专题：圆相似(1)
1．图AB⊙O直径弦CD⊥ABH．点G⊙O点G作直线EF交CD延长线点E交AB延长线点F．连接AG交CDKKE＝GE．
（1）判断直线EF⊙O位置关系说明理
（2）AC∥EFFB＝1求⊙O半径．
2．图PB⊙O切线B切点直线PO交⊙点EF点B作PO垂线BA垂足点D交⊙O点A延长AO⊙O交点C连接BCAF．
（1）求证：直线PA⊙O切线
（2）试探究线段EFODOP间等量关系加证明
（3）BC＝6tan∠F＝求cos∠ACB值线段PE长．
3．图示AB⊙O直径AE弦C劣弧AE中点C作CD⊥AB点DCD交AE点FC作CG∥AE交BA延长线点G．连接OC交AE点H
（1）求证：GC⊥OC．
（2）求证：AFCF．
（3）∠EAB30°CF2求GA长．
4．图△ABCABACAB直径⊙O分交ACBC点DE点FAC延长线∠CBF∠CAB．
（1）求证：直线BF⊙O切线
（2）AB5sin∠CBF求BCBF长．
5．图⊙O弦AB8直径CD⊥ABMOM ：MD 3 ：2 E劣弧CB点连结CE延长交CE延长线点F．
求：（1）⊙O半径
（2）求CE·CF值．
6．图已知△ABP中CBP边点∠PAC∠PBA⊙O△ABC外接圆AD⊙O直径交BP点E．
（1）求证：PA⊙O切线
（2）点C作CF⊥AD垂足点F延长CF交AB点GAG•AB12求AC长
（3）满足（2）条件AF：FD1：2GF1求⊙O半径sin∠ACE值．
7图△ABC中∠C90°AC3BC40BC边点0圆心OB半径作半圆BC边AB边分交点D点E连接DE．
（1）BD3时求线段DE长
（2）点E作半圆O切线切线AC边相交时设交点F．求证：△FAE等腰三角形．
8图△ABC中∠C90°∠ABC分线交AC点E点E作BE垂线交AB点F⊙O△BEF外接圆．
（1）求证：AC⊙O切线
（2）点E作EH⊥AB垂足H求证：CDHF
（3）CD1EH3求BFAF长．
9图BD⊙O直径OA⊥OBM劣弧 点点M作⊙O切线MP交OA延长线P点MDOA交N点．
（1）求证：PMPN
（2）BD4PA AO点B作BC∥MP交⊙OC点求BC长．
10图量角器含30°角直角三角板放置起示意图中点B半圆O直径DE延长线AB切半圆O点FBCOE．
（1）求证：DE∥CF
（2）OE2时OBF顶点三角形△ABC相似求OB长
（3）OE2移动三角板ABCAB边始终半圆O相切直角顶点B直径DE延长线移动求出点B移动距离．
11图ABAC分⊙O直径弦点D劣弧AC点弦DE⊥AB分交⊙OE交ABH交ACF．PED延长线点PCPF．
（1）求证：PC⊙O切线
（2）点D劣弧AC什位置时AD2DE•DF什？
（3）（2）条件OH1AH2求弦AC长．
12图△ABC中∠ABC90°AB中点O圆心OA半径圆交AC点DEBC中点连接DEOE．
（1）判断DE⊙O位置关系说明理
（2）求证：BC2CD•2OE
（3）cos∠BADBE6求OE长．
专题：圆相似答案
1．（1）相切理见解析（2）4
（1）图连接OG．
∵OA＝OG∴∠OGA＝∠OAG
∵CD⊥AB∴∠AKH＋∠OAG＝90°．
∵KE＝GE
∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH
