87概率统计
教学目标
1 准确判断事件发生等性游戏规公性问题
2 运排列组合知识枚举等计数方法求解概率问题．
3 理解运概率性质进行概率运算
知识点拨
知识点说明
抛掷枚硬币时究竟会出现什样结果事先确定相条件量重复抛掷枚均匀硬币时会发现出现正面出现反面次数约占总抛掷次数半左右．里量重复指少次呢？
历史少统计学家例皮尔逊等作成千万次抛掷硬币试验着试验次数增加出现正面频率波动越越频率定值附摆动性质出现正面现象必然性规律表现恰恰刻画出现正面性数值抛掷硬币时出现正面概率．概率统计定义思想思想出实际问题中估算概率似值方法试验次数足够时频率作概率似值．
统计里考察象全体做总体中考察象做体
总体中抽取部分体做总体样样中体数目做样容量
总体中体均数做总体均数样中体均数做样均数
概率古典定义：
果试验满足两条：
⑴试验限基结果：
⑵试验基结果出现性样．
样试验称古典试验．
古典试验中事件概率定义：
表示该试验中出现基结果总数目表示事件包含试验基结果数．学奥数中涉问题属古典概率．中需枚举加原理排列组合等方法求出．
相互独立事件：
事件否发生事件发生概率没影响样两事件做相互独立事件．
公式含义：果事件独立事件发生概率等事件发生概率事件发生概率积．
举例：
⑴明天否晴天明天晚餐否煎鸡蛋相互没影响两事件相互独立事件明天天晴晚餐煎鸡蛋概率等明天天晴概率明天晚餐煎鸡蛋概率
⑵第次抛硬币掉正面第二次抛硬币正面两相互独立事件．第次第二次抛硬币掉正面概率等两次分抛硬币掉正面概率积
⑶掷骰子骰子否掉桌骰子某数字两相互独立事件果骰子掉桌概率骰子掉桌数字概率．
例题精讲
例 1 （希杯二试六年级)气象台预报市明天降雨概率．信息列说法中正确 ．
①市明天区降水． ②市明天时间降水．
③明天肯定雨． ④明天降水性较．
解析 降水概率指性降水覆盖区者降水时间．
概率指肯定雨概率肯定雨．
概率说明较性雨．④说法正确．
巩固 方木块六面分写数字光亮两意桌面扔放木块．规定：光扔时果面写偶数分．亮扔时果面写奇数分．扔次______分高性较．
解析 中奇数偶数木块面写着奇数性较亮分高性较．
例 2 家商店中调查某商品价格数（单位：元）
25 21 23 25 27 29 25 28 30 29
26 24 25 27 26 22 24 25 26 28
请填写表
解析 ：
例 3 某池塘中机捕捞条鱼鱼作标记放回池塘中段时间次机捕捞尾发现中条鱼作标记果两次捕捞间鱼数量没增加减少请估计池塘中鱼少尾？
解析 200尾鱼中条鱼标记池塘中鱼标记概率实验出值池塘中鱼标记概率作池塘中鱼数量约尾．
例 4 黑桃红桃方块草花4种花色扑克牌2张8张牌中意取出2张请问：2张扑克牌花色相概率少？
解析 先8张牌中选2张牌28种选法然满足条件选法4种4种花色两张牌花色相概率428＝17
巩固 悦123455然数中选数冬冬2345676然数中选数选出两数中恰数数倍数概率少
解析 悦123455然数中选数5种选法
冬冬2345676然数中选数6种许选法
总组合5×6＝30种选法
中满足倍数关系分悦取1时6种
悦取2时3种 悦取3时2种
悦取4时2种悦取5时1种
14种满足条件概率1430＝715
例 5 妈妈家乐福购物正碰橘子香蕉葡萄榴莲降价决定4中水果中选种买回家爸爸班时路集贸市场发现苹果橘子香蕉葡萄梨出售决定选种买回家请问：买水果概率少？
解析 妈妈爸爸买香蕉概率14×15120
买橘子概率14×15120
买葡萄概率14×15120
买水果概率13201720
巩固 标准英文字典中2字母组成单词55果26字母中取2排列起恰拍成单词概率少？
解析 26母中选2字母进行排列650种选法满足条件26种恰构成单词概率5565011130
巩固 口袋里装100张卡片分写着123……100中意抽出张请问：
（1）抽出卡片数正37概率少？
（2）抽出卡片数偶数概率少？
（3）抽出卡片数质数概率少？
（4）抽出卡片数101概率少？
（5）抽出卡片数200概率少？
解析 机抽出100种37概率1100
100种50偶数偶数概率50100＝12
10025质数质数概率14
抽出卡片101概率0
抽出数200概率1
例 6 口袋里装着2红球3黄球4黑球口袋中取球请问：
（1）球红球概率少？
（2）球黄球者黑球概率少？
（3）绿球概率少？绿球概率少
解析 口袋里9球2红球机取29概率取红球
球红球黄球者黑球取黄球者黑球概率79
没绿球取旅求概率0绿球概率1
巩固 口袋里装5黑球3白球口袋里装4黑球4白球两口袋里取出球请问：取出两球颜色相概率少？
解析 总取法数8×8＝64种满足条件选法选出黑球5×4＝20种选出白球 3×4＝12种 32种满足条件 两球颜色相概率3264＝12
巩固 普通骰子6面分写123456掷出骰子面概率16假设某骰子连续投掷9次次结果1点第十次投掷面点数恰奇数概率少？
解析 题注意投掷9次结果实第十次没影响第十次投掷投掷出135满足条件总1～6六种概率12
巩固 甲乙两学生数字中机挑选两数字（相）求：⑴两数字差超概率⑵两数字差超概率．
解析 ⑴两数相（差0）情况种
