2016年全国统高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设集合A{x|x2﹣4x+3＜0}B{x|2x﹣3＞0}A∩B（ ）
A．（﹣3﹣） B．（﹣3） C．（1） D．（3）
2．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设（1+i）x1+yi中xy实数|x+yi|（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{an}前9项27a108a100（ ）
A．100 B．99 C．98 D．97
4．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某公司班车7：008：008：30发车明7：508：30间达发车站坐班车达发车站时刻机等车时间超10分钟概率（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知方程﹣1表示双曲线该双曲线两焦点间距离4n取值范围（ ）
A．（﹣13） B．（﹣1） C．（03） D．（0）
6．（5分）（2016•新课标Ⅰ）图某体三视图三半径相等圆圆中两条相互垂直半径．该体体积表面积（ ）
A．17π B．18π C．20π D．28π
7．（5分）（2016•新课标Ⅰ）函数y2x2﹣e|x|[﹣22]图象致（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2016•新课标Ⅰ）a＞b＞10＜c＜1（ ）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
9．（5分）（2016•新课标Ⅰ）执行图程序框图果输入x0y1n1输出xy值满足（ ）
A．y2x B．y3x C．y4x D．y5x
10．（5分）（2016•新课标Ⅰ）抛物线C顶点圆心圆交CAB两点交C准线DE两点．已知|AB|4|DE|2C焦点准线距离（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．（5分）（2016•新课标Ⅰ）面α正方体ABCD﹣A1B1C1D1顶点Aα∥面CB1D1α∩面ABCDmα∩面ABB1A1nmn成角正弦值（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）sin（ωx+φ）（ω＞0|φ|≤）x﹣f（x）零点xyf（x）图象称轴f（x）（）单调ω值（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
二填空题：题4题题5分20分
13．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设量（m1）（12）|+|2||2+||2m ．
14．（5分）（2016•新课标Ⅰ）（2x+）5展开式中x3系数 ．（数字填写答案）
15．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设等数列{an}满足a1+a310a2+a45a1a2…an值 ．
16．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A产品B需甲乙两种新型材料．生产件产品A需甲材料15kg乙材料1kg5工时生产件产品B需甲材料05kg乙材料03kg3工时生产件产品A利润2100元生产件产品B利润900元．该企业现甲材料150kg乙材料90kg超600工时条件生产产品A产品B利润值 元．
三解答题：题5题满分60分解答须写出文字说明证明程演算步骤
17．（12分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC角ABC边分abc已知2cosC（acosB+bcosA）c．
（Ⅰ）求C
（Ⅱ）c△ABC面积求△ABC周长．
18．（12分）（2016•新课标Ⅰ）图ABCDEF顶点五面体中面ABEF正方形AF2FD∠AFD90°二面角D﹣AF﹣E二面角C﹣BE﹣F60°．
（Ⅰ）证明面ABEF⊥面EFDC
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A余弦值．
19．（12分）（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买2台机器该种机器三年淘汰．机器易损零件购进机器时额外购买种零件作备件200元．机器期间果备件足购买500元．现需决策购买机器时应时购买易损零件搜集整理100台种机器三年期更换易损零件数图柱状图：
100台机器更换易损零件数频率代1台机器更换易损零件数发生概率记X表示2台机器三年需更换易损零件数n表示购买2台机器时购买易损零件数．
（Ⅰ）求X分布列
（Ⅱ）求P（X≤n）≥05确定n值
（Ⅲ）购买易损零件需费期值决策n19n20中选应选？
20．（12分）（2016•新课标Ⅰ）设圆x2+y2+2x﹣150圆心A直线l点B（10）x轴重合l交圆ACD两点B作AC行线交AD点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|定值写出点E轨迹方程
（Ⅱ）设点E轨迹曲线C1直线l交C1MN两点Bl垂直直线圆A交PQ两点求四边形MPNQ面积取值范围．
21．（12分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）（x﹣2）ex+a（x﹣1）2两零点．
（Ⅰ）求a取值范围
（Ⅱ）设x1x2f（x）两零点证明：x1+x2＜2．
请考生222324题中选题作答果做做第题计分[选修41：证明选讲]
22．（10分）（2016•新课标Ⅰ）图△OAB等腰三角形∠AOB120°．O圆心OA半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB⊙O相切
（Ⅱ）点CD⊙OABCD四点圆证明：AB∥CD．
[选修44：坐标系参数方程]
23．（2016•新课标Ⅰ）直角坐标系xOy中曲线C1参数方程（t参数a＞0）．坐标原点极点x轴正半轴极轴极坐标系中曲线C2：ρ4cosθ．
（Ⅰ）说明C1种曲线C1方程化极坐标方程
（Ⅱ）直线C3极坐标方程θα0中α0满足tanα02曲线C1C2公点C3求a．
[选修45：等式选讲]
24．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）图中画出yf（x）图象
（Ⅱ）求等式|f（x）|＞1解集．
2016年全国统高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案试题解析
选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设集合A{x|x2﹣4x+3＜0}B{x|2x﹣3＞0}A∩B（ ）
A．（﹣3﹣） B．（﹣3） C．（1） D．（3）
考点1E：交集运算．菁优网版权
专题11 ：计算题4O：定义法5J ：集合．
分析解等式求出集合AB结合交集定义答案．
解答解：∵集合A{x|x2﹣4x+3＜0}（13）
B{x|2x﹣3＞0}（+∞）
∴A∩B（3）
选：D．
点评题考查知识点集合交集运算难度属基础题．
2．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设（1+i）x1+yi中xy实数|x+yi|（ ）
A．1 B． C． D．2
考点A8：复数模．菁优网版权
专题34 ：方程思想4O：定义法5N ：数系扩充复数．
分析根复数相等求出xy值结合复数模长公式进行计算．
解答解：∵（1+i）x1+yi
∴x+xi1+yi
解|x+yi||1+i|
选：B．
点评题考查复数模长计算根复数相等求出xy值解决题关键．
3．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{an}前9项27a108a100（ ）
A．100 B．99 C．98 D．97
考点83：等差数列性质．菁优网版权
专题11 ：计算题4O：定义法54 ：等差数列等数列．
分析根已知a53进求出公差答案．
解答解：∵等差数列{an}前9项27S99a5．
∴9a527a53
∵a108
∴d1
∴a100a5+95d98
选：C．
点评题考查知识点数列性质熟练掌握等差数列性质解答关键．
