第十章 穷级数
作业29 常数项级数概念性质
1．定义判断列级数敛散性收敛求：
（1）
解：
定义知该级数收敛
（2）
解：
定义知该级数发散
（3）
解：
定义知该级数收敛
（4）
解：
次重复
存
定义知该级数发散
2．利基性质判列级数敛散性：
（1）
解：观察发现该级数发散调级数项
级数基性质该级数发散
（2）
解：观察发现该级数收敛两等级数逐项相加
级数基性质该级数收敛
（3）
解：观察发现该级数收敛等级数发散逐项相加
级数基性质该级数发散
（4）．
解：观察发现该级数般项
级数收敛必条件该级数发散
作业30 正项级数收敛性
1．较判法（定理2推）判定列级数敛散性：
（1）
解：收敛等级数
较判法该级数收敛
（2）．
解：收敛等级数
较判法极限形式该级数收敛
2．达朗贝尔判法判定列级数敛散性：
（1）
解：
达朗贝尔判法该级数收敛
（2）
解：
达朗贝尔判法该级数收敛
（3）
解：
达朗贝尔判法该级数收敛
（4）．
解：
达朗贝尔判法该级数收敛
3．柯西判法判定列级数敛散性：
（1）
解：
柯西判法该级数收敛
（2）．
解：
柯西判法该级数收敛
4．判法判定列级数敛散性：
（1）
解：发散级数判法该级数发散
（2）．
解：发散级数判法该级数发散
5．设正整数证明：
（1）
解：说
达朗贝尔判法该级数收敛
级数收敛必条件知
（2）．
解：说
达朗贝尔判法该级数收敛
级数收敛必条件知
穷量穷关系
作业31 交错级数意项级数收敛性
1．判列级数敛散性收敛说明条件收敛绝收敛：
（1）
解：该级数交错级数般项绝值
单调减少
莱布尼茨判法知收敛
判法知发散
原级数会绝收敛条件收敛
（2）
解：判法知绝收敛
（3）
解：存
收敛级数必条件该级数发散
（4）
解：
达朗贝尔判法该级数绝收敛
（5）．
解：时显然收敛否
时达朗贝尔判法该级数绝收敛
时级数变发散
时级数变条件收敛
7．存证明绝收敛．
证明：已知
绝收敛．
8．级数绝收敛试证：级数收敛．级数否收敛？什？
证明：级数绝收敛必收敛必条件
级数意义
级数收敛
级数发散收敛必条件满足
作业32 幂级数求
1． 求列幂级数收敛半径收敛域：
（1）
解：
时条件收敛
收敛域
（2）
解：
时级数发散
收敛域
（3）
解：时
时幂级数级数发散
时幂级数级数收敛收敛域时
时
时级数发散
时收敛域
（4）
解：
时条件收敛
收敛域
（5）
解：
收敛域
（6）．
解：
时条件收敛时发散
原级数收敛半径1收敛域
2．求列幂级数收敛域函数：
（1）
解：
时条件收敛时发散
幂级数收敛域
设
（2）
解：
时发散
幂级数收敛域
（3）．
解：
幂级数收敛域
设
特征方程通解
特解
（4）求数项级数．
解：时发散
幂级数收敛域
设
作业33 函数展开成幂级数
1．列函数展开成麦克劳林级数（指出成立区间）：
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）(提示：利)
解：
（5）．
解：
2．列函数展开成幂级数（指出成立区间）：
（1）
解：
（2）．
解：
3．求列函数幂级数展开式确定成立区间：
（1）
解：
（2）．
解：
4．展开幂级数证明：．
解：
作业34 傅里叶级数
1．列周期函数周期周期表达式列举试求 傅里叶级数展开式．
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）．
解：
2．列函数展开成傅里叶级数：
（1）
解：
（2）
解：
3．列函数分展开成正弦级数余弦级数：
（1）
解：展开成正弦级数作奇延拓
展开成余弦级数作偶延拓
（2）
解：展开成正弦级数作奇延拓
展开成余弦级数作偶延拓
作业35 般周期函数傅里叶级数
1．设周期6周期函数表达式
试求傅里叶展开式．
解：
2．指定区间展开列函数傅里叶级数：
解：取作周期延拖限定函数偶函数
时
时
3．函数
分展开成正弦级数余弦级数．
解：展开成正弦级数作奇延拓
展开成余弦级数作偶延拓
4．试函数展开成周期8正弦级数．
解：展开成正弦级数作奇延拓
第十章穷级数测试题
1．选择题：
（1）级数收敛 B 条件．
A．充分 B．必 C．充 D．非充分非必．