两数差种
两数差情况种
两数差超概率．
⑵两数差情况种．
两数差情况种．
两数差情况种．
两数字差超概率
两数字差超概率
巩固 悦掷出2枚骰子掷出2数字恰等10概率少？
解析 掷出2骰子总情况6×636种
中10第次掷出4第二次掷出6
第次掷出5第二次掷出5
第次掷出6第二次掷出4
满足条件情况三种恰10概率112
巩固 分先掷2次骰子点数6概率少？点数积6概率少？
解析 根法原理先两次掷骰子出现两点数种情况．
点数情况全部枚举出：
：：：：：
点数积情况：：：：．
两数相加65组36组点数6概率：
点数积6概率．
例 7 枚硬币连续抛掷3次少次正面概率 ．
解析 反面考虑先求三次正面概率少次正面概率．
巩固 冬冬阿奇做游戏：冬冬抛出3枚硬币果抛出结果中2枚2枚硬币正面冬冬获胜否阿奇获胜请问：游戏公？
解析 冬冬获胜概率两枚者两枚硬币正面
两枚硬币正面概率三次投掷中选两次正面3种种概率312连等38三枚硬币正面概率18
冬冬获胜概率12阿奇获胜概率12游戏公
巩固枚硬币连续抛4次求恰2次正面概率．
解析 首先抛掷枚硬币程出现正面概率连续抛掷四次次结果间相互独立独立事件重复实验恰2次正面概率．
解：抛次出现正面反面两种情况抛4次种情况中恰2次正面种情况恰2次正面概率．
巩固 枚硬币连续抛掷3次求少两次正面概率．
解析 少两次正面分2次正面3次正面两种情形 ⑴2次正面：时1次正面第1次第2次第3次时3种情况⑵3次正面时种情况．少两次正面4种情况连续抛掷3次硬币种情况少两次正面概率：．
巩固 阿奇次指出8枚硬币结果恰4枚硬币正面概率少？超4枚硬币正面概率少？
解析 投掷8枚硬币恰4次正面应该8次中选择4次正面四次概率412联时忘记剩4次定反面412连恰4枚硬币概率35128
利称思想超4枚硬币正面概率应该少4枚硬币概率相超4枚硬币正面概率（1－35128）÷2＝93256
例 8 图示球放顶部顶部轨道落球落底部左右概率次_______．
解析 球顶点时概率1岔口落入两边机会均等采标数法右图示左右落底部概率次．
巩固 图两间道路图中⊙表示加油站王驾车行驶出现两条通目方道路路口时（路口三叉路口条两条路通目）抛硬币方式机选择路线求：⑴王驾车加油站概率．⑵王驾车加油站概率．
解析 运标数法标数规（性质）：
⑴起点开始标１．
⑵数标线节点起点方节点相连线路标数目标方节点相连线路标数相等．
⑶节点目标方线路标数相等．
图：加油站概率
图：加油站概率
例 9 明爬楼梯时抛硬币确定步跨台阶台阶果正跨台阶果反跨出台阶明走完四步时恰跨出台阶概率少？
解析 明跨出步情况种情况中恰跨出台阶情况：
六种
概率．
巩固 明爬楼梯掷骰子确定步跨台阶步数果点数跨台阶果跨出台阶明走完四步时恰跨出台阶概率少？
解析 掷骰子点数1～66种情况中3234明跨出步概率跨台阶概率跨台阶
步跨台阶种情况必定2步跨1台阶2步跨2台阶4步走法种
里面种走法例发生性步跨台阶发生总概率．
巩固 红家门口车站学校路路两种公汽车隔分中开辆．红车站见路路马车观察发现：总路车分钟路车路车分钟路车．红坐______路车性较．
解析 首先某时刻开路车时起分析坐汽车表示：
显然表知分钟坐路车率均坐路车率均红坐 路车性较．
例 10 四位学张明信片意放起互相交换恰学写明信片概率________．
解析 种法中位学明信片情况种时3位学明信片2种情况恰学写明信片情况种概率．
巩固两封信机投入4邮筒前两邮筒没投入信概率________．
解析 总投信方法种投法．前2邮筒投信投入2邮筒种前两邮筒没投入信概率．
巩固 张圆桌旁四座位四机坐四座位求相邻坐概率．
解析 四入座情况种．
相邻情况首先固定座位种安排座位种安排座位种种．
相邻座概率．
例 11 悦阿奇赛军棋两水相两约定塞7局先赢4局者胜现已三局悦胜2局阿奇胜1局请问：悦获胜利概率少？
解析 悦已胜2局
果5局结束赛第4第5局悦胜利概率14
果6局结束赛45局中阿奇胜1局第六局悦胜
概率2×12×12×1214
果进行7场赛456局赛中悦赢局第7局悦胜利
3×12×12×12×12316
悦总获胜概率1116
巩固 (2008年奥数网杯六年级)块电子手表显示时分时计时制例中午点半夜点显示．果天(24时)中机时刻手表少数字1概率 ．
解析 手表时刻显示形式中取值0112取值0059手表显示出时刻种
号前出现1情况：02030405060708098种
号两位数十位出现1情况023455种位出现1情况0234567899种出现1情况种
少出现数字1情况种
少数字1概率
例 12 某列车4节车厢现6准备坐设位客进入节车厢性相等6位客进入节车厢数恰0123概率少？
解析 6坐4节车厢进入中某节车厢数种．
出现6位客进入节车厢数恰0123情况性种求概率．
巩固 三辆火车火车十节车厢少两节车厢概率_______．
解析 三均车厢概率少两节车厢概率．
巩固 某5钥匙房门钥匙忘记逐试问恰第三开门概率？
解析 钥匙中排列出前三种
钥匙中正确钥匙排第三排出前二种
第三钥匙开门概率．