4．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某公司班车7：008：008：30发车明7：508：30间达发车站坐班车达发车站时刻机等车时间超10分钟概率（ ）
A． B． C． D．
考点CF：概型．菁优网版权
专题5I ：概率统计．
分析求出明等车时间超10分钟时间长度代入概型概率计算公式答案．
解答解：设明达时间y
y7：508：008：208：30时
明等车时间超10分钟
P
选：B．
点评题考查知识点概型难度属基础题．
5．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知方程﹣1表示双曲线该双曲线两焦点间距离4n取值范围（ ）
A．（﹣13） B．（﹣1） C．（03） D．（0）
考点KB：双曲线标准方程．菁优网版权
专题11 ：计算题35 ：转化思想4R：转化法5D ：圆锥曲线定义性质方程．
分析已知c2利4（m2+n）+（3m2﹣n）解m21（m2+n）（3m2﹣n）＞0求n取值范围．
解答解：∵双曲线两焦点间距离4∴c2
焦点x轴时
：4（m2+n）+（3m2﹣n）解：m21
∵方程﹣1表示双曲线
∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0：（n+1）（3﹣n）＞0
解：﹣1＜n＜3n取值范围：（﹣13）．
焦点y轴时
：﹣4（m2+n）+（3m2﹣n）解：m2﹣1
解．
选：A．
点评题考查双曲线方程应考查等式解法属基础题．
6．（5分）（2016•新课标Ⅰ）图某体三视图三半径相等圆圆中两条相互垂直半径．该体体积表面积（ ）
A．17π B．18π C．20π D．28π
考点L：三视图求面积体积．菁优网版权
专题11 ：计算题29 ：规律型31 ：数形结合35 ：转化思想5F ：空间位置关系距离．
分析判断三视图复原体形状利体积求出体半径然求解体表面积．
解答解：题意知三视图复原体球掉体图：
：R2．
表面积：×4π•22+17π．
选：A．
点评题考查三视图求解体体积表面积考查计算力空间想象力．
7．（5分）（2016•新课标Ⅰ）函数y2x2﹣e|x|[﹣22]图象致（ ）
A． B． C． D．
考点3A：函数图象图象变换．菁优网版权
专题27 ：图表型48 ：分析法51 ：函数性质应．
分析根已知中函数解析式分析函数奇偶性值单调性利排法答案．
解答解：∵f（x）y2x2﹣e|x|
∴f（﹣x）2（﹣x）2﹣e|﹣x|2x2﹣e|x|
函数偶函数
x±2时y8﹣e2∈（01）排AB
x∈[02]时f（x）y2x2﹣ex
∴f′（x）4x﹣ex0解
函数y2x2﹣e|x|[02]单调排C
选：D．
点评题考查知识点函数图象超越函数图象般采排法解答．
8．（5分）（2016•新课标Ⅰ）a＞b＞10＜c＜1（ ）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
考点72：等式较4M：数值较．菁优网版权
专题33 ：函数思想35 ：转化思想4R：转化法51 ：函数性质应5T ：等式．
分析根已知中a＞b＞10＜c＜1结合数函数幂函数单调性分析结真假答案．
解答解：∵a＞b＞10＜c＜1
∴函数f（x）xc（0+∞）增函数ac＞bcA错误
函数f（x）xc﹣1（0+∞）减函数ac﹣1＜bc﹣1bac＜abcabc＞bacB错误
logac＜0logbc＜0logab＜1＜1logac＞logbc．D错误
0＜﹣logac＜﹣logbc﹣blogac＜﹣alogbcblogac＞alogbcalogbc＜blogacC正确
选：C．
点评题考查知识点等式较熟练掌握数函数幂函数单调性解答关键．
9．（5分）（2016•新课标Ⅰ）执行图程序框图果输入x0y1n1输出xy值满足（ ）
A．y2x B．y3x C．y4x D．y5x
考点EF：程序框图．菁优网版权
专题11 ：计算题28 ：操作型5K ：算法程序框图．
分析已知中程序框图知：该程序功利循环结构计算输出变量xy值模拟程序运行程分析循环中变量值变化情况答案．
解答解：输入x0y1n1
x0y1满足x2+y2≥36n2
xy2满足x2+y2≥36n3
xy6满足x2+y2≥36
y4x
选：C．
点评题考查知识点程序框图循环次数规律时常采模拟循环方法解答．
10．（5分）（2016•新课标Ⅰ）抛物线C顶点圆心圆交CAB两点交C准线DE两点．已知|AB|4|DE|2C焦点准线距离（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
考点KJ：圆圆锥曲线综合K8：抛物线简单性质．菁优网版权
专题11 ：计算题29 ：规律型31 ：数形结合35 ：转化思想5D ：圆锥曲线定义性质方程．
分析画出图形设出抛物线方程利勾股定理圆半径列出方程求解．
解答解：设抛物线y22px图：|AB|4|AM|2
|DE|2|DN||ON|
xA
|OD||OA|
+5
解：p4．
C焦点准线距离：4．
选：B．
点评题考查抛物线简单性质应抛物线圆方程应考查计算力．转化思想应．
11．（5分）（2016•新课标Ⅰ）面α正方体ABCD﹣A1B1C1D1顶点Aα∥面CB1D1α∩面ABCDmα∩面ABB1A1nmn成角正弦值（ ）
A． B． C． D．
考点LM：异面直线成角．菁优网版权
专题11 ：计算题29 ：规律型31 ：数形结合35 ：转化思想5G ：空间角．
分析画出图形判断出mn成角求解．
解答解：图：α∥面CB1D1α∩面ABCDmα∩面ABA1B1n
知：n∥CD1m∥B1D1∵△CB1D1正三角形．mn成角∠CD1B160°．
mn成角正弦值：．
选：A．
点评题考查异面直线成角求法考查空间想象力计算力．
12．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）sin（ωx+φ）（ω＞0|φ|≤）x﹣f（x）零点xyf（x）图象称轴f（x）（）单调ω值（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
考点H6：正弦函数奇偶性称性．菁优网版权
专题35 ：转化思想4R：转化法57 ：三角函数图性质．
分析根已知ω正奇数ω≤12结合x﹣f（x）零点xyf（x）图象称轴求出满足条件解析式结合f（x）（）单调ω值．
解答解：∵x﹣f（x）零点xyf（x）图象称轴
∴（n∈N）
ω2n+1（n∈N）
ω正奇数
∵f（x）（）单调﹣≤
T≥解：ω≤12
ω11时﹣+φkπk∈Z
∵|φ|≤
∴φ﹣
时f（x）（）单调满足题意
ω9时﹣+φkπk∈Z
∵|φ|≤
∴φ
时f（x）（）单调满足题意
ω值9
选：B．
点评题考查知识点正弦型函数图象性质题转化困难难度较．
二填空题：题4题题5分20分
13．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设量（m1）（12）|+|2||2+||2m ﹣2 ．
考点9O：面量数量积性质运算．菁优网版权
专题11 ：计算题29 ：规律型35 ：转化思想5A ：面量应．
分析利已知条件通数量积判断两量垂直然列出方程求解．
解答解：|+|2||2+||2
•0．
量（m1）（12）
m+20解m﹣2．
答案：﹣2．
点评题考查量数量积应量垂直条件应考查计算力．
14．（5分）（2016•新课标Ⅰ）（2x+）5展开式中x3系数 10 ．（数字填写答案）
考点DA：二项式定理．菁优网版权
专题11 ：计算题34 ：方程思想49 ：综合法5P ：二项式定理．
分析利二项展开式通项公式求出第r+1项令x指数3求出r求出展开式中x3系数．
解答解：（2x+）5展开式中通项公式：Tr+125﹣r
令5﹣3解r4
∴x3系数210．
答案：10．
点评题考查二项式定理应考查推理力计算力属基础题．
15．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设等数列{an}满足a1+a310a2+a45a1a2…an值 64 ．
考点8I：数列函数综合87：等数列性质．菁优网版权
专题11 ：计算题29 ：规律型35 ：转化思想54 ：等差数列等数列．
分析求出数列等首项化简a1a2…an然求解值．
解答解：等数列{an}满足a1+a310a2+a45
q（a1+a3）5解q．
a1+q2a110解a18．
a1a2…ana1n•q1+2+3+…+（n﹣1）8n•
n34时表达式取值：2664．
答案：64．
点评题考查数列性质数列函数相结合应转化思想应考查计算力．
