难点5 求解函数解析式
求解函数解析式高考重点考查容需引起重视节帮助考生深刻理解函数定义基础掌握求函数解析式种方法形成力培养考生创新力解决实际问题力
●难点磁场
(★★★★)已知f(2－cosx)cos2x+cosx求f(x－1)
●案例探究
［例1］(1)已知函数f(x)满足f(logax) (中a>0a≠1x>0)求f(x)表达式
(2)已知二次函数f(x)ax2+bx+c满足|f(1)||f(－1)||f(0)|1求f(x)表达式
命题意图：题考查函数概念中三素：定义域值域应法计算力综合运知识力属★★★★题目
知识托：利函数基础知识特f理解等价转化注意定义域
错解分析：题思维力求较高定义域考查等价转化易出错
技巧方法：(1)换元法(2)定系数法
解：(1)令tlogax(a>1t>00f(t) (at－a－t)
∴f(x) (ax－a－x)(a>1x>00(2)f(1)a+b+cf(－1)a－b+cf(0)c
f(1)f(－1)f(0)时等1－1求函数：f(x)2x2－1f(x)－2x2+1f(x)－x2－x+1f(x)x2－x－1f(x)－x2+x+1f(x)x2+x－1
［例2］设f(x)定义R偶函数x≤－1时yf(x)图象点(－20)斜率1射线yf(x)图象中部分顶点(02)点(－11)段抛物线试写出函数f(x)表达式图中作出图象
命题意图：题考查函数基知识抛物线射线基概念图象作法分段函数分析需较强思维力分段函数高考热点题型属★★★★题目 知识托：函数奇偶性桥梁分类讨关键定系数求出曲线方程线
错解分析：题思维力求高分类讨综合运知识易发生混乱
技巧方法：合理进行分类运定系数法求函数表达式
解：(1)x≤－1时设f(x)x+b
∵射线点(－20)∴0－2+bb2∴f(x)x+2
(2)－1∵抛物线点(－11)∴1a·(－1)2+2a－1
∴f(x)－x2+2
(3)x≥1时f(x)－x+2
综知：f(x)作图读者完成
●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
1定系数法果已知函数解析式构造时定系数法
2换元法配凑法已知复合函数f［g(x)］表达式换元法表达式较简单时配凑法
3消参法已知抽象函数表达式解方程组消参方法求解f(x)
外解题程中常分类讨等价转化等数学思想方法
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)函数f(x)(x≠)定义域恒f［f(x)］xm等( )
A3 B C－ D－3
2(★★★★★)设函数yf(x)图象关直线x1称x≤1时f(x)(x+1)2－1x>1时f(x)等( )
Af(x)(x+3)2－1 Bf(x)(x－3)2－1
Cf(x)(x－3)2+1 Df(x)(x－1)2－1
二填空题
3(★★★★★)已知f(x)+2f()3x求f(x)解析式_________
4(★★★★★)已知f(x)ax2+bx+cf(0)0f(x+1)f(x)+x+1f(x)_________
三解答题
5(★★★★)设二次函数f(x)满足f(x－2)f(－x－2)图象y轴截距1x轴截线段长求f(x)解析式
6(★★★★)设f(x)(－∞+∞)4周期函数f(x)偶函数区间［23］时f(x)－2(x－3)2+4求x∈［12］时f(x)解析式矩形ABCD两顶点ABx轴CDyf(x)(0≤x≤2)图象求矩形面积值
7(★★★★★)动点P边长1正方形ABCD顶点A出发次BCD回A设x表示P点行程f(x)表示PA长g(x)表示△ABP面积求f(x)g(x)作出g(x)简图
8(★★★★★)已知函数yf(x)定义R周期函数周期T5函数yf(x)(－1≤x≤1)奇函数知yf(x)［01］次函数［14］二次函数x2时函数取值值－5
(1)证明：f(1)+f(4)0
(2)试求yf(x)x∈［14］解析式
(3)试求yf(x)［49］解析式
参考答案
难点磁场
解法：(换元法）
∵f(2－cosx)cos2x－cosx2cos2x－cosx－1
令u2－cosx(1≤u≤3)cosx2－u
∴f(2－cosx)f(u)2(2－u)2－(2－u)－12u2－7u+5(1≤u≤3)
∴f(x－1)2(x－1)2－7(x－1)+52x2－11x+4(2≤x≤4)
解法二：(配凑法）
f(2－cosx)2cos2x－cosx－12(2－cosx)2－7(2－cosx）+5
∴f(x)2x2－7x－5(1≤x≤3)f(x－1)2(x－1)2－7(x－1)+52x2－11x+14(2≤x≤4)
歼灭难点训练
1解析：∵f(x)
∴f［f(x)］x整理较系数m3
答案：A
2解析：利数形结合x≤1时f(x)(x+1)2－1称轴x－1值－1yf(x)关x1称x>1f(x)称轴x3值－1
答案：B
二3解析：f(x)+2f()3x知f()+2f(x)3面两式联立消f()f(x)－x
