最新版北师版初中数学知识点总结（新）

新北师版初中数学知识点复
七年级
第章 丰富图形世界（New）
1 生活中立体图形
2 展开折叠
3 截体
4 三方物体形状

¤1


¤2

¤3 球体：球面围成（球面曲面）
¤4 图形点线面构成
①体外界接触面外表体表面表面面曲面②面面相交线③线线相交点
※5 棱：棱柱中相邻两面交线做棱
※6 侧棱：相邻两侧面交线做侧棱侧棱长相等
¤7 棱柱底面形状相侧面形状长方形
¤8 根底面图形边数棱柱分三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱……底面图形形状分三边形四边形五边形六边形……
¤9 长方体正方体四棱柱
¤10 圆柱表面展开图两相圆形长方形连成
¤11 圆锥表面展开图圆形扇形连成
※12 设边形边数n(n≥3n整数)顶点出发角线(n3)条n边形成(n2)三角形n边形条角线
◎13 圆两点间部分做弧弧条曲线
◎14 扇形条弧条弧端点两条半径组成图形
¤15 凸边形凹边形属边形弧封闭图形边形
第二章 理数运算（New）
1理数
2数轴
3绝值
4理数加法
5理数减法
6理数加减混合运算
7理数法
8理数法
9理数方
10科学记数法

11理数混运算
12计算器进行运算








※数轴三素：原点正方单位长度（三者缺）
※理数数轴点表示（反说数轴点表示理数）
※果两数符号称中数数相反数称两数互相反数（0相反数0）
※数轴表示互相反数两点位原点侧原点距离相等
¤数轴两点表示数右边总左边正数原点右边负数原点左边
※绝值定义：数a绝值数轴表示数a点原点距离数a绝值记作|a|
※正数绝值身负数绝值数0绝值0
0
1
2
3
1
2
3
越越

※绝值性质：0外绝值正数数两互相反数
互相反数两数（0外）绝值相等
数绝值总非负数|a|≥0
※较两负数绝值反较两负数步骤：
①先求出两数负数绝值②较两绝值
③根两负数绝值反做出正确判断
※绝值性质：
①理数a|a|≥0②|a|0|a|0反然
③|a|ba±b④理数a|a||a|
※理数加法法： ①号两数相加取相符号绝值相加②异号两数相加绝值相等时0绝值等时取绝值较数符号较数绝值减较数绝值③数0相加数
※加法交换律结合律理数运算中样适
¤灵活运运算律运算简化通常列规律：①互相反两数先相加②符号相数先相加③分母相数先相加④数相加整数先相加
※理数减法法：减数等加数相反数
¤理数减法运算时注意两变：①改变运算符号②改变减数性质符号（变相反数）
理数减法运算时注意变：减数减数位置变换说减法没交换律
¤理数加减法混合运算步骤：
①写成省略加号代数算式中减法应理数减法法转化加法然省略加号括号②利加法加法交换律结合律简化计算
（注意：减数等加数相反数减法统成加法时减数应变成身相反数）
※理数法法： ①两数相号正异号负绝值相②数0相积0
※果两数互倒数积1（：2 …等）
※法交换律结合律分配律理数运算中样适
¤理数法运算步骤：①先确定积符号
②求出数绝值积
¤积1两理数互倒数注意：
①零没倒数②求分数倒数分数分子分母颠倒位置带分数先化成假分数③正数倒数正数负数倒数负数
※理数法法： ①两理数相号正异号负绝值相
②0非0数00作数否意义
指数
底数
幂
※理数方


※注意：①数作身次方551
②底数负数分数时先括号底数括右角写指数
※方运算性质：
①正数次幂正数②负数奇次幂负数负数偶次幂正数
③数偶数次幂非负数④1次幂10次幂0
⑤1偶次幂11奇次幂1⑥运算程中首先确定幂符号然计算幂绝值
※理数混合运算法①先算方算算加减②果括号先算括号里面
第三章 整式加减（New）
1 字母表示数
2 代数式
3 整式
4 整式加减
5 探索表达规律
※代数式概念：
运算符号（加减方开方等）数表示数字母连接成式子做代数式单独数字母代数式
注意：①代数式中含数字母运算符号外括号
②代数式中含><≠等符号等式等式代数式等号等号两边式子般代数式
③代数式中字母表示数必须代数式意义实际问题符合实际问题意义
※代数式书写格式：
①代数式中出现号通常省略写vt
②数字字母相时数字应写字母前面4a
③带分数字母相时应先带分数化成假分数字母相应写作
④数字数字相般×号×号省略
⑤代数式中出现法运算时般分数写法写4÷（a4）应写作注意：分数线具÷号括号双重作
⑥表示（）差代差代数式单位名称必须代数式括起单位名称写式子面方米
※代数式系数：
代数式中数字中数字数做代数式系数3x4y系数分34
注意：①单字母系数1a系数1
②含字母数代数式系数11ab系数1a3b系数1
※代数式项：
代数式表示6x22x76x22x7项中含字母项做常数项
注意：交某项时应前面符号起交
※类项：
含字母相相字母指数相项做类项
注意：①判断代数式否类项两条件：a含字母相b相字母指数相两条件缺
②类项系数关字母排列序关③常数项类项
※合差类项：
代数式中类项合成项做合类项
①合类项理根逆法分配律
②合类项法类项系数相加结果作系数字母字母指数变
注意：
①果两类项系数互相反数合类项结果0
②类项合合项步运算中写
③类项结果结果代数式
※根括号法括号：
括号前面+号括号前面+号掉括号里项改变符号括号前面－号掉括号里项改变符号
※根分配律括号：
括号前面+号成+1括号前面－号成1根法分配律+11括号里项达括号目
※注意：
①括号时连括号前面符号起掉
②括号时首先弄清楚括号前+号－号
③改变符号时项变号改变符号时项变号
第四章 基面图形（New）

　　
1线段射线直线
2较线段长短
3角
4角较
5边形圆初步认识
线段射线直线
※1 正确理解直线射线线段概念区：
名称
图形
表示方法
端点
长度
直线

直线AB(BA)
直线l
端点
法度量
射线

射线OM
1
法度量
线段

线段AB(BA)
线段l
2
度量长度
※2 直线公理两点条直线
二较线段长短
※1 线段公理两点间线段短两间线段长度做两点间距离
※2 较线段长短两种方法
①圆规截取较法②刻度尺度量较法
※3 刻度尺画出线段中点线段差倍分
圆规画出线段差倍
三角
※1 角公端点两条射线组成图形做角
A
O
B
图1
公端点做角顶点两条射线做角边
b
图2
※2 角表示法：角符号∠
①三字母表示图1示∠AOB
②字母表示图2示∠b
1
图3
β
图4
③数字表示图3示∠1
④希腊字母表示图4示∠β
※两点条直线
※两点间连线中线段短
终边
始边
图5
※两点间线段长度做两点间距离
1º60’ 1’60
※角成条射线绕着端点旋转成图5示：