∴∠KGE＋∠OGA＝∠AKH＋∠OAG＝90°
∴∠OGE＝90°OG⊥EF
∵G圆O∴EF圆O相切．
（2）∵AC∥EF ∴∠F＝∠CAH
∴Rt△AHC∽ Rt△FGO． ∴
∵Rt△OAH中设AH＝3tAC＝5tCH＝4t．
∴ ∴
∵FB＝1 ∴解：OG＝4．
∴圆O半径4
考点：1等腰三角形性质2切线判定3相似三角形判定性质．
2．（1）证明见解析（2）EF24OD•OP证明见解析（3）
解析
试题解析：（1）图连接OB
∵PB⊙O切线∴∠PBO90°
∵OAOBBA⊥POD∴ADBD∠POA∠POB
∵POPO∴△PAO≌△PBO（SAS）
∴∠PAO∠PBO90° ∴直线PA⊙O切线
（2）EF24OD•OP证明：
∵∠PAO∠PDA90°∴∠OAD+∠AOD90°∠OPA+∠AOP90°
∴∠OAD∠OPA ∴△OAD∽△OPA ∴OA2OD•OP
∵EF2OA∴EF24OD•OP
（3）∵OAOCADBDBC6∴ODBC3（三角形中位线定理）
设ADx
∵tan∠F∴FD2xOAOF2x﹣3
Rt△AOD中勾股定理（2x﹣3）2x2+32
解x14x20（合题意舍）∴AD4OA2x﹣35
∵AC⊙O直径∴∠ABC90°
∵AC2OA10BC6∴cos∠ACB
∵OA2OD•OP∴3（PE+5）25∴PE
3试题解析：
（1）证明：图连结OC
∵C劣弧AE中点
∴OC⊥AE
∵CG∥AE
∴CG⊥OC
∴CG⊙O切线
（2）证明：连结ACBC
∵AB⊙O直径
∴∠ACB90°
∴∠2+∠BCD90°
CD⊥AB
∴∠B+∠BCD90°
∴∠B∠2
∵AC弧CE弧
∴∠1∠B
∴∠1∠2
∴AFCF
（3）解：Rt△ADF中∠DAF30°FAFC2
∴DFAF1
∴ADDF
∵AF∥CG
∴DA：AGDF：CF：AG1：2
∴AG．
4（1）证明：连接AE∵AB⊙O直径∴∠AEB90°∴∠1+∠290°．∵ABAC∴∠1∠CAB．∵∠CBF∠CAB∴∠1∠CBF∴∠CBF+∠290°∠ABF90°∵AB⊙O直径∴直线BF⊙O切线．
（2）点C作CG⊥AB
G．∵sin∠CBF∠1∠CBF∴sin∠1∵Rt△AEB中∠AEB90°AB5∴BEAB•sin∠1∵ABAC∠AEB90°∴BC2BERt△ABE中勾股定理AE∴sin∠2cos∠2Rt△CBG中求GC4GB2∴AG3∵GC∥BF∴△AGC∽△ABF∴∴BF．
考点：1．切线判定性质2．勾股定理3．圆周角定理4．相似三角形判定性质
5．试题解析：（1）图连接AO
∵OM MD32∴设OM3 kMD2 k (k >0)OAOD5 k
∵弦AB8直径CD⊥ABM∴AM4
Rt△OAM中勾股定理：k1 ．
∴圆O半径5 ．
（2）图连接AE
垂径定理知：ÐAECÐCAF
∵ÐACFÐACF∴DACE∽DFCA ∴AC2CE×CF
Rt△ACM中勾股定理：AC2AM2+CM216+6480
∴CE×CF80
6．解：（1）证明：连接CD
∵AD⊙O直径∴∠ACD90°
∴∠CAD+∠ADC90°
∵∠PAC∠PBA∠ADC∠PBA
∴∠PAC∠ADC∴∠CAD+∠PAC90°
∴PA⊥OA
∵AD⊙O直径∴PA⊙O切线
（2）（1）知PA⊥AD
∵CF⊥AD∴CF∥PA∴∠GCA∠PAC