答案：f(x) －x
4解析：∵f(x)ax2+bx+cf(0)0知c0f(x+1)f(x)+x+1
∴a(x+1)2+b(x+1)+0ax2+bx+x+1(2a+b）x+a+bbx+x+1
2a+bb+1a+b1解ab∴f(x)x2+x
答案：x2+x
三5解：利定系数法设f(x)ax2+bx+c然找关abc方程组求解f(x)
6解：(1)设x∈［12］4－x∈［23］∵f(x)偶函数∴f(x)f(－x)4f(x)周期∴f(x)f(－x)f(4－x)－2(x－1)2+4
(2)设x∈［01］2≤x+2≤3f(x)f(x+2)－2(x－1)2+4(1）知x∈［02］时f(x)－2(x－1)2+4设AB坐标分(1－t0）(1+t0)(0＜t≤1|AB|2t|AD|－2t2+4S矩形2t(－2t2+4)4t(2－t2)令S矩S∴2t2(2－t2)·(2－t2)≤()3仅2t22－t2t时取等号∴S2≤S≤∴Smax
7解：(1)原题图PAB运动时PAxP点BC运动时Rt△ABDPAP点CD运动时Rt△ADP易PAP点DA运动时PA4－xf(x)表达式：
f(x)
(2)P点折线ABCD位置时△ABP形状特征计算面积方法样必须P点位置进行分类求解
原题图P线段AB时△ABP面积S0PBC时1＜x≤2时S△ABPAB·BP(x－1）PCD时2＜x≤3时S△ABP·1·1PDA时3＜x≤4时S△ABP(4－x)
g(x)
8(1)证明：∵yf(x)5周期周期函数∴f(4)f(4－5)f(－1)yf(x)(－1≤x≤1)奇函数∴f(1)－f(－1)－f(4)∴f(1)+f(4)0
(2)解：x∈［14］时题意设f(x)a(x－2)2－5(a≠0)f(1)+f(4)0a(1－2)2－5+a(4－2)2－50解a2∴f(x)2(x－2)2－5(1≤x≤4)
(3)解：∵yf(x)(－1≤x≤1)奇函数∴f(0)－f(－0)∴f(0)0yf(x) (0≤x≤1)次函数∴设f(x)kx(0≤x≤1)∵f(1)2(1－2)2－5－3f(1)k·1k∴k－3∴0≤x≤1时f(x)－3x－1≤x＜0时f(x)－3x4≤x≤6时－1≤x－5≤1∴f(x)f(x－5)
－3(x－5)－3x+156＜x≤9时1＜x－5≤4f(x)f(x－5)2［(x－5)－2］2－52(x－7)2－5∴f(x)
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求解函数解析式高考重点考查容需引起重视节帮助考生深刻理解函数定义基础掌握求函数解析式种方法形成力培养考生创新力解决实际问题力
●难点磁场
(★★★★)已知f(2－cosx)cos2x+cosx求f(x－1)
●案例探究
［例1］(1)已知函数f(x)满足f(logax) (中a>0a≠1x>0)求f(x)表达式
(2)已知二次函数f(x)ax2+bx+c满足|f(1)||f(－1)||f(0)|1求f(x)表达式
命题意图：题考查函数概念中三素：定义域值域应法计算力综合运知识力属★★★★题目
知识托：利函数基础知识特f理解等价转化注意定义域
错解分析：题思维力求较高定义域考查等价转化易出错
技巧方法：(1)换元法(2)定系数法
解：(1)令tlogax(a>1t>00
∴f(x) (ax－a－x)(a>1x>00
f(1)f(－1)f(0)时等1－1求函数：f(x)2x2－1f(x)－2x2+1f(x)－x2－x+1f(x)x2－x－1f(x)－x2+x+1f(x)x2+x－1
［例2］设f(x)定义R偶函数x≤－1时yf(x)图象点(－20)斜率1射线yf(x)图象中部分顶点(02)点(－11)段抛物线试写出函数f(x)表达式图中作出图象
命题意图：题考查函数基知识抛物线射线基概念图象作法分段函数分析需较强思维力分段函数高考热点题型属★★★★题目 知识托：函数奇偶性桥梁分类讨关键定系数求出曲线方程线
错解分析：题思维力求高分类讨综合运知识易发生混乱
技巧方法：合理进行分类运定系数法求函数表达式
解：(1)x≤－1时设f(x)x+b
∵射线点(－20)∴0－2+bb2∴f(x)x+2
(2)－1
∴f(x)－x2+2
(3)x≥1时f(x)－x+2
综知：f(x)作图读者完成
●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
1定系数法果已知函数解析式构造时定系数法
2换元法配凑法已知复合函数f［g(x)］表达式换元法表达式较简单时配凑法
3消参法已知抽象函数表达式解方程组消参方法求解f(x)
外解题程中常分类讨等价转化等数学思想方法
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)函数f(x)(x≠)定义域恒f［f(x)］xm等( )