巩固 辆肇事车辆撞逃离现场警察现场调查取证目击者记车牌五数字组成排列序忘记警察调查程中果电脑输入五数字构成车牌号输入车牌号正肇事车辆车牌号性______．
解析 警察调查程中电脑输入第数字中种第二位数字种……第五位数字种种输入正确车牌号性．
例 13 某学六年级班班名学生现六年级班中机抽取班参加电视台现场娱乐活动活动中次抽奖活动抽取名幸运观众六年级学生宝成幸运观众概率少？
解析 宝班级抽中参加娱乐活动概率果宝参加娱乐活动宝成幸运观众概率宝成幸运观众概率
巩固 （全国数学资优生水测试）编号分1～1010球放袋中中机取出两球两球编号相邻性___________
解析 10球中取出两取法总数种中编号相邻取法9种（1223344556677889910）相邻取法种取出两球编号相邻性
例 14 年级三班级年级中意选取33属班级概率少
解析 设三班分．三班级中意选取1选班级概率相等3选班概率．理3选班班概率三3属班级概率．
巩固 班女生25男生27意抽选两名学恰女生概率分
解析 25名女生中意抽出两种方法．
全体学生中意抽出两种方法．计算概率：．
巩固 6名学生中选4参加知识竞赛中甲选中概率少？
解析 法：6名学生中选4组合数种甲中计数相外5名学生中选取3名组合数种甲选概率
法二：显然入选概率均等作号选手入选概率作二号入选概率作三号入选概率作四号入选概率单甲说头号二号三号四号入选情况重复入选概率．
例 15 （武汉明心奥数挑战赛六年级）学校门口常贩搞摸奖活动．某贩黑色口袋里装颜色50球中红球1黄球2绿球10余白球．搅拌均匀2元摸1球．奖品情况标注球（图）．
果花4元时摸2球获10元奖品概率 ．
解析 （法1）计数求概率摸两球获10元奖品摸两黄色球2黄球摸2黄球1种50球里面摸2球种摸法获10元奖品概率
（法2）概率运算摸两球获10元奖品摸两黄色球摸第1球黄球概率摸第2球黄球概率获10元奖品概率．
巩固 转盘(图)做游戏次游戏游戏者需交游戏费1元．游戏时游戏者先押数字然快速转动转盘转盘停止转动时指针指格子中数字恰游戏者押数字游戏者获奖励36元．该游戏游戏者利？转动少次游戏者均次获利损失少元？
解析 游戏中指针落37区域性样游戏者押中概率 押错概率押中次获奖金(36－1＝)35元押错损失1元转动次游戏者均次获利35×－1×＝－(元)．该游戏游戏者利游戏者均次损失元．
巩固 图中两转盘进行配紫色游戏．分旋转两转盘中转盘转出红色转出蓝色配成紫色时刚1分否明1分．游戏双方公？认公修改规该游戏双方公呢？
解析 保证转动转盘指针落区域性相转盘(1)逆时针红色区域等分成四部分分记作红1红2红3红4转盘(2)类似蓝色区域分记作蓝1蓝2蓝3蓝4．接列表法计算分旋转两转盘中转盘转出红色转出蓝色配成紫色概率．列表：
注：√表示配成紫色×表示配成紫色．
分转动两转盘配成紫色概率配成紫色概率．
游戏双方公明利．
巩固 明刚改图示两转盘做配紫色游戏．配成紫色刚1分．否明1分游戏双方公？什？
解析 面两转盘做配紫色游戏等结果列表：
面表格：配成紫色概率配成紫色概率游戏公刚利．
巩固 转动图示转盘两次次指针指数字．两次指数字积质数游戏者A10分积质数游戏者B1分．认游戏公？果认游戏公愿意做游戏者A游戏者B？什？设法修改游戏规游戏双方公？
解析 根题意列表法计算出两次指针指数字积质数概率积质数概率．列表：
表格求转动转盘两次指针指数字积质数概率指针指数字积质数概率然愿做AA高分性较．游戏公游戏规应修改：两次指数字积质数游戏者A5分积质数游戏者B1分．样游戏者双方公．
例 16 红箱子中4副手套完全相左右手互换副姑姑送两副奶奶送副买中副恰姑姑送副概率少？
解析 箱子里总8手套中左右送姑姑妨设．
第次出概率尔第二次出概率出概率
样第次出第二次出理求出概率
出恰姑姑送副概率面两种概率．
解：箱子里总8手套中取出2种取法中1种恰姑姑送副出恰姑姑送副概率．
巩固 盒子里装着20支圆珠笔中5支红色7支蓝色8支黑色中意抽出4支种颜色笔抽出概率少？
解析 20支笔中选出4支笔总 4845种选法
中3种颜色情况
：2支红色1支蓝色1支黑色 10×7×8560种
二：1支红色2支蓝色1支黑色 5×21×8840种
三：1支红色1支蓝色2支黑色 5×7×28980种
560+840+9802380种
满足条件概率238048452857
例 17 六抽签推选代表公证制作六枚外表模样签中枚刻着中六字母序先抽取签抽完放回谁抽中字推选代表六抽中概率分少？
解析 抽中概率没抽概率
果没抽中概率抽中果抽中抽中概率抽中概率
理抽中概率抽中概率抽中概率抽中概率
见六抽中概率相等抽签先序关
巩固 面题干果抽完放回意果抽中边抽取抽中概率
少？
解析 抽中概率次：
种情况先抽者抽中概率．
巩固 次军事演中进攻方决定目标进行两次炮击第炮命中概率06第二炮命中概率08请问：两炮集中目标概率少？恰炮击中目标概率少？两炮未击中目标概率少？
解析 两炮击中目标概率时击中时06×08＝048
恰炮击中目标第炮击中第二炮没击中等06×02＝012
第二炮击中第炮没击中等04×08＝032
恰炮击中概率044