∵∠PAC∠PBA∴∠GCA∠PBA
∵∠CAG∠BAC∴△CAG∽△BAC
∴AC2AG•AB
∵AG•AB12∴AC212∴AC
（3）设AFx
∵AF：FD1：2∴FD2x∴ADAF+FD3x
Rt△ACD中∵CF⊥AD∴AC2AF•AD3x212
解x2
∴AF2AD6∴⊙O半径3
Rt△AFG中∵AF2GF1
∴根勾股定理：
（2）知AG•AB12∴
连接BD
∵AD⊙O直径∴∠ABD90°
Rt△ABD中∵sin∠ADBAD6∴sin∠ADB
∵∠ACE∠ACB∠ADB∴sin∠ACE
7（1）解：∵∠C90°AC3BC4
∴AB5
∵DB直径
∴∠DEB∠C90°
∵∠B∠B
∴△DBE∽△ABC
∴DEACBDAB
DE335
∴DE
（2）证法：连接OE
∵EF半圆O切线
∴∠DEO+∠DEF90°
∴∠AEF∠DEO
∵△DBE∽△ABC
∴∠A∠EDB
∵∠EDO∠DEO
∴∠AEF∠A
∴△FAE等腰三角形
证法二：连接OE
∵EF切线
∴∠AEF+∠OEB90°
∵∠C90°
∴∠A+∠B90°
∵OEOB
∴∠OEB∠B
∴∠AEF∠A
∴△FAE等腰三角形．
8证明：（1）图连接OE．
∵BE⊥EF
∴∠BEF90°
∴BF圆O直径．
∵BE分∠ABC
∴∠CBE∠OBE
∵OBOE
∴∠OBE∠OEB
∴∠OEB∠CBE
∴OE∥BC
∴∠AEO∠C90°
∴AC⊙O切线
（2）图连结DE．
∵∠CBE∠OBEEC⊥BCCEH⊥ABH
∴ECEH．
∵∠CDE+∠BDE180°∠HFE+∠BDE180°
∴∠CDE∠HFE．
△CDE△HFE中
∴△CDE≌△HFE（AAS）
∴CDHF．
（3）（2）CDHFCD1
∴HF1
Rt△HFE中EF32+1210
∵EF⊥BE
∴∠BEF90°
∴∠EHF∠BEF90°
∵∠EFH∠BFE
∴△EHF∽△BEF
∴EFBFHFEF10BF
∴BF10
∴OEBF5OH514
∴Rt△OHE中cos∠EOA
∴Rt△EOA中cos∠EOAOEOA
∴
∴OA254
∴AF2545．
9（1）证明：连接OM
∵MP圆切线∴OM⊥PM
∴∠OMD+∠DMP90°
∵OA⊥OB
∴∠OND+∠ODM90°
∵∠MNP∠OND∠ODM∠OMD
∴∠DMP∠MNP
∴PMPN．
（2）解：设BC交OME
∵BD4OAOBBD2
∴PA3
∴PO5
∵BC∥MPOM⊥MP
∴OM⊥BC∴BEBC
∵∠BOM+∠MOP90°
直角三角形OMP中
∠MPO+∠MOP90°
∴∠BOM∠MPO
∵∠BEO∠OMP90°
∴△OMP∽△BEO
∴OMOPBEBOBE2
解：BE
∴BC．
10（1）证明：连接OF
∵AB切半圆O点FOF半径
∴∠OFB90°
∵∠ABC90°
∴∠OFB∠ABC
∴OF∥BC
∵BCOEOEOF
∴BCOF
∴四边形OBCF行四边形
∴DE∥CF
（2）解：△OBF∽△ACB
∴OBOFACAB
∴OB
∵∠A30°∠ABC90°BCOE2
∴AC4AB23．
∵OFOE2
∴OB4脳223
△BOF∽△ACB
∴OBOFACBC
∴OB
∴OB4脳224
综OB4
（3）解：画出移动程中两极值图
图知：点B移动距离线段BE长
