难点17 三角形中三角函数式
三角形中三角函数关系历年高考重点容节帮助考生深刻理解正余弦定理掌握解斜三角形方法技巧
●难点磁场
(★★★★★)已知△ABC三角ABC满足A+C2B求cos值
●案例探究
［例1］海岛A座海拔1千米山山顶设观察站P午11时测轮船岛北30°东俯角60°B处11时10分测该船岛北60°西俯角30°C处
(1)求船航行速度时少千米
(2)段时间船达海岛正西方D处问时船距岛A远？
命题意图：题考查三角形基础知识学生识图力综合运三角知识解决实际问题力
知识托：利三角形三角关系关键找准方位角合理利边角关系
错解分析：考生方位角识准计算易出错
技巧方法：三角形中边角关系运正弦定理解决问题
解：(1)Rt△PAB中∠APB60° PA1∴AB (千米)
Rt△PAC中∠APC30°∴AC (千米)
△ACB中∠CAB30°+60°90°
(2)∠DAC90°－60°30°
sinDCAsin(180°－∠ACB)sinACB
sinCDAsin(∠ACB－30°)sinACB·cos30°－cosACB·sin30°
△ACD中正弦定理
∴
答：时船距岛A千米
［例2］已知△ABC三角ABC满足A+C2B设xcosf(x)cosB()
(1)试求函数f(x)解析式定义域
(2)判断单调性加证明
(3)求函数值域
命题意图：题考查考生运三角知识解决综合问题力考查考生基础知识灵活运程度考生运算力属★★★★级题目
知识托：三角函数关公式性质函数关性质解决问题
错解分析：考生三角函数中关公式灵活运难点易想运函数单调性求函数值域问题
技巧方法：题关键运三角函数关公式求出f(x)解析式公式差化积积化差公式求定义域时注意||范围
解：(1)∵A+C2B∴B60°A+C120°
∵0°≤||＜60°∴xcos∈(1
4x2－3≠0∴x≠∴定义域()∪(1］
(2)设x1＜x2∴f(x2)－f(x1)
x1x2∈()4x12－3＜04x22－3＜04x1x2+3＞0x1－x2＜0∴f(x2)－f(x1)＜0
f(x2)＜f(x1)x1x2∈(1］4x12－3＞0
4x22－3＞04x1x2+3＞0x1－x2＜0∴f(x2)－f(x1)＜0
f(x2)＜f(x1)∴f(x)()(1减函数
(3)(2)知f(x)＜f()－f(x)≥f(1)2
f(x)值域(－∞－)∪［2+∞
●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
(1)运方程观点结合恒等变形方法巧解三角形
(2)熟练进行边角已知关系式等价转化
(3)熟练运三角形基础知识正余弦定理面积公式三角函数公式配合通等价转化构建方程解答三角形综合问题注意隐含条件挖掘
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)出四命题：(1)sin2Asin2B△ABC等腰三角形(2)sinAcosB△ABC直角三角形(3)sin2A+sin2B+sin2C＜2△ABC钝角三角形(4)cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)1△ABC正三角形正确命题数( )
A1 B2 C3 D4
二填空题
2(★★★★)△ABC中已知ABC成等差数列值__________
3(★★★★)△ABC中A角C角已知cos(2A+C)－sinBcos2(B+C)__________
三解答题
4(★★★★)已知圆接四边形ABCD边长分AB2BC6CDDA4求四边形ABCD面积
5(★★★★★)右图半径R圆桌正中央空挂盏电灯桌子边缘点处度灯光射桌子边缘光线桌面夹角θ正弦成正角点光源距离 r方成反Ik·中 k灯光强度关常数样选择电灯悬挂高度h桌子边缘处亮？
6(★★★★)△ABC中abc分角ABC边
(1)求角A度数
(2)ab+c3求bc值
7(★★★★)△ABC中∠A∠B∠C边分abcab3c成等数列∠A－∠C试求∠A∠B∠C值
8(★★★★★)正三角形ABC边ABAC分取DE两点线段DE折叠三角形时顶点A正落边BC种情况AD求AD∶AB值
参考答案
难点磁场
解法：题设条件知B60°A+C120°
设αA－C2αA60°+αC60°－α
题设条件
整理4cos2α+2cosα－30(M)
(2cosα－)(2cosα+3)0∵2cosα+3≠0
∴2cosα－0cos
解法二：题设条件知B60°A+C120°