※条射线绕端点旋转终边始边成条直线时
角
图6
成角做角图6示：

※终边继续旋转始边重合时
周角
图7
成角做周角图7示：

※角顶点引出条射线角分成两相等角条射线做角分线
※直线外点条直线条直线行
※果两条直线第三条直线行两条直线互相行
※互相垂直两条直线交点做垂足
※面点条直线已知直线垂直
图8
C
A
B
O
※图8示点C作直线AB垂线垂足O点线段CO长度做点C直线AB距离



第五章 元次方程（New）
1认识元次方程
2求解元次方程
3应元次方程——水箱变高
4应元次方程——折销售
5应元次方程——希工程义演
6应元次方程——追赶明
※方程中含未知数x（元）未知数指数1（次）样方程做元次方程
※等式两边时加(减)代数式结果等式
※等式两边时数（0数）结果等式
※解方程步骤：解元次方程般通分母括号移项合类项未知数系数化1等步骤元次方程转化成xm形式
第六章 数收集整理（New）
1数收集
2普查抽样调查
3数表示
4统计图选择
数收集
※1 考察象全体做总体
组成总体考察象做体
总体中取出部分体做总体样
二普查抽样调查
※2 特定目考察象作全面调查做普查
特定目部分考察象作调查做抽样调查
※1 抽样调查特点 调查范围节省时间力物力优点普查调查结果精确估计值
估计值否接实际情况取决样选否代表性
※科学记数法：般10数表示成a×10n形式中1≤a<10n正整数种记数方法做科学记数法
四统计图选择
※统计图特点：
折线统计图：够清晰反映事物时期变化情况
条形统计图：够清晰反映项目具体数目间关系
扇形统计图：够清晰表示部分总体中占百分部分间关系
统计图统计作：
（1）清晰效表达数
（2）数进行分析
（3）获许信息
（4）帮助作出合理决策
七年级册
第章 整式
1 底数幂法
2 幂方积方
3 底数幂法
4 整式法
5 方差公式
6 完全方公式
7 整式法
底数幂法
※底数幂法法 (mn正数)幂运算中基法应法运算时注意点
①法前提条件：幂底数相相时底数a具体数字式字母单项项式②指数1时误没指数③底数幂法整式加法相混淆法底数相指数相加加法仅底数相求指数相相加④三三底数幂相时法推广（中mnp均正数）⑤公式逆：（mn均正整数）
二．幂方积方
※1 幂方法：(mn正数)幂法法基础推导出两者混淆
※2
※3 底数负号时运算时注意底数a(a)时底利方法化成底
（a）3化成a3

※4．底数时形式化成相
※5．注意区（ab）n（a+b）n意义误（a+b）nan+bn（ab均零）
※6．积方法：积方等积式分方幂相（n正整数）
※7．幂方积方法均逆运
三 底数幂法
※1 底数幂法法底数幂相底数变指数相减 (a≠0mn正数m>n)
※2 应时需注意点
①法前提条件底数幂相0做数法中a≠0
②等0数0次幂等1(2501)00意义
③等0数p次幂(p正整数)等数p次幂倒数 ( a≠0p正整数) 0103意义a>0时ap值定正 a<0时ap值正负 ④运算注意运算序
四 整式法
※1 单项式法法单项式相系数相字母分相单项式里含字母连指数作积式
单项式法法运时注意点：
①积系数等式系数积先确定符号计算绝值时容易出现错误系数相指数相加混淆
②相字母相运底数法法
③单项式里含字母连指数作积式
④单项式法法三单项式相样适
⑤单项式单项式结果单项式
※2．单项式项式相
单项式项式通法加法分配律转化单项式单项式单项式项式相单项式项式项积相加
单项式项式相时注意点：
①单项式项式相积项式项数项式项数相
②运算时注意积符号项式项包括前面符号
③混合运算时注意运算序
※3．项式项式相
项式项式相先项式中项项式项积相加
项式项式相时注意点：
①项式项式相防止漏项检查方法：没合类项前积项数应等原两项式项数积
②项式相结果应注意合类项
③含字母次项系数1两次二项式相二次项系数1次项系数等两式中常数项常数项两式中常数项积次项系数1两次二项式相
五．方差公式
¤1．方差公式两数两数差积等方差
¤结构特征：
①公式左边两二项式相两二项式中第项相第二项互相反数
②公式右边两项方差相项方相反项方差

六．完全方公式
¤1完全方公式：两数（差）方等方加（减）积2倍 ¤
¤口决：首方尾方2倍积中央
¤2．结构特征：
①公式左边二项式完全方
②公式右边三项二项式中二项方加减两项积2倍
¤3．运完全方公式时注意公式右边中间项符号避免出现样错误
七．整式法
¤1．单项式法单项式
单项式相系数底数幂分相作商式式里含字母连指数作商式
¤2．项式单项式
项式单项式先项式项单项式商相加特点项式单项式转化成单项式单项式商项数原项式项数相外特注意符号
第二章 相交线行线
两条直线位置关系
二 探索直线行条件
三行线性质
四尺规作角
两条直线位置关系
1余角 果两角直角称两角互余角简称互余
2补角：果两角角称两角互补角简称互补
3余角补角性质：角等角余角相等角等角补角相等
4余角补角性质数学语言表示：
（1）(角余角（补角）相等)
（2）(等角余角（补角）相等)
5顶角：角两边分角两边反延长线两角做顶角
6顶角性质：顶角相等
7顶角位置定义顶角定相等相等角定顶角
8垂直：直线ABCD互相垂直记作AB⊥CD（CD⊥AB)读作AB垂直CD（CD垂直AB）
9垂线性质：
性质1：面点条直线已知直线垂直
性质2：直线外点直线点连接线段中垂线段短简称：垂线段短
10点直线距离：点直线垂线段长度
11面两条直线位置关系：相交（垂直）行
12两条直线第三条直线截形成8角
位角：两角两条直线侧第三条直线（截线）旁样角做位角
错角：两角两条直线间第三条直线（截线）两旁样角做错角
旁角：两角两条直线间第三条直线（截线）旁样角旁角
12行线：
面相交两条直线做行线
注意：
（1）行线限延伸样延伸相交
（2）遇线段射线行时指线段射线直线行
13行线公理推
行公理：直线外点条直线条直线行
推：果两条直线第三条直线行两条直线互相行
补充行线判定方法：
（1）行条直线两直线行
（2）面垂直条直线两直线行
（3）行线定义
二．探索直线行条件
※两条直线互相行条件两条直线互相行判定定理三条：
①位角相等两直线行②错角相等两直线行③旁角互补两直线行
三．行线特征
※行线特征行线性质定理三条：
①两直线行位角相等②两直线行错角相等③两直线行旁角互补
四．尺规作线段角
※1．关尺规作图
尺规作图指圆规没刻度直尺作图
※2．关尺规功
直尺功：两点间连接条线段线段两方延长
圆规功：意点圆心意长度半径作圆意点圆心意长度半径画段弧