∵∠A30°∴∠ABO30°∴BO4∴BE2
∴点B移动距离线段BE长2．
11（1）证明：连接OC．
∵PCPFOAOC
∴∠PCA∠PFC∠OCA∠OAC
∵∠PFC∠AFHDE⊥AB
∴∠AHF90°
∴∠PCO∠PCA+∠ACO∠AFH+∠FAH90°
∴PC⊙O切线．
（2）解：点D劣弧AC中点位置时AD2DE•DF理：
连接AE．
∵点D劣弧AC中点位置
∴∠DAF∠DEA
∵∠ADE∠ADE
∴△DAF∽△DEA
∴AD：EDFD：AD
∴AD2DE•DF．
（3）解：连接OD交ACG．
∵OH1AH2
∴OA3OD3
∴DHOD2OH2822．
∵点D劣弧AC中点位置
∴AC⊥DO
∴∠OGA∠OHD90°
△OGA△OHD中
∴△OGA≌△OHD（AAS）
∴AGDH
∴AC42．
12（1）证明：连接ODBD
∵AB圆O直径
∴∠ADB90°
Rt△BDC中E斜边BC中点
∴CEDEBEBC
∴∠C∠CDE
∵OAOD
∴∠A∠ADO
∵∠ABC90°∠C+∠A90°
∴∠ADO+∠CDE90°∠ODE90°
∴DE⊥ODOD圆半径
∴DE⊙O切线
（2）证明：∵EBC中点O点AB中点
∴OE△ABC中位线
∴AC2OE
∵∠C∠C∠ABC∠BDC
∴△ABC∽△BDC
∴BCCDACBCBC2AC•CD．
∴BC22CD•OE
（3）解：∵cos∠BAD
∴sin∠BACBCAC
∵BE6EBC中点BC12
∴AC15．
∵AC2OE
∴OEAC152．
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1．图AB⊙O直径弦CD⊥ABH．点G⊙O点G作直线EF交CD延长线点E交AB延长线点F．连接AG交CDKKE＝GE．
（1）判断直线EF⊙O位置关系说明理
（2）AC∥EFFB＝1求⊙O半径．
2．图PB⊙O切线B切点直线PO交⊙点EF点B作PO垂线BA垂足点D交⊙O点A延长AO⊙O交点C连接BCAF．
（1）求证：直线PA⊙O切线
（2）试探究线段EFODOP间等量关系加证明
（3）BC＝6tan∠F＝求cos∠ACB值线段PE长．
3．图示AB⊙O直径AE弦C劣弧AE中点C作CD⊥AB点DCD交AE点FC作CG∥AE交BA延长线点G．连接OC交AE点H
（1）求证：GC⊥OC．
（2）求证：AFCF．
（3）∠EAB30°CF2求GA长．
4．图△ABCABACAB直径⊙O分交ACBC点DE点FAC延长线∠CBF∠CAB．
（1）求证：直线BF⊙O切线
（2）AB5sin∠CBF求BCBF长．
5．图⊙O弦AB8直径CD⊥ABMOM ：MD 3 ：2 E劣弧CB点连结CE延长交CE延长线点F．
求：（1）⊙O半径
（2）求CE·CF值．
6．图已知△ABP中CBP边点∠PAC∠PBA⊙O△ABC外接圆AD⊙O直径交BP点E．
（1）求证：PA⊙O切线
（2）点C作CF⊥AD垂足点F延长CF交AB点GAG•AB12求AC长
（3）满足（2）条件AF：FD1：2GF1求⊙O半径sin∠ACE值．
7图△ABC中∠C90°AC3BC40BC边点0圆心OB半径作半圆BC边AB边分交点D点E连接DE．
（1）BD3时求线段DE长
