2006高考数学试题分类汇编
解析解答（3）
1．（全国II文）（题满分１２分）已知抛物线焦点FAB抛物线两动点AB两点分作抛物线切线设交点M
（I）证明定值
（II）设面积S写出表达式求S值
解：(Ⅰ)已知条件F(01)λ＞0．
设A(x1y1)B(x2y2)．＝λ
(－x11－y)＝λ(x2y2－1)
①式两边方y1＝x12y2＝x22代入 y1＝λ2y2 ③
解②③式y1＝λy2＝x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4
抛物线方程y＝x2求导y′＝x．
抛物线AB两点切线方程分
y＝x1(x－x1)＋y1y＝x2(x－x2)＋y2
y＝x1x－x12y＝x2x－x22．
解出两条切线交点M坐标()＝(－1)． ……4分
·＝(－2)·(x2－x1y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0
·定值值0． ……7分
(Ⅱ)(Ⅰ)知△ABM中FM⊥ABS＝|AB||FM|．
|FM|＝＝
＝
＝＝＋．
|AF||BF|分等AB抛物线准线y＝－1距离
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．
S＝|AB||FM|＝(＋)3
＋≥2知S≥4λ＝1时S取值4．
2．（全国理II）（题满分14分）
已知抛物线x2＝4y焦点FAB抛物线两动点＝λ（λ＞0）．AB两点分作抛物线切线设交点Ｍ．
（Ⅰ）证明·定值
（Ⅱ）设△ABM面积S写出S＝f(λ)表达式求S值．
提示： F点坐标(01)设A点坐标 B点坐标
A点切线方程 (1)
B点切线方程 (2)
解(1)( 2)构成方程组点M坐标0 定值2 0三角形面积
仅时取等号
题考察线量关系曲线切线方程直线交点量数量积等知识点
涉均值等式计算较复杂难度
3．（全国I文）（题满分12分）
面直角坐标系中焦点离心率椭圆设椭圆第象限部分曲线C动点PCC点P处切线轴交点分AB量求：
（Ⅰ）点M轨迹方程
（Ⅱ）值
全国I文20解 椭圆方程写 + 1 式中a>b>0 a24b21曲线C方程 x2+ 1 (x>0y>0) y2(0设P(x0y0)PC0y－ (x－x0)+y0 设A(x0)B(0y)切线方程 x y
+M坐标(xy) x0y0满足C方程点M轨迹方程
+ 1 (x>1y>2)
(Ⅱ)| |2 x2+y2 y2 4+
∴| |2 x2－1++5≥4+59x2－1 x>1时式取等号
||值3
4．（辽宁文理）（题满分14分）已知点抛物线两动点坐标原点量满足设圆方程．
（1）证明线段圆直径
（2）圆圆心直线距离值时求值．
题考查面量基运算圆抛物线方程点直线距离等基础知识综合运解析知识解决问题力满分14分
解：（I）证法：
整理
12分
设点M（xy）线段AB直径圆意点
展开式①代入
线段圆直径
证法二：
整理
①……3分
点线段直径圆
分母
点满足方程展开①代入
线段圆直径
证法三：
整理
直径圆方程
展开①代入
线段圆直径
（Ⅱ）解法：设圆圆心
圆心轨迹方程：
设圆心直线距离
时值题设＼
……14分
解法二：设圆圆心
QQ
…………9分
圆心轨迹方程…………11分++设直线距离
公点
仅公点时该点距离值
②代入③
…………14分
解法三：设圆圆心
圆心直线距离
时值时题设
5．（山东文）（题满分12分）已知椭圆中心坐标原点O焦点x轴椭圆短轴端点焦点组成四边形正方形两准线间距离l
(Ⅰ)求椭圆方程