第三章 三角形

1 认识三角形
2 图形全等
3 探索三角形全等条件
4 尺规作三角形
5 利三角形全等测距离
．认识三角形
1．关三角形概念角分类
直线三条线段首尾次相接组成图形做三角形
里注意两点：
①组成三角形三条线段直线果直线三角形存
②三条线段首尾次相接指三条线段两两间公端点公端点三角形顶点
三角形角分三类：锐角三角形直角三角形钝角三角形
2．关三角形三条边关系
根公理连结两点线中线段短三角形三边关系性质定理三角形意两边第三边
三角形三边关系性质：三角形意两边差第三边
两性质全面理解掌握实质应时会出错
设三角形三边长分abc：
①般三角形某条边a说定|bc|＜a＜b+c成立反|bc|＜a＜b+c成立abc三条线段构成三角形
②特殊果已知线段a满足b+c＞aabc三条线段构成三角形果已知线段a满足|bc|＜a三条线段构成三角形
3．关三角形角
三角形三角180°
①直角三角形两锐角互余
②三角形中直角钝角
③三角中少两角锐角
4．关三角形中线高中线
①三角形角分线中线高线段直线射线
②意三角形三条角分线三条中线三条高
③意三角形三条角分线三条中线三角形部三角形高位置：锐角三角形三条高三角形部图1直角三角形条高三角形部两条高恰两条边图2钝角三角形条高三角形部两条高三角形外部图3
④三角形中三条中线交点三条角分线交点三条高直线交点
二全等三角形
图形全等：够完全重合图形称全等图形全等图形形状相形状相者说满足面积相形状两图形全等图形
¤1．关全等三角形概念
够完全重合两三角形做全等三角形互相重合顶点做应点互相重合边做应边互相重合角做应角
谓完全重合条边应相等角应相等样说条边应相等角应相等两三角形做全等三角形
※2．全等三角形应边相等应角相等
¤3．全等三角形性质常证明两条线段相等两角相等
三．探三角形全等条件
※1．三边应相等两三角形全等简写边边边SSS
※2．两边夹角应相等两三角形全等简写成边角边SAS
※3．两角夹边应相等两三角形全等简写成角边角ASA
※4．两角中角边应相等两三角形全等简写成角角边AAS
四．尺规作三角形
1．已知两角夹边求作三角形利三角形全等条件角边角（ASA）作图
2．已知两条边夹角求作三角形利三角形全等条件边角边（SAS）作图
3．已知三条边求作三角形利三角形全等条件边边边（SSS）作图
五 利三角形全等测距离

(补充)探索直三角形全等条件
※1．斜边条直角边应相等两直角三角形全等简称斜边直角边HL直角三角形成立
※2．直角三角形三角形中类具般三角形性质SAS
ASAAASSSS判定
直角三角形判定方法纳：
①两条直角边应相等两直角三角形全等
②锐角条边应相等两直角三角形全等
③三条边应相等两直角三角形全等
第四章 变量间关系
1 表格表示变量间关系
2 关系式表示变量间关系
3 图象表示变量间关系
1表示变量间关系方法（1）表格（2）关系式（3）图象
2变量变量变量
某变化程中断变化量做变量果变量y变量x变化变化x做变量y做变量
3变量变量确定：
（1）变量先发生变化量变量发生变化量
（2）变量动发生变化量变量着变量变化发生变化量
（3）常量（发生变化量）
（4）变化关系式中变量变量变量需写等号左边
4图法图象表示变量间关系时通常水方数轴（称横轴）点表示变量竖直方数轴（称轴）点表示变量
5速度图象
1弄清条轴（通常轴）表示速度条轴（通常横轴）表示时间
2准确读懂走线表示意义：
（1）升线：左右呈升状线代表速度增加
（2）水线：水轴（横轴）行线代表匀速行驶静止
（3）降线：左右呈降状线代表速度减
6路程图象
1弄清条轴（通常轴）表示路程条轴（通常横轴）表示时间
2准确读懂走线表示意义：
（1）升线：左右呈升状线代表匀速远离起点（已知定点）
（2）水线：水轴（横轴）行线代表静止
（3）降线：左右呈降状线代表反运动返回起点（已知定点）
七三种变量间关系表达方法特点：

表达方法
特　　点
表格法
变量时出现张表格中
关系式法
准确反映变量变量数值关系
图象法
直观形象出变量变量变化趋势

第五章 生活中轴称
1轴称现象
2探索轴称性质
3简单轴称图形
4利轴称进行设计
※1．果图形某条直线折叠直线两旁部分够互相重合图形做轴称图形条直线做称轴
※2．角称图形角分线直线称轴角分线点角两边距离相等
※3．线段垂直分线(中垂线)意点线段两端点距离相等
※4．角线段等腰三角形轴称图形
※5．等腰三角形两底角相等（等边等角）两角相等应边相等（等角等边）
※6．等腰三角形顶角分线底边高底边中线互相重合简称三线合
※7．轴称图形应点连线段称轴垂直分
※8．轴称图形应线段相等应角相等
第六章 概率初步
1 感受性
2 频率稳定性
3 等事件概率
¤1机事件发生发生性总占半50
※2现实生活中存着量确定事件概率正研究确定事件门学科
※3解必然事件事件发生概率
必然事件发生概率1P（必然事件）1事件发生概率0P（事件）0果A确定事件0
※4解概率类问题计算方法
事件发生概率
八年级
第章 勾股定理
1 探索勾股定理
2 定直角三角形
3 勾股定理应
※直角三角形两直角边等斜边方：
果三角形三边长abc满足三角形直角三角形
满足条件三正整数称勾股数常见勾股数组：（345）（681（51213）（81517）（72425）（202129）（94041）……（勾股数组倍数勾股数）















第二章 实数
1 认识理数
2 方根
3 立方根
4 估算
5 计算器开方
6 实数
7二次根式












※算术方根：般果正数x方等ax2a正数x做a算术方根记作0算术方根0定义知a≥0时a算术方根
※方根：般果数x方根等ax2a数x做a方根
※正数两方根（正负）0方根身负数没方根
※正数立方根正数0立方根0负数立方根负数