（2）部分数列界正项级数收敛 C 条件．
A．充分 B．必 C．充 D．非充分非必．
（3）级数绝收敛级数必定 A ．
A．收敛 B．发散 C．绝收敛 D．条件收敛．
（4）级数条件收敛级数必定 B ．
A．收敛 B．发散 C．绝收敛 D．条件收敛．
2．适方法判定列级数敛散性：
（1）
解：
该正项级数发散
（2）
解：
该正项级数收敛
（3）
解：
该正项级数收敛
（4）
解：
该正项级数收敛
（5）
解：
该正项级数发散
（6）
解：
该正项级数发散
（7）
解：
该正项级数发散
（8）
解：设时
收敛必条件满足
设理推出
级数收敛原正项级数收敛
（9）中均正数
解：柯西判法
时发散时该正项级数收敛
时判定敛散性
（10）．
解：积分中值定理
较判法收敛
3．判列级数敛散性收敛说明条件收敛绝收敛：
（1）
解：令时
单碟减少
布尼茨判法收敛
条件收敛绝收敛
（2）
解：
该级数交错级数单碟减少
布尼茨判法收敛
条件收敛绝收敛
（3）
解：
该级数绝收敛
（4）．
解：掉前面限项足够时交错级数
足够单碟减少
布尼茨判法收敛绝收敛
4．求列极限：
（1）
解：单调增加
夹逼准
（2）．
解：令
5．求列幂级数收敛半径收敛域：
（1）
解：
般项极限零发散
该幂级数收敛半径收敛域
（2）．
解：收敛半径
考虑端点时收敛域时收敛域
时收敛域
6．求列幂级数收敛域函数：
（1）
解：收敛半径
考虑端点知收敛域
收敛域设
收敛域设
（2）．
解：解：收敛半径
考虑端点知收敛域
收敛域设
7．列函数展开成麦克劳林级数（指出成立区间）：
（1）
解：
（2）
解：
（3）．
解：
8．列函数展开成幂级数（指出成立区间）：
（1）
解：
（2）．
解：
9．列函数展开成傅里叶级数：
解：该函数奇函数延拓周期周期函数展开
10．函数区间分展开成正弦级数余弦级数．
解：该函数延拓奇函数延拓周期周期函数展开正弦级数
该函数延拓偶函数延拓周期周期函数展开余弦级数
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作业29 常数项级数概念性质
1．定义判断列级数敛散性收敛求：
（1）
解：
定义知该级数收敛
（2）
解：
定义知该级数发散
（3）
解：
定义知该级数收敛
（4）
解：
次重复
存
定义知该级数发散
2．利基性质判列级数敛散性：
（1）
解：观察发现该级数发散调级数项
级数基性质该级数发散
（2）
解：观察发现该级数收敛两等级数逐项相加
级数基性质该级数收敛
（3）
解：观察发现该级数收敛等级数发散逐项相加
级数基性质该级数发散
（4）．
解：观察发现该级数般项
级数收敛必条件该级数发散
作业30 正项级数收敛性
1．较判法（定理2推）判定列级数敛散性：
（1）
解：收敛等级数
较判法该级数收敛
（2）．
解：收敛等级数
较判法极限形式该级数收敛
2．达朗贝尔判法判定列级数敛散性：
（1）
解：
达朗贝尔判法该级数收敛
（2）
解：
达朗贝尔判法该级数收敛
（3）
解：
达朗贝尔判法该级数收敛
（4）．
解：
达朗贝尔判法该级数收敛
3．柯西判法判定列级数敛散性：
（1）
解：
柯西判法该级数收敛
（2）．
解：
柯西判法该级数收敛
4．判法判定列级数敛散性：
（1）
解：发散级数判法该级数发散
（2）．
解：发散级数判法该级数发散
5．设正整数证明：
（1）
解：说
达朗贝尔判法该级数收敛
级数收敛必条件知
（2）．
解：说
达朗贝尔判法该级数收敛
级数收敛必条件知
穷量穷关系
作业31 交错级数意项级数收敛性
1．判列级数敛散性收敛说明条件收敛绝收敛：
（1）
解：该级数交错级数般项绝值
单调减少
莱布尼茨判法知收敛
判法知发散
原级数会绝收敛条件收敛
（2）
解：判法知绝收敛
（3）
解：存
收敛级数必条件该级数发散
（4）
解：
达朗贝尔判法该级数绝收敛
（5）．
解：时显然收敛否
时达朗贝尔判法该级数绝收敛
时级数变发散
时级数变条件收敛
7．存证明绝收敛．
证明：已知
绝收敛．
8．级数绝收敛试证：级数收敛．级数否收敛？什？
证明：级数绝收敛必收敛必条件
级数意义
级数收敛
级数发散收敛必条件满足
作业32 幂级数求
