91全国高中数学联赛试题及详细解析


．选择题：
1．正方体三顶点构成正三角形数( )
A．4 B．8 C．12 D．24
2．设abc均非零复数值( )
A．1 B．±ω C．1ωω2 D．1－ω－ω2
3．设a正整数a<100a3+2324整样a数( )
A．4 B．5 C．9 D．10
4．设函数yf(x)切实数x满足f(3+x)f(3－x)．方程f(x)0恰6实数根6实根( )
A．18 B．12 C．9 D．0
5．设S{(xy)|x2－y2奇数xy∈R}T{(xy)|sin(2πx2)－sin(2πy2)cos(2πx2)－cos(2πy2)xy∈R}( )
A．ST B．TS C．ST D．S∩TØ
6．方程|x－y2|1－|x|图象( )

二．填空题：
1．cos210°+cos250°－sin40°sin80° ．
2．△ABC中已知三角ABC成等差数列假设边分abcc－a等AC边高hsin ．
3．正奇数集合{135…}第n组(2n－1)奇数进行分组：
{1} {357} {911131517}……
(第组) (第二组) (第三组)
1991位第 组．
4．19912000106余数 ．
5．设复数z1z2满足|z1||z1+z2|3|z1－z2|3log3|(z1)2000+(z2)2000| ．
6．设集合M{12…1000}现M中非空子集X令αX表示X中数数．样αX算术均值 ．
三．设正三棱锥P—ABC高POMPO中点AM作棱BC行面三棱锥截两部分试求两部分体积．[源学*科*网]
四．设O抛物线顶点F焦点PQF弦．已知|OF|a|PQ|B．求△OPQ面积．
五．已知0 loga(ax+ay)≤loga2+．
1991年全国高中数学联赛二试题
．设S{12…n}A少含两项公差正等差数列项S中添加S元素A构成A相公差等差数列．求种A数(里两项数列作等差数列)．











二．设凸四边形ABCD面积1求证：边(包括顶点)部找出四点中意三点顶点构成四三角形面积．












三．设an述然数N数：N位数字n位数字取134．求证：a2n完全方数．里n12…．


1991年全国高中数学联赛解答
第试
．选择题：
1．正方体三顶点构成正三角形数( )
A．4 B．8 C．12 D．24
答案B
解析正方形顶点应着正三角形．选B


3．设a正整数a<100a3+2324整样a数( )
A．4 B．5 C．9 D．10
答案B
解析24|a3－1a≡0±1±2±34a3≡0±10±30．a－1≡0(mod 8)．
a≡012(mod 3)a3≡01－1(mod 3)∴ a－1≡0(mod 3)．a－1≡0(mod 24)．选B．


5．设S{(xy)|x2－y2奇数xy∈R}T{(xy)|sin(2πx2)－sin(2πy2)cos(2πx2)－cos(2πy2)xy∈R}( )
A．ST B．TS C．ST D．S∩TØ
答案A
解析x2－y2奇数sin(2πx2)－sin(2πy2)cos(2πx2)－cos(2πy2)成立SÍT．
xy时sin(2πx2)－sin(2πy2)cos(2πx2)－cos(2πy2)成立ST选A．

6．方程|x－y2|1－|x|图象( )

答案D
解析∵ |x－y2|方程等价
选D．


2．△ABC中已知三角ABC成等差数列假设边分abcc－a等AC边高hsin ．

3．正奇数集合{135…}第n组(2n－1)奇数进行分组：
{1}{357}{911131517}……
(第组) (第二组) (第三组)
1991位第 组．
答案32
解析1+3+…+(2n－1)n2第n组数2n2－1解2(n－1)2－1+2≤1991≤2n2－1n32．第32组．


5．设复数z1z2满足|z1||z1+z2|3|z1－z2|3log3|(z1)2000+(z2)2000| ．
答案4000
解析|z1+z2|2+|z1－z2|22(|z1|2+|z2|2)|z2|3．|z1||z2||z1+z2|3argz1－argz2±120°．
∴|(z1)2000+(z2)2000|2×34000|cos(120°×2000)|34000．log3|(z1)2000+(z2)2000|4000．