第三章 位置坐标
1 确定位置
2 面直角坐标系
3 轴称坐标变化
※面直角坐标系概念：面两条互相垂直公原点数轴组成面直角坐标系水数轴x轴横轴铅垂数轴y轴轴两数轴交点O称原点
※点坐标：面点PPx轴y轴分作垂线垂足x轴y轴应数ab分P点横坐标坐标序实数（ab）做P点坐标
※直角坐标系中根点坐标找出点（图4示）方法P（ab）x轴找坐标a点AA作x轴垂线y轴找坐标b点BB作y轴垂线两垂线交点找P点
※根已知条件建立适直角坐标系？
根已知条件建立坐标系求量计算方便般没明确方法条常方法：①某已知点原点坐标（00）②图形中某线段直线x轴（y轴）③已知线段中点原点④两直线交点原点⑤利图形轴称性称轴y轴等
※图形横伸缩变化规律
A图形点坐标坐标变横坐标分变成原n倍时图形原图形横：①n>1时伸长原n倍②0B图形点坐标横坐标变坐标分变成原n倍时图形原图形：①n>1时 伸长原n倍②0※图形横位置变化规律
A图形点坐标坐标变横坐标分加a图形形状变位置右（a>0）左(a<0)移|a|单位
B图形点坐标横坐标变坐标分加b图形形状变位置（b>0）(b<0)移|b|单位
※图形倒转称变化规律
A图形点横坐标变坐标分1图形原图形关x轴称
B图形点坐标变横坐标分1图形原图形关y轴称
※图形扩缩变化规律
图形点横坐标分变原n倍（n>0）图形原图形相形状变①n>1时应线段扩原n倍②0第四章 次函数　
1 函数
2 次函数正例函数
3 次函数图象
4 次函数应
两变量xy间关系式表示成ykx+b(k≠0)形式称yx次函数(x变量y变量)特b0时称yx正例函数



※正例函数ykx图象原点(00)条直线
※次函数ykx+b中 k>0时yx增增 k<0时yx增减
第五章 二元次方程组
1 认识二元次方程组
2 求解二元次方程组
3 应二元次方程组——鸡兔笼
4 应二元次方程组——增收节支
5 应二元次方程组——里程碑数
6 二元次方程次函数
7 二元次方程组确定次函数表达式
*8 三元次方程组
※含两未知数含未知数项次数1方程做二元次方程 两次方程组成组方程做二元次方程组
※解二元次方程组：①代入消元法
②加减消元法（代入消元法加减消元法目二元次方程变元次方程谓消元）
※利方程解应题时分两步骤：①设未知数（设未知数时数情况设问题xy时须根已知条件等量关系等诸方面考虑）②寻找等量关系（般题目中会含表述等量关系句子须找句话根列出方程）
※处理问题程进步概括：
第六章 数分析
1 均数
2 中位数众数
3 统计图分析数集中趋势
4 数离散程度
1刻画数集中趋势（均水）量：均数 众数中位数       
2均数 
（1）均数：般n数L
+++L做n数算术均数简称均数记x 
（2） 加权均数：    
  3众数 
组数中出现次数数做组数众数 
4中位数 
般组数序排列处中间位置数（中间两数均数）做组数中位数

※加权均数：组数权分加称n数加权均数 （：某学数学语文科学三科考查成绩分725088三项成绩权分431加权均数：
）
※般n数序排列处中间位置数（中间两数均数）做组数中位数
※组数中出现次数数做组数众数
※众数着眼数出现次数考察中位数首先数序排列注意数数奇数时中间数中位数数数偶数时居中间两数均数中位数特注意组数均数中位数唯众数定唯
第七章 行线证明
1 什证明
2 定义命题
3 行线判定
4 行线性质
5 三角形角定理
命题 判断件事情句子 
   果句子没某件事情做出判断命题命题 条件结两部分组成条件已知事项结已知事项推出事项命题通常写成果形式中果引出部分条件引出部分结 
正确命题称真命题正确命题称假命题 
        公认真命题称真理演绎推理程称证明历证明真命题称定理 
二 行线判定 
 1 行线判定公理  
（1）．两直线第三条直线截果位角相等两条直线行．    
（2）．两条行线第三条直线截位角相等．  注意：证明两直线行关键找特征结相关角   
2  行线性质．  
定理：两直线行位角相等  定理：两直线行错角相等      
定理：两直线行旁角互补 
定理：行条直线两条直线行  
三三角形角定理 
1三角形角定理：三角形角等180º     
2三角形外角等相邻两角    
3三角形外角相邻角

八年级
第章 三角形证明
1 等腰三角形
2 直角三角形
3 线段垂直分线
4 角分线
等腰三角形
等腰三角形两底角角分线相等
※等腰三角形三线合：顶角分线底边中线底边高互相重合
※等边三角形特殊等腰三角形作条等边三角形三线合线等边三角形分成两全等
直角三角形中锐角等30º直角边必然等斜边半
※角等60º等腰三角形等边三角形
二直角三角形
※果知道三角形直角三角形首先想定理：
①勾股定理：（注意区分斜边直角边）
②直角三角形中角等30º直角边等斜边半
③直角三角形中斜边中线等斜边半（定理第三章出现）
两命题中果命题条件结分命题结条件两命题称互逆命题中命题命题逆命题
命题真命题逆命题定真命题果定理逆命题真命题定理两定理称互定理中定理定理逆定理
三线段垂直分线
※垂直分线垂直条线段分条线段直线（注意着重号意义）
<直线射线垂线垂直分线>
※线段垂直分线点条线段两端点距离相等
※线段垂直分线逆定理：条线段两端点距离相等点条线段垂直分线
A
C
B
O
图1
图2
O
A
C
B
D
E
F
※三角形三边垂直分线交点点三顶点距离相等（图1示AOBOCO）






四角分线
※角分线点角两边距离相等
※角分线逆定理：角部果点角两边距离相等该角分线
角分线角两边距离相等点集合
※三角形三条角分线交点交点三边距离相等交点三角形心
(图2示ODOEOF)
第二章 元次等式元次等式组
1 等关系
2 等式基性质
3 等式解集
4元次等式
5元次等式次函数
6元次等式组
等关系
※1 般符号<(≤) >(≥)连接式子做等式
¤2 区方程等式 方程表示相等关系等式表示相等关系
※3 准确翻译等式正确理解非负数等数学术语
非负数 <> 等0(≥0) <> 0正数 <> 0
非正数 <> 等0(≤0) <> 0负数 <> 0
二等式基性质
※1 掌握等式基性质会灵活运
(1) 等式两边加(减)整式等号方变
果a>ba+c>b+c ac>bc
(2) 等式两边()正数等号方变
果a>bc>0ac>bc
(3) 等式两边()负数等号方改变
果a>bc<0ac※2 较(ab分表示两实数整式)
般果a>bab正数反果ab正数a>b
果abab等0反果ab等0ab
果aa>b <> ab>0 ab <> ab0 a ab<0
(见较两实数考察差
三等式解集
※1等式成立未知数值做等式解等式解组成等式解集求等式解集程做解等式
※2等式解数般某范围数方程解
¤3等式解集数轴表示
数轴表示等式解集时确定边界方
①边界等号实心圆圈等号空心圆圈
②方右左
四元次等式
※1含未知数含未知数式子整式未知数次数1 样等式做元次等式
※2解元次等式程解元次方程类似特注意等式两边负数时等号改变方
※3解元次等式步骤
①分母 ②括号 ③移项 ④合类项
⑤系数化1(等号改变问题)
※4元次等式基情形ax>b(ax①a>0时解②a0时b<0x取切实数
a0时b≥0解③a<0时 解
¤5等式应探索(利等式解决实际问题)
列等式解应题基步骤列方程解应题相类似
①审 认真审题找出题中等关系抓住题中关键字眼
等含义
②设 设出适未知数③列 根题中等关系列出等式
④解 解出列等式解集⑤答 写出答案检验答案否符合题意
五 元次等式次函数
六 元次等式组
※1定义 含相未知数元次等式组成等式组做元次等式组
※2元次等式组中等式解集公部分做等式组解集果等式解集公部分说等式组解
等式解集公部分通常利数轴确定
※3解元次等式组步骤
(1)分求出等式组中等式解集
(2)利数轴求出解集公部分等式组解集
两元次等式组解集四种情况(ab实数a


