全国高中数学联赛模拟题
试
填空题（题满分64分题8分）
1．数列中．
＝ ．
2．设abc正整数成等数列完全方数 ．
3．列数满足意正整数n ．
4．设变量满足值_______．
5．正整数具性质：集合中取元素mm整n概率n值
6．集合{12…2011}元素奇数非空子集数
7．直径半圆作圆面垂线垂线取点半圆动点分射影．三棱锥体积时_________．
8．直线交抛物线两点中点横坐标
二解答题（第9题16分第1011题20分56分）
9（题满分16分）设证明等式
．
10（题满分20分）已知双曲线：（）离心率2点（）斜率1直线交双曲线两点．
（1）求双曲线方程
（2）设双曲线右支动点双曲线右焦点轴负半轴否存定点？存求出点坐标存请说明理．
11（题满分20分） 设正实数证明：等数列充分必条件：整数
加 试
1 （题满分40分）实数a意实数等式
成立求a值．
2 （题满分40分）直角三角形ABC中切圆分边BCCAAB相切点DEF连接AD切圆相交点P连接PCPEPF．已知求证：∥．
3．（题满分50分）正整数n记数十进制表示数码．
(1) 求值
(2) 否存正整数n100？
4．（题满分50分）求满足条件正整数n圆O圆周取n点角中少2011超．
参考答案
试
1 0．
…．第8项起三相邻项周期取值1100．
2． 111．
题意．
36－a方数a1120273235a约数．进．．
3．．
时
两式相减
．
4． ．
：设．
处取值
．
处取值（舍）．
5． 81
题设知n恰5约数设n质数分解n约数数＝5n具形式n值81
6． 22010．
令f(x)(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x2011)问题中求答案f(x)展开式中x奇次项系数．求答案(f(1)－f(－1))22010
7．．
易知．：斜边长直角三角形面积时取时．
8． ．
设直线解
．
9注意
．
理
．
10（1）双曲线离心率2知双曲线方程化．
直线方程．
． ①
设．
．
结合解．代入化简．
．
．时代入①整理显然该方程两实根．符合求．
双曲线方程．
（2）假设点存设．（1）知双曲线右焦点．设（）双曲线右支点．
时 ．
代入整理．
解．
时时符合．
符合求．满足条件点存坐标．
11必性：等数列设
＝
充分性：n＝2时两边等1n＝3时
化简成等数列
假设成等数列（）记
成等数列数学纳法知等数列
加 试
1． a值．
时．
时等式恒成立．事实
a值．
2．连接DEDF△BDF等腰直角三角形．．△PFD ∽ △PDC
． ①
△AFP ∽ △ADF△AEP ∽ △ADE ①
． ②
结合②△EPD ∽ △EDC△EPD等腰三角形∥．
3．（1）3奇数．
首位末位1余数码0数k1整数．矛盾．
n8时201．
综述值3
（2）事实令
数码．
1009×11+1取100
4．首先n＝90时图设AB圆O直径点AB附分取45点时角超n＝90满足题意．
n＝91时面证明少2011角超．
圆周91点作图91顶点应顶点间连条边样图G．
设图G中e条边易知图中没三角形．
e＝0角超命题证．
妨设顶点间边相连图中没三角形顶点中边相连
中表示顶点v度顶点v处引出边数．
图G中条边两顶点式条边求
柯西等式
91顶点中少点间没边相连应顶点应角超．
综述n值91．
目 录
第1讲 集合函数综合问题
第2讲 三角函数反三角函数
第3讲 等差数列等数列
第4讲 递数列
第5讲 等式
第6讲 数学纳法
第7讲 复数
第8讲 面问题(1)
第9讲 面问题(2)
第10讲 立体
第11讲 解析
第12讲 数问题
第13讲 组合问题
第14讲 计数问题
全国高中数学联赛模拟题（1）
全国高中数学联赛模拟题（2）
全国高中数学联赛模拟题（3）
全国高中数学联赛模拟题（4）
学 奥 数
里总适合
华东师范学出版社