三．设正三棱锥P—ABC高POMPO中点AM作棱BC行面三棱锥截两部分试求两部分体积．
解析
MPO中点延长AOBC交点DDBC中点连PDAM面PAD延长AMPD相交设交点F．题中截面面PBC交F直线GHGH分PBPC．BC∥截面AGH∴GH∥BC．
面PAD中△POD直线AF截··11∴．
∴ ∴Þ．截面分三棱锥成两部分成顶点A两棱锥A—PGHA—HGBC．二者体积4∶21．


第二试
．设S{12…n}A少含两项公差正等差数列项S中添加S元素A构成A相公差等差数列．求种A数(里两项数列作等差数列)．
解法二：k[]样数列A必连续两项项{12…k}中{k+1k+2…n}中反两集合中取数差公差构成A样数列
n2k时样A数k2n2n2k+1时样A数k(k+1) (n2－1)．
∴ 样数列[n2]．

[源ZxxkCom]
二．设凸四边形ABCD面积1求证：边(包括顶点)部找出四点中意三点顶点构成四三角形面积．
解析证明：考虑四边形四顶点ABCD△ABC△BCD△CDA△DAB面积设中面积三角形△ABD．
⑴ S△ABC>ABCD求．
⑵ S△ABD取△BCD重心GBCDG4点中意3点顶点三角形面积>．[源学科网]
⑶ S△ABD余三三角形面积均> S△ABD．
S△ABC+S△ACD1S△ACD>S△ABC∴ A作AE∥BC必CD相交设交点E．
∵ S△ABC>S△ABDS△ABE>S△ABD．S△ACES△ABE>S△BCES△ABC>．ABCE四点求．
⑷ S△ABD余三三角形中面积三角形△BCD(否ABCD面积)妨设S△ADC S△ABD．AD∥BC四边形ABCD梯形．
S△ABDS△ABCADaBC3a设梯形高h
2ah1．设角线交OO作EF∥BC分交ABCDEF．


三．设an述然数N数：N位数字n位数字取134．求证：a2n完全方数．里n12…．
解析证明：设N中x1x2…xk∈{134}．x1+x2+…+xkn．假定n>4．删xk时xk次取134时x1+x2+…+xk－1分等n－1n－3n－4．n>4时
anan－1+an－3+an－4． ①
a1a21a32a44
利①初始值表：[源ZxxkCom]
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9[源学科网]
10
11
12
13
14
……
an
1
1
2
4
6
9
15
25
40
64
104
169
273
441
……
规律
1
12
1´2
22
2´3
32
3´5
52
5´8
82
8´13
132
13´21
212
……
找规律：
a2(k+1)a2k+1+a2k－1+a2k－2fkfk+1+fk－1fk+f fkfk+1+fk－1(fk+fk－1)
fkfk+1+fk－1fk+1fk+1(fk－1+fk)fk+1fk+1f
a2(k+1)+1a2(k+1)+a2k+a2k－1 f+f+fk－1fk f+fk(fk+fk－1) f+fkfk+1fk+1(fk+1+fk)fk+2fk+1．
证明2：(特征方程)证①式a1a21a32a44
差分方程：λ4－λ3－λ－10． Þ(λ2+1)(λ2－λ－1)0．方程根λ±iλ．
∴ 令anαin+β(－i)n+γ()2+d()2
利初值求出an·in+·(－i)n+()n+2+()n+2．
∴ a2n{[()n+1－()n+1]}2．

a2nbn[2(－1)n+()n +1+()n+1] [()2(n+1)+()2(n+1)－2()n+1()n+1]
{[()n+1－()n+1]}2．
记fn[()n+1－()n+1]特征根m12．特征方程m2－m－10．递推关系fnfn－1+fn－2．
f01f11均正整数切正整数nfn正整数．a2n完全方数．
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传

《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档