（2）点E作半圆O切线切线AC边相交时设交点F．求证：△FAE等腰三角形．
8图△ABC中∠C90°∠ABC分线交AC点E点E作BE垂线交AB点F⊙O△BEF外接圆．
（1）求证：AC⊙O切线
（2）点E作EH⊥AB垂足H求证：CDHF
（3）CD1EH3求BFAF长．
9图BD⊙O直径OA⊥OBM劣弧 点点M作⊙O切线MP交OA延长线P点MDOA交N点．
（1）求证：PMPN
（2）BD4PA AO点B作BC∥MP交⊙OC点求BC长．
10图量角器含30°角直角三角板放置起示意图中点B半圆O直径DE延长线AB切半圆O点FBCOE．
（1）求证：DE∥CF
（2）OE2时OBF顶点三角形△ABC相似求OB长
（3）OE2移动三角板ABCAB边始终半圆O相切直角顶点B直径DE延长线移动求出点B移动距离．
11图ABAC分⊙O直径弦点D劣弧AC点弦DE⊥AB分交⊙OE交ABH交ACF．PED延长线点PCPF．
（1）求证：PC⊙O切线
（2）点D劣弧AC什位置时AD2DE•DF什？
（3）（2）条件OH1AH2求弦AC长．
12图△ABC中∠ABC90°AB中点O圆心OA半径圆交AC点DEBC中点连接DEOE．
（1）判断DE⊙O位置关系说明理
（2）求证：BC2CD•2OE
（3）cos∠BADBE6求OE长．
专题：圆相似答案
1．（1）相切理见解析（2）4
（1）图连接OG．
∵OA＝OG∴∠OGA＝∠OAG
∵CD⊥AB∴∠AKH＋∠OAG＝90°．
∵KE＝GE
∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH
∴∠KGE＋∠OGA＝∠AKH＋∠OAG＝90°
∴∠OGE＝90°OG⊥EF
∵G圆O∴EF圆O相切．
（2）∵AC∥EF ∴∠F＝∠CAH
∴Rt△AHC∽ Rt△FGO． ∴
∵Rt△OAH中设AH＝3tAC＝5tCH＝4t．
∴ ∴
∵FB＝1 ∴解：OG＝4．
∴圆O半径4
考点：1等腰三角形性质2切线判定3相似三角形判定性质．
2．（1）证明见解析（2）EF24OD•OP证明见解析（3）
解析
试题解析：（1）图连接OB
∵PB⊙O切线∴∠PBO90°
∵OAOBBA⊥POD∴ADBD∠POA∠POB
∵POPO∴△PAO≌△PBO（SAS）
∴∠PAO∠PBO90° ∴直线PA⊙O切线
（2）EF24OD•OP证明：
∵∠PAO∠PDA90°∴∠OAD+∠AOD90°∠OPA+∠AOP90°
∴∠OAD∠OPA ∴△OAD∽△OPA ∴OA2OD•OP
∵EF2OA∴EF24OD•OP
（3）∵OAOCADBDBC6∴ODBC3（三角形中位线定理）
设ADx
∵tan∠F∴FD2xOAOF2x﹣3
Rt△AOD中勾股定理（2x﹣3）2x2+32
解x14x20（合题意舍）∴AD4OA2x﹣35
∵AC⊙O直径∴∠ABC90°
∵AC2OA10BC6∴cos∠ACB
∵OA2OD•OP∴3（PE+5）25∴PE
3试题解析：
（1）证明：图连结OC
∵C劣弧AE中点
∴OC⊥AE
∵CG∥AE
∴CG⊥OC
∴CG⊙O切线
（2）证明：连结ACBC
∵AB⊙O直径
∴∠ACB90°
∴∠2+∠BCD90°
CD⊥AB
∴∠B+∠BCD90°
∴∠B∠2
∵AC弧CE弧
∴∠1∠B
