第八章 重积分
作业9 二重积分概念性质
1．利二重积分性质较列积分：
（1）
(a)D直线围成闭区域
(b) D圆周围成闭区域．
解：(a)区域部
(b)区域部
（2）
(a)D矩形闭区域：
(b) D矩形闭区域：．
解：(a)区域部
(b)区域部
（3）中三坐标面面围成闭区域．
解：区域部
2．利积分性质估计列积分值：
（1）中D矩形闭区域：
解：区域部
（2）中球体
解：区域部
（3）中L圆周位第象限部分
解：曲线积分
妨设
（4）中柱面面截部分．
解：曲面积分
作业10 二重积分计算
1．试二重积分化两种二次积分中区域D分：
（1）直线双曲线围成闭区域
解：作图知区域D表示：
区域D分块表示：
（2）环形闭区域：．
解：极坐标环形闭区域
直角坐标环形闭区域需分块表达分块积分变
2．改换列二次积分积分次序（填空）：
（1）
（2）
（3）．
3．画出积分区域计算列二重积分：
（1）中D两条抛物线围成闭区域
解：作图原式
（2）中D确定闭区域
解：作图原式
（3）中D等式围成闭区域
解：作图原式
（4）中D顶点分三角形闭区域．
解：作图原式
4．求曲线围成闭区域面积．
解：曲线方程联立
作图知原式
5．求四面围柱体面 截立体体积．
解：四面决定区域D：
区域D部
截立体体积
6．化列二次积分极坐标系二次积分：
（1）
（2）
7．利极坐标计算列积分：
（1）中D圆周围成闭区域
解：D圆周
（2）中圆围成闭区域
解：D圆周围成
知
原式
（3） D确定闭区域
解：D圆环关原点称两部分
原式
（称性更简单：称点积分微元反号）
（4）中D介两圆间闭区域．
解：D介两圆间知
原式
8．适坐标计算列积分：
（1）中直线（）围成闭区域
解：作图知直角坐标表达方便
（2） 中圆周围成闭区域
解：表达式极坐标表达方便
原式
（3）D：
解：先作坐标轴移极坐标
原式
（4）D：．
解：广义极坐标
原式
作业11 三重积分概念计算
1．试三重积分化三次积分中积分区域分：
（1）双曲抛物面面围闭区域
（2）曲面围闭区域
．
2．计算列三重积分：
（1）中面围成四面体
解：分析边界作图知
原式
（2）中曲面面围闭区域
解：分析边界作图知
原式
（3）中面抛物柱面围闭区域．
解：分析边界作图知
原式
3．利柱面坐标计算列三重积分：
（1）中曲面面围成闭区域
解：原式
（2）中曲面围成闭区域
解：原式
（3）中曲面面围成闭区域
解：原式
（4）中曲面面围成闭区域．
解：先作坐标轴移柱坐标
原式
4．利球面坐标计算列三重积分：
（1）中球面围成闭区域
解：
原式
（2）中等式（）确定闭区域
解：
原式
（3）中等式 确定闭区域．
解：
原式
5 选取适坐标计算列三重积分：
（1）中柱面面围成第卦限闭区域
解：柱坐标
原式
（2）中球面围闭区域
解：球坐标
原式
（3）中曲面面围闭区域
解：柱坐标
原式
（4）中球面围第卦限闭区域
解：球坐标
原式
（5）中椭球面围成闭区域．
解：广义球坐标
原式
作业12 重积分应
1．球心原点半径球体意点体密度该点球心距离成正求球体质量．
解：设球面方程球密度
球体质量
2．求球体质心里假设球体点处密度等该点坐标原点距离方．
解：称性质心应该z轴设
3．设均匀面薄片椭圆形闭区域：求转动惯量．
解：广义极坐标
4．设半径球体点密度该点球心距离成正求质量非均匀球体直径转动惯量．
解：设球面方程球密度
球体直径转动惯量
5．求面密度常数均匀圆环形薄片：位轴点处单位质量质点引力．
解：设环域点处单位面积产生引力微元
称性
6．均匀物体（密度常量）占闭区域曲面面围成（1）求物体体积（2）求物体质心（3）求物体关z轴转动惯量．