巩固 张先生天早晨班时13概率碰堵车堵车时候张先生时达单位概率09吃概率01堵车时候张先生班迟概率高达08时达概率02请问：张先生班迟概率少？
解析 张先生迟概率分堵车时23×01＝115 堵车时13×08＝415
迟概率13
例 18 某射手百步外射箭恰射靶心概率果该射手百步外连射三箭三箭全部射中靶心概率少？箭射中靶心概率少？两箭射中靶心概率少
解析 ⑴全部射中靶心概率．
⑵第箭射中两箭射空概率．
第二箭射中两箭射空概率．
第三箭射中两箭射空概率．
箭射中概率
⑶第箭射空两箭射中概率．
第二箭射空两箭射中概率．
第三箭射空两箭射中概率．
两箭射空概率
例 19 设独立重复3次试验中少次试验成功概率问次试验成功概率少？
解析 重复实验实验实验样做法完成概率样设次试验成功概率．
少次试验成功概率里面包括试验成功次两次三次情形试验里面外剩三次试验没成功种情形种情形概率．
次试验成功概率三次试验成功概率次试验成功概率成功概率．
例 20 已知10件产品中3件次品保证3件次品全部检查出概率超抽出检验产品少 件．
解析 求3件次品抽出检验未抽出检验产品正品考虑未抽出检验产品件数果1件1件10种中7种情况正品1件正品概率3件次品全部抽出概率满足题意
果未抽出检验产品件数2件两件正品概率合题意未抽出检验产品件数1件抽出检验产品少9件．
巩固 工厂质量检测部门某批次件产品进行抽样检测果件产品中两件产品次品质检员机抽取件产品两件产品恰次品概率少？两件产品中件次品概率少？两件产品中没次品概率少？
解析 件产品中选择件种情况．
两件产品恰次品概率．
两件产品中件次品情况种情况两件产品中件次品概率．
两件产品中次品概率种情况两件产品次品概率．
例 21 批零件中9合格品3废品安装机器时批零件中机选取果次取出废品放回分求取第件合格品前已取出件废品数概率123．
解析 时第件取合格品概率
时第件废品第二件合格品第件废品概率第二件取出合格品概率(前面已取出件)概率
时分废品()废品()合格品()概率
时分废品()废品()废品()合格品()概率．
例 22 甲乙丙3投篮投进概率分．⑴现三投篮次求3没投进概率．⑵现3投篮次求少两投进概率．
解析 ⑴甲乙丙没投进概率分3投次没投进概率：．
⑵少2投进分恰2投进3投进两种情形概率：
．
解：反面考虑计算没投进概率投进概率
少两投进概率．
巩固 某篮球运动员投球命中率投球10次恰连续投进5球概率少？
解析 次投球分编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩．
⑴①②③④⑤球投中⑥球中余考虑概率
⑵①球中②③④⑤⑥球中⑦球中概率
⑶②球中③④⑤⑥⑦球中⑧球中概率
⑷③球中④⑤⑥⑦⑧球中⑨球中概率
⑸④球中⑤⑥⑦⑧⑨球中⑩球中概率
⑹⑤球中⑥⑦⑧⑨⑩球中概率
恰连续投进5球概率：．
例 23 某次考试中甲乙丙三优秀（互影响）概率考试结束容易出现优秀？
解析 注意优秀率互影响．
⑴三优秀概率
⑵甲乙两优秀概率（）．
甲丙二优秀概率
乙丙二优秀概率
两优秀概率
⑶甲优秀概率
乙优秀概率
丙优秀概率
优秀概率
⑷全优秀概率
较知容易出现优秀情况．
巩固 某次考试中甲乙两优秀（互影响）概率考试结束乙优秀概率少？
解析 乙优秀概率．
巩固 学起亮年龄亮年龄性＿＿＿＿．
解析 亮年龄前提亮年龄第第第第四事件互斥等概率事件亮年龄性．
例 24 甲乙丙丁戊五位学参加次节日活动幸运件精美礼物事情样：墙挂着两串礼物（图）次中串端取件直礼物取完止．甲第取礼物然乙丙丁戊次取第件第件礼物然取法种样 种取法．事开礼物仔细较发现礼物精美取礼物性 性
解析 题需注意隐含条件：果摆面前两串礼物该选择中串概率果摆面前串礼物该选择串．
第件取种取法
第件取种取法．
取法种．
观察种取法树状图知甲戊取取性甲戊
乙丙丁谁性谁取法较种取法实现性
法：计算枚举出种取方法概率（种取方法流程间互斥事件）：
第件取种方法：
第件取种方法：
乙取性
丙取性
丁取性占．
取性丁．
法二：计算流程阶段事件发生情况：（选择串否取完串条件已知情况选择串相互独立）
乙取性
丙取性
丁取性占．
取性丁．
例 25 立方体八顶点中选顶点算出：
⑴构成少三角形？
⑵机取3顶点3点构成正三角形性少？
解析 ⑴8顶点意3点条直线顶点中取顶点构成三角形应该．
⑵图示三角形3条边分正方体面角线时正三角形样三角形8构成正三角形性．
拓展标准五角星(图)点连接成点机选取点三点条直线概率少三点构成三角形概率少？果选取点四点恰构成行四边形概率少？
解析 点中意取情况种
中涉条直线条直线点中意点线取3点够成三角形样概率点构成三角形概率．
点中取点情形种点中行四边形2种（右图实线示）种5构成行四边形概率．
巩固立方体八顶点中选顶点算出：
⑴构成少三角形？
⑵机取3顶点3点构成正三角形性少？
解析 ⑴8顶点意3点条直线顶点中取顶点构成三角形应该．
⑵图示三角形3条边分正方体面角线时正三角形样三角形8构成正三角形性．
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87概率统计