16．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A产品B需甲乙两种新型材料．生产件产品A需甲材料15kg乙材料1kg5工时生产件产品B需甲材料05kg乙材料03kg3工时生产件产品A利润2100元生产件产品B利润900元．该企业现甲材料150kg乙材料90kg超600工时条件生产产品A产品B利润值 216000 元．
考点7C：简单线性规划．菁优网版权
专题11 ：计算题29 ：规律型31 ：数形结合33 ：函数思想35 ：转化思想．
分析设AB两种产品分x件y件根题干等量关系建立等式组目标函数利线性规划作出行域通目标函数意义求出值
解答解：（1）设AB两种产品分x件y件获利z元．
题意z2100x+900y．
等式组表示行域图：题意解：A（60100）
目标函数z2100x+900y．A时直线截距目标函数取值：2100×60+900×100216000元．
答案：216000．
点评题考查列二元次方程组解实际问题运二元次方程组解法运等式组解实际问题运定方程解实际问题运解答时求出优解解题关键．
三解答题：题5题满分60分解答须写出文字说明证明程演算步骤
17．（12分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC角ABC边分abc已知2cosC（acosB+bcosA）c．
（Ⅰ）求C
（Ⅱ）c△ABC面积求△ABC周长．
考点HU：解三角形．菁优网版权
专题15 ：综合题35 ：转化思想49 ：综合法58 ：解三角形．
分析（Ⅰ）已知等式利正弦定理化简整理利两角差正弦函数公式诱导公式化简根sinC0求出cosC值确定出出C度数
（2）利余弦定理列出关系式利三角形面积公式列出关系式求出a+b值求△ABC周长．
解答解：（Ⅰ）∵△ABC中0＜C＜π∴sinC≠0
已知等式利正弦定理化简：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）sinC
整理：2cosCsin（A+B）sinC
2cosCsin（π﹣（A+B））sinC
2cosCsinCsinC
∴cosC
∴C
（Ⅱ）余弦定理7a2+b2﹣2ab•
∴（a+b）2﹣3ab7
∵SabsinCab
∴ab6
∴（a+b）2﹣187
∴a+b5
∴△ABC周长5+．
点评题考查正弦余弦定理三角形面积公式三角函数恒等变形熟练掌握定理公式解题关键．
18．（12分）（2016•新课标Ⅰ）图ABCDEF顶点五面体中面ABEF正方形AF2FD∠AFD90°二面角D﹣AF﹣E二面角C﹣BE﹣F60°．
（Ⅰ）证明面ABEF⊥面EFDC
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A余弦值．
考点MJ：二面角关立体综合题．菁优网版权
专题11 ：计算题34 ：方程思想49 ：综合法5H ：空间量应5Q ：立体．
分析（Ⅰ）证明AF⊥面EFDC利面面垂直判定定理证明面ABEF⊥面EFDC
（Ⅱ）证明四边形EFDC等腰梯形E原点建立图示坐标系求出面BEC面ABC法量代入量夹角公式二面角E﹣BC﹣A余弦值．
解答（Ⅰ）证明：∵ABEF正方形∴AF⊥EF．
∵∠AFD90°∴AF⊥DF
∵DF∩EFF
∴AF⊥面EFDC
∵AF⊂面ABEF
∴面ABEF⊥面EFDC
（Ⅱ）解：AF⊥DFAF⊥EF
∠DFE二面角D﹣AF﹣E面角
ABEF正方形AF⊥面EFDC
∵BE⊥EF
∴BE⊥面EFDC
CE⊥BE
∠CEF二面角C﹣BE﹣F面角．
∠DFE∠CEF60°．
∵AB∥EFAB⊄面EFDCEF⊂面EFDC
∴AB∥面EFDC
∵面EFDC∩面ABCDCDAB⊂面ABCD
∴AB∥CD
∴CD∥EF
∴四边形EFDC等腰梯形．
E原点建立图示坐标系设FDa
E（000）B（02a0）C（0a）A（2a2a0）
∴（02a0）（﹣2aa）（﹣2a00）
设面BEC法量（x1y1z1）
取（0﹣1）．
设面ABC法量（x2y2z2）
取（04）．
设二面角E﹣BC﹣Aθcosθ
﹣
二面角E﹣BC﹣A余弦值﹣．
点评题考查面面垂直证明考查空间量求面间夹角建立空间坐标系二面角问题转化量夹角问题解答关键．
19．（12分）（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买2台机器该种机器三年淘汰．机器易损零件购进机器时额外购买种零件作备件200元．机器期间果备件足购买500元．现需决策购买机器时应时购买易损零件搜集整理100台种机器三年期更换易损零件数图柱状图：
100台机器更换易损零件数频率代1台机器更换易损零件数发生概率记X表示2台机器三年需更换易损零件数n表示购买2台机器时购买易损零件数．
（Ⅰ）求X分布列
（Ⅱ）求P（X≤n）≥05确定n值
（Ⅲ）购买易损零件需费期值决策n19n20中选应选？
考点CG：离散型机变量分布列．菁优网版权
专题11 ：计算题35 ：转化思想49 ：综合法5I ：概率统计．
分析（Ⅰ）已知X取值16171819202122分求出相应概率求出X分布列．
（Ⅱ）X分布列求出P（X≤18）P（X≤19）．确定满足P（X≤n）≥05中n值．
（Ⅲ）法：X分布列P（X≤19）．求出买19需费期EX1买20需费期EX2求出买19更合适．
法二：解法二：购买零件费含两部分部分购买零件费部分备件足时额外购买费分求出n19时费期n20时费期买19更合适．
解答解：（Ⅰ）已知X取值16171819202122
P（X16）（）2
P（X17）
P（X18）（）2+2（）2
P（X19）
P（X20）
P（X21）
P（X22）
∴X分布列：
X
16
17
18
19
20
21
22
P
（Ⅱ）（Ⅰ）知：
P（X≤18）P（X16）+P（X17）+P（X18）
．
P（X≤19）P（X16）+P（X17）+P（X18）+P（X19）
+．
∴P（X≤n）≥05中n值19．
（Ⅲ）解法：（Ⅰ）P（X≤19）P（X16）+P（X17）+P（X18）+P（X19）
+．
买19需费期：
EX1200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×4040
买20需费期：
EX2+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×4080
∵EX1＜EX2
∴买19更合适．
解法二：购买零件费含两部分部分购买零件费
部分备件足时额外购买费
n19时费期：19×200+500×02+1000×008+1500×0044040
n20时费期：20×200+500×008+1000×044080
∴买19更合适．
点评题考查离散型机变量分布列数学期求法应中档题解题时认真审题注意相互独立事件概率法公式合理运．
20．（12分）（2016•新课标Ⅰ）设圆x2+y2+2x﹣150圆心A直线l点B（10）x轴重合l交圆ACD两点B作AC行线交AD点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|定值写出点E轨迹方程
（Ⅱ）设点E轨迹曲线C1直线l交C1MN两点Bl垂直直线圆A交PQ两点求四边形MPNQ面积取值范围．
考点KL：直线椭圆位置关系J2：圆般方程．菁优网版权
专题34 ：方程思想48 ：分析法5B ：直线圆5D ：圆锥曲线定义性质方程．
分析（Ⅰ）求圆A圆心半径运直线行性质等腰三角形性质EBED圆定义椭圆定义E轨迹AB焦点椭圆求abc求轨迹方程
（Ⅱ）设直线l：xmy+1代入椭圆方程运韦达定理弦长公式|MN|PQ⊥l设PQ：y﹣m（x﹣1）求APQ距离圆弦长公式|PQ|四边形面积公式化简整理运等式性质求范围．
解答解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣150（x+1）2+y216
圆心A（﹣10）半径r4
BE∥AC∠C∠EBD
ACAD∠D∠C
∠D∠EBDEBED
|EA|+|EB||EA|+|ED||AD|4
E轨迹AB焦点椭圆
2a4a2c1b
点E轨迹方程+1（y≠0）
（Ⅱ）椭圆C1：+1设直线l：xmy+1
PQ⊥l设PQ：y﹣m（x﹣1）
（3m2+4）y2+6my﹣90
设M（x1y1）N（x2y2）
y1+y2﹣y1y2﹣
|MN|•|y1﹣y2|•
•12•
APQ距离d
|PQ|22
四边形MPNQ面积S|PQ|•|MN|••12•
24•24
m0时S取值12＞0S＜24•8
四边形MPNQ面积取值范围[128）．
点评题考查轨迹方程求法注意运椭圆圆定义考查直线椭圆方程联立运韦达定理弦长公式直线圆相交弦长公式考查等式性质属中档题．