∴∠1∠2
∴AFCF
（3）解：Rt△ADF中∠DAF30°FAFC2
∴DFAF1
∴ADDF
∵AF∥CG
∴DA：AGDF：CF：AG1：2
∴AG．
4（1）证明：连接AE∵AB⊙O直径∴∠AEB90°∴∠1+∠290°．∵ABAC∴∠1∠CAB．∵∠CBF∠CAB∴∠1∠CBF∴∠CBF+∠290°∠ABF90°∵AB⊙O直径∴直线BF⊙O切线．
（2）点C作CG⊥AB
G．∵sin∠CBF∠1∠CBF∴sin∠1∵Rt△AEB中∠AEB90°AB5∴BEAB•sin∠1∵ABAC∠AEB90°∴BC2BERt△ABE中勾股定理AE∴sin∠2cos∠2Rt△CBG中求GC4GB2∴AG3∵GC∥BF∴△AGC∽△ABF∴∴BF．
考点：1．切线判定性质2．勾股定理3．圆周角定理4．相似三角形判定性质
5．试题解析：（1）图连接AO
∵OM MD32∴设OM3 kMD2 k (k >0)OAOD5 k
∵弦AB8直径CD⊥ABM∴AM4
Rt△OAM中勾股定理：k1 ．
∴圆O半径5 ．
（2）图连接AE
垂径定理知：ÐAECÐCAF
∵ÐACFÐACF∴DACE∽DFCA ∴AC2CE×CF
Rt△ACM中勾股定理：AC2AM2+CM216+6480
∴CE×CF80
6．解：（1）证明：连接CD
∵AD⊙O直径∴∠ACD90°
∴∠CAD+∠ADC90°
∵∠PAC∠PBA∠ADC∠PBA
∴∠PAC∠ADC∴∠CAD+∠PAC90°
∴PA⊥OA
∵AD⊙O直径∴PA⊙O切线
（2）（1）知PA⊥AD
∵CF⊥AD∴CF∥PA∴∠GCA∠PAC
∵∠PAC∠PBA∴∠GCA∠PBA
∵∠CAG∠BAC∴△CAG∽△BAC
∴AC2AG•AB
∵AG•AB12∴AC212∴AC
（3）设AFx
∵AF：FD1：2∴FD2x∴ADAF+FD3x
Rt△ACD中∵CF⊥AD∴AC2AF•AD3x212
解x2
∴AF2AD6∴⊙O半径3
Rt△AFG中∵AF2GF1
∴根勾股定理：
（2）知AG•AB12∴
连接BD
∵AD⊙O直径∴∠ABD90°
Rt△ABD中∵sin∠ADBAD6∴sin∠ADB
∵∠ACE∠ACB∠ADB∴sin∠ACE
7（1）解：∵∠C90°AC3BC4
∴AB5
∵DB直径
∴∠DEB∠C90°
∵∠B∠B
∴△DBE∽△ABC
∴DEACBDAB
DE335
∴DE
（2）证法：连接OE
∵EF半圆O切线
∴∠DEO+∠DEF90°
∴∠AEF∠DEO
∵△DBE∽△ABC
∴∠A∠EDB
∵∠EDO∠DEO
∴∠AEF∠A
∴△FAE等腰三角形
证法二：连接OE
∵EF切线
∴∠AEF+∠OEB90°
∵∠C90°
∴∠A+∠B90°
∵OEOB
∴∠OEB∠B
∴∠AEF∠A
∴△FAE等腰三角形．
8证明：（1）图连接OE．
∵BE⊥EF
∴∠BEF90°
∴BF圆O直径．
∵BE分∠ABC
∴∠CBE∠OBE
∵OBOE
∴∠OBE∠OEB
∴∠OEB∠CBE
∴OE∥BC
∴∠AEO∠C90°
∴AC⊙O切线
（2）图连结DE．
∵∠CBE∠OBEEC⊥BCCEH⊥ABH
∴ECEH．
∵∠CDE+∠BDE180°∠HFE+∠BDE180°
∴∠CDE∠HFE．
△CDE△HFE中