(Ⅱ)直线点P(02)椭圆相交AB两点ΔAOB面积取值时求直线l方程
解：设椭圆方程
（Ⅰ）已知
∴求椭圆方程
（Ⅱ）解法：题意知直线斜率存设直线方程
消y关x方程：
直线椭圆相交AB两点
解
韦达定理
原点直线距离
解法1：两边方整理：
（*）
∵
整理：
值
时代入方程（*）
求直线方程：
解法2：令
仅时
时
求直线方程
解法二：题意知直线l斜率存零
设直线l方程
直线lx轴交点
解法知
解法1：
解法
解法2：
解法
6．（山东理）（题满分12分）双曲线C椭圆相热点直线yC条渐线
（1） 求双曲线C方程
（2） 点P(04)直线l求双曲线CAB两点交x轴Q点（Q点C顶点重合） 时求Q点坐标
解：（Ⅰ）设双曲线方程
椭圆
求两焦点
双曲线双曲线条渐线
解
双曲线方程
（Ⅱ）解法：
题意知直线斜率存等零
设方程：
双曲线
理：
直线顶点合题意
二次方程两根
时
求坐标
解法二：
题意知直线斜率存等零
设方程
分
定分点坐标公式
解法
解法三：
题意知直线斜率存等零
设方程：
代入
否渐线行
解法四：
题意知直线l斜率k存等零设方程：
理
（*）
消y
时直线l双曲线渐线行合题意
韦达定理：
代入（*）式
求Q点坐标
7．（北京文）（题14分）椭圆C两焦点F1F2点P椭圆C
（Ⅰ）求椭圆C方程
（Ⅱ）直线l圆x2+y2+4x2y0圆心交椭圆C两点AB关点M称求直线l方程
解法：
(Ⅰ)点P椭圆Ca3
Rt△PF1F2中椭圆半焦距c
b2a2－c24
椭圆C方程＝1
(Ⅱ)设AB坐标分（x1y1）（x2y2）
已知圆方程（x+2）2+(y－1)25圆心M坐标（－21）
设直线l方程
yk(x+2)+1
代入椭圆C方程
（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－270
AB关点M称
解
直线l方程
8x9y+250
(检验求直线方程符合题意)
解法二：
(Ⅰ)解法
(Ⅱ)已知圆方程（x+2）2+(y－1)25圆心M坐标（－21）
设AB坐标分（x1y1）(x2y2)题意x1x2
①
②
①－②
③
AB关点M称
x1+ x2－4 y1+ y22
代入③＝
直线l斜率
直线l方程y－1＝（x+2）
8x－9y+250
(检验求直线方程符合题意)
8．（北京理）（题 14 分） 已知点 M（－20）N（20）动点 P满足条件|PM |－|PN |记动点 P轨迹 W
（Ⅰ）求 W 方程
（Ⅱ） AB W两点O 坐标原点求
值
解法：
（Ⅰ）|PM|－|PN|知动点 P 轨迹 焦点双曲线右支实
半轴长
半焦距 c2虚半轴长
W 方程
（Ⅱ）设 AB 坐标分
AB⊥x轴时
ABx轴垂直时设直线AB方程W方程联立消y
综AB⊥轴时 取值2
解法二
(Ⅰ）解法
（Ⅱ）设 AB 坐标分
令
仅时成立
值2
9（安徽文理）（题满分14分）图F双曲线C：右焦点P双曲线C右支点位轴方M左准线点坐标原点已知四边形行四边形
O
F
x
y
P
M
第22题图
H
N
（Ⅰ）写出双曲线C离心率关系式
（Ⅱ）时焦点F行OP直线交双曲线AB点求时双曲线方程
解：∵四边形∴作双曲线右准线交PMH
（Ⅱ）时双曲线设P直线OP斜率直线AB方程代入双曲线方程：
：
解求
10(天津理)（题满分14分）
图椭圆中心圆心分半径作圆圆椭圆右焦点作垂直轴直线交圆第象限点．连结交圆点．设直线圆切线．
（1）证明求直线轴交点坐标
（2）设直线交椭圆两点证明．
解：（1）
（2）略