21．（12分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）（x﹣2）ex+a（x﹣1）2两零点．
（Ⅰ）求a取值范围
（Ⅱ）设x1x2f（x）两零点证明：x1+x2＜2．
考点6D：利导数研究函数极值51：函数零点．菁优网版权
专题32 ：分类讨35 ：转化思想4C ：分类法4R：转化法51 ：函数性质应．
分析（Ⅰ）函数f（x）（x﹣2）ex+a（x﹣1）2：f′（x）（x﹣1）ex+2a（x﹣1）（x﹣1）（ex+2a）a进行分类讨综合讨结果答案．
（Ⅱ）设x1x2f（x）两零点﹣a令g（x）g（x1）g（x2）﹣a分析g（x）单调性令m＞0g（1+m）﹣g（1﹣m）
设h（m）m＞0利导数法h（m）＞h（0）0恒成立g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立令m1﹣x1＞0结．
解答解：（Ⅰ）∵函数f（x）（x﹣2）ex+a（x﹣1）2
∴f′（x）（x﹣1）ex+2a（x﹣1）（x﹣1）（ex+2a）
①a0f（x）0⇔（x﹣2）ex0⇔x2
函数f（x）唯零点2合题意
②a＞0ex+2a＞0恒成立
x＜1时f′（x）＜0时函数减函数
x＞1时f′（x）＞0时函数增函数
时x1时函数f（x）取极值﹣e
f（2）a＞0：函数f（x）x＞1存零点
x＜1时ex＜ex﹣2＜﹣1＜0
∴f（x）（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e
令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e0两根t1t2t1＜t2
x＜t1x＞t2时f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0
函数f（x）x＜1存零点
函数f（x）R存两零点满足题意
③﹣＜a＜0ln（﹣2a）＜lne1
x＜ln（﹣2a）时x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣10
ex+2a＜eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立f（x）单调递增
ln（﹣2a）＜x＜1时x﹣1＜0ex+2a＞eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立f（x）单调递减
x＞1时x﹣1＞0ex+2a＞eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立f（x）单调递增
xln（﹣2a）时函数取极值
f（ln（﹣2a））[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0：
函数f（x）R存零点合题意
④a﹣ln（﹣2a）1
x＜1ln（﹣2a）时x﹣1＜0ex+2a＜eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立f（x）单调递增
x＞1时x﹣1＞0ex+2a＞eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立f（x）单调递增
函数f（x）R单调递增
函数f（x）R存零点合题意
⑤a＜﹣ln（﹣2a）＞lne1
x＜1时x﹣1＜0ex+2a＜eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立f（x）单调递增
1＜x＜ln（﹣2a）时x﹣1＞0ex+2a＜eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立f（x）单调递减
x＞ln（﹣2a）时x﹣1＞0ex+2a＞eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立f（x）单调递增
x1时函数取极值
f（1）﹣e＜0：
函数f（x）R存零点合题意
综述a取值范围（0+∞）
证明：（Ⅱ）∵x1x2f（x）两零点
∴f（x1）f（x2）0x1≠1x2≠1
∴﹣a
令g（x）g（x1）g（x2）﹣a
∵g′（x）
∴x＜1时g′（x）＜0g（x）单调递减
x＞1时g′（x）＞0g（x）单调递增
设m＞0g（1+m）﹣g（1﹣m）﹣
设h（m）m＞0
h′（m）＞0恒成立
h（m）（0+∞）增函数
h（m）＞h（0）0恒成立
g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立
令m1﹣x1＞0
g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）g（x2）⇔2﹣x1＞x2
x1+x2＜2．
点评题考查知识点利导数研究函数极值函数零点分类讨思想难度较．
请考生222324题中选题作答果做做第题计分[选修41：证明选讲]
22．（10分）（2016•新课标Ⅰ）图△OAB等腰三角形∠AOB120°．O圆心OA半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB⊙O相切
（Ⅱ）点CD⊙OABCD四点圆证明：AB∥CD．
考点N9：圆切线判定定理证明．菁优网版权
专题14 ：证明题35 ：转化思想49 ：综合法5M ：推理证明．
分析（Ⅰ）设KAB中点连结OK．根等腰三角形AOB性质知OK⊥AB∠A30°OKOAsin30°OAAB圆O切线．
（Ⅱ）设圆心T证明OTAB中垂线OTCD中垂线证明结．
解答证明：（Ⅰ）设KAB中点连结OK
∵OAOB∠AOB120°
∴OK⊥AB∠A30°OKOAsin30°OA
∴直线AB⊙O相切
（Ⅱ）OA2ODOABCD四点圆圆心．设TABCD四点圆圆心．
∵OAOBTATB
∴OTAB中垂线
理OCODTCTD
∴OTCD中垂线
∴AB∥CD．
点评题考查切线判定考查四点圆考查学生分析解决问题力．解答题时充分利等腰三角形三合性质．
[选修44：坐标系参数方程]
23．（2016•新课标Ⅰ）直角坐标系xOy中曲线C1参数方程（t参数a＞0）．坐标原点极点x轴正半轴极轴极坐标系中曲线C2：ρ4cosθ．
（Ⅰ）说明C1种曲线C1方程化极坐标方程
（Ⅱ）直线C3极坐标方程θα0中α0满足tanα02曲线C1C2公点C3求a．
考点Q4：简单曲线极坐标方程QE：参数方程概念．菁优网版权
专题11 ：计算题35 ：转化思想4A ：数学模型法5S ：坐标系参数方程．
分析（Ⅰ）曲线C1参数方程变形然两边方作普通方程知曲线C1圆化般式结合x2+y2ρ2yρsinθ化极坐标方程
（Ⅱ）化曲线C2C3极坐标方程直角坐标方程条件知yx圆C1C2公弦直线方程C1C2方程作差结合公弦直线方程y2x1﹣a20a值求．
解答解：（Ⅰ）两式方相加x2+（y﹣1）2a2．
∴C1（01）圆心a半径圆．
化般式：x2+y2﹣2y+1﹣a20．①
x2+y2ρ2yρsinθρ2﹣2ρsinθ+1﹣a20
（Ⅱ）C2：ρ4cosθ两边时ρρ24ρcosθ
∴x2+y24x②
（x﹣2）2+y24．
C3：θα0中α0满足tanα02y2x
∵曲线C1C2公点C3
∴y2x圆C1C2公弦直线方程
①﹣②：4x﹣2y+1﹣a20C3
∴1﹣a20
∴a1（a＞0）．
点评题考查参数方程简单曲线极坐标方程考查极坐标直角坐标互化训练两圆公弦直线方程求法基础题．
[选修45：等式选讲]
24．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）图中画出yf（x）图象
（Ⅱ）求等式|f（x）|＞1解集．
考点&2：带绝值函数3A：函数图象图象变换．菁优网版权
专题35 ：转化思想48 ：分析法59 ：等式解法应．
分析（Ⅰ）运分段函数形式写出f（x）解析式分段函数画法求图象
（Ⅱ）分讨x≤﹣1时﹣1＜x＜时x≥时解绝值等式取交集求集求解集．
解答解：（Ⅰ）f（x）
分段函数图象画法f（x）图象右：
（Ⅱ）|f（x）|＞1
x≤﹣1时|x﹣4|＞1解x＞5x＜3x≤﹣1
﹣1＜x＜时|3x﹣2|＞1解x＞1x＜
﹣1＜x＜1＜x＜
x≥时|4﹣x|＞1解x＞5x＜3x＞5≤x＜3．
综x＜1＜x＜3x＞5．
|f（x）|＞1解集（﹣∞）∪（13）∪（5+∞）．
点评题考查绝值函数图象等式解法注意运分段函数图象画法分类讨思想方法考查运算力属基础题．
