m参数)．设l1l2交点Pk变化时P轨迹曲线C
(1)写出C普通方程
(2)坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0Ml3C交点求M极径．
解 (1)消参数tl1普通方程l1：y＝k(x－2)
消参数ml2普通方程l2：y＝(x＋2)．
设P(xy)题设
消kx2－y2＝4(y≠0)
C普通方程x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C极坐标方程ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2πθ≠π)
联立
cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．
tanθ＝－cos2θ＝sin2θ＝
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4ρ2＝5
交点M极径
7［2017•江苏卷21C］面直角坐标系xOy中已知直线l参数方程(t参数)曲线C参数方程(s参数)．设P曲线C动点求点P直线l距离值．
解 直线l普通方程x－2y＋8＝0
点P曲线C设P(2s22s)
点P直线l距离d＝＝
s＝时dmin＝
点P坐标(44)时曲线C点P直线l距离取值
8［2016•全国Ⅰ23］直角坐标系xOy中曲线C1参数方程(α参数)．坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρsin＝2
(1)写出C1普通方程C2直角坐标方程
(2)设点PC1点QC2求|PQ|值时P直角坐标．
解 (1)C1普通方程＋y2＝1C2直角坐标方程x＋y－4＝0
(2)题意设点P直角坐标(cosαsinα)．C2直线|PQ|值PC2距离d(α)值
d(α)＝＝
仅α＝2kπ＋(k∈Z)时d(α)取值值时P直角坐标
9［2016•全国Ⅱ23］直角坐标系xOy中圆C方程(x＋6)2＋y2＝25
(1)坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系求C极坐标方程
(2)直线l参数方程(t参数)lC交AB两点|AB|＝求l斜率．
解 (1)x＝ρcosθy＝ρsinθ圆C极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0
(2)(1)中建立极坐标系中直线l极坐标方程θ＝α(ρ∈R)．
设AB应极径分ρ1ρ2l极坐标方程代入C极坐标方程ρ2＋12ρcosα＋11＝0
ρ1＋ρ2＝－12cosαρ1ρ2＝11
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
＝
|AB|＝cos2α＝tanα＝±
l斜率－
10［2016•江苏卷21C］面直角坐标系xOy中已知直线l参数方程(t参数)椭圆C参数方程(θ参数)．设直线l椭圆C相交AB两点求线段AB长．
解 椭圆C普通方程x2＋＝1
直线l参数方程代入x2＋＝11＋t2＋＝17t2＋16t＝0
解t1＝0t2＝－AB＝|t1－t2|＝
11 ［2015•全国Ⅰ23］直角坐标系xOy中直线C1：x＝－2圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系．
(1)求C1C2极坐标方程
(2)直线C3极坐标方程θ＝(ρ∈R)设C2C3交点MN求△C2MN面积．
解 (1)x＝ρcosθy＝ρsinθC1极坐标方程ρcosθ＝－2
C2极坐标方程ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0
(2)θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0
ρ2－3ρ＋4＝0
解ρ1＝2ρ2＝ρ1－ρ2＝
|MN|＝
C2半径1△C2MN面积
12［2015•全国Ⅱ23］直角坐标系xOy中曲线C1：(t参数t≠0)中0≤α<πO极点x轴正半轴极轴极坐标系中曲线C2：ρ＝2sinθC3：ρ＝2cosθ
(1)求C2C3交点直角坐标
(2)C1C2相交点AC1C3相交点B求|AB|值．
解 (1)曲线C2直角坐标方程x2＋y2－2y＝0曲线C3直角坐标方程x2＋y2－2x＝0
联立解
C2C3交点直角坐标(00)
(2)曲线C1极坐标方程θ＝α(ρ∈Rρ≠0)中0≤α＜π
A极坐标(2sinαα)B极坐标(2cosαα)．
|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4
α＝时|AB|取值值4
13［2015•陕西卷23］直角坐标系xOy中直线l参数方程
(t参数)．原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系⊙C极坐标方程ρ＝2sinθ
(1)写出⊙C直角坐标方程
(2)P直线l动点P圆心C距离时求P直角坐标．
解 (1)ρ＝2sinθρ2＝2ρsinθ
x2＋y2＝2yx2＋(y－)2＝3
(2)设PC(0)
|PC|＝＝
t＝0时|PC|取值
时P点直角坐标(30)．
14［2014•全国Ⅰ23］已知曲线C：＋＝1直线l：(t参数)．
(1)写出曲线C参数方程直线l普通方程
(2)曲线C意点P作l夹角30°直线交l点A求|PA|值值．
解 (1)曲线C参数方程(θ参数)．
直线l普通方程2x＋y－6＝0
(2)曲线C意点P(2cosθ3sinθ)l距离d＝|4cosθ＋3sinθ－6|
|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|
中α锐角tanα＝
sin(θ＋α)＝－1时|PA|取值值
sin(θ＋α)＝1时|PA|取值值
15［2013•全国Ⅰ23］已知曲线C1参数方程(t参数)坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ＝2sinθ
(1)C1参数方程化极坐标方程
(2)求C1C2交点极坐标(ρ≥00≤θ<2π)．
解 (1)消参数t化普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0
C1极坐标方程
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0
(2)C2普通方程x2＋y2－2y＝0
解
C1C2交点极坐标分()(2)．
16［2014•全国Ⅱ23］直角坐标系xOy中坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系半圆C极坐标方程ρ＝2cosθθ∈
(1)求C参数方程
(2)设点DCCD处切线直线l：y＝x＋2垂直根(1)中参数方程确定D坐标．
解 (1)C普通方程(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
C参数方程(t参数0≤t≤π)．
(2)设D(1＋costsint)．(1)知CG(10)圆心1半径半圆．
C点D处切线l垂直直线GDl斜率相tant＝t＝
D直角坐标
17［2013•全国Ⅰ23］已知曲线C1参数方程(t参数)坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ＝2sinθ
(1)C1参数方程化极坐标方程
(2)求C1C2交点极坐标(ρ≥00≤θ<2π)．
解 (1)消参数t化普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0
C1极坐标方程
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0
(2)C2普通方程x2＋y2－2y＝0
解
C1C2交点极坐标分()(2)．
18［2013•辽宁卷23］直角坐标系xOy中O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系．圆C1直线C2极坐标方程分ρ＝4sinθρcos(θ－)＝2
(1)求C1C2交点极坐标
(2)设PC1圆心QC1C2交点连线中点．已知直线PQ参数方程(t∈R参数)求ab值．
解 (1)圆C1直角坐标方程x2＋(y－2)2＝4
直线C2直角坐标方程x＋y－4＝0
解
C1C2交点极坐标(4)(2)．
注：极坐标系点表示唯．
(2)(1)P点Q点直角坐标分(02)(13)．
直线PQ直角坐标方程x－y＋2＝0
参数方程y＝x－＋1
解a＝－1b＝2
19［2013•全国Ⅱ23］已知动点PQ曲线C：(t参数)应参数分t＝αt＝2α(0<α<2π)MPQ中点．
(1)求M轨迹参数方程
(2)M坐标原点距离d表示α函数判断M轨迹否坐标原点．
解 (1)题意P(2cosα2sinα)Q(2cos2α2sin2α)M(cosα＋cos2αsinα＋sin2α)．
M
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