05全国初中数学联赛决赛试卷

2005年全国初中数学联赛决赛试卷
选择题：(题7分42分)
1化简：结果＿＿
A理数　B真分数　C奇数　D偶数
2圆接四条边长次5101114四边形面积＿＿
A785　B975　C90　D102
3设r≥4a＝b＝
c＝列式定成立＿＿
Aa>b>c Bb>c>a　Cc>a>b　Dc>b>a
4图中三块阴影部分两半径1圆外公切线分割成果中间块阴影面积等两块面积两圆公弦长＿＿
A　B　C　D
5已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象图示 y
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|＿＿
Ap>q Bp＝q Cp　 0 1 x
6x1x2x3x4x5互相等正奇数满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242未位数字＿＿
A1　B3　C5　D7
二填空题(28分)
1超100然数中35倍数数相加＿＿
2x＝＿＿＿
3实数xy满足x＋y＝＿＿
4已知锐角三角形ABC三角ABC满足：A＞B＞Ca表示A－BB－C90°－A中者a值＿＿＿
三解答题(第1题20分第23题25分)
1abc实数ac＜0证明：元二次方程ax2＋bx＋c＝01根

2锐角ΔABC中AB＞ACCDBE分ABAC边高D作BC垂线交BEF交CA延长线PE作BC垂线交CDG交BA延长线Q证明：BCDEFGPQ四条直线相交点

3abc正整数a2＋b3＝c4求c值

2005年全国联赛决赛试卷详解
选择题：(题7分42分)
1化简：结果＿＿
A理数　B真分数　C奇数　D偶数
解：
　
选D
2圆接四条边长次5101114四边形面积＿＿
A785　B975　C90　D102
解：题意：
　　52＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)
　　∴221－140cosα＝221＋220 cosα
　　∴cosα＝0
∴α＝90°
∴四边形面积：5×7＋5×11＝90
　　∴选C
3设r≥4a＝b＝c＝列式定成立＿＿
Aa>b>c Bb>c>a　Cc>a>b　Dc>b>a
解法1：特值法取r4
　　ab＝
c＝
∴c>b>a选D
解法2：a＝
b＝
c＝
　　　
解法3：∵r≥4　∴＜1
　　　　∴
　c＝
　　　　∴a4图中三块阴影部分两半径1圆外公切线分割成果中间块阴影面积等两块面积两圆公弦长＿＿
A　B　C　D
解：图形割补知圆面积等矩形ABCD面积
　　∴
　　垂径定理公弦
　　∴选D

5已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象图示
y
0 1 　 x
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|＿＿
Ap>q Bp＝q Cp解：题意：a<0b>0c0
∴p＝|a－b|＋|2a＋b|q＝|a＋b|＋|2a－b|
　　
　　∴p＝|a－b|＋|2a＋b|＝ba+2a+ba+2b2b+a
q＝|a＋b|＋|2a－b| a＋b＋b2a2ba
∴p6x1x2x3x4x5互相等正奇数满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242未位数字＿＿
A1　B3　C5　D7
解：x1x2x3x4x5互相等正奇数(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)互相等偶数
242分解5互相等偶数积唯形式：242＝2·(2)·4·6·(6)
(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)分等2(2)46(6)
(2005－x1)2＋(2005－x2)2＋(2005－x3) 2＋(2005－x4) 2＋(2005－x5) 2＝22＋(2) 2＋42＋62＋(6) 2＝96
展开：

二填空题(28分)
1超100然数中35倍数数相加＿＿
解：(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝2418
2x＝＿＿＿
解：分子理化：
　　∵x≠0
∴
　　两边方化简：
　　方化简：
3实数xy满足x＋y＝＿＿
解法1：假设x＋y＝ay＝a－x
　　
　　
　　
解法2：易知
　　　　化简：
　　　　
4已知锐角三角形ABC三角ABC满足：A＞B＞Ca表示A－BB－C90°－A中者a值＿＿＿
解：
　　
三解答题(第1题20分第23题25分)
1abc实数ac＜0证明：元二次方程ax2＋bx＋c＝01根
解：设
　　
　　
　　
　　∴
　　∴元二次方程ax2＋bx＋c＝01根
2锐角ΔABC中AB＞ACCDBE分ABAC边高DE BC延长线交TD作BC垂线交BEFE作BC垂线交CDG证明：FGT三点线
证法1：设DE垂线分交BCMNRt△BEC Rt△BDC中射影定理：
CE2＝CN·CBBD2＝BM·BC
∴
Rt△CNG ∽Rt△DCBRt△BMF ∽Rt△BEC
∴
∴
Rt△BEC Rt△BDC中面积关系：BE·CE＝EN·BCBD·CD＝DM·BC
∴
(1)(2)：
证法2：设CDBE相交点HH△ABC垂心记DFEGAHBC交点分MNR
∵DM∥AR∥EN
∴

合定理：
证法3：△ABC中直线DET分交BCCAABTED梅涅劳斯定理：

设CDBE相交点HH△ABC垂心AH⊥BC
∵DF⊥BCEG⊥BC
∴AH ∥DF ∥EG
∴
梅涅劳斯定理逆定理：FGT三点线

证法4：连结FT交ENG’易知
证明FGT三点线需证明
∵

　
∴
∵CD⊥ABBE⊥CA∴BDEC四点圆
∴∠ABE＝∠ACD　　(2)
　(3)
(2) (3)代入（1）：FGT三点线
3设abc正整数a2＋b3＝c4求c值
解：显然c＞1题设：(c2a)(c2+a)b3
取
　考察b完全方数易知b＝8时c2＝36c6a28面说明c没6更正整数解列表：
c
c4
x3(x3c4x3
2
16
18
178
3
81
182764
80735417
4
256
182764125216
25524822919213140
5
625
182764125216343512
624617598561500409282113
显然表中c4x3值均完全方数c值6

参考答案：1D 原式
2C ∵52+142221102+112 ∠A ∠C直角
3D　
4D　5C　6A
二12418　2　3x＋y＝33＋43＋53＋63＝432　415°
三1略　2略　3c值6

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