元次等式
解集
图示
叙述语言表达

x>b

两取较

x>a

两取

a
交叉中间找

解

分离没解
(空集)

第三章 图形移旋转
1 图形移
2 图形旋转
3 中心称
4 简单图案设计
移：面图形某方移动定距离样图形运动称移
移基性质：移应线段应角分相等应点连线段行相等
旋转：面图形绕定点某方转动角度样图形运动称旋转
定点旋转中心转动角度旋转角
旋转性质：旋转图形原图形形状相
旋转前两图形应点旋转中心距离相等
应点旋转中心连线成角度彼相等
（例：图示点DEF分点ABC应点旋转图形点绕旋转中心相方转动相角度意应点旋转中心连线成角旋转角应点旋转中心距离相等）
第四章 式分解
1 式分解
2 提公式法
3 公式法
式分解
※1 项式化成整式积形式种变形做项式分解式
※2 式分解整式法互逆关系
式分解整式法区联系
(1)整式法整式相化项式
(2)式分解项式化式相
二 提公式法
※1 果项式项含公式公式提出项式化成两式积形式种分解式方法做提公式法

※2 概念涵
(1)式分解结果应积
(2)公式单项式项式
(3)提公式法理法加法分配律
※3 易错点点评
(1)注意项符号幂指数否搞错(2)公式否提干净
(3)项式中某项恰公式提出括号中项+1漏掉
三 公式法
※1 果法公式反某项式分解式种分解式方法做运公式法
※2 公式(1)方差公式
(2)完全方公式

¤3 易错点点评式分解分解底没分解底
※4 运公式法
(1)方差公式
①应二项式视作二项式项式
②二项式项(含符号)单项式(项式)方③二项异号
(2)完全方公式
①应三项式②中两项号整式方
③项正负前两项幂底数积2倍
※5 式分解思路解题步骤
(1)先项没公式先提取公式
(2)否公式法
(3)分组分解法通分组提取组公式运公式法达分解目
(4)式分解结果必须整式积否式分解
(5)式分解结果必须进行式理数范围分解止
（补充）
分组分解法
※1 分组分解法利分组分解式方法做分组分解法

※2 概念涵
分组分解法关键分组尝试通分组否公式提继续分解分组否利公式法继续分解式
※3 注意 分组时注意符号变化
十字相法
※1二次三项式ac分分解成两数积 满足写成 形式二次三项式进行分解

※2 二次三项式分解

※3 规律涵
(1)理解分解式时果常数项q正数分解成两号数符号次项系数p符号相
(2)果常数项q负数分解成两异号数中绝值较数次项系数p符号相分解两数等次项系数p
※4 易错点点评
(1)十字相法系数分解时易出错
(2)分解结果原式等时通常采项式法原检验分解否正确
第五章 分式分式方程
1 认识分式
2 分式法
3 分式加减法
4 分式方程
认识分式
※1两整数整时出现分数类似两整式整时出现分式
整式A整式B表示成形式果式B中含字母称分式意分式分母零
※2 整式分式统称理式
※3 进行分数化简运算时常进行约分通分分数基性质
分式分子分母()等零整式分式值变

※4 分式分子分母公式时运分式基性质分式分子分母时公式分子分母公式约做约分
二 分式法
※1 分式分式分子积做积分子分母积做积分母分式分式式分子分母颠倒位置式相

※2 分式方分子分母分方

逆运n整数时然成立
※3 分子分母没公式分式做简分式
三 分式加减法
※1 分式分数类似通分根分式基性质异分母分式分化成原分式相等分母分式做分式通分
※2 分式加减法
分式加减法分数加减法样分分母分式相加减异分母分式相加减
(1)分母分式相加减分母变分子相加减
述法式子表示
(2)异号分母分式相加减先通分变分母分式然加减
述法式子表示
※3 概念涵
通分关键确定简分母方法简公分母系数取分母系数公倍数简公分母字母取分母字母高次幂积果分母项式首先项式进行式分解
四 分式方程
※1 解分式方程般步骤
①方程两边简公分母约分母化成整式方程②解整式方程
③整式方程根代入简公分母结果零简公母零根原方程增根必须舍
※2 列分式方程解应题般步骤
①审清题意②设未知数③根题意找相等关系列出(分式)方程
④解方程验根⑤写出答案
第六章 行四边形
1 行四边形性质
2 行四边形判定
3 三角形中位线
4 边形角外角
※行四边定义：两线边分行四边形做行四边形行四边形相邻两顶点连成线段做角线
※行四边形性质：行四边形边相等角相等角线互相分
※行四边形判方法：两组边分行四边形行四边形
两组边分相等四边形行四边形
组边行相等四边形行四边形
两条角线互相分四边形行四边形

※行线间距离：两条直线互相行中条直线意两点条直线距离相等距离称行线间距离

重结
1．菱形面积等两角线积半．正方形样
2．直角三角形斜边中线等斜边半．
3．直角三角形中果锐角等30°30°直角边等斜边半．
九年级
第章 特殊行四边形
1菱形性质判定
2矩形性质判定
3正方形性质判定
菱形定义：组邻边相等行四边形做菱形
※菱形性质：具行四边形性质四条边相等两条角线互相垂直分条角线分组角
菱形轴称图形条角线直线称轴
※菱形判方法：组邻边相等行四边形菱形
角线互相垂直行四边形菱形
四条边相等四边形菱形
※矩形定义：角直角行四边形矩形矩形特殊行四边形
※矩形性质：具行四边形性质角线相等四角直角（矩形轴称图形两条称轴）
※矩形判定：角直角行四边形矩形(根定义)
角线相等行四边形矩形
四角相等四边形矩形
※推：直角三角形斜边中线等斜边半
正方形定义：组邻边相等矩形做正方形
※正方形性质：正方形具行四边形矩形菱形切性质（正方形轴称图形两条称轴）
※正方形常判定：
角直角菱形正方形邻边相等矩形正方形角线相等菱形正方形
角线互相垂直矩形正方形
正方形矩形菱形行边形四者间关系(图3示)：
※梯形定义：组边行组边行四边形做梯形
※两条腰相等梯形做等腰梯形
※条腰底垂直梯形做直角梯形
※等腰梯形性质：等腰梯形底两角相等角线相等
底两角相等梯形等腰梯形
※边形角：n边形角等（n－2）·180°
※边形外角等360°
※面图形绕某点旋转180°果旋转前图形互相重合图开做中心称图形
※中心称图形应点连成线段称中心分

