0812年高等数学考点分类
偏导数应
1 [12]求曲面点处切面法线方程
解 令
切点法量
切面
法线方程
2 [08]设曲线点处切量求函数该点方导数
解：方程组两端求导
代入解点处切量单位切量
求方导数
3 [08]定曲面常数中连续偏导数证明曲面切面通定点
证：令
曲面点处切面
中动点
显然时成立切面均
二 元函数极限连续微
1 [12]证明函数点连续存阶偏导数
证明： 关二重极限存连续定义函数点连续
函数点存阶偏导数
2 [11]设函数试证点处微
解 定义求出
3 [10]证明：点(00)处连续存(00)处微
解：（1）
4 [09]
5 [08] 函数点处微该点偏导数连续 必 条件（填必充分充）该点方导数 充分 条件（填必充分充）
三 复合函数求导
1 [12]设 0
2 [12]设
3 [12]设 求
解 令
公式
4 [11]设
5 [11]设微
6 [11]设中微证明
证明
7 变换表达式
解：
8 [09]
9 [09] 设中函数具二阶连续偏导数求
解：
10 [09] 求方程组确定导数
解：
11 [08] 设连续偏导数
12 [08] 设求
解：两边取微分
四 元函数极值
1 [12]曲面找点点距离短求短距离
解 设点
等价求约束值令
解驻点短距离
2 [11]函数点处取极值常数
3 [11]设长方形长宽高分满足求体积长方体
解 令2
求出唯驻点6
问题实际意义知体积长方体长宽高均37
4
5 [09] 求函数圆域值值
解：方法：时找驻点
唯驻点
时条件极值考虑函数
解方程组
求值值
方法二：设变成简单线性规划问题值4值
方法三：圆域写成
值4值
[08] 设极值
五 梯度方导数
1 [12]函数点处指点方方导数
2
3 [09] 求二元函数点处方方导数梯度指出该点方减少快？方值变？
4
六 二重积分
1 [12] 设围成区域
2 [12]计算二重积分中
3 [12]设函数连续导数满足求
解 极坐标
两边求导标准化
4 [11]计算二重积分中D顶点三角形闭区域
解
5 [09] 交换二次积分积分次序：
6 [09] 求锥面柱面割部分曲面面积
解：
7 [09]（化工类做） 计算二重积分中圆域
8 [08] 交换二次积分积分次序
9 [08] 求球面含圆柱面部部分面积
解：半球面部分
七 三重积分
1 [12]设两球公部分计算三重积分
解
时垂直轴面截区域截面圆域
时垂直轴面截区域截面圆域
分段先二积分
2 [10]计算三重积分中围成闭球体．
解： 4’
4’
3 [09] 计算
解：三重积分积分区域面投影圆域半部分设部分
原式
4 [08] 计算三重积分中单位球面围成闭区域
解：称性
八 曲线积分
1 [12]设抛物线介点点间段弧段曲线积分
2 计算曲线积分中摆线点点弧
解
补两条直线逆闭曲线
原式
曲线积分路径关直接
原式
取曲线积分路径关直接原式
者全微分表达式凑微分
原式
3 [11]假设L圆右半部分
4 [11]计算 中椭圆正周
解 格林公式
5 [11]计算曲线积分中表示第四象限起点终点光滑曲线
解 2
求解问题路径关选折线
7
6
7
8 [10]计算
9 [10]计算
10 [09]
11 [09] 计算曲线积分中表示包含点简单闭曲线逆时针方
解：部作圆取逆时针方
参数方程
格林公式
12 [08] 计算曲线积分中表示第四象限起点终点光滑曲线
解：
路径直线该曲线积分路径关
取路径
九 曲面积分
1 [12] 计算曲面积分
式中半球面侧
解 补面取侧原式
法（ 化次换元够烦） 半球面指侧法线
原式
2 [12] 求曲面包含圆柱面部分（记）面积
解 记部分面积
者
3 计算 中面圆柱面截出限部分
解 题意
4 计算曲面积分中柱面介间第卦限部分前侧
解 补面区域取侧 取侧 取左侧 取侧原曲面形成封闭曲面外侧 围成高斯公式
原式
5 [10] 计算
6 [10] 计算曲面积分中半球面侧
7 [09] 量场散度
8 [09] 计算曲面积分中半球面
解：设取围成区域高斯公式原式
9 [08] 量场散度
量场旋度
10 [08] 设曲面柱面介面部分外侧曲面积分 0
11 [08]计算曲面积分中圆锥面位面间方部分侧
解：取侧原式
十 微分方程
1 [12]求定解问题解
解 标准化 标准方程解公式
初值条件特解
2 [12]求微分方程通解
解 应齐次方程解特征根
非齐次项标准形式较单根设特解
代入原微分方程
根解结构定理求通解
3 [11]求微分方程通解
解 方程
