第九章 曲线积分曲面积分
作业13 弧长曲线积分
1．计算中直线抛物线围成区域整边界．
解：分解
2．中星形线第象限弧．
解：
原式
3．计算中折线ABC里ABC次点．
解：
4．中螺线相应变段弧．
解：
5．计算中L：．
解：L参数化
6．计算中L圆周直线轴第象限围成扇形整边界．
解：边界曲线需分段表达需分段积分
作业14 坐标曲线积分
1．计算列第二型曲线积分：
(1) 中逆时针方绕椭圆周
解：
原式
(2) 中点点段直线
解：
原式
(3) 中圆柱螺线 段弧
解：
原式
(4) 计算曲线积分中点A (1 1)抛物线点O (0 0) x轴点B (2 0)弧段．
解：积分曲线分段表达需分段积分
原式
2． 设力等作点横坐标方方轴负方求质量 质点抛物线点移动点时力作功．
解：
3．坐标曲线积分化成弧长曲线积分中 ：
(1) 面直线点点
(2) 抛物线点点．
解：（1）
（2）
作业15 格林公式应
1．填空题
(1) 设三顶点(0 0) (3 0) (3 2)三角形正边界 12 ．
(2) 设曲线顶点正方形边界
直接格林公式理_围区域部道点_．
（3）相应曲线积分第型曲线积分． 中点(1 1 1)点(1 2 3)直线段．
2．计算中L半圆周 点点弧．
解：L加构成区域边界负
3．计算中椭圆
正周．
解：原式
4．计算曲线积分 中连续函数圆周逆时针方点点 段弧．
解：令
原式
5．计算中
（1）圆周（反时针方）
解：原点该圆域部格林公式原式
（2）闭曲线（反时针方）．
解：围区域部原点仅该点满足格林公式条件作圆周（反时针方）圆环域格林公式
原式
6．证明列曲线积分面路径关计算积分值：
（1）
解：全面连续该曲线积分面路径关折线积分
原式
（2）
解：全面连续该曲线积分面路径关直线积分
原式
（3）．
解：全面连续该曲线积分面路径关折线积分
原式
7．设具连续导数计算
中L点点直线段．
解：右半面连续该曲线积分右半面路径关曲线积分
原式
8．验证列整面某函数全微分求出原函数：
（1）
解：全面连续该曲线积分面某函数全微分设函数
（2）
解：全面连续该曲线积分面某函数全微分设函数
原式
取
（3）
解：取折线作曲线积分
9．设变力坐标轴投影变力确定力场证明质点场移动时场力作功路径关．
证：
质点场意曲线移动时场力作功
全面连续质点场移动时场力作功路径关．
作业16 面积曲面积分
1．计算列面积曲面积分：
(1) 中锥面柱面截限部分
解：
原式
（2）中球面．
解：两块
原式
2．计算面圆柱面截出限部分．
解：两块
原式
（积分微元反号推出）
3．求球面含圆柱面部部分面积．
解：两块
原式
4．设圆锥面 质量均匀分布求重心位置．
解：设密度单位1称性设重点坐标
重点坐标
5．求抛物面壳质量壳密度规律变更．
解：
作业17 坐标曲面积分
1．中柱面面截第卦限部分前侧．
解：
原式
2．计算曲面积分中旋转抛物面侧介面间部分．
解：
原式
3．计算
中面围成空间区域整边界曲面外侧．
解：分片积分
原式（轮换称性）
4．坐标曲面积分
化面积曲面积分：
（1）面第卦限部分侧
（2）抛物面面方部分侧．
解：（1）
原式
（2）
原式
5．计算曲面积分中旋转抛物面侧介面z0z2间部分．
解：
原式（两类曲面积分互化）
（第二类曲面积分投影法计算）
（重积分称性）
6 ．已知速度场求流体单位时间通半锥面面围成锥体表面外流出流量．
解：
样
作业18 高斯公式斯托克斯公式
1．利高斯公式计算曲面积分：
(1) 中面围成立体表面外侧
解：原式
（2）中柱面面 围成立体表面外侧
解：原式
(3) 计算
中曲面绕y轴旋转周成曲面法量y轴正夹角恒．
解：加右侧构成封闭区域外侧
原式
2．设函数阶连续导数利高斯公式计算曲面积分
式中半球面侧．
解：加侧构成封闭区域侧
原式
3．利斯托克斯公式计算曲面积分：
（1） 式中圆周轴正 取逆时针方．
解：原式
（2）中圆周轴正 取逆时针方．．
解：原式
作业19 场初步
1．求列量场通曲面指定侧通量：