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解析解答（3）
1．（全国II文）（题满分１２分）已知抛物线焦点FAB抛物线两动点AB两点分作抛物线切线设交点M
（I）证明定值
（II）设面积S写出表达式求S值
解：(Ⅰ)已知条件F(01)λ＞0．
设A(x1y1)B(x2y2)．＝λ
(－x11－y)＝λ(x2y2－1)
①式两边方y1＝x12y2＝x22代入 y1＝λ2y2 ③
解②③式y1＝λy2＝x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4
抛物线方程y＝x2求导y′＝x．
抛物线AB两点切线方程分
y＝x1(x－x1)＋y1y＝x2(x－x2)＋y2
y＝x1x－x12y＝x2x－x22．
解出两条切线交点M坐标()＝(－1)． ……4分
·＝(－2)·(x2－x1y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0
·定值值0． ……7分
(Ⅱ)(Ⅰ)知△ABM中FM⊥ABS＝|AB||FM|．
|FM|＝＝
＝
＝＝＋．
|AF||BF|分等AB抛物线准线y＝－1距离
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．
S＝|AB||FM|＝(＋)3
＋≥2知S≥4λ＝1时S取值4．
2．（全国理II）（题满分14分）
已知抛物线x2＝4y焦点FAB抛物线两动点＝λ（λ＞0）．AB两点分作抛物线切线设交点Ｍ．
（Ⅰ）证明·定值
（Ⅱ）设△ABM面积S写出S＝f(λ)表达式求S值．
提示： F点坐标(01)设A点坐标 B点坐标
A点切线方程 (1)
B点切线方程 (2)
解(1)( 2)构成方程组点M坐标0 定值2 0三角形面积
仅时取等号
题考察线量关系曲线切线方程直线交点量数量积等知识点
涉均值等式计算较复杂难度
3．（全国I文）（题满分12分）
面直角坐标系中焦点离心率椭圆设椭圆第象限部分曲线C动点PCC点P处切线轴交点分AB量求：
（Ⅰ）点M轨迹方程
（Ⅱ）值
全国I文20解 椭圆方程写 + 1 式中a>b>0 a24b21曲线C方程 x2+ 1 (x>0y>0) y2(0
+M坐标(xy) x0y0满足C方程点M轨迹方程
+ 1 (x>1y>2)
(Ⅱ)| |2 x2+y2 y2 4+
∴| |2 x2－1++5≥4+59x2－1 x>1时式取等号
||值3
4．（辽宁文理）（题满分14分）已知点抛物线两动点坐标原点量满足设圆方程．
（1）证明线段圆直径
（2）圆圆心直线距离值时求值．
题考查面量基运算圆抛物线方程点直线距离等基础知识综合运解析知识解决问题力满分14分
解：（I）证法：
整理
12分
设点M（xy）线段AB直径圆意点
展开式①代入
线段圆直径
证法二：
整理
①……3分
点线段直径圆
分母
点满足方程展开①代入
线段圆直径
证法三：
整理
直径圆方程
展开①代入
线段圆直径
（Ⅱ）解法：设圆圆心
圆心轨迹方程：
设圆心直线距离
时值题设＼
……14分
解法二：设圆圆心
…………9分
圆心轨迹方程…………11分++设直线距离
公点
仅公点时该点距离值
②代入③
…………14分
解法三：设圆圆心
圆心直线距离
时值时题设
5．（山东文）（题满分12分）已知椭圆中心坐标原点O焦点x轴椭圆短轴端点焦点组成四边形正方形两准线间距离l
(Ⅰ)求椭圆方程
(Ⅱ)直线点P(02)椭圆相交AB两点ΔAOB面积取值时求直线l方程