4 [11]求微分方程通解
解 应齐次方程特征方程
非齐次项标准形式特征根
特解定形式代入非齐次方程
原方程通解
5 求解微分方程初值问题
解 特解2
通解4
特解6
6 [10]设方程解该方程通解
7 [10]求微分方程通解
8 [10]求微分方程通解
9 [10]求微分方程
10 [10] 求微分方程通解
11 [09] 求初值问题解
解：降阶微分方程第三种类型
设原方程化
变量分离两边积分
解
求解：
12 [09] 求方程通解
解：先求通解解特征方程特征根
通解
单特征根原方程特解形式代入原方程
原方程通解
13 [08] 求微分方程通解
解：
14 [08] 计算满足述方程导函数
解：原方程两端求导
标准阶线性微分方程
原方程令代入通解
15 [08]求解初值问题
解：方程应齐次方程特征方程
特征根应通解
容易出特解原方程通解
初值条件
十 级数
1 [12]判穷级数收敛性
解
收敛级数常数倍收敛正项级数较判法知穷级数收敛
2 [12]求幂级数收敛区间讨该区间端点处收敛性
解 较标准幂级数
收敛半径收敛区间
时幂级数化正项级数
调级数样发散时幂级数化交错级数绝收敛前部分条件收敛部分减级数正项级数收敛收敛级数性质时幂级数收敛
3 [12]函数展开成幂级数指出收敛区间
解
利
4 [11]求幂级数收敛域
解 2
时级数发散3
时交错级数莱布尼茨判法知该级数收敛5
幂级数收敛域6
5 [11]函数展开成麦克劳林级数确定成立区间
解 3
7
6 [11]设函数周期函数展开成余弦级数确定成立范围
解 1
5
7
7 [10]求幂级数收敛域
8 [10]函数展开成迈克劳林级数确定成立区
9 [10] 设函数周期周期函数尚表达式展开成傅里叶级数确定成立范围
10 [09] 证明阿贝尔定理：果幂级数收敛适合等式切幂级数绝收敛果幂级数发散适合等式切幂级数发散
11 [09] 函数展成余弦级数
12 [09] 求幂级数收敛半径收敛域
13 [08] 设试根值判定级数敛散性
14 [08] 设周期周期函数表达式试展开成傅里叶级数
15 [08] 设证明满足微分方程求
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偏导数应
1 [12]求曲面点处切面法线方程
解 令
切点法量
切面
法线方程
2 [08]设曲线点处切量求函数该点方导数
解：方程组两端求导
代入解点处切量单位切量
求方导数
3 [08]定曲面常数中连续偏导数证明曲面切面通定点
证：令
曲面点处切面
中动点
显然时成立切面均
二 元函数极限连续微
1 [12]证明函数点连续存阶偏导数
证明： 关二重极限存连续定义函数点连续
函数点存阶偏导数
2 [11]设函数试证点处微
解 定义求出
3 [10]证明：点(00)处连续存(00)处微
解：（1）
4 [09]
5 [08] 函数点处微该点偏导数连续 必 条件（填必充分充）该点方导数 充分 条件（填必充分充）
三 复合函数求导
1 [12]设 0
2 [12]设
3 [12]设 求
解 令
公式
4 [11]设
5 [11]设微
6 [11]设中微证明
证明
7 变换表达式
解：
8 [09]
9 [09] 设中函数具二阶连续偏导数求
解：
10 [09] 求方程组确定导数
解：
11 [08] 设连续偏导数
12 [08] 设求
解：两边取微分
四 元函数极值
1 [12]曲面找点点距离短求短距离
解 设点
等价求约束值令
解驻点短距离
2 [11]函数点处取极值常数
3 [11]设长方形长宽高分满足求体积长方体
解 令2
求出唯驻点6
问题实际意义知体积长方体长宽高均37
4
5 [09] 求函数圆域值值
解：方法：时找驻点
唯驻点
时条件极值考虑函数
解方程组
求值值
方法二：设变成简单线性规划问题值4值
方法三：圆域写成
值4值
[08] 设极值
五 梯度方导数
1 [12]函数点处指点方方导数
2
3 [09] 求二元函数点处方方导数梯度指出该点方减少快？方值变？
4
六 二重积分
1 [12] 设围成区域
2 [12]计算二重积分中
3 [12]设函数连续导数满足求
解 极坐标
两边求导标准化
4 [11]计算二重积分中D顶点三角形闭区域
解
5 [09] 交换二次积分积分次序：
6 [09] 求锥面柱面割部分曲面面积
解：
7 [09]（化工类做） 计算二重积分中圆域
8 [08] 交换二次积分积分次序
