选择题(题5分30分)
1.M{(xy)| |tanpy|+sin2px0}N{(xy)|x2+y2≤2}M∩N元素数( )
(A)4 (B)5 (C)8 (D)9
5.△ABC中角ABC边长分abcca等AC边高hsin+cos值( )
(A)1 (B) (C) (D)1
6.设mn非零实数i虚数单位zÎC方程|z+ni|+|zmi|n|z+ni||zmi|m复面图形(F1F2焦点)( )
二填空题(题5分30分)
1.二次方程(1i)x2+(l+i)x+(1+il)0(i虚数单位lÎR)两虚根充分必条件l取值范围________.
2.实数xy满足4x25xy+4y25设 Sx2+y2+_______.
3.zÎCarg(z24) arg(z2+4) z值________[源学科网ZXXK]
4.整数末两位数_______
三(题满分20分)
三棱锥S-ABC中侧棱SASBSC两两互相垂直M三角形ABC重心DAB中点作SC行直线DP.证明:(1)DPSM相交(2)设DPSM交点D¢D¢三棱锥S-ABC外接球球心.
四(题满分20分)
设0[源学科网]
五(题满分20分)
设正数列a0a1a2…an…满足-2an-1(n≥2)a0a11
求{an}通项公式.
第二试
(35分)
设凸四边形ABCD角中仅ÐD钝角直线段该凸四边形分割成n钝角三角形ABCD外该四边形周界含分割出钝角三角形顶点.试证n应满足充分必条件n≥4.
[源ZxxkCom]
三(35分)
水直线m通圆O中心直线l^mlm相交M点M圆心右侧直线l三点ABC圆外位直线m方A点离M点远C点离M点APBQCR圆 O三条切线PQR切点.试证:(1)l圆O相切时AB´CR+BC´APAC´BQ(2)l圆O相交时AB´CR+BC´AP<AC´BQ(3)l圆O相离时AB´CR+BC´AP>AC´BQ
1993年全国高中数学联合竞赛解答
第试
选择题(题5分30分)
1.M{(xy)| |tanpy|+sin2px0}N{(xy)|x2+y2≤2}M∩N元素数( )
(A)4 (B)5 (C)8 (D)9
3.集合AB集A∪B{a1a2a3}A¹B时(AB)(BA)视样(AB)数( )
(A)8 (B)9 (C)26 (D)27
答案D
解析a1∈AÏA2种样a1∈BÏB2种a1ÏAa1ÏB时成立22-1种安排方式样a2a322-1种安排方式(22-1)3种安排方式.选D.
5.△ABC中角ABC边长分abcca等AC边高hsin+cos值( )
(A)1 (B) (C) (D)1
6.设mn非零实数i虚数单位zÎC方程|z+ni|+|zmi|n|z+ni||zmi|m复面图形(F1F2焦点)( )[源学科网]
答案B
解析方程①椭圆②双曲线支.二者焦点均(-nimi)①n>0否定A
n椭圆长轴C中两焦点原点距离(分表示|n||m|)均椭圆长轴否定C.
BD知椭圆两焦点y轴负半轴n长轴知|OF1|nm<0|OF2|-m.曲线点-ni距离否定D选B.
二填空题(题5分30分)
1.二次方程(1i)x2+(l+i)x+(1+il)0(i虚数单位lÎR)两虚根充分必条件l取值范围________.
2.实数xy满足4x25xy+4y25设 Sx2+y2+_______.
答案
解析令xrcosθyrsinθSr2r2(4-5sinθcosθ)5.S.
∴++.
3.zÎCarg(z24) arg(z2+4) z值________
答案±(1+i)
解析图知z2表示复数4(cos120°+isin120°).∴ z±2(cos60°+isin60°)±(1+i).
[源ZxxkCom]
4.整数末两位数_______
答案08
解析令x1031x2-3x+9-.0<<1求末两位数字09-108.
5.设意实数x0>x1>x2>x3>0log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立k值_______
6.三位数(100101L999)900卡片印三位数张卡片印三位数卡片印倒三位数198倒861卡片然531倒 卡片卡二少印_____张卡片.
答案34
解析首位末位选择16894种选择十位选05种选择4×5×480种选择.
两端18中间018时两端96中间018时倒变2×3+2×312(80-12)÷234.
三(题满分20分)
三棱锥SABC中侧棱SASBSC两两互相垂直M三角形ABC重心DAB中点作SC行直线DP.证明:(1)DPSM相交(2)设DPSM交点三棱锥S—ABC外接球球心.
四(题满分20分)
设0
五(题满分20分)
设正数列a0a1a2…an…满足
-2an-1(n≥2)
a0a11求{an}通项公式.
解析变形:2+1
令+1bnbn2bn-1.
{bn}b1+12首项2公等数列.
∴ bn2n.
∴ (2n-1)2.
∴
第二试
(35分)
设凸四边形ABCD角中仅ÐD钝角直线段该凸四边形分割成n钝角三角形ABCD外该四边形周界含分割出钝角三角形顶点.试证n应满足充分必条件n≥4.
n2时连1条角线四边形分成2三角形中1钝角三角形.
n3时法顶点出发连线段四边形分成3三角形现连1条角线AC连BAC某点线段时法两三角形钝角三角形.
∴n23时法满足题目求解.n≥4时解.
二(35分)
设An元素集合Am子集A1A2LAm两两互包含.
试证:(1) ≤1
(2) C≥m2.中|Ai|表示Ai含元素数C表示n元素取|Ai|组合数.
三(35分)
水直线m通圆O中心直线l^mlm相交M点M圆心右侧直线l三点ABC圆外位直线m方A点离M点远C点离M点APBQCR圆 O三条切线PQR切点.试证:(1)l圆O相切时AB´CR+BC´APAC´BQ(2)l圆O相交时AB´CR+BC´AP<AC´BQ(3)l圆O相离时AB´CR+BC´AP>AC´BQ
解析证明:设MAaMBbMCcOMd⊙O半径r.
设kd2-r2.k>0时点M⊙O外时直线l⊙O相离
k0时点M⊙O时直线l⊙O相切
k<0时点M⊙O时直线l⊙O相交.
∴ AP理BQCR.
AB´CR+BC´AP-AC´BQ AB´CR+BC´AP-(AB+BC)´BQBC×(AP-BQ)-AB×(BQ-CR)
BC×-AB×
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