教学目标
1 准确判断事件发生等性游戏规公性问题
2 运排列组合知识枚举等计数方法求解概率问题．
3 理解运概率性质进行概率运算
知识点拨
知识点说明
抛掷枚硬币时究竟会出现什样结果事先确定相条件量重复抛掷枚均匀硬币时会发现出现正面出现反面次数约占总抛掷次数半左右．里量重复指少次呢？
历史少统计学家例皮尔逊等作成千万次抛掷硬币试验着试验次数增加出现正面频率波动越越频率定值附摆动性质出现正面现象必然性规律表现恰恰刻画出现正面性数值抛掷硬币时出现正面概率．概率统计定义思想思想出实际问题中估算概率似值方法试验次数足够时频率作概率似值．
统计里考察象全体做总体中考察象做体
总体中抽取部分体做总体样样中体数目做样容量
总体中体均数做总体均数样中体均数做样均数
概率古典定义：
果试验满足两条：
⑴试验限基结果：
⑵试验基结果出现性样．
样试验称古典试验．
古典试验中事件概率定义：
表示该试验中出现基结果总数目表示事件包含试验基结果数．学奥数中涉问题属古典概率．中需枚举加原理排列组合等方法求出．
相互独立事件：
事件否发生事件发生概率没影响样两事件做相互独立事件．
公式含义：果事件独立事件发生概率等事件发生概率事件发生概率积．
举例：
⑴明天否晴天明天晚餐否煎鸡蛋相互没影响两事件相互独立事件明天天晴晚餐煎鸡蛋概率等明天天晴概率明天晚餐煎鸡蛋概率
⑵第次抛硬币掉正面第二次抛硬币正面两相互独立事件．第次第二次抛硬币掉正面概率等两次分抛硬币掉正面概率积
⑶掷骰子骰子否掉桌骰子某数字两相互独立事件果骰子掉桌概率骰子掉桌数字概率．
例题精讲
例 1 （希杯二试六年级)气象台预报市明天降雨概率．信息列说法中正确 ．
①市明天区降水． ②市明天时间降水．
③明天肯定雨． ④明天降水性较．
解析 降水概率指性降水覆盖区者降水时间．
概率指肯定雨概率肯定雨．
概率说明较性雨．④说法正确．
巩固 方木块六面分写数字光亮两意桌面扔放木块．规定：光扔时果面写偶数分．亮扔时果面写奇数分．扔次______分高性较．
解析 中奇数偶数木块面写着奇数性较亮分高性较．
例 2 家商店中调查某商品价格数（单位：元）
25 21 23 25 27 29 25 28 30 29
26 24 25 27 26 22 24 25 26 28
请填写表
解析 ：
例 3 某池塘中机捕捞条鱼鱼作标记放回池塘中段时间次机捕捞尾发现中条鱼作标记果两次捕捞间鱼数量没增加减少请估计池塘中鱼少尾？
解析 200尾鱼中条鱼标记池塘中鱼标记概率实验出值池塘中鱼标记概率作池塘中鱼数量约尾．
例 4 黑桃红桃方块草花4种花色扑克牌2张8张牌中意取出2张请问：2张扑克牌花色相概率少？
解析 先8张牌中选2张牌28种选法然满足条件选法4种4种花色两张牌花色相概率428＝17
巩固 悦123455然数中选数冬冬2345676然数中选数选出两数中恰数数倍数概率少
解析 悦123455然数中选数5种选法
冬冬2345676然数中选数6种许选法
总组合5×6＝30种选法
中满足倍数关系分悦取1时6种
悦取2时3种 悦取3时2种
悦取4时2种悦取5时1种
14种满足条件概率1430＝715
例 5 妈妈家乐福购物正碰橘子香蕉葡萄榴莲降价决定4中水果中选种买回家爸爸班时路集贸市场发现苹果橘子香蕉葡萄梨出售决定选种买回家请问：买水果概率少？
解析 妈妈爸爸买香蕉概率14×15120
买橘子概率14×15120
买葡萄概率14×15120
买水果概率13201720
巩固 标准英文字典中2字母组成单词55果26字母中取2排列起恰拍成单词概率少？
解析 26母中选2字母进行排列650种选法满足条件26种恰构成单词概率5565011130
巩固 口袋里装100张卡片分写着123……100中意抽出张请问：
（1）抽出卡片数正37概率少？
（2）抽出卡片数偶数概率少？
（3）抽出卡片数质数概率少？
（4）抽出卡片数101概率少？
（5）抽出卡片数200概率少？
解析 机抽出100种37概率1100
100种50偶数偶数概率50100＝12
10025质数质数概率14
抽出卡片101概率0
抽出数200概率1
例 6 口袋里装着2红球3黄球4黑球口袋中取球请问：
（1）球红球概率少？
（2）球黄球者黑球概率少？
（3）绿球概率少？绿球概率少
解析 口袋里9球2红球机取29概率取红球
球红球黄球者黑球取黄球者黑球概率79
没绿球取旅求概率0绿球概率1
巩固 口袋里装5黑球3白球口袋里装4黑球4白球两口袋里取出球请问：取出两球颜色相概率少？
解析 总取法数8×8＝64种满足条件选法选出黑球5×4＝20种选出白球 3×4＝12种 32种满足条件 两球颜色相概率3264＝12
巩固 普通骰子6面分写123456掷出骰子面概率16假设某骰子连续投掷9次次结果1点第十次投掷面点数恰奇数概率少？
解析 题注意投掷9次结果实第十次没影响第十次投掷投掷出135满足条件总1～6六种概率12
巩固 甲乙两学生数字中机挑选两数字（相）求：⑴两数字差超概率⑵两数字差超概率．
解析 ⑴两数相（差0）情况种