解：
称性质心应该z轴设
第八章重积分测试题
1．选择题中出四结中正确结：
（1）设空间闭区域
（ D ）
（A） （B）
（C） （D）．
（2）设面闭区域
（ A ）
（A） （B）
（C） （D）．
（3）设界闭区域连续函数时极限（ B ）
A存 B 等
C 等 D 等．
2．选择适坐标系计算列二重积分：
（1）直线围成区域
解：作图分块积分
原式
（2）中D围成
解：作图分块积分
原式
（3）中
原式
（4）中D围成面区域
解：作图知没
原式
（5）D：
解：作图知分块积分区处理较方便
原式
3．交换列二次积分次序：
（1）
（2）
（3）．
4．变极坐标形式二次积分中D等式规定．
解：
5．计算中D矩形域：．
解：作图需分块积分
原式
6．计算中围．
解：作图分析推理：
原式
7．三次积分变柱坐标球坐标形式．
解：限知
坐标转化公式推出区域表达式出
柱坐标
球坐标
8．计算中．
解：知
原式
9．计算列三重积分：
（1） 球面围成闭区域．
解：时积分微元称点刚反号
（2）中xOy面曲线绕轴旋转成曲面面围成闭区域．
解：曲线绕轴旋转成曲面面交线
围成闭区域
10．求面三坐标面割出限部分面积．
解：面
11．设连续试证：
中正整数．
证：左边
右边
12．求曲面点处切面曲面围成空间立体体积．
解：切面法量
切面
切面曲面交线投影柱面交切面
13．面薄片占闭区域等式：确定点面密度试求该薄片质量．
解：极坐标做方便
求交点
14．求抛物线直线围成均匀薄片（面密度常数）直线转动惯量．
解：
15．设面质量M匀质半圆形薄片占面闭区域圆心垂直薄片直线质量质点求半圆形薄片质点引力．
解：
称性
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作业9 二重积分概念性质
1．利二重积分性质较列积分：
（1）
(a)D直线围成闭区域
(b) D圆周围成闭区域．
解：(a)区域部
(b)区域部
（2）
(a)D矩形闭区域：
(b) D矩形闭区域：．
解：(a)区域部
(b)区域部
（3）中三坐标面面围成闭区域．
解：区域部
2．利积分性质估计列积分值：
（1）中D矩形闭区域：
解：区域部
（2）中球体
解：区域部
（3）中L圆周位第象限部分
解：曲线积分
妨设
（4）中柱面面截部分．
解：曲面积分
作业10 二重积分计算
1．试二重积分化两种二次积分中区域D分：
（1）直线双曲线围成闭区域
解：作图知区域D表示：
区域D分块表示：
（2）环形闭区域：．
解：极坐标环形闭区域
直角坐标环形闭区域需分块表达分块积分变
2．改换列二次积分积分次序（填空）：
（1）
（2）
（3）．
3．画出积分区域计算列二重积分：
（1）中D两条抛物线围成闭区域
解：作图原式
（2）中D确定闭区域
解：作图原式
（3）中D等式围成闭区域
解：作图原式
（4）中D顶点分三角形闭区域．
解：作图原式
4．求曲线围成闭区域面积．
解：曲线方程联立
作图知原式
5．求四面围柱体面 截立体体积．
解：四面决定区域D：
区域D部
截立体体积
6．化列二次积分极坐标系二次积分：
（1）
（2）
7．利极坐标计算列积分：
（1）中D圆周围成闭区域
解：D圆周
（2）中圆围成闭区域
解：D圆周围成
知
原式
（3） D确定闭区域
解：D圆环关原点称两部分
原式
（称性更简单：称点积分微元反号）
（4）中D介两圆间闭区域．
解：D介两圆间知
原式
8．适坐标计算列积分：
（1）中直线（）围成闭区域
解：作图知直角坐标表达方便
（2） 中圆周围成闭区域
解：表达式极坐标表达方便
原式