①①式化cosA+cosC－2cosAcosC ②
利差化积积化差公式②式化
③
coscos60°cos(A+C)－代入③式：
④
cos(A－C)2cos2()－1代入 ④：4cos2()+2cos－30(*)
歼灭难点训练
1解析：中(3）(4）正确
答案： B
二2解析：∵A+B+CπA+C2B
答案：
3解析：∵A角∴2A+CA+A+C＜A+B+C180°
∵cos(2A+C)－∴sin(2A+C)
∵C角∴B锐角sinBcosB
sin(A+C)cos(A+C)－
∵cos(B+C)－cosA－cos［(2A+C)－(A+C)］－
∴cos2(B+C)2cos2(B+C)－1
答案：
三4解：图：连结BD四边形ABCD面积：
SS△ABD+S△CDB·AB·ADsinA+·BC·CD·sinC
∵A+C180°∴sinAsinC
S(AB·AD+BC·CD)sinA(2×4+6×4)sinA16sinA
余弦定理△ABD中BD2AB2+AD2－2AB·AD·cosA20－16cosA
△CDB中BD2CB2+CD2－2CB·CD·cosC52－48cosC
∴20－16cosA52－48cosC∵cosC－cosA
∴64cosA－32cosA－0°＜A＜180°∴A120°S16sin120°8
5解：Rrcosθ：
7解：ab3c成等数列：b23ac
∴sin2B3sinC·sinA3(－)［cos(A+C)－cos(A－C)］
∵Bπ－(A+C)∴sin2(A+C)－［cos(A+C)－cos］
1－cos2(A+C)－cos(A+C)解cos(A+C)－
∵0＜A+C＜π∴A+CπA－C∴AπBC
8解：题意设折叠A点落边BC改称P点显然AP两点关折线DE称设∠BAPθ∴∠DPAθ∠BDP2θ设ABaADx∴DPx△ABC中
∠APB180°－∠ABP－∠BAP120°－θ
正弦定理知：∴BP
△PBD中
∵0°≤θ≤60°∴60°≤60°+2θ≤180°∴60°+2θ90°θ15°时
sin(60°+2θ)1时x取值aAD∴AD∶DB2－3
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三角形中三角函数关系历年高考重点容节帮助考生深刻理解正余弦定理掌握解斜三角形方法技巧
●难点磁场
(★★★★★)已知△ABC三角ABC满足A+C2B求cos值
●案例探究
［例1］海岛A座海拔1千米山山顶设观察站P午11时测轮船岛北30°东俯角60°B处11时10分测该船岛北60°西俯角30°C处
(1)求船航行速度时少千米
(2)段时间船达海岛正西方D处问时船距岛A远？
命题意图：题考查三角形基础知识学生识图力综合运三角知识解决实际问题力
知识托：利三角形三角关系关键找准方位角合理利边角关系
错解分析：考生方位角识准计算易出错
技巧方法：三角形中边角关系运正弦定理解决问题
解：(1)Rt△PAB中∠APB60° PA1∴AB (千米)
Rt△PAC中∠APC30°∴AC (千米)
△ACB中∠CAB30°+60°90°
(2)∠DAC90°－60°30°
sinDCAsin(180°－∠ACB)sinACB
sinCDAsin(∠ACB－30°)sinACB·cos30°－cosACB·sin30°
△ACD中正弦定理
∴
答：时船距岛A千米
［例2］已知△ABC三角ABC满足A+C2B设xcosf(x)cosB()
(1)试求函数f(x)解析式定义域
(2)判断单调性加证明
(3)求函数值域
命题意图：题考查考生运三角知识解决综合问题力考查考生基础知识灵活运程度考生运算力属★★★★级题目
知识托：三角函数关公式性质函数关性质解决问题
错解分析：考生三角函数中关公式灵活运难点易想运函数单调性求函数值域问题
技巧方法：题关键运三角函数关公式求出f(x)解析式公式差化积积化差公式求定义域时注意||范围
解：(1)∵A+C2B∴B60°A+C120°
∵0°≤||＜60°∴xcos∈(1
4x2－3≠0∴x≠∴定义域()∪(1］
(2)设x1＜x2∴f(x2)－f(x1)
x1x2∈()4x12－3＜04x22－3＜04x1x2+3＞0x1－x2＜0∴f(x2)－f(x1)＜0
f(x2)＜f(x1)x1x2∈(1］4x12－3＞0
4x22－3＞04x1x2+3＞0x1－x2＜0∴f(x2)－f(x1)＜0
f(x2)＜f(x1)∴f(x)()(1减函数
