难点16 三角函数式化简求值
三角函数式化简求值高考考查重点容通节学考生掌握化简求值问题解题规律途径特掌握化简求值常规技巧优化解题效果做事半功倍
●难点磁场
(★★★★★)已知＜β＜α＜cos(α－β)sin(α+β)－求sin2α值_________
●案例探究
［例1］查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°值
命题意图：题考查两角二倍角公式降幂求值方法计算力求较高属★★★★级题目
知识托：熟知三角公式灵活应
错解分析：公式熟计算易出错
技巧方法：解法利三角公式进行等价变形解法二转化函数问题解法更简单更精妙需认真体会
解法：sin220°+cos280°+sin220°cos80°
(1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°
1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)
1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°
1－cos40°－(1－cos40°)
解法二：设xsin220°+cos280°+sin20°cos80°
ycos220°+sin280°－cos20°sin80°
x+y1+1－sin60°x－y－cos40°+cos160°+sin100°
－2sin100°sin60°+sin100°0
∴xyxsin220°+cos280°+sin20°cos80°
［例2］设关x函数y2cos2x－2acosx－(2a+1)值f(a)试确定满足f(a)a值时a值求y值
命题意图：题考查值问题三角函数界性计算力较强逻辑思维力属★★★★★级题目
知识托：二次函数定区间值问题
错解分析：考生易考查三角函数界性区间分类易出错
技巧方法：利等价转化问题化二次函数问题配方法数形结合分类讲座等
解：y2(cosx－)2－cosx∈［－11］：
f(a)
∵f(a)∴1－4aa［2+∞
－－2a－1解：a－1时
y2(cosx+)2+cosx1时x2kπk∈Zymax5
［例3］已知函数f(x)2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)正周期
(2)求f(x)值取值时相应x值
(3)x∈［］时f(x)反函数f－1(x)求f－1(1)值
命题意图：题考查三角公式周期值反函数等知识考查计算变形力综合运知识力属★★★★★级题目
知识托：熟知三角函数公式三角函数性质反函数等知识
错解分析：求f－1(1)值时易走弯路
技巧方法：等价转化逆思维
解：(1)f(x)2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx
2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin2x+sinxcosx
2sinxcosx+cos2x2sin(2x+)
∴f(x)正周期Tπ
(2)2x+2kπ－xkπ－ (k∈Z)时f(x)取值－2
(3)令2sin(2x+)1x∈［］
∴2x+∈［］∴2x+
xf－1(1)
●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
1求值问题基类型：1°角求值2°值求值3°式求值4°求函数式值值域5°化简求值
2技巧方法：
1°寻求角角关系特殊性化非特角特殊角熟练准确应公式
2°注意切割化弦异角化角异名化名角变换等常规技巧运
3°条件求值问题认真寻找条件结关系寻找解题突破口难入手问题利分析法
4°求值问题常配方法换元法解决
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+10(a＞1)两根均tanαtanβαβ∈
(－)tan值( )
A B－2 C D －2
二填空题
2(★★★★)已知sinαα∈(π)tan(π－β) tan(α－2β)_________
3(★★★★★)设α∈()β∈(0)cos(α－)sin(+β)sin(α+β)_________
三解答题
4查表求值
5已知cos(+x)(＜x＜)求值
6(★★★★★)已知α－βπα≠kπ(k∈Z)求值值时条件
7(★★★★★)右图扇形OAB半径1中心角60°四边形PQRS扇形接矩形面积时求点P位置求面积
8(★★★★★)已知cosα+sinβsinα+cosβ取值范围Dx∈D求函数y值求取值时x
值
参考答案
难点磁场
解法：∵＜β＜α＜∴0＜α－β＜π＜α+β＜
∴sin(α－β)
∴sin2αsin［(α－β)+(α+β)］
sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)
解法二：∵sin(α－β)cos(α+β)－
∴sin2α+sin2β2sin(α+β)cos(α－β)－
sin2α－sin2β2cos(α+β)sin(α－β)－
∴sin2α
歼灭难点训练
1解析：∵a＞1tanα+tanβ－4a＜0
tanα+tanβ3a+1＞0αβ∈(－)∴αβ∈(－θ)∈(－0)tan(α+β)
整理2tan20解tan－2
答案：B
2解析：∵sinαα∈(π)∴cosα－
tanα－tan(π－β)tanβ－
答案：
3解析：α∈()α－∈(0 )cos(α－)
答案：
三4答案：2
（k∈Z） （k∈Z）
∴（k∈Z）时值－1
7解：OAx轴O原点建立面直角坐标系设P坐标(cosθsinθ)
｜PS｜sinθ直线OB方程yx直线PQ方程ysinθ联立解Q(sinθsinθ)｜PQ｜cosθ－sinθ
SPQRSsinθ(cosθ－sinθ)(sinθcosθ－sin2θ)(sin2θ－)(sin2θ+cos2θ－) sin(2θ+)－
∵0＜θ＜∴＜2θ+＜π∴＜sin(2θ+)≤1
∴sin(2θ+)1时PQRS面积面积时θ点P中点P()
8解：设usinα+cosβu2+()2(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)22+2sin(α+β)≤4∴u2≤1－1≤u≤1D［－11］设t∵－1≤x≤1∴1≤t≤x
