第十章 微分方程
作业20 微分方程基概念
1．写出列条件确定微分方程：
（1）曲线点处法线轴交点线段轴分
解：法线方程法线轴交点
已知
（2）曲线意点处切线线段垂直
解：切线斜率线段斜率
已知
（3）曲线意点处切线点原点连线轴围成三角形面积常数．
解：切线方程点原点连线
切线轴直线交点
已知
2．求曲线簇 满足微分方程．
解：已知两边变量求导
两边变量求导
3．潜水艇垂直沉时遇阻力沉速度成正果潜水艇质量水面静止开始沉求沉速度满足微分方程初始条件．
解：已知
作业21 分离变量微分方程
1．解微分方程．
解：微分方程
分离变量
两边积分
2 求解初值问题： ．
解：微分方程
分离变量
两边积分
3．时高阶穷量函数意点处增量+求．
解：已知
分离变量
两边积分
4．解微分方程．
解：微分方程
分离变量
两边积分
5．曲线通点（23）两坐标轴间意切线段均切点分求曲线方程．
解：已知
分离变量
两边积分
6．设连接段凸曲线弧点曲线弧直线段围成面积求曲线弧方程．
解：设曲线
已知
微分方程
作业22 齐次方程
1．解微分方程．
解：令
微分方程
分离变量
两边积分
2．求解初值问题．
解：令
微分方程
分离变量两边积分
3．作适变量代换求列方程通解：
（1）
解：令
（2）
解：令
令
令
（3）．
解：令分离变量
两边积分
4．求曲线正交圆心轴原点圆（注：两曲线正交指交点处两曲线切线互相垂直）．
解：设轴原点圆
已知曲线应满足
令
作业23 阶线性微分方程
1．解微分方程 ．
解：标准阶线性微分方程
2．解微分方程 ．
解：微分方程
3．解微分方程 ．
解：观察发现微分方程等价
4．求解初值问题 ．
解：标准阶线性微分方程
5．设曲线积分 右半面（路径关中导求．
解：曲线积分右半面（路径关知
6．解微分方程．
解：微分方程化
令阶线性微分方程
作业24 全微分方程
1． 判列方程中全微分方程求全微分方程通解：
（1）
解：连续该方程全微分方程
（2）
解：方程
连续该方程全微分方程方程右边某函数全微分
微分方程通解
（3） ．
解：连续该方程全微分方程该方程全微分方程方程右边某势函数全微分曲线积分法求
微分方程通解
作业25 降阶高阶微分方程
1．求列微分方程通解
（1）
解：
（2）
解：令
分离变量
两边积分
分离变量两边积分
（3）
解：令
分离变量
两边积分
分离变量两边积分
(4)
解：令
分离变量
两边积分
分离变量
两边积分
2．求解初值问题．
解：令
分离变量两边积分
分离变量两边积分
3．设第象限曲线应段长数值等曲边梯形：面积中意定求．
解：已知
作业26 线性微分方程解结构
1． 已知齐次线性方程
解求方程通解．
解：方程
刘维尔公式
解结构定理知方程通解
2． 二阶非齐次线性微分方程（1）线性关解试表达方程（1）通解．
解：解结构定理知均应二阶齐次线性微分方程解现行关
：解结构定理方程（1）通解
3．已知二阶线性非齐次方程解求方程通解．
解：易知线性关二阶线性齐次方程线性关特解解结构定理二阶线性非齐次方程通解
作业27 二阶常系数齐次线性微分方程
1．求列微分方程通解
（1）
解：特征方程
通解
（2）
解：特征方程
通解
（3）
解：特征方程
通解
（4）．
解：特征方程
通解
2．求方程满足初始条件特解．
解：特征方程
通解
3． 设微函数满足方程求．
解：已知
特征方程
通解
作业 28 二阶线性非齐次微分方程
1．求列方程通解
（1）
解：应齐次方程特征方程
非齐次项标准式较
特征根推
代入方程
通解
（2）
解：应齐次方程特征方程
非齐次项标准式较
特征根推
代入方程
通解
（3）
解：应齐次方程特征方程