1． 求列幂级数收敛半径收敛域：
（1）
解：
时条件收敛
收敛域
（2）
解：
时级数发散
收敛域
（3）
解：时
时幂级数级数发散
时幂级数级数收敛收敛域时
时
时级数发散
时收敛域
（4）
解：
时条件收敛
收敛域
（5）
解：
收敛域
（6）．
解：
时条件收敛时发散
原级数收敛半径1收敛域
2．求列幂级数收敛域函数：
（1）
解：
时条件收敛时发散
幂级数收敛域
设
（2）
解：
时发散
幂级数收敛域
（3）．
解：
幂级数收敛域
设
特征方程通解
特解
（4）求数项级数．
解：时发散
幂级数收敛域
设
作业33 函数展开成幂级数
1．列函数展开成麦克劳林级数（指出成立区间）：
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）(提示：利)
解：
（5）．
解：
2．列函数展开成幂级数（指出成立区间）：
（1）
解：
（2）．
解：
3．求列函数幂级数展开式确定成立区间：
（1）
解：
（2）．
解：
4．展开幂级数证明：．
解：
作业34 傅里叶级数
1．列周期函数周期周期表达式列举试求 傅里叶级数展开式．
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）．
解：
2．列函数展开成傅里叶级数：
（1）
解：
（2）
解：
3．列函数分展开成正弦级数余弦级数：
（1）
解：展开成正弦级数作奇延拓
展开成余弦级数作偶延拓
（2）
解：展开成正弦级数作奇延拓
展开成余弦级数作偶延拓
作业35 般周期函数傅里叶级数
1．设周期6周期函数表达式
试求傅里叶展开式．
解：
2．指定区间展开列函数傅里叶级数：
解：取作周期延拖限定函数偶函数
时
时
3．函数
分展开成正弦级数余弦级数．
解：展开成正弦级数作奇延拓
展开成余弦级数作偶延拓
4．试函数展开成周期8正弦级数．
解：展开成正弦级数作奇延拓
第十章穷级数测试题
1．选择题：
（1）级数收敛 B 条件．
A．充分 B．必 C．充 D．非充分非必．
（2）部分数列界正项级数收敛 C 条件．
A．充分 B．必 C．充 D．非充分非必．
（3）级数绝收敛级数必定 A ．
A．收敛 B．发散 C．绝收敛 D．条件收敛．
（4）级数条件收敛级数必定 B ．
A．收敛 B．发散 C．绝收敛 D．条件收敛．
2．适方法判定列级数敛散性：
（1）
解：
该正项级数发散
（2）
解：
该正项级数收敛
（3）
解：
该正项级数收敛
（4）
解：
该正项级数收敛
（5）
解：
该正项级数发散
（6）
解：
该正项级数发散
（7）
解：
该正项级数发散
（8）
解：设时
收敛必条件满足
设理推出
级数收敛原正项级数收敛
（9）中均正数
解：柯西判法
时发散时该正项级数收敛
时判定敛散性
（10）．
解：积分中值定理
较判法收敛
3．判列级数敛散性收敛说明条件收敛绝收敛：
（1）
解：令时
单碟减少
布尼茨判法收敛
条件收敛绝收敛
（2）
解：
该级数交错级数单碟减少
布尼茨判法收敛
条件收敛绝收敛
（3）
解：
该级数绝收敛
（4）．
解：掉前面限项足够时交错级数
足够单碟减少
布尼茨判法收敛绝收敛
4．求列极限：
（1）
解：单调增加
夹逼准
（2）．
解：令
5．求列幂级数收敛半径收敛域：
（1）
解：
般项极限零发散
该幂级数收敛半径收敛域
（2）．
解：收敛半径
考虑端点时收敛域时收敛域
时收敛域
6．求列幂级数收敛域函数：
（1）
解：收敛半径
考虑端点知收敛域
收敛域设
收敛域设
（2）．
解：解：收敛半径
考虑端点知收敛域
收敛域设
7．列函数展开成麦克劳林级数（指出成立区间）：
（1）
解：
（2）
解：
（3）．
解：
8．列函数展开成幂级数（指出成立区间）：
（1）
解：
（2）．
解：
9．列函数展开成傅里叶级数：
解：该函数奇函数延拓周期周期函数展开
10．函数区间分展开成正弦级数余弦级数．
解：该函数延拓奇函数延拓周期周期函数展开正弦级数
该函数延拓偶函数延拓周期周期函数展开余弦级数
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