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选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设集合A{x|x2﹣4x+3＜0}B{x|2x﹣3＞0}A∩B（ ）
A．（﹣3﹣） B．（﹣3） C．（1） D．（3）
2．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设（1+i）x1+yi中xy实数|x+yi|（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{an}前9项27a108a100（ ）
A．100 B．99 C．98 D．97
4．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某公司班车7：008：008：30发车明7：508：30间达发车站坐班车达发车站时刻机等车时间超10分钟概率（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知方程﹣1表示双曲线该双曲线两焦点间距离4n取值范围（ ）
A．（﹣13） B．（﹣1） C．（03） D．（0）
6．（5分）（2016•新课标Ⅰ）图某体三视图三半径相等圆圆中两条相互垂直半径．该体体积表面积（ ）
A．17π B．18π C．20π D．28π
7．（5分）（2016•新课标Ⅰ）函数y2x2﹣e|x|[﹣22]图象致（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2016•新课标Ⅰ）a＞b＞10＜c＜1（ ）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
9．（5分）（2016•新课标Ⅰ）执行图程序框图果输入x0y1n1输出xy值满足（ ）
A．y2x B．y3x C．y4x D．y5x
10．（5分）（2016•新课标Ⅰ）抛物线C顶点圆心圆交CAB两点交C准线DE两点．已知|AB|4|DE|2C焦点准线距离（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．（5分）（2016•新课标Ⅰ）面α正方体ABCD﹣A1B1C1D1顶点Aα∥面CB1D1α∩面ABCDmα∩面ABB1A1nmn成角正弦值（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）sin（ωx+φ）（ω＞0|φ|≤）x﹣f（x）零点xyf（x）图象称轴f（x）（）单调ω值（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
二填空题：题4题题5分20分
13．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设量（m1）（12）|+|2||2+||2m ．
14．（5分）（2016•新课标Ⅰ）（2x+）5展开式中x3系数 ．（数字填写答案）
15．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设等数列{an}满足a1+a310a2+a45a1a2…an值 ．
16．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A产品B需甲乙两种新型材料．生产件产品A需甲材料15kg乙材料1kg5工时生产件产品B需甲材料05kg乙材料03kg3工时生产件产品A利润2100元生产件产品B利润900元．该企业现甲材料150kg乙材料90kg超600工时条件生产产品A产品B利润值 元．
三解答题：题5题满分60分解答须写出文字说明证明程演算步骤
17．（12分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC角ABC边分abc已知2cosC（acosB+bcosA）c．
（Ⅰ）求C
（Ⅱ）c△ABC面积求△ABC周长．
18．（12分）（2016•新课标Ⅰ）图ABCDEF顶点五面体中面ABEF正方形AF2FD∠AFD90°二面角D﹣AF﹣E二面角C﹣BE﹣F60°．
（Ⅰ）证明面ABEF⊥面EFDC
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A余弦值．
19．（12分）（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买2台机器该种机器三年淘汰．机器易损零件购进机器时额外购买种零件作备件200元．机器期间果备件足购买500元．现需决策购买机器时应时购买易损零件搜集整理100台种机器三年期更换易损零件数图柱状图：
100台机器更换易损零件数频率代1台机器更换易损零件数发生概率记X表示2台机器三年需更换易损零件数n表示购买2台机器时购买易损零件数．
（Ⅰ）求X分布列
（Ⅱ）求P（X≤n）≥05确定n值
（Ⅲ）购买易损零件需费期值决策n19n20中选应选？
20．（12分）（2016•新课标Ⅰ）设圆x2+y2+2x﹣150圆心A直线l点B（10）x轴重合l交圆ACD两点B作AC行线交AD点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|定值写出点E轨迹方程
（Ⅱ）设点E轨迹曲线C1直线l交C1MN两点Bl垂直直线圆A交PQ两点求四边形MPNQ面积取值范围．
21．（12分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）（x﹣2）ex+a（x﹣1）2两零点．
（Ⅰ）求a取值范围
（Ⅱ）设x1x2f（x）两零点证明：x1+x2＜2．
请考生222324题中选题作答果做做第题计分[选修41：证明选讲]
22．（10分）（2016•新课标Ⅰ）图△OAB等腰三角形∠AOB120°．O圆心OA半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB⊙O相切
（Ⅱ）点CD⊙OABCD四点圆证明：AB∥CD．
[选修44：坐标系参数方程]
23．（2016•新课标Ⅰ）直角坐标系xOy中曲线C1参数方程（t参数a＞0）．坐标原点极点x轴正半轴极轴极坐标系中曲线C2：ρ4cosθ．
（Ⅰ）说明C1种曲线C1方程化极坐标方程
（Ⅱ）直线C3极坐标方程θα0中α0满足tanα02曲线C1C2公点C3求a．
[选修45：等式选讲]
24．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）图中画出yf（x）图象
（Ⅱ）求等式|f（x）|＞1解集．
2016年全国统高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案试题解析
选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设集合A{x|x2﹣4x+3＜0}B{x|2x﹣3＞0}A∩B（ ）
A．（﹣3﹣） B．（﹣3） C．（1） D．（3）
考点1E：交集运算．菁优网版权
专题11 ：计算题4O：定义法5J ：集合．
分析解等式求出集合AB结合交集定义答案．
解答解：∵集合A{x|x2﹣4x+3＜0}（13）
B{x|2x﹣3＞0}（+∞）
∴A∩B（3）
选：D．
点评题考查知识点集合交集运算难度属基础题．
2．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设（1+i）x1+yi中xy实数|x+yi|（ ）
A．1 B． C． D．2
考点A8：复数模．菁优网版权
专题34 ：方程思想4O：定义法5N ：数系扩充复数．
分析根复数相等求出xy值结合复数模长公式进行计算．
解答解：∵（1+i）x1+yi
∴x+xi1+yi
解|x+yi||1+i|
选：B．
点评题考查复数模长计算根复数相等求出xy值解决题关键．
3．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{an}前9项27a108a100（ ）
A．100 B．99 C．98 D．97
考点83：等差数列性质．菁优网版权
专题11 ：计算题4O：定义法54 ：等差数列等数列．
分析根已知a53进求出公差答案．
解答解：∵等差数列{an}前9项27S99a5．
∴9a527a53
∵a108
∴d1
∴a100a5+95d98
选：C．
点评题考查知识点数列性质熟练掌握等差数列性质解答关键．