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填空题（题满分64分题8分）
1．数列中．
＝ ．
2．设abc正整数成等数列完全方数 ．
3．列数满足意正整数n ．
4．设变量满足值_______．
5．正整数具性质：集合中取元素mm整n概率n值
6．集合{12…2011}元素奇数非空子集数
7．直径半圆作圆面垂线垂线取点半圆动点分射影．三棱锥体积时_________．
8．直线交抛物线两点中点横坐标
二解答题（第9题16分第1011题20分56分）
9（题满分16分）设证明等式
．
10（题满分20分）已知双曲线：（）离心率2点（）斜率1直线交双曲线两点．
（1）求双曲线方程
（2）设双曲线右支动点双曲线右焦点轴负半轴否存定点？存求出点坐标存请说明理．
11（题满分20分） 设正实数证明：等数列充分必条件：整数
加 试
1 （题满分40分）实数a意实数等式
成立求a值．
2 （题满分40分）直角三角形ABC中切圆分边BCCAAB相切点DEF连接AD切圆相交点P连接PCPEPF．已知求证：∥．
3．（题满分50分）正整数n记数十进制表示数码．
(1) 求值
(2) 否存正整数n100？
4．（题满分50分）求满足条件正整数n圆O圆周取n点角中少2011超．
参考答案
试
1 0．
…．第8项起三相邻项周期取值1100．
2． 111．
题意．
36－a方数a1120273235a约数．进．．
3．．
时
两式相减
．
4． ．
：设．
处取值
．
处取值（舍）．
5． 81
题设知n恰5约数设n质数分解n约数数＝5n具形式n值81
6． 22010．
令f(x)(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x2011)问题中求答案f(x)展开式中x奇次项系数．求答案(f(1)－f(－1))22010
7．．
易知．：斜边长直角三角形面积时取时．
8． ．
设直线解
．
9注意
．
理
．
10（1）双曲线离心率2知双曲线方程化．
直线方程．
． ①
设．
．
结合解．代入化简．
．
．时代入①整理显然该方程两实根．符合求．
双曲线方程．
（2）假设点存设．（1）知双曲线右焦点．设（）双曲线右支点．
时 ．
代入整理．
解．
时时符合．
符合求．满足条件点存坐标．
11必性：等数列设
＝
充分性：n＝2时两边等1n＝3时
化简成等数列
假设成等数列（）记
成等数列数学纳法知等数列
加 试
1． a值．
时．
时等式恒成立．事实
a值．
2．连接DEDF△BDF等腰直角三角形．．△PFD ∽ △PDC
． ①
△AFP ∽ △ADF△AEP ∽ △ADE ①
． ②
结合②△EPD ∽ △EDC△EPD等腰三角形∥．
3．（1）3奇数．
首位末位1余数码0数k1整数．矛盾．
n8时201．
综述值3
（2）事实令
数码．
1009×11+1取100
4．首先n＝90时图设AB圆O直径点AB附分取45点时角超n＝90满足题意．
n＝91时面证明少2011角超．
圆周91点作图91顶点应顶点间连条边样图G．
设图G中e条边易知图中没三角形．
e＝0角超命题证．
妨设顶点间边相连图中没三角形顶点中边相连
中表示顶点v度顶点v处引出边数．
图G中条边两顶点式条边求
柯西等式
91顶点中少点间没边相连应顶点应角超．
综述n值91．
目 录
第1讲 集合函数综合问题
第2讲 三角函数反三角函数
第3讲 等差数列等数列
第4讲 递数列
第5讲 等式
第6讲 数学纳法
第7讲 复数
第8讲 面问题(1)
第9讲 面问题(2)
第10讲 立体
第11讲 解析
第12讲 数问题
第13讲 组合问题
第14讲 计数问题
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