非齐次项标准式较
特征根推
代入方程
（4）
解：应齐次方程特征方程
非齐次项标准式
较特征根推特解形式设
代入方程
（5）．
解：应齐次方程特征方程
非齐次项利解结构定理知特解形式设
代入方程
2．求方程满足初始条件特解．
解：应齐次方程特征方程
非齐次项标准式较
特征根推
代入方程
通解
特解
3．已知二阶线性非齐次微分方程三特解．试求方程满足初始条件特解．
解：三解线性关性解结构理通解
特解
4．设中连续求．
解：
应齐次方程特征方程
非齐次项标准式
较特征根推特解形式设
代入方程
第十章微分方程测试题
1．填空题
（1）函数常系数线性微分方程解充分必条件
（2）曲线簇（意常数）满足阶微分方程
（3）已知二阶线性齐次方程两解该方程
（4）方程通解
（5）设方程
解方程通解．
2．求列方程通解
（1）
解：令
原方程化分离变量
两边积分
（2）
解：原方程化
（3）
解：令原方程化
分离变量
两边积分
（4）
解：令原方程化
（5）
解：应齐次方程特征方程
非齐次项标准式
较特征根推特解形式设
代入方程
（6）
解：方程化
（7）
解：应齐次方程特征方程
非齐次项标准式较
特征根推
代入方程
通解
(8) ．
解：令
令
令
3 设具二阶连续导数
全微分方程求．
解：已知
应齐次方程特征方程
非齐次项标准式
较特征根推特解形式设
通解
4．已知方程形解试求出解．
解：
特征方程
解
5．设函数具连续导数满足
求．
解：极坐标
6．设函数实轴连续存具性质试求出．
解：已知
7．设函数（）二阶导曲线点作该曲线切线轴垂线述两直线轴围成三角形面积记区间曲边曲边梯形面积记设恒1．求曲线方程．
解曲线点作该曲线切线
已知
令
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作业20 微分方程基概念
1．写出列条件确定微分方程：
（1）曲线点处法线轴交点线段轴分
解：法线方程法线轴交点
已知
（2）曲线意点处切线线段垂直
解：切线斜率线段斜率
已知
（3）曲线意点处切线点原点连线轴围成三角形面积常数．
解：切线方程点原点连线
切线轴直线交点
已知
2．求曲线簇 满足微分方程．
解：已知两边变量求导
两边变量求导
3．潜水艇垂直沉时遇阻力沉速度成正果潜水艇质量水面静止开始沉求沉速度满足微分方程初始条件．
解：已知
作业21 分离变量微分方程
1．解微分方程．
解：微分方程
分离变量
两边积分
2 求解初值问题： ．
解：微分方程
分离变量
两边积分
3．时高阶穷量函数意点处增量+求．
解：已知
分离变量
两边积分
4．解微分方程．
解：微分方程
分离变量
两边积分
5．曲线通点（23）两坐标轴间意切线段均切点分求曲线方程．
解：已知
分离变量
两边积分
6．设连接段凸曲线弧点曲线弧直线段围成面积求曲线弧方程．
解：设曲线
已知
微分方程
作业22 齐次方程
1．解微分方程．
解：令
微分方程
分离变量
两边积分
2．求解初值问题．
解：令
微分方程
分离变量两边积分
3．作适变量代换求列方程通解：
（1）
解：令
（2）
解：令
令
令
（3）．
解：令分离变量
两边积分
4．求曲线正交圆心轴原点圆（注：两曲线正交指交点处两曲线切线互相垂直）．
解：设轴原点圆
已知曲线应满足
令
作业23 阶线性微分方程
1．解微分方程 ．
解：标准阶线性微分方程
2．解微分方程 ．
解：微分方程
3．解微分方程 ．
解：观察发现微分方程等价
4．求解初值问题 ．
解：标准阶线性微分方程
5．设曲线积分 右半面（路径关中导求．
解：曲线积分右半面（路径关知
6．解微分方程．
解：微分方程化