9 [08] 求球面含圆柱面部部分面积
解：半球面部分
七 三重积分
1 [12]设两球公部分计算三重积分
解
时垂直轴面截区域截面圆域
时垂直轴面截区域截面圆域
分段先二积分
2 [10]计算三重积分中围成闭球体．
解： 4’
4’
3 [09] 计算
解：三重积分积分区域面投影圆域半部分设部分
原式
4 [08] 计算三重积分中单位球面围成闭区域
解：称性
八 曲线积分
1 [12]设抛物线介点点间段弧段曲线积分
2 计算曲线积分中摆线点点弧
解
补两条直线逆闭曲线
原式
曲线积分路径关直接
原式
取曲线积分路径关直接原式
者全微分表达式凑微分
原式
3 [11]假设L圆右半部分
4 [11]计算 中椭圆正周
解 格林公式
5 [11]计算曲线积分中表示第四象限起点终点光滑曲线
解 2
求解问题路径关选折线
7
6
7
8 [10]计算
9 [10]计算
10 [09]
11 [09] 计算曲线积分中表示包含点简单闭曲线逆时针方
解：部作圆取逆时针方
参数方程
格林公式
12 [08] 计算曲线积分中表示第四象限起点终点光滑曲线
解：
路径直线该曲线积分路径关
取路径
九 曲面积分
1 [12] 计算曲面积分
式中半球面侧
解 补面取侧原式
法（ 化次换元够烦） 半球面指侧法线
原式
2 [12] 求曲面包含圆柱面部分（记）面积
解 记部分面积
者
3 计算 中面圆柱面截出限部分
解 题意
4 计算曲面积分中柱面介间第卦限部分前侧
解 补面区域取侧 取侧 取左侧 取侧原曲面形成封闭曲面外侧 围成高斯公式
原式
5 [10] 计算
6 [10] 计算曲面积分中半球面侧
7 [09] 量场散度
8 [09] 计算曲面积分中半球面
解：设取围成区域高斯公式原式
9 [08] 量场散度
量场旋度
10 [08] 设曲面柱面介面部分外侧曲面积分 0
11 [08]计算曲面积分中圆锥面位面间方部分侧
解：取侧原式
十 微分方程
1 [12]求定解问题解
解 标准化 标准方程解公式
初值条件特解
2 [12]求微分方程通解
解 应齐次方程解特征根
非齐次项标准形式较单根设特解
代入原微分方程
根解结构定理求通解
3 [11]求微分方程通解
解 方程
4 [11]求微分方程通解
解 应齐次方程特征方程
非齐次项标准形式特征根
特解定形式代入非齐次方程
原方程通解
5 求解微分方程初值问题
解 特解2
通解4
特解6
6 [10]设方程解该方程通解
7 [10]求微分方程通解
8 [10]求微分方程通解
9 [10]求微分方程
10 [10] 求微分方程通解
11 [09] 求初值问题解
解：降阶微分方程第三种类型
设原方程化
变量分离两边积分
解
求解：
12 [09] 求方程通解
解：先求通解解特征方程特征根
通解
单特征根原方程特解形式代入原方程
原方程通解
13 [08] 求微分方程通解
解：
14 [08] 计算满足述方程导函数
解：原方程两端求导
标准阶线性微分方程
原方程令代入通解
15 [08]求解初值问题
解：方程应齐次方程特征方程
特征根应通解
容易出特解原方程通解
初值条件
十 级数
1 [12]判穷级数收敛性
解
收敛级数常数倍收敛正项级数较判法知穷级数收敛
2 [12]求幂级数收敛区间讨该区间端点处收敛性
解 较标准幂级数
收敛半径收敛区间
时幂级数化正项级数
调级数样发散时幂级数化交错级数绝收敛前部分条件收敛部分减级数正项级数收敛收敛级数性质时幂级数收敛
3 [12]函数展开成幂级数指出收敛区间
解
利
4 [11]求幂级数收敛域
解 2
时级数发散3
时交错级数莱布尼茨判法知该级数收敛5
幂级数收敛域6
5 [11]函数展开成麦克劳林级数确定成立区间
解 3
7
6 [11]设函数周期函数展开成余弦级数确定成立范围
解 1
5
7
7 [10]求幂级数收敛域
8 [10]函数展开成迈克劳林级数确定成立区
9 [10] 设函数周期周期函数尚表达式展开成傅里叶级数确定成立范围
10 [09] 证明阿贝尔定理：果幂级数收敛适合等式切幂级数绝收敛果幂级数发散适合等式切幂级数发散
11 [09] 函数展成余弦级数
12 [09] 求幂级数收敛半径收敛域
13 [08] 设试根值判定级数敛散性
14 [08] 设周期周期函数表达式试展开成傅里叶级数
15 [08] 设证明满足微分方程求
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