四种特殊四边形性质

 
边
角
角线
称性
行四边形
边行相等
角相等
互相分
中心称
矩形
边行相等
四角直角
互相分相等
轴称中心称
菱形
边行四条边相等
角相等
互相垂直分条角线分角
轴称中心称
正方形
边行四条边相等
四角直角
互相垂直分相等条角线分角
轴称中心称

四种特殊四边形常判定方法：
行
四边形
①两组边分行四边形 ②两组边分相等四边形
③组边行相等四边形 ④两组角分相等四边形
⑤角线互相分四边形
矩形
①角直角行四边形 ②三角直角四边形
③角线相等行四边形
菱形
①组邻边相等行四边形 ②四条边相等四边形
③角线互相垂直行四边形 ④角线垂直分四边形
正方形
①角直角组邻边相等行四边形 ②组邻边相等矩形



③角直角菱形 ④角线垂直相等行四边形

面积公式： S行四边形底边长×高ah S矩形长×宽ab
S菱形底边长×高两条角线积半
第二章 元二次方程
1 认识元二次方程
2 配方法求解元二次方程
3 公式法求解元二次方程
4 分解式法求解元二次方程
*5 元二次方程根系数关系
6 应元二次方程
※含未知数整式方程化（abc
常数a≠0）形式样方程元二次方程
※（abc常数a≠0）称元二次方程般形式a二次项系数b次项系数c常数项
※解元二次方程方法：①配方法 <变形式>
②公式法 （注意找abc时须先方程化般形式）
③分解式法 方程边变成0边变成两次式积求解（包括提公式十字相）
※配方法解元二次方程基步骤：①方程化成元二次方程般形式
②二次项系数化成1
③常数项移方程右边
④两边加次项系数半方
⑤方程转化成形式
⑥两边开方求根
※根系数关系：b24ac>0时方程两等实数根
b24ac0时方程两相等实数根
b24ac<0时方程实数根
※果元二次方程两根分x1x2：
※元二次方程根系数关系作：
（1）已知方程根求根
（2）解方程求二次方程根x1x2称式值特注意公式：
① ② ③

④ ⑤
⑥ ⑦表达代数式
（3）已知方程两根x1x2构造元二次方程：
（4）已知两数x1x2积求两数问题转化求元二次方程 根
※利方程解应题时分两步骤：①设未知数（设未知数时数情况设问题x时须根已知条件等量关系等诸方面考虑）②寻找等量关系（般题目中会含表述等量关系句子须找句话根列出方程）
※处理问题程进步概括：
第三章 概率进步认识
1树状图表格求概率
2频率估计概率
※频率分布表里落组数数做频数
组频数数总数值做组频率 ：
频率分布直方图中长方形面积等相应组频率组频率等1长方形面积等1
※频率分布表频率分布直方图组数频率分布两种表示形式前者准确者直观
件事件发生频率估计件事件发生概率
列表方法求出概率方法太适较复杂情况
※假设布袋m黑球通次试验估计出布袋机摸出球白球概率
※估算池塘里少条鱼先池塘里捉100条鱼做记号放回池塘池塘中捉200条鱼果中10条鱼标记设池塘x条鱼估算出鱼条数（注意估算出数确切应谓约XX）
※生活中存量确定事件概率描述确定现象数学模型准确衡量出事件发生性表示定会发生
第四章 图形相似
1 成例线段
2 行线分线段成例
3 相似边形
4 探索三角形相似条件
*5 相似三角形判定定理证明
6 利相似三角形测高
7 相似三角形性质
8 图形位似
成例线段
※1 果选长度单位量两条线段AB CD长度分mn说两条线段ABCDmn 写成
※2 四条线段abcd中果ab等cd四条线段abcd做成例线段简称例线段
※3 注意点
①abk说明abk倍
②线段 ab长度正数k正数
③选线段长度单位关求出时两条线段长度单位致
_
图1

_
B
_
C
_
A
④ab外ab≠ba 互倒数
⑤例基性质 adbc adbc
※1 图1点C线段AB分成两条线段ACBC果称线段AB点C黄金分割点C做线段AB黄金分割点ACAB做黄金
※2黄金分割点优美令赏心悦目点
二．行线分线段成例
_
图2

_
F
_
E
_
D
_
C
_
B
_
A
_
l
_
3
_
l
_
2
_
l
_
1
※1 行线分线段成例定理三条行线截两条直线应线段成例
图2 l1 l2 l3
三 相似边形
¤1 般形状相图形称相似图形
※2 应角相等应边成例两边形做相似边形相似边形应边做相似
※相似边形周长等相似面积等相似方
四 探索三角形相似条件
※1相似边形中简简单相似三角形
※2应角相等应边成例三角形做相似三角形相似三角形应边做相似
※3 全等三角形相似三角特例时相似等1 注意证两相似三角形证两全等三角形样应表示应顶点字母写应位置
※4 相似三角形应高应中线应角分线等相似
※5 相似三角形周长等相似
※6 相似三角形面积等相似方
※1 相似三角形判定方法
般三角形
直角三角形
基定理行三角形边两边(两边延长线)相交直线截三角形原三角形相似
①两角应相等
②两边应成例夹角相等
③三边应成例
①锐角应相等
②两条边应成例
a 两直角边应成例
b 斜边直角边应成例
※3 行三角形边直线两边(两边延长线)相交构成三角形原三角形相似
八 图形位似
※1 果两图形仅相似图形组应点直线点样两图形做位似图形 点做位似中心 时相似称位似
※2 位似图形意应点位似中心距离等位似
◎3 位似变换
①变换图形仅原图相似应顶点连线相交点应点交点距离成例种特殊相似变换做位似变换交点做位似中心
②图形位似变换图形两图形做位似形
③利位似方法图形放缩
第五章 投影视图
1投影
2视图
※三视图包括：视图俯视图左视图
三视图间保持长正高齐宽相等般俯视图画视图方左视图画正视图右边
视图：基认物体正面视图象
俯视图：基认物体面视图象
左视图：基认物体左面视图象
※视图中闭合线框表示物体表面(面曲面)相连两闭合线框定面
※外形线框包括线框定面体（曲面体）凸出凹面体（曲面体）
※画视图时见部分轮廓线通常画成实线见部分轮廓线通常画成虚线
物体光线射会面墙壁留影子投影
太阳光线成行光线样光线形成投影称行投影
探灯手电筒路灯光线成点出发样光线形成投影称中心投影