两数差种
两数差情况种
两数差超概率．
⑵两数差情况种．
两数差情况种．
两数差情况种．
两数字差超概率
两数字差超概率
巩固 悦掷出2枚骰子掷出2数字恰等10概率少？
解析 掷出2骰子总情况6×636种
中10第次掷出4第二次掷出6
第次掷出5第二次掷出5
第次掷出6第二次掷出4
满足条件情况三种恰10概率112
巩固 分先掷2次骰子点数6概率少？点数积6概率少？
解析 根法原理先两次掷骰子出现两点数种情况．
点数情况全部枚举出：
：：：：：
点数积情况：：：：．
两数相加65组36组点数6概率：
点数积6概率．
例 7 枚硬币连续抛掷3次少次正面概率 ．
解析 反面考虑先求三次正面概率少次正面概率．
巩固 冬冬阿奇做游戏：冬冬抛出3枚硬币果抛出结果中2枚2枚硬币正面冬冬获胜否阿奇获胜请问：游戏公？
解析 冬冬获胜概率两枚者两枚硬币正面
两枚硬币正面概率三次投掷中选两次正面3种种概率312连等38三枚硬币正面概率18
冬冬获胜概率12阿奇获胜概率12游戏公
巩固枚硬币连续抛4次求恰2次正面概率．
解析 首先抛掷枚硬币程出现正面概率连续抛掷四次次结果间相互独立独立事件重复实验恰2次正面概率．
解：抛次出现正面反面两种情况抛4次种情况中恰2次正面种情况恰2次正面概率．
巩固 枚硬币连续抛掷3次求少两次正面概率．
解析 少两次正面分2次正面3次正面两种情形 ⑴2次正面：时1次正面第1次第2次第3次时3种情况⑵3次正面时种情况．少两次正面4种情况连续抛掷3次硬币种情况少两次正面概率：．
巩固 阿奇次指出8枚硬币结果恰4枚硬币正面概率少？超4枚硬币正面概率少？
解析 投掷8枚硬币恰4次正面应该8次中选择4次正面四次概率412联时忘记剩4次定反面412连恰4枚硬币概率35128
利称思想超4枚硬币正面概率应该少4枚硬币概率相超4枚硬币正面概率（1－35128）÷2＝93256
例 8 图示球放顶部顶部轨道落球落底部左右概率次_______．
解析 球顶点时概率1岔口落入两边机会均等采标数法右图示左右落底部概率次．
巩固 图两间道路图中⊙表示加油站王驾车行驶出现两条通目方道路路口时（路口三叉路口条两条路通目）抛硬币方式机选择路线求：⑴王驾车加油站概率．⑵王驾车加油站概率．
解析 运标数法标数规（性质）：
⑴起点开始标１．
⑵数标线节点起点方节点相连线路标数目标方节点相连线路标数相等．
⑶节点目标方线路标数相等．
图：加油站概率
图：加油站概率
例 9 明爬楼梯时抛硬币确定步跨台阶台阶果正跨台阶果反跨出台阶明走完四步时恰跨出台阶概率少？
解析 明跨出步情况种情况中恰跨出台阶情况：
六种
概率．
巩固 明爬楼梯掷骰子确定步跨台阶步数果点数跨台阶果跨出台阶明走完四步时恰跨出台阶概率少？
解析 掷骰子点数1～66种情况中3234明跨出步概率跨台阶概率跨台阶
步跨台阶种情况必定2步跨1台阶2步跨2台阶4步走法种
里面种走法例发生性步跨台阶发生总概率．
巩固 红家门口车站学校路路两种公汽车隔分中开辆．红车站见路路马车观察发现：总路车分钟路车路车分钟路车．红坐______路车性较．
解析 首先某时刻开路车时起分析坐汽车表示：
显然表知分钟坐路车率均坐路车率均红坐 路车性较．
例 10 四位学张明信片意放起互相交换恰学写明信片概率________．
解析 种法中位学明信片情况种时3位学明信片2种情况恰学写明信片情况种概率．
巩固两封信机投入4邮筒前两邮筒没投入信概率________．
解析 总投信方法种投法．前2邮筒投信投入2邮筒种前两邮筒没投入信概率．
巩固 张圆桌旁四座位四机坐四座位求相邻坐概率．
解析 四入座情况种．
相邻情况首先固定座位种安排座位种安排座位种种．
相邻座概率．
例 11 悦阿奇赛军棋两水相两约定塞7局先赢4局者胜现已三局悦胜2局阿奇胜1局请问：悦获胜利概率少？
解析 悦已胜2局
果5局结束赛第4第5局悦胜利概率14
果6局结束赛45局中阿奇胜1局第六局悦胜
概率2×12×12×1214
果进行7场赛456局赛中悦赢局第7局悦胜利
3×12×12×12×12316
悦总获胜概率1116
巩固 (2008年奥数网杯六年级)块电子手表显示时分时计时制例中午点半夜点显示．果天(24时)中机时刻手表少数字1概率 ．
解析 手表时刻显示形式中取值0112取值0059手表显示出时刻种
号前出现1情况：02030405060708098种
号两位数十位出现1情况023455种位出现1情况0234567899种出现1情况种
少出现数字1情况种
少数字1概率
例 12 某列车4节车厢现6准备坐设位客进入节车厢性相等6位客进入节车厢数恰0123概率少？
解析 6坐4节车厢进入中某节车厢数种．
出现6位客进入节车厢数恰0123情况性种求概率．
巩固 三辆火车火车十节车厢少两节车厢概率_______．
解析 三均车厢概率少两节车厢概率．
巩固 某5钥匙房门钥匙忘记逐试问恰第三开门概率？
解析 钥匙中排列出前三种
钥匙中正确钥匙排第三排出前二种
第三钥匙开门概率．