解：设椭圆方程
（Ⅰ）已知
∴求椭圆方程
（Ⅱ）解法：题意知直线斜率存设直线方程
消y关x方程：
直线椭圆相交AB两点
解
韦达定理
原点直线距离
解法1：两边方整理：
（*）
∵
整理：
值
时代入方程（*）
求直线方程：
解法2：令
仅时
时
求直线方程
解法二：题意知直线l斜率存零
设直线l方程
直线lx轴交点
解法知
解法1：
解法
解法2：
解法
6．（山东理）（题满分12分）双曲线C椭圆相热点直线yC条渐线
（1） 求双曲线C方程
（2） 点P(04)直线l求双曲线CAB两点交x轴Q点（Q点C顶点重合） 时求Q点坐标
解：（Ⅰ）设双曲线方程
椭圆
求两焦点
双曲线双曲线条渐线
解
双曲线方程
（Ⅱ）解法：
题意知直线斜率存等零
设方程：
双曲线
理：
直线顶点合题意
二次方程两根
时
求坐标
解法二：
题意知直线斜率存等零
设方程
分
定分点坐标公式
解法
解法三：
题意知直线斜率存等零
设方程：
代入
否渐线行
解法四：
题意知直线l斜率k存等零设方程：
理
（*）
消y
时直线l双曲线渐线行合题意
韦达定理：
代入（*）式
求Q点坐标
7．（北京文）（题14分）椭圆C两焦点F1F2点P椭圆C
（Ⅰ）求椭圆C方程
（Ⅱ）直线l圆x2+y2+4x2y0圆心交椭圆C两点AB关点M称求直线l方程
解法：
(Ⅰ)点P椭圆Ca3
Rt△PF1F2中椭圆半焦距c
b2a2－c24
椭圆C方程＝1
(Ⅱ)设AB坐标分（x1y1）（x2y2）
已知圆方程（x+2）2+(y－1)25圆心M坐标（－21）
设直线l方程
yk(x+2)+1
代入椭圆C方程
（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－270
AB关点M称
解
直线l方程
8x9y+250
(检验求直线方程符合题意)
解法二：
(Ⅰ)解法
(Ⅱ)已知圆方程（x+2）2+(y－1)25圆心M坐标（－21）
设AB坐标分（x1y1）(x2y2)题意x1x2
①
②
①－②
③
AB关点M称
x1+ x2－4 y1+ y22
代入③＝
直线l斜率
直线l方程y－1＝（x+2）
8x－9y+250
(检验求直线方程符合题意)
8．（北京理）（题 14 分） 已知点 M（－20）N（20）动点 P满足条件|PM |－|PN |记动点 P轨迹 W
（Ⅰ）求 W 方程
（Ⅱ） AB W两点O 坐标原点求
值
解法：
（Ⅰ）|PM|－|PN|知动点 P 轨迹 焦点双曲线右支实
半轴长
半焦距 c2虚半轴长
W 方程
（Ⅱ）设 AB 坐标分
AB⊥x轴时
ABx轴垂直时设直线AB方程W方程联立消y
综AB⊥轴时 取值2
解法二
(Ⅰ）解法
（Ⅱ）设 AB 坐标分
令
仅时成立
值2
9（安徽文理）（题满分14分）图F双曲线C：右焦点P双曲线C右支点位轴方M左准线点坐标原点已知四边形行四边形
O
F
x
y
P
M
第22题图
H
N
（Ⅰ）写出双曲线C离心率关系式
（Ⅱ）时焦点F行OP直线交双曲线AB点求时双曲线方程
解：∵四边形∴作双曲线右准线交PMH
（Ⅱ）时双曲线设P直线OP斜率直线AB方程代入双曲线方程：
：
解求
10(天津理)（题满分14分）
图椭圆中心圆心分半径作圆圆椭圆右焦点作垂直轴直线交圆第象限点．连结交圆点．设直线圆切线．
（1）证明求直线轴交点坐标
（2）设直线交椭圆两点证明．
解：（1）
（2）略
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