※区分行投影中心投影：①观察光源②观察影子
眼睛位置称视点视点发出线称视线眼睛方称盲区
※正面面侧面图形常见正投影光线投影垂直时投影
①点面投影点
②线段面投影分三种情况：
线段垂直投影面时投影点
线段行投影面时投影长度等线段实际长度
线段倾斜投影面时投影长度线段实际长度
③面图形某面投影分三种情况：
面图形投影面行情况投影实际形状
面图形投影面垂直情况投影线段
面图形投影面倾斜情况投影实际形状
第六章 反例函数
1 反例函数
2 反例函数图象性质
3 反例函数应
※反例函数概念：般（k常数k≠0）做反例函数yx反例函数
（x变量y变量中x零）
※反例函数等价形式：yx反例函数 ←→ ←→ ←→ ←→ 变量yx成反例例系数k
※判断两变量否反例函数关系两种方法：①反例函数定义判断②两变量积否定值<>（通常第二种方法更适）
※反例函数图象两条曲线组成做双曲线
※反例函数画法注意事项：①反例函数图象直线两点法画
②选取点越画图越准确
③画图注意美观性（称性延伸特征）
※反例函数性质：
①k>0时双曲线两支分位三象限象限yx增减
②k<0时双曲线两支分位二四象限象限yx增增
③双曲线两支会限接坐标轴（x轴y轴）会坐标轴相交
※反例函数图象特征(图4示)
点P(xy)双曲线
P
B
A
O
P
B
A
O
图4

九年级
第章 直角三角形边角关系
1 锐角三角函数
2 30°45°60°角三角函数值
3 三角函数计算
4 解直角三角形
5 三角函数应
6 利三角函数测高
※ 正切：
定义：Rt△ABC中锐角∠A边邻边做∠A正切记作tanA
①tanA完整符号表示∠A正切记号里惯省角符号∠
②tanA没单位表示值直角三角形中∠A边邻边
③tanA表示tanA
④初中阶段学直角三角形中∠A锐角正切
⑤tanA值越梯子越陡∠A越 ∠A越梯子越陡tanA值越
※二 正弦：
定义：Rt△ABC中锐角∠A边斜边做∠A正弦记作sinA
※三 余弦：
定义：Rt△ABC中锐角∠A邻边斜边做∠A余弦记作cosA
※余切：
定义：Rt△ABC中锐角∠A邻边边做∠A余切记作cotA
※锐角正弦余弦正切余切分等余角余弦正弦余切正切

0º
30 º
45 º
60 º
90 º
sinα
0



1

cosα
1



0
tanα
0

1

—
cotα
—

1

0
（通常称正弦余弦互余函数样称正切余切互余函数概括：锐角三角函数等余角余函数）等式表达：∠A锐角
①
②
※低处观测高处目标时视线水线成锐角称仰角
※高处观测低处目标时视线水线成锐角称俯角
※利特殊角三角函数值表出(1)
角度0°～90°间变化时正弦值正切值着角度增(减)增(减)余弦值余切值着角度增(减)减(增)(2)0≤sinα≤10≤cosα≤1
※角三角函数间关系：
倒数关系：tgα·ctgα1

图1


※直角三角形中直角外五元素三条边二锐角直角三角形中直角外已知元素求出未知元素程做解直角三角形
◎△ABC中∠C直角∠A∠B∠C边分abc
(1)三边间关系：a2+b2c2
(2)两锐角关系：∠A＋∠B90°
(3)边角间关系：


(4)面积公式(hcC边高)
(5)直角三角形切圆半径
(6)直角三角形外接圆半径
◎解直角三角形种基类型列表：
◎解直角三角形种基类型列表：

图2
h
ihl
l
A
B
C
图3
图4

※ 图2坡面水面夹角做坡角 (做坡)字母i表示
◎某点指北方时针转目标方水角做方位角图3OAOBOC方位角分45°135°225°
◎指北指南方线目标方线成90°水角做方角图4OAOBOCOD方角分北偏东30°南偏东45°(东南方)南偏西60°北偏西60°
第二章 二次函数
1 二次函数
2 二次函数图象性质
3 确定二次函数表达式
4 二次函数应
5 二次函数元二次方程
※二次函数概念：形函数做x二次函数变量取值范围全体实数 二次函数特例时常数bc0
※写二次函数关系式时定寻找两变量间等量关系列出相应函数关系式确定变量取值范围
※二次函数y＝ax2图象条顶点原点关y轴称曲线条曲线做抛物线
描述抛物线常开口方称性yx变化情况抛物线高（低）点抛物线x轴交点等方面描述
①函数定义域全体实数
②抛物线顶点(00)称轴y轴(称直线x＝0)
③a＞0时抛物线开口方限伸展a＜0时抛物线开口方限伸展
④函数增减性：
Aa＞0时　　 Ba＜0时

⑤｜a｜越抛物线开口越｜a｜越抛物线开口越
⑥值值：a＞0x＝0时函数值值0a＜0x＝0时函数值值0．
※二次函数图象条顶点y轴y轴称抛物线
※二次函数图象称轴顶点（）抛物线（开口方a决定）
※|a|越抛物线开口程度越越称轴y轴yx增长（降）速度越快|a|越抛物线开口程度越越远离称轴y轴yx增长（降）速度越慢
※二次函数图象中a符号决定抛物线开口方|a|决定抛物线开口程度c决定抛物线顶点位置抛物线位置高低
※二次函数图象y＝ax2图象关系：
图象y＝ax2图象移步骤：
①配方成形式（中hk）
②抛物线右（h>0）左（h<0）移|h|单位ya(xh)2图象
③抛物线（k>0）（k<0）移| k|单位便图象
※二次函数性质：
二次函数配方成抛物线
①称轴：x ②顶点坐标：（）
③增减性： a>0x<时yx增减x>时yx增增
a<0x<时yx增增x>时yx增减
④值：a>0x时a<0x时
※画二次函数图象：
利函数关系移抛物线采简化描点法五点法画二次函数画二次函数图象步骤：
①先找出顶点（）画出称轴x
②找出图象关直线x称四点（坐标交点等）
③述五点连成光滑曲线
¤二次函数值值通解析式配成ya(xh)2+k形式求助图象观察
¤解决（）值问题基思路：
①理解问题②分析问题中变量常量间关系
③数学方式表示间关系④做数学求解⑤检验结果合理性拓展性等
※二次函数图象(抛物线)x轴两交点横坐标x1x2应元二次方程两实数根
※抛物线x轴交点情况应元二次方程根判式判定：
>0 <> 抛物线x轴2交点
0 <> 抛物线x轴1交点
<0 <> 抛物线x轴0交点（交点）
※>0时设抛物线x轴两交点AB两点间距离：