巩固 辆肇事车辆撞逃离现场警察现场调查取证目击者记车牌五数字组成排列序忘记警察调查程中果电脑输入五数字构成车牌号输入车牌号正肇事车辆车牌号性______．
解析 警察调查程中电脑输入第数字中种第二位数字种……第五位数字种种输入正确车牌号性．
例 13 某学六年级班班名学生现六年级班中机抽取班参加电视台现场娱乐活动活动中次抽奖活动抽取名幸运观众六年级学生宝成幸运观众概率少？
解析 宝班级抽中参加娱乐活动概率果宝参加娱乐活动宝成幸运观众概率宝成幸运观众概率
巩固 （全国数学资优生水测试）编号分1～1010球放袋中中机取出两球两球编号相邻性___________
解析 10球中取出两取法总数种中编号相邻取法9种（1223344556677889910）相邻取法种取出两球编号相邻性
例 14 年级三班级年级中意选取33属班级概率少
解析 设三班分．三班级中意选取1选班级概率相等3选班概率．理3选班班概率三3属班级概率．
巩固 班女生25男生27意抽选两名学恰女生概率分
解析 25名女生中意抽出两种方法．
全体学生中意抽出两种方法．计算概率：．
巩固 6名学生中选4参加知识竞赛中甲选中概率少？
解析 法：6名学生中选4组合数种甲中计数相外5名学生中选取3名组合数种甲选概率
法二：显然入选概率均等作号选手入选概率作二号入选概率作三号入选概率作四号入选概率单甲说头号二号三号四号入选情况重复入选概率．
例 15 （武汉明心奥数挑战赛六年级）学校门口常贩搞摸奖活动．某贩黑色口袋里装颜色50球中红球1黄球2绿球10余白球．搅拌均匀2元摸1球．奖品情况标注球（图）．
果花4元时摸2球获10元奖品概率 ．
解析 （法1）计数求概率摸两球获10元奖品摸两黄色球2黄球摸2黄球1种50球里面摸2球种摸法获10元奖品概率
（法2）概率运算摸两球获10元奖品摸两黄色球摸第1球黄球概率摸第2球黄球概率获10元奖品概率．
巩固 转盘(图)做游戏次游戏游戏者需交游戏费1元．游戏时游戏者先押数字然快速转动转盘转盘停止转动时指针指格子中数字恰游戏者押数字游戏者获奖励36元．该游戏游戏者利？转动少次游戏者均次获利损失少元？
解析 游戏中指针落37区域性样游戏者押中概率 押错概率押中次获奖金(36－1＝)35元押错损失1元转动次游戏者均次获利35×－1×＝－(元)．该游戏游戏者利游戏者均次损失元．
巩固 图中两转盘进行配紫色游戏．分旋转两转盘中转盘转出红色转出蓝色配成紫色时刚1分否明1分．游戏双方公？认公修改规该游戏双方公呢？
解析 保证转动转盘指针落区域性相转盘(1)逆时针红色区域等分成四部分分记作红1红2红3红4转盘(2)类似蓝色区域分记作蓝1蓝2蓝3蓝4．接列表法计算分旋转两转盘中转盘转出红色转出蓝色配成紫色概率．列表：
注：√表示配成紫色×表示配成紫色．
分转动两转盘配成紫色概率配成紫色概率．
游戏双方公明利．
巩固 明刚改图示两转盘做配紫色游戏．配成紫色刚1分．否明1分游戏双方公？什？
解析 面两转盘做配紫色游戏等结果列表：
面表格：配成紫色概率配成紫色概率游戏公刚利．
巩固 转动图示转盘两次次指针指数字．两次指数字积质数游戏者A10分积质数游戏者B1分．认游戏公？果认游戏公愿意做游戏者A游戏者B？什？设法修改游戏规游戏双方公？
解析 根题意列表法计算出两次指针指数字积质数概率积质数概率．列表：
表格求转动转盘两次指针指数字积质数概率指针指数字积质数概率然愿做AA高分性较．游戏公游戏规应修改：两次指数字积质数游戏者A5分积质数游戏者B1分．样游戏者双方公．
例 16 红箱子中4副手套完全相左右手互换副姑姑送两副奶奶送副买中副恰姑姑送副概率少？
解析 箱子里总8手套中左右送姑姑妨设．
第次出概率尔第二次出概率出概率
样第次出第二次出理求出概率
出恰姑姑送副概率面两种概率．
解：箱子里总8手套中取出2种取法中1种恰姑姑送副出恰姑姑送副概率．
巩固 盒子里装着20支圆珠笔中5支红色7支蓝色8支黑色中意抽出4支种颜色笔抽出概率少？
解析 20支笔中选出4支笔总 4845种选法
中3种颜色情况
：2支红色1支蓝色1支黑色 10×7×8560种
二：1支红色2支蓝色1支黑色 5×21×8840种
三：1支红色1支蓝色2支黑色 5×7×28980种
560+840+9802380种
满足条件概率238048452857
例 17 六抽签推选代表公证制作六枚外表模样签中枚刻着中六字母序先抽取签抽完放回谁抽中字推选代表六抽中概率分少？
解析 抽中概率没抽概率
果没抽中概率抽中果抽中抽中概率抽中概率
理抽中概率抽中概率抽中概率抽中概率
见六抽中概率相等抽签先序关
巩固 面题干果抽完放回意果抽中边抽取抽中概率
少？
解析 抽中概率次：
种情况先抽者抽中概率．
巩固 次军事演中进攻方决定目标进行两次炮击第炮命中概率06第二炮命中概率08请问：两炮集中目标概率少？恰炮击中目标概率少？两炮未击中目标概率少？
解析 两炮击中目标概率时击中时06×08＝048
恰炮击中目标第炮击中第二炮没击中等06×02＝012
第二炮击中第炮没击中等04×08＝032
恰炮击中概率044