令阶线性微分方程
作业24 全微分方程
1． 判列方程中全微分方程求全微分方程通解：
（1）
解：连续该方程全微分方程
（2）
解：方程
连续该方程全微分方程方程右边某函数全微分
微分方程通解
（3） ．
解：连续该方程全微分方程该方程全微分方程方程右边某势函数全微分曲线积分法求
微分方程通解
作业25 降阶高阶微分方程
1．求列微分方程通解
（1）
解：
（2）
解：令
分离变量
两边积分
分离变量两边积分
（3）
解：令
分离变量
两边积分
分离变量两边积分
(4)
解：令
分离变量
两边积分
分离变量
两边积分
2．求解初值问题．
解：令
分离变量两边积分
分离变量两边积分
3．设第象限曲线应段长数值等曲边梯形：面积中意定求．
解：已知
作业26 线性微分方程解结构
1． 已知齐次线性方程
解求方程通解．
解：方程
刘维尔公式
解结构定理知方程通解
2． 二阶非齐次线性微分方程（1）线性关解试表达方程（1）通解．
解：解结构定理知均应二阶齐次线性微分方程解现行关
：解结构定理方程（1）通解
3．已知二阶线性非齐次方程解求方程通解．
解：易知线性关二阶线性齐次方程线性关特解解结构定理二阶线性非齐次方程通解
作业27 二阶常系数齐次线性微分方程
1．求列微分方程通解
（1）
解：特征方程
通解
（2）
解：特征方程
通解
（3）
解：特征方程
通解
（4）．
解：特征方程
通解
2．求方程满足初始条件特解．
解：特征方程
通解
3． 设微函数满足方程求．
解：已知
特征方程
通解
作业 28 二阶线性非齐次微分方程
1．求列方程通解
（1）
解：应齐次方程特征方程
非齐次项标准式较
特征根推
代入方程
通解
（2）
解：应齐次方程特征方程
非齐次项标准式较
特征根推
代入方程
通解
（3）
解：应齐次方程特征方程
非齐次项标准式较
特征根推
代入方程
（4）
解：应齐次方程特征方程
非齐次项标准式
较特征根推特解形式设
代入方程
（5）．
解：应齐次方程特征方程
非齐次项利解结构定理知特解形式设
代入方程
2．求方程满足初始条件特解．
解：应齐次方程特征方程
非齐次项标准式较
特征根推
代入方程
通解
特解
3．已知二阶线性非齐次微分方程三特解．试求方程满足初始条件特解．
解：三解线性关性解结构理通解
特解
4．设中连续求．
解：
应齐次方程特征方程
非齐次项标准式
较特征根推特解形式设
代入方程
第十章微分方程测试题
1．填空题
（1）函数常系数线性微分方程解充分必条件
（2）曲线簇（意常数）满足阶微分方程
（3）已知二阶线性齐次方程两解该方程
（4）方程通解
（5）设方程
解方程通解．
2．求列方程通解
（1）
解：令
原方程化分离变量
两边积分
（2）
解：原方程化
（3）
解：令原方程化
分离变量
两边积分
（4）
解：令原方程化
（5）
解：应齐次方程特征方程
非齐次项标准式
较特征根推特解形式设
代入方程
（6）
解：方程化
（7）
解：应齐次方程特征方程
非齐次项标准式较
特征根推
代入方程
通解
(8) ．
解：令
令
令
3 设具二阶连续导数
全微分方程求．
解：已知
应齐次方程特征方程
非齐次项标准式
较特征根推特解形式设
通解
4．已知方程形解试求出解．
解：
特征方程
解
5．设函数具连续导数满足
求．
解：极坐标
6．设函数实轴连续存具性质试求出．
解：已知
7．设函数（）二阶导曲线点作该曲线切线轴垂线述两直线轴围成三角形面积记区间曲边曲边梯形面积记设恒1．求曲线方程．
解曲线点作该曲线切线
已知
令
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