（1）面围成立体表面流外侧
解：
（2）点(312)球心半径球面流外侧．
解：
2． 求量场闭曲线环流量(z轴正 逆时针方)中圆周．
解：
3．求量场点M (1 1 2)处散度旋度．
解：
4．证明量场面调场求势函数．
解：
源场旋场调场
势函数
5．验证列量场保守场求势函数：
（1）
解：
旋场势场
势函数
（2）
解：
旋场势场
势函数
6．设具二阶连续偏导数计算
解：
具二阶连续偏导数
第九章曲线积分曲面积分测试题
1．填空题
（1）坐标曲线积分化成第类曲线积分中曲线弧点处
切量 方角
（2）设取正圆周曲线积分
（3）设曲线积分积分路径关中 阶连续导
（4）_0_中单位球面外侧
（5）设 0
．
2．计算列曲线积分：
（1）计算中球面面相交部分．
解：轮换称性
（2）中．
解：球坐标表达
原式
（3）中椭圆点点点弧段
解：参数表达
原式
（4）中交线方轴正成右手系
解：参数表达
原式
（5）中半圆周逆时针方
解：加形成半圆区域正边界
原式
（6）中点定点正方形整边界（取正）．
解：正
原式
3．计算列曲面积分：
（1）锥面介间部分．
解：原式
（2）计算．
解：两片
令
原式
（3）中错误通编辑域代码创建象半球面侧
解：
原式
（4）中锥面 外侧
解：加侧构成封闭区域外侧
原式
（5）中圆周正着轴正取逆时针方
解：STOCHS公式原式
（6）中曲线绕轴旋转旋转曲面侧．
解：加侧构成封闭区域侧
原式
4．设曲线积分路径关中
求．
解：曲线积分路径关连续导
5．设具连续导数表达式某函数全微分求求．
解：已知某函数全微分
6．证明右半面力做功走路径关计算点做功．
解：
8．证明：整面负半轴原点区域某二元函数全微分求出样二元函数．
解：偏导数整面负半轴原点区域连续整面负半轴原点区域某二元函数全微分
函数
9．求量通边界曲面流外侧通量．
解：
11．求量场点处散度．
解：
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作业13 弧长曲线积分
1．计算中直线抛物线围成区域整边界．
解：分解
2．中星形线第象限弧．
解：
原式
3．计算中折线ABC里ABC次点．
解：
4．中螺线相应变段弧．
解：
5．计算中L：．
解：L参数化
6．计算中L圆周直线轴第象限围成扇形整边界．
解：边界曲线需分段表达需分段积分
作业14 坐标曲线积分
1．计算列第二型曲线积分：
(1) 中逆时针方绕椭圆周
解：
原式
(2) 中点点段直线
解：
原式
(3) 中圆柱螺线 段弧
解：
原式
(4) 计算曲线积分中点A (1 1)抛物线点O (0 0) x轴点B (2 0)弧段．
解：积分曲线分段表达需分段积分
原式
2． 设力等作点横坐标方方轴负方求质量 质点抛物线点移动点时力作功．
解：
3．坐标曲线积分化成弧长曲线积分中 ：
(1) 面直线点点
(2) 抛物线点点．
解：（1）
（2）
作业15 格林公式应
1．填空题
(1) 设三顶点(0 0) (3 0) (3 2)三角形正边界 12 ．
(2) 设曲线顶点正方形边界
直接格林公式理_围区域部道点_．
（3）相应曲线积分第型曲线积分． 中点(1 1 1)点(1 2 3)直线段．
2．计算中L半圆周 点点弧．
解：L加构成区域边界负
3．计算中椭圆
正周．
解：原式
4．计算曲线积分 中连续函数圆周逆时针方点点 段弧．
解：令
原式
5．计算中
（1）圆周（反时针方）
解：原点该圆域部格林公式原式
（2）闭曲线（反时针方）．
解：围区域部原点仅该点满足格林公式条件作圆周（反时针方）圆环域格林公式
原式
6．证明列曲线积分面路径关计算积分值：
（1）
解：全面连续该曲线积分面路径关折线积分
原式
（2）
解：全面连续该曲线积分面路径关直线积分
原式
（3）．
解：全面连续该曲线积分面路径关折线积分
原式
7．设具连续导数计算
中L点点直线段．
解：右半面连续该曲线积分右半面路径关曲线积分
原式
8．验证列整面某函数全微分求出原函数：