4．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某公司班车7：008：008：30发车明7：508：30间达发车站坐班车达发车站时刻机等车时间超10分钟概率（ ）
A． B． C． D．
考点CF：概型．菁优网版权
专题5I ：概率统计．
分析求出明等车时间超10分钟时间长度代入概型概率计算公式答案．
解答解：设明达时间y
y7：508：008：208：30时
明等车时间超10分钟
P
选：B．
点评题考查知识点概型难度属基础题．
5．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知方程﹣1表示双曲线该双曲线两焦点间距离4n取值范围（ ）
A．（﹣13） B．（﹣1） C．（03） D．（0）
考点KB：双曲线标准方程．菁优网版权
专题11 ：计算题35 ：转化思想4R：转化法5D ：圆锥曲线定义性质方程．
分析已知c2利4（m2+n）+（3m2﹣n）解m21（m2+n）（3m2﹣n）＞0求n取值范围．
解答解：∵双曲线两焦点间距离4∴c2
焦点x轴时
：4（m2+n）+（3m2﹣n）解：m21
∵方程﹣1表示双曲线
∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0：（n+1）（3﹣n）＞0
解：﹣1＜n＜3n取值范围：（﹣13）．
焦点y轴时
：﹣4（m2+n）+（3m2﹣n）解：m2﹣1
解．
选：A．
点评题考查双曲线方程应考查等式解法属基础题．
6．（5分）（2016•新课标Ⅰ）图某体三视图三半径相等圆圆中两条相互垂直半径．该体体积表面积（ ）
A．17π B．18π C．20π D．28π
考点L：三视图求面积体积．菁优网版权
专题11 ：计算题29 ：规律型31 ：数形结合35 ：转化思想5F ：空间位置关系距离．
分析判断三视图复原体形状利体积求出体半径然求解体表面积．
解答解：题意知三视图复原体球掉体图：
：R2．
表面积：×4π•22+17π．
选：A．
点评题考查三视图求解体体积表面积考查计算力空间想象力．
7．（5分）（2016•新课标Ⅰ）函数y2x2﹣e|x|[﹣22]图象致（ ）
A． B． C． D．
考点3A：函数图象图象变换．菁优网版权
专题27 ：图表型48 ：分析法51 ：函数性质应．
分析根已知中函数解析式分析函数奇偶性值单调性利排法答案．
解答解：∵f（x）y2x2﹣e|x|
∴f（﹣x）2（﹣x）2﹣e|﹣x|2x2﹣e|x|
函数偶函数
x±2时y8﹣e2∈（01）排AB
x∈[02]时f（x）y2x2﹣ex
∴f′（x）4x﹣ex0解
函数y2x2﹣e|x|[02]单调排C
选：D．
点评题考查知识点函数图象超越函数图象般采排法解答．
8．（5分）（2016•新课标Ⅰ）a＞b＞10＜c＜1（ ）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
考点72：等式较4M：数值较．菁优网版权
专题33 ：函数思想35 ：转化思想4R：转化法51 ：函数性质应5T ：等式．
分析根已知中a＞b＞10＜c＜1结合数函数幂函数单调性分析结真假答案．
解答解：∵a＞b＞10＜c＜1
∴函数f（x）xc（0+∞）增函数ac＞bcA错误
函数f（x）xc﹣1（0+∞）减函数ac﹣1＜bc﹣1bac＜abcabc＞bacB错误
logac＜0logbc＜0logab＜1＜1logac＞logbc．D错误
0＜﹣logac＜﹣logbc﹣blogac＜﹣alogbcblogac＞alogbcalogbc＜blogacC正确
选：C．
点评题考查知识点等式较熟练掌握数函数幂函数单调性解答关键．
9．（5分）（2016•新课标Ⅰ）执行图程序框图果输入x0y1n1输出xy值满足（ ）
A．y2x B．y3x C．y4x D．y5x
考点EF：程序框图．菁优网版权
专题11 ：计算题28 ：操作型5K ：算法程序框图．
分析已知中程序框图知：该程序功利循环结构计算输出变量xy值模拟程序运行程分析循环中变量值变化情况答案．
解答解：输入x0y1n1
x0y1满足x2+y2≥36n2
xy2满足x2+y2≥36n3
xy6满足x2+y2≥36
y4x
选：C．
点评题考查知识点程序框图循环次数规律时常采模拟循环方法解答．
10．（5分）（2016•新课标Ⅰ）抛物线C顶点圆心圆交CAB两点交C准线DE两点．已知|AB|4|DE|2C焦点准线距离（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
考点KJ：圆圆锥曲线综合K8：抛物线简单性质．菁优网版权
专题11 ：计算题29 ：规律型31 ：数形结合35 ：转化思想5D ：圆锥曲线定义性质方程．
分析画出图形设出抛物线方程利勾股定理圆半径列出方程求解．
解答解：设抛物线y22px图：|AB|4|AM|2
|DE|2|DN||ON|
xA
|OD||OA|
+5
解：p4．
C焦点准线距离：4．
选：B．
点评题考查抛物线简单性质应抛物线圆方程应考查计算力．转化思想应．
11．（5分）（2016•新课标Ⅰ）面α正方体ABCD﹣A1B1C1D1顶点Aα∥面CB1D1α∩面ABCDmα∩面ABB1A1nmn成角正弦值（ ）
A． B． C． D．
考点LM：异面直线成角．菁优网版权
专题11 ：计算题29 ：规律型31 ：数形结合35 ：转化思想5G ：空间角．
分析画出图形判断出mn成角求解．
解答解：图：α∥面CB1D1α∩面ABCDmα∩面ABA1B1n
知：n∥CD1m∥B1D1∵△CB1D1正三角形．mn成角∠CD1B160°．
mn成角正弦值：．
选：A．
点评题考查异面直线成角求法考查空间想象力计算力．
12．（5分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）sin（ωx+φ）（ω＞0|φ|≤）x﹣f（x）零点xyf（x）图象称轴f（x）（）单调ω值（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
考点H6：正弦函数奇偶性称性．菁优网版权
专题35 ：转化思想4R：转化法57 ：三角函数图性质．
分析根已知ω正奇数ω≤12结合x﹣f（x）零点xyf（x）图象称轴求出满足条件解析式结合f（x）（）单调ω值．
解答解：∵x﹣f（x）零点xyf（x）图象称轴
∴（n∈N）
ω2n+1（n∈N）
ω正奇数
∵f（x）（）单调﹣≤
T≥解：ω≤12
ω11时﹣+φkπk∈Z
∵|φ|≤
∴φ﹣
时f（x）（）单调满足题意
ω9时﹣+φkπk∈Z
∵|φ|≤
∴φ
时f（x）（）单调满足题意
ω值9
选：B．
点评题考查知识点正弦型函数图象性质题转化困难难度较．
二填空题：题4题题5分20分
13．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设量（m1）（12）|+|2||2+||2m ﹣2 ．
考点9O：面量数量积性质运算．菁优网版权
专题11 ：计算题29 ：规律型35 ：转化思想5A ：面量应．
分析利已知条件通数量积判断两量垂直然列出方程求解．
解答解：|+|2||2+||2
•0．
量（m1）（12）
m+20解m﹣2．
答案：﹣2．
点评题考查量数量积应量垂直条件应考查计算力．
14．（5分）（2016•新课标Ⅰ）（2x+）5展开式中x3系数 10 ．（数字填写答案）
考点DA：二项式定理．菁优网版权
专题11 ：计算题34 ：方程思想49 ：综合法5P ：二项式定理．
分析利二项展开式通项公式求出第r+1项令x指数3求出r求出展开式中x3系数．
解答解：（2x+）5展开式中通项公式：Tr+125﹣r
令5﹣3解r4
∴x3系数210．
答案：10．
点评题考查二项式定理应考查推理力计算力属基础题．
15．（5分）（2016•新课标Ⅰ）设等数列{an}满足a1+a310a2+a45a1a2…an值 64 ．
考点8I：数列函数综合87：等数列性质．菁优网版权
专题11 ：计算题29 ：规律型35 ：转化思想54 ：等差数列等数列．
分析求出数列等首项化简a1a2…an然求解值．
解答解：等数列{an}满足a1+a310a2+a45
q（a1+a3）5解q．
a1+q2a110解a18．
a1a2…ana1n•q1+2+3+…+（n﹣1）8n•
n34时表达式取值：2664．
答案：64．
点评题考查数列性质数列函数相结合应转化思想应考查计算力．