A3 B C－ D－3
2(★★★★★)设函数yf(x)图象关直线x1称x≤1时f(x)(x+1)2－1x>1时f(x)等( )
Af(x)(x+3)2－1 Bf(x)(x－3)2－1
Cf(x)(x－3)2+1 Df(x)(x－1)2－1
二填空题
3(★★★★★)已知f(x)+2f()3x求f(x)解析式_________
4(★★★★★)已知f(x)ax2+bx+cf(0)0f(x+1)f(x)+x+1f(x)_________
三解答题
5(★★★★)设二次函数f(x)满足f(x－2)f(－x－2)图象y轴截距1x轴截线段长求f(x)解析式
6(★★★★)设f(x)(－∞+∞)4周期函数f(x)偶函数区间［23］时f(x)－2(x－3)2+4求x∈［12］时f(x)解析式矩形ABCD两顶点ABx轴CDyf(x)(0≤x≤2)图象求矩形面积值
7(★★★★★)动点P边长1正方形ABCD顶点A出发次BCD回A设x表示P点行程f(x)表示PA长g(x)表示△ABP面积求f(x)g(x)作出g(x)简图
8(★★★★★)已知函数yf(x)定义R周期函数周期T5函数yf(x)(－1≤x≤1)奇函数知yf(x)［01］次函数［14］二次函数x2时函数取值值－5
(1)证明：f(1)+f(4)0
(2)试求yf(x)x∈［14］解析式
(3)试求yf(x)［49］解析式
参考答案
难点磁场
解法：(换元法）
∵f(2－cosx)cos2x－cosx2cos2x－cosx－1
令u2－cosx(1≤u≤3)cosx2－u
∴f(2－cosx)f(u)2(2－u)2－(2－u)－12u2－7u+5(1≤u≤3)
∴f(x－1)2(x－1)2－7(x－1)+52x2－11x+4(2≤x≤4)
解法二：(配凑法）
f(2－cosx)2cos2x－cosx－12(2－cosx)2－7(2－cosx）+5
∴f(x)2x2－7x－5(1≤x≤3)f(x－1)2(x－1)2－7(x－1)+52x2－11x+14(2≤x≤4)
歼灭难点训练
1解析：∵f(x)
∴f［f(x)］x整理较系数m3
答案：A
2解析：利数形结合x≤1时f(x)(x+1)2－1称轴x－1值－1yf(x)关x1称x>1f(x)称轴x3值－1
答案：B
二3解析：f(x)+2f()3x知f()+2f(x)3面两式联立消f()f(x)－x
答案：f(x) －x
4解析：∵f(x)ax2+bx+cf(0)0知c0f(x+1)f(x)+x+1
∴a(x+1)2+b(x+1)+0ax2+bx+x+1(2a+b）x+a+bbx+x+1
2a+bb+1a+b1解ab∴f(x)x2+x
答案：x2+x
三5解：利定系数法设f(x)ax2+bx+c然找关abc方程组求解f(x)
6解：(1)设x∈［12］4－x∈［23］∵f(x)偶函数∴f(x)f(－x)4f(x)周期∴f(x)f(－x)f(4－x)－2(x－1)2+4
(2)设x∈［01］2≤x+2≤3f(x)f(x+2)－2(x－1)2+4(1）知x∈［02］时f(x)－2(x－1)2+4设AB坐标分(1－t0）(1+t0)(0＜t≤1|AB|2t|AD|－2t2+4S矩形2t(－2t2+4)4t(2－t2)令S矩S∴2t2(2－t2)·(2－t2)≤()3仅2t22－t2t时取等号∴S2≤S≤∴Smax
7解：(1)原题图PAB运动时PAxP点BC运动时Rt△ABDPAP点CD运动时Rt△ADP易PAP点DA运动时PA4－xf(x)表达式：
f(x)
(2)P点折线ABCD位置时△ABP形状特征计算面积方法样必须P点位置进行分类求解
原题图P线段AB时△ABP面积S0PBC时1＜x≤2时S△ABPAB·BP(x－1）PCD时2＜x≤3时S△ABP·1·1PDA时3＜x≤4时S△ABP(4－x)
g(x)
8(1)证明：∵yf(x)5周期周期函数∴f(4)f(4－5)f(－1)yf(x)(－1≤x≤1)奇函数∴f(1)－f(－1)－f(4)∴f(1)+f(4)0
(2)解：x∈［14］时题意设f(x)a(x－2)2－5(a≠0)f(1)+f(4)0a(1－2)2－5+a(4－2)2－50解a2∴f(x)2(x－2)2－5(1≤x≤4)
(3)解：∵yf(x)(－1≤x≤1)奇函数∴f(0)－f(－0)∴f(0)0yf(x) (0≤x≤1)次函数∴设f(x)kx(0≤x≤1)∵f(1)2(1－2)2－5－3f(1)k·1k∴k－3∴0≤x≤1时f(x)－3x－1≤x＜0时f(x)－3x4≤x≤6时－1≤x－5≤1∴f(x)f(x－5)
－3(x－5)－3x+156＜x≤9时1＜x－5≤4f(x)f(x－5)2［(x－5)－2］2－52(x－7)2－5∴f(x)
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