（3）D：
解：先作坐标轴移极坐标
原式
（4）D：．
解：广义极坐标
原式
作业11 三重积分概念计算
1．试三重积分化三次积分中积分区域分：
（1）双曲抛物面面围闭区域
（2）曲面围闭区域
．
2．计算列三重积分：
（1）中面围成四面体
解：分析边界作图知
原式
（2）中曲面面围闭区域
解：分析边界作图知
原式
（3）中面抛物柱面围闭区域．
解：分析边界作图知
原式
3．利柱面坐标计算列三重积分：
（1）中曲面面围成闭区域
解：原式
（2）中曲面围成闭区域
解：原式
（3）中曲面面围成闭区域
解：原式
（4）中曲面面围成闭区域．
解：先作坐标轴移柱坐标
原式
4．利球面坐标计算列三重积分：
（1）中球面围成闭区域
解：
原式
（2）中等式（）确定闭区域
解：
原式
（3）中等式 确定闭区域．
解：
原式
5 选取适坐标计算列三重积分：
（1）中柱面面围成第卦限闭区域
解：柱坐标
原式
（2）中球面围闭区域
解：球坐标
原式
（3）中曲面面围闭区域
解：柱坐标
原式
（4）中球面围第卦限闭区域
解：球坐标
原式
（5）中椭球面围成闭区域．
解：广义球坐标
原式
作业12 重积分应
1．球心原点半径球体意点体密度该点球心距离成正求球体质量．
解：设球面方程球密度
球体质量
2．求球体质心里假设球体点处密度等该点坐标原点距离方．
解：称性质心应该z轴设
3．设均匀面薄片椭圆形闭区域：求转动惯量．
解：广义极坐标
4．设半径球体点密度该点球心距离成正求质量非均匀球体直径转动惯量．
解：设球面方程球密度
球体直径转动惯量
5．求面密度常数均匀圆环形薄片：位轴点处单位质量质点引力．
解：设环域点处单位面积产生引力微元
称性
6．均匀物体（密度常量）占闭区域曲面面围成（1）求物体体积（2）求物体质心（3）求物体关z轴转动惯量．
解：
称性质心应该z轴设
第八章重积分测试题
1．选择题中出四结中正确结：
（1）设空间闭区域
（ D ）
（A） （B）
（C） （D）．
（2）设面闭区域
（ A ）
（A） （B）
（C） （D）．
（3）设界闭区域连续函数时极限（ B ）
A存 B 等
C 等 D 等．
2．选择适坐标系计算列二重积分：
（1）直线围成区域
解：作图分块积分
原式
（2）中D围成
解：作图分块积分
原式
（3）中
原式
（4）中D围成面区域
解：作图知没
原式
（5）D：
解：作图知分块积分区处理较方便
原式
3．交换列二次积分次序：
（1）
（2）
（3）．
4．变极坐标形式二次积分中D等式规定．
解：
5．计算中D矩形域：．
解：作图需分块积分
原式
6．计算中围．
解：作图分析推理：
原式
7．三次积分变柱坐标球坐标形式．
解：限知
坐标转化公式推出区域表达式出
柱坐标
球坐标
8．计算中．
解：知
原式
9．计算列三重积分：
（1） 球面围成闭区域．
解：时积分微元称点刚反号
（2）中xOy面曲线绕轴旋转成曲面面围成闭区域．
解：曲线绕轴旋转成曲面面交线
围成闭区域
10．求面三坐标面割出限部分面积．
解：面
11．设连续试证：
中正整数．
证：左边
右边
12．求曲面点处切面曲面围成空间立体体积．
解：切面法量
切面
切面曲面交线投影柱面交切面
13．面薄片占闭区域等式：确定点面密度试求该薄片质量．
解：极坐标做方便
求交点
14．求抛物线直线围成均匀薄片（面密度常数）直线转动惯量．
解：
15．设面质量M匀质半圆形薄片占面闭区域圆心垂直薄片直线质量质点求半圆形薄片质点引力．
解：
称性
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