16．（5分）（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A产品B需甲乙两种新型材料．生产件产品A需甲材料15kg乙材料1kg5工时生产件产品B需甲材料05kg乙材料03kg3工时生产件产品A利润2100元生产件产品B利润900元．该企业现甲材料150kg乙材料90kg超600工时条件生产产品A产品B利润值 216000 元．
考点7C：简单线性规划．菁优网版权
专题11 ：计算题29 ：规律型31 ：数形结合33 ：函数思想35 ：转化思想．
分析设AB两种产品分x件y件根题干等量关系建立等式组目标函数利线性规划作出行域通目标函数意义求出值
解答解：（1）设AB两种产品分x件y件获利z元．
题意z2100x+900y．
等式组表示行域图：题意解：A（60100）
目标函数z2100x+900y．A时直线截距目标函数取值：2100×60+900×100216000元．
答案：216000．
点评题考查列二元次方程组解实际问题运二元次方程组解法运等式组解实际问题运定方程解实际问题运解答时求出优解解题关键．
三解答题：题5题满分60分解答须写出文字说明证明程演算步骤
17．（12分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC角ABC边分abc已知2cosC（acosB+bcosA）c．
（Ⅰ）求C
（Ⅱ）c△ABC面积求△ABC周长．
考点HU：解三角形．菁优网版权
专题15 ：综合题35 ：转化思想49 ：综合法58 ：解三角形．
分析（Ⅰ）已知等式利正弦定理化简整理利两角差正弦函数公式诱导公式化简根sinC0求出cosC值确定出出C度数
（2）利余弦定理列出关系式利三角形面积公式列出关系式求出a+b值求△ABC周长．
解答解：（Ⅰ）∵△ABC中0＜C＜π∴sinC≠0
已知等式利正弦定理化简：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）sinC
整理：2cosCsin（A+B）sinC
2cosCsin（π﹣（A+B））sinC
2cosCsinCsinC
∴cosC
∴C
（Ⅱ）余弦定理7a2+b2﹣2ab•
∴（a+b）2﹣3ab7
∵SabsinCab
∴ab6
∴（a+b）2﹣187
∴a+b5
∴△ABC周长5+．
点评题考查正弦余弦定理三角形面积公式三角函数恒等变形熟练掌握定理公式解题关键．
18．（12分）（2016•新课标Ⅰ）图ABCDEF顶点五面体中面ABEF正方形AF2FD∠AFD90°二面角D﹣AF﹣E二面角C﹣BE﹣F60°．
（Ⅰ）证明面ABEF⊥面EFDC
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A余弦值．
考点MJ：二面角关立体综合题．菁优网版权
专题11 ：计算题34 ：方程思想49 ：综合法5H ：空间量应5Q ：立体．
分析（Ⅰ）证明AF⊥面EFDC利面面垂直判定定理证明面ABEF⊥面EFDC
（Ⅱ）证明四边形EFDC等腰梯形E原点建立图示坐标系求出面BEC面ABC法量代入量夹角公式二面角E﹣BC﹣A余弦值．
解答（Ⅰ）证明：∵ABEF正方形∴AF⊥EF．
∵∠AFD90°∴AF⊥DF
∵DF∩EFF
∴AF⊥面EFDC
∵AF⊂面ABEF
∴面ABEF⊥面EFDC
（Ⅱ）解：AF⊥DFAF⊥EF
∠DFE二面角D﹣AF﹣E面角
ABEF正方形AF⊥面EFDC
∵BE⊥EF
∴BE⊥面EFDC
CE⊥BE
∠CEF二面角C﹣BE﹣F面角．
∠DFE∠CEF60°．
∵AB∥EFAB⊄面EFDCEF⊂面EFDC
∴AB∥面EFDC
∵面EFDC∩面ABCDCDAB⊂面ABCD
∴AB∥CD
∴CD∥EF
∴四边形EFDC等腰梯形．
E原点建立图示坐标系设FDa
E（000）B（02a0）C（0a）A（2a2a0）
∴（02a0）（﹣2aa）（﹣2a00）
设面BEC法量（x1y1z1）
取（0﹣1）．
设面ABC法量（x2y2z2）
取（04）．
设二面角E﹣BC﹣Aθcosθ
﹣
二面角E﹣BC﹣A余弦值﹣．
点评题考查面面垂直证明考查空间量求面间夹角建立空间坐标系二面角问题转化量夹角问题解答关键．
19．（12分）（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买2台机器该种机器三年淘汰．机器易损零件购进机器时额外购买种零件作备件200元．机器期间果备件足购买500元．现需决策购买机器时应时购买易损零件搜集整理100台种机器三年期更换易损零件数图柱状图：
100台机器更换易损零件数频率代1台机器更换易损零件数发生概率记X表示2台机器三年需更换易损零件数n表示购买2台机器时购买易损零件数．
（Ⅰ）求X分布列
（Ⅱ）求P（X≤n）≥05确定n值
（Ⅲ）购买易损零件需费期值决策n19n20中选应选？
考点CG：离散型机变量分布列．菁优网版权
专题11 ：计算题35 ：转化思想49 ：综合法5I ：概率统计．
分析（Ⅰ）已知X取值16171819202122分求出相应概率求出X分布列．
（Ⅱ）X分布列求出P（X≤18）P（X≤19）．确定满足P（X≤n）≥05中n值．
（Ⅲ）法：X分布列P（X≤19）．求出买19需费期EX1买20需费期EX2求出买19更合适．
法二：解法二：购买零件费含两部分部分购买零件费部分备件足时额外购买费分求出n19时费期n20时费期买19更合适．
解答解：（Ⅰ）已知X取值16171819202122
P（X16）（）2
P（X17）
P（X18）（）2+2（）2
P（X19）
P（X20）
P（X21）
P（X22）
∴X分布列：
X
16
17
18
19
20
21
22
P
（Ⅱ）（Ⅰ）知：
P（X≤18）P（X16）+P（X17）+P（X18）
．
P（X≤19）P（X16）+P（X17）+P（X18）+P（X19）
+．
∴P（X≤n）≥05中n值19．
（Ⅲ）解法：（Ⅰ）P（X≤19）P（X16）+P（X17）+P（X18）+P（X19）
+．
买19需费期：
EX1200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×4040
买20需费期：
EX2+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×4080
∵EX1＜EX2
∴买19更合适．
解法二：购买零件费含两部分部分购买零件费
部分备件足时额外购买费
n19时费期：19×200+500×02+1000×008+1500×0044040
n20时费期：20×200+500×008+1000×044080
∴买19更合适．
点评题考查离散型机变量分布列数学期求法应中档题解题时认真审题注意相互独立事件概率法公式合理运．
20．（12分）（2016•新课标Ⅰ）设圆x2+y2+2x﹣150圆心A直线l点B（10）x轴重合l交圆ACD两点B作AC行线交AD点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|定值写出点E轨迹方程
（Ⅱ）设点E轨迹曲线C1直线l交C1MN两点Bl垂直直线圆A交PQ两点求四边形MPNQ面积取值范围．
考点KL：直线椭圆位置关系J2：圆般方程．菁优网版权
专题34 ：方程思想48 ：分析法5B ：直线圆5D ：圆锥曲线定义性质方程．
分析（Ⅰ）求圆A圆心半径运直线行性质等腰三角形性质EBED圆定义椭圆定义E轨迹AB焦点椭圆求abc求轨迹方程
（Ⅱ）设直线l：xmy+1代入椭圆方程运韦达定理弦长公式|MN|PQ⊥l设PQ：y﹣m（x﹣1）求APQ距离圆弦长公式|PQ|四边形面积公式化简整理运等式性质求范围．
解答解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣150（x+1）2+y216
圆心A（﹣10）半径r4
BE∥AC∠C∠EBD
ACAD∠D∠C
∠D∠EBDEBED
|EA|+|EB||EA|+|ED||AD|4
E轨迹AB焦点椭圆
2a4a2c1b
点E轨迹方程+1（y≠0）
（Ⅱ）椭圆C1：+1设直线l：xmy+1
PQ⊥l设PQ：y﹣m（x﹣1）
（3m2+4）y2+6my﹣90
设M（x1y1）N（x2y2）
y1+y2﹣y1y2﹣
|MN|•|y1﹣y2|•
•12•
APQ距离d
|PQ|22
四边形MPNQ面积S|PQ|•|MN|••12•
24•24
m0时S取值12＞0S＜24•8
四边形MPNQ面积取值范围[128）．
点评题考查轨迹方程求法注意运椭圆圆定义考查直线椭圆方程联立运韦达定理弦长公式直线圆相交弦长公式考查等式性质属中档题．