∴△CDE≌△HFE（AAS）
∴CDHF．
（3）（2）CDHFCD1
∴HF1
Rt△HFE中EF32+1210
∵EF⊥BE
∴∠BEF90°
∴∠EHF∠BEF90°
∵∠EFH∠BFE
∴△EHF∽△BEF
∴EFBFHFEF10BF
∴BF10
∴OEBF5OH514
∴Rt△OHE中cos∠EOA
∴Rt△EOA中cos∠EOAOEOA
∴
∴OA254
∴AF2545．
9（1）证明：连接OM
∵MP圆切线∴OM⊥PM
∴∠OMD+∠DMP90°
∵OA⊥OB
∴∠OND+∠ODM90°
∵∠MNP∠OND∠ODM∠OMD
∴∠DMP∠MNP
∴PMPN．
（2）解：设BC交OME
∵BD4OAOBBD2
∴PA3
∴PO5
∵BC∥MPOM⊥MP
∴OM⊥BC∴BEBC
∵∠BOM+∠MOP90°
直角三角形OMP中
∠MPO+∠MOP90°
∴∠BOM∠MPO
∵∠BEO∠OMP90°
∴△OMP∽△BEO
∴OMOPBEBOBE2
解：BE
∴BC．
10（1）证明：连接OF
∵AB切半圆O点FOF半径
∴∠OFB90°
∵∠ABC90°
∴∠OFB∠ABC
∴OF∥BC
∵BCOEOEOF
∴BCOF
∴四边形OBCF行四边形
∴DE∥CF
（2）解：△OBF∽△ACB
∴OBOFACAB
∴OB
∵∠A30°∠ABC90°BCOE2
∴AC4AB23．
∵OFOE2
∴OB4脳223
△BOF∽△ACB
∴OBOFACBC
∴OB
∴OB4脳224
综OB4
（3）解：画出移动程中两极值图
图知：点B移动距离线段BE长
∵∠A30°∴∠ABO30°∴BO4∴BE2
∴点B移动距离线段BE长2．
11（1）证明：连接OC．
∵PCPFOAOC
∴∠PCA∠PFC∠OCA∠OAC
∵∠PFC∠AFHDE⊥AB
∴∠AHF90°
∴∠PCO∠PCA+∠ACO∠AFH+∠FAH90°
∴PC⊙O切线．
（2）解：点D劣弧AC中点位置时AD2DE•DF理：
连接AE．
∵点D劣弧AC中点位置
∴∠DAF∠DEA
∵∠ADE∠ADE
∴△DAF∽△DEA
∴AD：EDFD：AD
∴AD2DE•DF．
（3）解：连接OD交ACG．
∵OH1AH2
∴OA3OD3
∴DHOD2OH2822．
∵点D劣弧AC中点位置
∴AC⊥DO
∴∠OGA∠OHD90°
△OGA△OHD中
∴△OGA≌△OHD（AAS）
∴AGDH
∴AC42．
12（1）证明：连接ODBD
∵AB圆O直径
∴∠ADB90°
Rt△BDC中E斜边BC中点
∴CEDEBEBC
∴∠C∠CDE
∵OAOD
∴∠A∠ADO
∵∠ABC90°∠C+∠A90°
∴∠ADO+∠CDE90°∠ODE90°
∴DE⊥ODOD圆半径
∴DE⊙O切线
（2）证明：∵EBC中点O点AB中点
∴OE△ABC中位线
∴AC2OE
∵∠C∠C∠ABC∠BDC
∴△ABC∽△BDC
∴BCCDACBCBC2AC•CD．
∴BC22CD•OE
（3）解：∵cos∠BAD
∴sin∠BACBCAC
∵BE6EBC中点BC12
∴AC15．
∵AC2OE
∴OEAC152．
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