(3)(2)知f(x)＜f()－f(x)≥f(1)2
f(x)值域(－∞－)∪［2+∞
●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
(1)运方程观点结合恒等变形方法巧解三角形
(2)熟练进行边角已知关系式等价转化
(3)熟练运三角形基础知识正余弦定理面积公式三角函数公式配合通等价转化构建方程解答三角形综合问题注意隐含条件挖掘
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)出四命题：(1)sin2Asin2B△ABC等腰三角形(2)sinAcosB△ABC直角三角形(3)sin2A+sin2B+sin2C＜2△ABC钝角三角形(4)cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)1△ABC正三角形正确命题数( )
A1 B2 C3 D4
二填空题
2(★★★★)△ABC中已知ABC成等差数列值__________
3(★★★★)△ABC中A角C角已知cos(2A+C)－sinBcos2(B+C)__________
三解答题
4(★★★★)已知圆接四边形ABCD边长分AB2BC6CDDA4求四边形ABCD面积
5(★★★★★)右图半径R圆桌正中央空挂盏电灯桌子边缘点处度灯光射桌子边缘光线桌面夹角θ正弦成正角点光源距离 r方成反Ik·中 k灯光强度关常数样选择电灯悬挂高度h桌子边缘处亮？
6(★★★★)△ABC中abc分角ABC边
(1)求角A度数
(2)ab+c3求bc值
7(★★★★)△ABC中∠A∠B∠C边分abcab3c成等数列∠A－∠C试求∠A∠B∠C值
8(★★★★★)正三角形ABC边ABAC分取DE两点线段DE折叠三角形时顶点A正落边BC种情况AD求AD∶AB值
参考答案
难点磁场
解法：题设条件知B60°A+C120°
设αA－C2αA60°+αC60°－α
题设条件
整理4cos2α+2cosα－30(M)
(2cosα－)(2cosα+3)0∵2cosα+3≠0
∴2cosα－0cos
解法二：题设条件知B60°A+C120°
①①式化cosA+cosC－2cosAcosC ②
利差化积积化差公式②式化
③
coscos60°cos(A+C)－代入③式：
④
cos(A－C)2cos2()－1代入 ④：4cos2()+2cos－30(*)
歼灭难点训练
1解析：中(3）(4）正确
答案： B
二2解析：∵A+B+CπA+C2B
答案：
3解析：∵A角∴2A+CA+A+C＜A+B+C180°
∵cos(2A+C)－∴sin(2A+C)
∵C角∴B锐角sinBcosB
sin(A+C)cos(A+C)－
∵cos(B+C)－cosA－cos［(2A+C)－(A+C)］－
∴cos2(B+C)2cos2(B+C)－1
答案：
三4解：图：连结BD四边形ABCD面积：
SS△ABD+S△CDB·AB·ADsinA+·BC·CD·sinC
∵A+C180°∴sinAsinC
S(AB·AD+BC·CD)sinA(2×4+6×4)sinA16sinA
余弦定理△ABD中BD2AB2+AD2－2AB·AD·cosA20－16cosA
△CDB中BD2CB2+CD2－2CB·CD·cosC52－48cosC
∴20－16cosA52－48cosC∵cosC－cosA
∴64cosA－32cosA－0°＜A＜180°∴A120°S16sin120°8
5解：Rrcosθ：
7解：ab3c成等数列：b23ac
∴sin2B3sinC·sinA3(－)［cos(A+C)－cos(A－C)］
∵Bπ－(A+C)∴sin2(A+C)－［cos(A+C)－cos］
1－cos2(A+C)－cos(A+C)解cos(A+C)－
∵0＜A+C＜π∴A+CπA－C∴AπBC
8解：题意设折叠A点落边BC改称P点显然AP两点关折线DE称设∠BAPθ∴∠DPAθ∠BDP2θ设ABaADx∴DPx△ABC中
∠APB180°－∠ABP－∠BAP120°－θ
正弦定理知：∴BP
△PBD中
∵0°≤θ≤60°∴60°≤60°+2θ≤180°∴60°+2θ90°θ15°时
sin(60°+2θ)1时x取值aAD∴AD∶DB2－3
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