21．（12分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）（x﹣2）ex+a（x﹣1）2两零点．
（Ⅰ）求a取值范围
（Ⅱ）设x1x2f（x）两零点证明：x1+x2＜2．
考点6D：利导数研究函数极值51：函数零点．菁优网版权
专题32 ：分类讨35 ：转化思想4C ：分类法4R：转化法51 ：函数性质应．
分析（Ⅰ）函数f（x）（x﹣2）ex+a（x﹣1）2：f′（x）（x﹣1）ex+2a（x﹣1）（x﹣1）（ex+2a）a进行分类讨综合讨结果答案．
（Ⅱ）设x1x2f（x）两零点﹣a令g（x）g（x1）g（x2）﹣a分析g（x）单调性令m＞0g（1+m）﹣g（1﹣m）
设h（m）m＞0利导数法h（m）＞h（0）0恒成立g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立令m1﹣x1＞0结．
解答解：（Ⅰ）∵函数f（x）（x﹣2）ex+a（x﹣1）2
∴f′（x）（x﹣1）ex+2a（x﹣1）（x﹣1）（ex+2a）
①a0f（x）0⇔（x﹣2）ex0⇔x2
函数f（x）唯零点2合题意
②a＞0ex+2a＞0恒成立
x＜1时f′（x）＜0时函数减函数
x＞1时f′（x）＞0时函数增函数
时x1时函数f（x）取极值﹣e
f（2）a＞0：函数f（x）x＞1存零点
x＜1时ex＜ex﹣2＜﹣1＜0
∴f（x）（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e
令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e0两根t1t2t1＜t2
x＜t1x＞t2时f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0
函数f（x）x＜1存零点
函数f（x）R存两零点满足题意
③﹣＜a＜0ln（﹣2a）＜lne1
x＜ln（﹣2a）时x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣10
ex+2a＜eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立f（x）单调递增
ln（﹣2a）＜x＜1时x﹣1＜0ex+2a＞eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立f（x）单调递减
x＞1时x﹣1＞0ex+2a＞eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立f（x）单调递增
xln（﹣2a）时函数取极值
f（ln（﹣2a））[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0：
函数f（x）R存零点合题意
④a﹣ln（﹣2a）1
x＜1ln（﹣2a）时x﹣1＜0ex+2a＜eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立f（x）单调递增
x＞1时x﹣1＞0ex+2a＞eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立f（x）单调递增
函数f（x）R单调递增
函数f（x）R存零点合题意
⑤a＜﹣ln（﹣2a）＞lne1
x＜1时x﹣1＜0ex+2a＜eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立f（x）单调递增
1＜x＜ln（﹣2a）时x﹣1＞0ex+2a＜eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立f（x）单调递减
x＞ln（﹣2a）时x﹣1＞0ex+2a＞eln（﹣2a）+2a0
f′（x）（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立f（x）单调递增
x1时函数取极值
f（1）﹣e＜0：
函数f（x）R存零点合题意
综述a取值范围（0+∞）
证明：（Ⅱ）∵x1x2f（x）两零点
∴f（x1）f（x2）0x1≠1x2≠1
∴﹣a
令g（x）g（x1）g（x2）﹣a
∵g′（x）
∴x＜1时g′（x）＜0g（x）单调递减
x＞1时g′（x）＞0g（x）单调递增
设m＞0g（1+m）﹣g（1﹣m）﹣
设h（m）m＞0
h′（m）＞0恒成立
h（m）（0+∞）增函数
h（m）＞h（0）0恒成立
g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立
令m1﹣x1＞0
g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）g（x2）⇔2﹣x1＞x2
x1+x2＜2．
点评题考查知识点利导数研究函数极值函数零点分类讨思想难度较．
请考生222324题中选题作答果做做第题计分[选修41：证明选讲]
22．（10分）（2016•新课标Ⅰ）图△OAB等腰三角形∠AOB120°．O圆心OA半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB⊙O相切
（Ⅱ）点CD⊙OABCD四点圆证明：AB∥CD．
考点N9：圆切线判定定理证明．菁优网版权
专题14 ：证明题35 ：转化思想49 ：综合法5M ：推理证明．
分析（Ⅰ）设KAB中点连结OK．根等腰三角形AOB性质知OK⊥AB∠A30°OKOAsin30°OAAB圆O切线．
（Ⅱ）设圆心T证明OTAB中垂线OTCD中垂线证明结．
解答证明：（Ⅰ）设KAB中点连结OK
∵OAOB∠AOB120°
∴OK⊥AB∠A30°OKOAsin30°OA
∴直线AB⊙O相切
（Ⅱ）OA2ODOABCD四点圆圆心．设TABCD四点圆圆心．
∵OAOBTATB
∴OTAB中垂线
理OCODTCTD
∴OTCD中垂线
∴AB∥CD．
点评题考查切线判定考查四点圆考查学生分析解决问题力．解答题时充分利等腰三角形三合性质．
[选修44：坐标系参数方程]
23．（2016•新课标Ⅰ）直角坐标系xOy中曲线C1参数方程（t参数a＞0）．坐标原点极点x轴正半轴极轴极坐标系中曲线C2：ρ4cosθ．
（Ⅰ）说明C1种曲线C1方程化极坐标方程
（Ⅱ）直线C3极坐标方程θα0中α0满足tanα02曲线C1C2公点C3求a．
考点Q4：简单曲线极坐标方程QE：参数方程概念．菁优网版权
专题11 ：计算题35 ：转化思想4A ：数学模型法5S ：坐标系参数方程．
分析（Ⅰ）曲线C1参数方程变形然两边方作普通方程知曲线C1圆化般式结合x2+y2ρ2yρsinθ化极坐标方程
（Ⅱ）化曲线C2C3极坐标方程直角坐标方程条件知yx圆C1C2公弦直线方程C1C2方程作差结合公弦直线方程y2x1﹣a20a值求．
解答解：（Ⅰ）两式方相加x2+（y﹣1）2a2．
∴C1（01）圆心a半径圆．
化般式：x2+y2﹣2y+1﹣a20．①
x2+y2ρ2yρsinθρ2﹣2ρsinθ+1﹣a20
（Ⅱ）C2：ρ4cosθ两边时ρρ24ρcosθ
∴x2+y24x②
（x﹣2）2+y24．
C3：θα0中α0满足tanα02y2x
∵曲线C1C2公点C3
∴y2x圆C1C2公弦直线方程
①﹣②：4x﹣2y+1﹣a20C3
∴1﹣a20
∴a1（a＞0）．
点评题考查参数方程简单曲线极坐标方程考查极坐标直角坐标互化训练两圆公弦直线方程求法基础题．
[选修45：等式选讲]
24．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）图中画出yf（x）图象
（Ⅱ）求等式|f（x）|＞1解集．
考点&2：带绝值函数3A：函数图象图象变换．菁优网版权
专题35 ：转化思想48 ：分析法59 ：等式解法应．
分析（Ⅰ）运分段函数形式写出f（x）解析式分段函数画法求图象
（Ⅱ）分讨x≤﹣1时﹣1＜x＜时x≥时解绝值等式取交集求集求解集．
解答解：（Ⅰ）f（x）
分段函数图象画法f（x）图象右：
（Ⅱ）|f（x）|＞1
x≤﹣1时|x﹣4|＞1解x＞5x＜3x≤﹣1
﹣1＜x＜时|3x﹣2|＞1解x＞1x＜
﹣1＜x＜1＜x＜
x≥时|4﹣x|＞1解x＞5x＜3x＞5≤x＜3．
综x＜1＜x＜3x＞5．
|f（x）|＞1解集（﹣∞）∪（13）∪（5+∞）．
点评题考查绝值函数图象等式解法注意运分段函数图象画法分类讨思想方法考查运算力属基础题．
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