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三角函数式化简求值高考考查重点容通节学考生掌握化简求值问题解题规律途径特掌握化简求值常规技巧优化解题效果做事半功倍
●难点磁场
(★★★★★)已知＜β＜α＜cos(α－β)sin(α+β)－求sin2α值_________
●案例探究
［例1］查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°值
命题意图：题考查两角二倍角公式降幂求值方法计算力求较高属★★★★级题目
知识托：熟知三角公式灵活应
错解分析：公式熟计算易出错
技巧方法：解法利三角公式进行等价变形解法二转化函数问题解法更简单更精妙需认真体会
解法：sin220°+cos280°+sin220°cos80°
(1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°
1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)
1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°
1－cos40°－(1－cos40°)
解法二：设xsin220°+cos280°+sin20°cos80°
ycos220°+sin280°－cos20°sin80°
x+y1+1－sin60°x－y－cos40°+cos160°+sin100°
－2sin100°sin60°+sin100°0
∴xyxsin220°+cos280°+sin20°cos80°
［例2］设关x函数y2cos2x－2acosx－(2a+1)值f(a)试确定满足f(a)a值时a值求y值
命题意图：题考查值问题三角函数界性计算力较强逻辑思维力属★★★★★级题目
知识托：二次函数定区间值问题
错解分析：考生易考查三角函数界性区间分类易出错
技巧方法：利等价转化问题化二次函数问题配方法数形结合分类讲座等
解：y2(cosx－)2－cosx∈［－11］：
f(a)
∵f(a)∴1－4aa［2+∞
－－2a－1解：a－1时
y2(cosx+)2+cosx1时x2kπk∈Zymax5
［例3］已知函数f(x)2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)正周期
(2)求f(x)值取值时相应x值
(3)x∈［］时f(x)反函数f－1(x)求f－1(1)值
命题意图：题考查三角公式周期值反函数等知识考查计算变形力综合运知识力属★★★★★级题目
知识托：熟知三角函数公式三角函数性质反函数等知识
错解分析：求f－1(1)值时易走弯路
技巧方法：等价转化逆思维
解：(1)f(x)2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx
2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin2x+sinxcosx
2sinxcosx+cos2x2sin(2x+)
∴f(x)正周期Tπ
(2)2x+2kπ－xkπ－ (k∈Z)时f(x)取值－2
(3)令2sin(2x+)1x∈［］
∴2x+∈［］∴2x+
xf－1(1)
●锦囊妙计
难点涉问题解决方法：
1求值问题基类型：1°角求值2°值求值3°式求值4°求函数式值值域5°化简求值
2技巧方法：
1°寻求角角关系特殊性化非特角特殊角熟练准确应公式
2°注意切割化弦异角化角异名化名角变换等常规技巧运
3°条件求值问题认真寻找条件结关系寻找解题突破口难入手问题利分析法
4°求值问题常配方法换元法解决
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+10(a＞1)两根均tanαtanβαβ∈
(－)tan值( )
A B－2 C D －2
二填空题
2(★★★★)已知sinαα∈(π)tan(π－β) tan(α－2β)_________
3(★★★★★)设α∈()β∈(0)cos(α－)sin(+β)sin(α+β)_________
三解答题
4查表求值
5已知cos(+x)(＜x＜)求值
6(★★★★★)已知α－βπα≠kπ(k∈Z)求值值时条件
7(★★★★★)右图扇形OAB半径1中心角60°四边形PQRS扇形接矩形面积时求点P位置求面积
8(★★★★★)已知cosα+sinβsinα+cosβ取值范围Dx∈D求函数y值求取值时x
值
参考答案
难点磁场
解法：∵＜β＜α＜∴0＜α－β＜π＜α+β＜
∴sin(α－β)
∴sin2αsin［(α－β)+(α+β)］
sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)
解法二：∵sin(α－β)cos(α+β)－
∴sin2α+sin2β2sin(α+β)cos(α－β)－
sin2α－sin2β2cos(α+β)sin(α－β)－
∴sin2α
歼灭难点训练
1解析：∵a＞1tanα+tanβ－4a＜0
tanα+tanβ3a+1＞0αβ∈(－)∴αβ∈(－θ)∈(－0)tan(α+β)
整理2tan20解tan－2
答案：B
2解析：∵sinαα∈(π)∴cosα－
tanα－tan(π－β)tanβ－
答案：
3解析：α∈()α－∈(0 )cos(α－)
答案：
三4答案：2
（k∈Z） （k∈Z）
∴（k∈Z）时值－1
7解：OAx轴O原点建立面直角坐标系设P坐标(cosθsinθ)
｜PS｜sinθ直线OB方程yx直线PQ方程ysinθ联立解Q(sinθsinθ)｜PQ｜cosθ－sinθ
SPQRSsinθ(cosθ－sinθ)(sinθcosθ－sin2θ)(sin2θ－)(sin2θ+cos2θ－) sin(2θ+)－
∵0＜θ＜∴＜2θ+＜π∴＜sin(2θ+)≤1
∴sin(2θ+)1时PQRS面积面积时θ点P中点P()
8解：设usinα+cosβu2+()2(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)22+2sin(α+β)≤4∴u2≤1－1≤u≤1D［－11］设t∵－1≤x≤1∴1≤t≤x
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