巩固 张先生天早晨班时13概率碰堵车堵车时候张先生时达单位概率09吃概率01堵车时候张先生班迟概率高达08时达概率02请问：张先生班迟概率少？
解析 张先生迟概率分堵车时23×01＝115 堵车时13×08＝415
迟概率13
例 18 某射手百步外射箭恰射靶心概率果该射手百步外连射三箭三箭全部射中靶心概率少？箭射中靶心概率少？两箭射中靶心概率少
解析 ⑴全部射中靶心概率．
⑵第箭射中两箭射空概率．
第二箭射中两箭射空概率．
第三箭射中两箭射空概率．
箭射中概率
⑶第箭射空两箭射中概率．
第二箭射空两箭射中概率．
第三箭射空两箭射中概率．
两箭射空概率
例 19 设独立重复3次试验中少次试验成功概率问次试验成功概率少？
解析 重复实验实验实验样做法完成概率样设次试验成功概率．
少次试验成功概率里面包括试验成功次两次三次情形试验里面外剩三次试验没成功种情形种情形概率．
次试验成功概率三次试验成功概率次试验成功概率成功概率．
例 20 已知10件产品中3件次品保证3件次品全部检查出概率超抽出检验产品少 件．
解析 求3件次品抽出检验未抽出检验产品正品考虑未抽出检验产品件数果1件1件10种中7种情况正品1件正品概率3件次品全部抽出概率满足题意
果未抽出检验产品件数2件两件正品概率合题意未抽出检验产品件数1件抽出检验产品少9件．
巩固 工厂质量检测部门某批次件产品进行抽样检测果件产品中两件产品次品质检员机抽取件产品两件产品恰次品概率少？两件产品中件次品概率少？两件产品中没次品概率少？
解析 件产品中选择件种情况．
两件产品恰次品概率．
两件产品中件次品情况种情况两件产品中件次品概率．
两件产品中次品概率种情况两件产品次品概率．
例 21 批零件中9合格品3废品安装机器时批零件中机选取果次取出废品放回分求取第件合格品前已取出件废品数概率123．
解析 时第件取合格品概率
时第件废品第二件合格品第件废品概率第二件取出合格品概率(前面已取出件)概率
时分废品()废品()合格品()概率
时分废品()废品()废品()合格品()概率．
例 22 甲乙丙3投篮投进概率分．⑴现三投篮次求3没投进概率．⑵现3投篮次求少两投进概率．
解析 ⑴甲乙丙没投进概率分3投次没投进概率：．
⑵少2投进分恰2投进3投进两种情形概率：
．
解：反面考虑计算没投进概率投进概率
少两投进概率．
巩固 某篮球运动员投球命中率投球10次恰连续投进5球概率少？
解析 次投球分编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩．
⑴①②③④⑤球投中⑥球中余考虑概率
⑵①球中②③④⑤⑥球中⑦球中概率
⑶②球中③④⑤⑥⑦球中⑧球中概率
⑷③球中④⑤⑥⑦⑧球中⑨球中概率
⑸④球中⑤⑥⑦⑧⑨球中⑩球中概率
⑹⑤球中⑥⑦⑧⑨⑩球中概率
恰连续投进5球概率：．
例 23 某次考试中甲乙丙三优秀（互影响）概率考试结束容易出现优秀？
解析 注意优秀率互影响．
⑴三优秀概率
⑵甲乙两优秀概率（）．
甲丙二优秀概率
乙丙二优秀概率
两优秀概率
⑶甲优秀概率
乙优秀概率
丙优秀概率
优秀概率
⑷全优秀概率
较知容易出现优秀情况．
巩固 某次考试中甲乙两优秀（互影响）概率考试结束乙优秀概率少？
解析 乙优秀概率．
巩固 学起亮年龄亮年龄性＿＿＿＿．
解析 亮年龄前提亮年龄第第第第四事件互斥等概率事件亮年龄性．
例 24 甲乙丙丁戊五位学参加次节日活动幸运件精美礼物事情样：墙挂着两串礼物（图）次中串端取件直礼物取完止．甲第取礼物然乙丙丁戊次取第件第件礼物然取法种样 种取法．事开礼物仔细较发现礼物精美取礼物性 性
解析 题需注意隐含条件：果摆面前两串礼物该选择中串概率果摆面前串礼物该选择串．
第件取种取法
第件取种取法．
取法种．
观察种取法树状图知甲戊取取性甲戊
乙丙丁谁性谁取法较种取法实现性
法：计算枚举出种取方法概率（种取方法流程间互斥事件）：
第件取种方法：
第件取种方法：
乙取性
丙取性
丁取性占．
取性丁．
法二：计算流程阶段事件发生情况：（选择串否取完串条件已知情况选择串相互独立）
乙取性
丙取性
丁取性占．
取性丁．
例 25 立方体八顶点中选顶点算出：
⑴构成少三角形？
⑵机取3顶点3点构成正三角形性少？
解析 ⑴8顶点意3点条直线顶点中取顶点构成三角形应该．
⑵图示三角形3条边分正方体面角线时正三角形样三角形8构成正三角形性．
拓展标准五角星(图)点连接成点机选取点三点条直线概率少三点构成三角形概率少？果选取点四点恰构成行四边形概率少？
解析 点中意取情况种
中涉条直线条直线点中意点线取3点够成三角形样概率点构成三角形概率．
点中取点情形种点中行四边形2种（右图实线示）种5构成行四边形概率．
巩固立方体八顶点中选顶点算出：
⑴构成少三角形？
⑵机取3顶点3点构成正三角形性少？
解析 ⑴8顶点意3点条直线顶点中取顶点构成三角形应该．
⑵图示三角形3条边分正方体面角线时正三角形样三角形8构成正三角形性．
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