（1）
解：全面连续该曲线积分面某函数全微分设函数
（2）
解：全面连续该曲线积分面某函数全微分设函数
原式
取
（3）
解：取折线作曲线积分
9．设变力坐标轴投影变力确定力场证明质点场移动时场力作功路径关．
证：
质点场意曲线移动时场力作功
全面连续质点场移动时场力作功路径关．
作业16 面积曲面积分
1．计算列面积曲面积分：
(1) 中锥面柱面截限部分
解：
原式
（2）中球面．
解：两块
原式
2．计算面圆柱面截出限部分．
解：两块
原式
（积分微元反号推出）
3．求球面含圆柱面部部分面积．
解：两块
原式
4．设圆锥面 质量均匀分布求重心位置．
解：设密度单位1称性设重点坐标
重点坐标
5．求抛物面壳质量壳密度规律变更．
解：
作业17 坐标曲面积分
1．中柱面面截第卦限部分前侧．
解：
原式
2．计算曲面积分中旋转抛物面侧介面间部分．
解：
原式
3．计算
中面围成空间区域整边界曲面外侧．
解：分片积分
原式（轮换称性）
4．坐标曲面积分
化面积曲面积分：
（1）面第卦限部分侧
（2）抛物面面方部分侧．
解：（1）
原式
（2）
原式
5．计算曲面积分中旋转抛物面侧介面z0z2间部分．
解：
原式（两类曲面积分互化）
（第二类曲面积分投影法计算）
（重积分称性）
6 ．已知速度场求流体单位时间通半锥面面围成锥体表面外流出流量．
解：
样
作业18 高斯公式斯托克斯公式
1．利高斯公式计算曲面积分：
(1) 中面围成立体表面外侧
解：原式
（2）中柱面面 围成立体表面外侧
解：原式
(3) 计算
中曲面绕y轴旋转周成曲面法量y轴正夹角恒．
解：加右侧构成封闭区域外侧
原式
2．设函数阶连续导数利高斯公式计算曲面积分
式中半球面侧．
解：加侧构成封闭区域侧
原式
3．利斯托克斯公式计算曲面积分：
（1） 式中圆周轴正 取逆时针方．
解：原式
（2）中圆周轴正 取逆时针方．．
解：原式
作业19 场初步
1．求列量场通曲面指定侧通量：
（1）面围成立体表面流外侧
解：
（2）点(312)球心半径球面流外侧．
解：
2． 求量场闭曲线环流量(z轴正 逆时针方)中圆周．
解：
3．求量场点M (1 1 2)处散度旋度．
解：
4．证明量场面调场求势函数．
解：
源场旋场调场
势函数
5．验证列量场保守场求势函数：
（1）
解：
旋场势场
势函数
（2）
解：
旋场势场
势函数
6．设具二阶连续偏导数计算
解：
具二阶连续偏导数
第九章曲线积分曲面积分测试题
1．填空题
（1）坐标曲线积分化成第类曲线积分中曲线弧点处
切量 方角
（2）设取正圆周曲线积分
（3）设曲线积分积分路径关中 阶连续导
（4）_0_中单位球面外侧
（5）设 0
．
2．计算列曲线积分：
（1）计算中球面面相交部分．
解：轮换称性
（2）中．
解：球坐标表达
原式
（3）中椭圆点点点弧段
解：参数表达
原式
（4）中交线方轴正成右手系
解：参数表达
原式
（5）中半圆周逆时针方
解：加形成半圆区域正边界
原式
（6）中点定点正方形整边界（取正）．
解：正
原式
3．计算列曲面积分：
（1）锥面介间部分．
解：原式
（2）计算．
解：两片
令
原式
（3）中错误通编辑域代码创建象半球面侧
解：
原式
（4）中锥面 外侧
解：加侧构成封闭区域外侧
原式
（5）中圆周正着轴正取逆时针方
解：STOCHS公式原式
（6）中曲线绕轴旋转旋转曲面侧．
解：加侧构成封闭区域侧
原式
4．设曲线积分路径关中
求．
解：曲线积分路径关连续导
5．设具连续导数表达式某函数全微分求求．
解：已知某函数全微分
6．证明右半面力做功走路径关计算点做功．
解：
8．证明：整面负半轴原点区域某二元函数全微分求出样二元函数．
解：偏导数整面负半轴原点区域连续整面负半轴原点区域某二元函数全微分
函数
9．求量通边界曲面流外侧通量．
解：
11．求量场点处散度．
解：
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