化简： 抛物线x轴两交点间距离公式
第三章 圆
1 圆
2 圆称性
*3 垂径定理
4 圆周角圆心角关系
5 确定圆条件
6 直线圆位置关系
*7 切线长定理
8 圆接正边形
9 弧长扇形面积
．圆
描述性定义：面线段OA绕固定端点O旋转周端点A旋转形成圆形做圆固定端点O做圆心线段OA做半径点O圆心圆记作⊙O读作圆O
集合性定义：圆面定点距离等定长点集合中定点做圆心定长做圆半径圆心定圆位置半径定圆圆心半径确定圆做定圆
圆定义理解：①圆条封闭曲线圆面
②圆两条件唯确定：圆心（定点）二半径（定长）
※2 点圆位置关系数量特征：
果圆半径r点圆心距离d
①点圆 <> dr
②点圆 <> d③点圆外 <> d>r
中点圆数量特征重点证明干点圆方法证明点定点距离相等
二 圆称性
※1 圆相关概念：
①弦直径： 弦：连接圆意两点线段做弦
直径：圆心弦做直径
②弧半圆优弧劣弧：
弧：圆意两点间部分做圆弧简称弧符号⌒表示CD端点弧记读作圆弧CD弧CD
半圆：直径两端点分圆成两条弧条弧做半圆
优弧：半圆弧做优弧
劣弧：半圆弧做劣弧(区优弧劣弧优弧三字母表示)
③弓形：弦弧组成图形做弓形
④心圆：圆心相半径等两圆做心圆
⑤等圆：够完全重合两圆做等圆半径相等两圆等圆
⑥等弧：圆等圆中够互相重合弧做等弧
⑦圆心角：顶点圆心角做圆心角
⑧弦心距圆心弦距离做弦心距
※2 圆轴称图形直径直线称轴圆数条称轴
三 垂径定理
垂直弦直径分条弦分弦两条弧
推：分弦（直径）直径垂直弦分弦两条弧
说明：根垂径定理推知圆条直线说果具备：
①圆心②垂直弦③分弦④分弦优弧⑤分弦劣弧
述五条件中两条件推出三结
※4 定理：圆等圆中相等圆心角弧相等弦相等弦心距相等
推 圆等圆中果两圆心角两条弧两条弦两条弦弦心距中组量相等应余组量分相等
四 圆周角圆心角关系
※1 1°弧概念 顶点圆心周角等分成360份时份角1°圆心角相应整圆等分成360份份样弧1°弧
※2 圆心角度数弧度数相等
里指角度数弧度数相等角弧相等写成∠AOB 错误
※3 圆周角定义
顶点圆两边圆相交角做圆周角
※4 圆周角定理
条弧圆周角等圆心角半
※推1 弧等弧圆周角相等反圆等圆中相等圆周角弧相等
※推2 半圆直径圆周角直角90°圆周角弦直径
五 确定圆条件
※1 理解确定圆必须具备两条件
圆心半径圆心决定圆位置半径决定圆
点作数圆两点作数圆圆心两点线段垂直分线
※2 三点作圆分两种情况
(1) 直线三点作圆
(2)直线三点仅作圆
※定理 直线三点确定圆
※3 三角形外接圆三角形外心圆接三角形概念
(1)三角形外接圆圆接三角形 三角形三顶点圆做三角形外接圆三角形做圆接三角形
(2)三角形外心 三角形外接圆圆心做三角形外心
(3)三角形外心性质三角形外心三顶点距离相等
六 直线圆位置关系
※1 直线圆相交相切相离定义
(1)相交 直线圆两公点时做直线圆相交时直线做圆割线
(2)相切 直线圆惟公点时做直线圆相切时直线做圆切线惟公点做切点
(3)相离 直线圆没公点时做直线圆相离
※2 直线圆位置关系数量特征
设⊙O半径r圆心O直线距离d
①d 直线L⊙O相交
②dr <> 直线L⊙O相切
③d>r <> 直线L⊙O相离
※3 切线总判定定理
半径外端垂直条半径直线圆切线
※4 切线性质定理
圆切线垂直切点半径
※推1 圆心垂直切线直线必切点
※推2 切点垂直切线直线必圆心
※分析性质定理两推条件结间关系结
果条直线具备列三条件中意两推出第三
①垂直切线 ②切点 ③圆心
※5 三角形切圆心圆外切三角形概念
三角形边相切圆做三角形切圆切圆圆心做三角形心 三角形做圆外切三角形
※6 三角形心性质
(1)三角形心三边距离相等
(2)三角形顶点心射线分三角形角
性质引出条重辅助线 连接心三角形顶点该线分三角形角
（补充） 圆圆位置关系
※1 外离外切相交切含(包括心圆)五种位置关系定义
(1)外离 两圆没公点圆点圆外部时做两圆外离
(2)外切 两圆惟公点公点外圆点圆外部时 做两圆外切惟公点做切点
(3)相交 两圆两公点时做两圆相交
(4)切 两圆惟公点公点外圆圆部时做两圆切惟公点做切点
(5)含 两圆没公点 圆点圆部时做两圆含两圆心两圆特例
※2 两圆位置关系性质判定
(1)两圆外离 <> d>R+r
(2)两圆外切 <> dR+r
(3)两圆相交 <> Rr(4)两圆切 <> dRr (R>r)
(5)两圆含 <> dr)
※3 相切两圆性质
果两圆相切切点定连心线
※4 相交两圆性质
相交两圆连心线垂直分公弦
七．切线长定理
圆外点引圆两条切线切线长相等圆心点连线分两条切线夹角
图6∵PAPB分切⊙OAB
∴PAPBPO分∠APB
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图6

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P
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O
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B
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A

2．弦切角定理：弦切角等夹弧圆周角
推：果两弦切角夹弧相等两弦切角相等
图7CD切⊙OC∠ACD∠B
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O
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C
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D
_
A
_
B

八． 圆接边形
四边形四顶点圆四边形做圆接四边形圆做四边形外接圆
圆接四边形特征 ①圆接四边形角互补
②圆接四边形意外角等错角
九 弧长扇形面积
※1 圆周长公式圆周长C2R (R表示圆半径)
※2 弧长公式 弧长 (R表示圆半径 n表示弧圆心角度数)
※3 扇形定义
条弧条弧端点两条半径组成图形做扇形
※4 弓形定义
弦弧组成图形做弓形 弓形弧中点弦距离做弓形高
※5 圆面积公式
圆面积 (R表示圆半径)
※6 扇形面积公式
扇形面积 (R表示圆半径 n表示弧圆心角度数)
※弓形面积公式(图5)
图5

(1)弓形含弧劣弧时
(2)弓形含弧优弧时
(3)弓形含弧半圆时
补充：
圆锥关概念
※1 圆锥作直角三角形绕着直角边直线旋转周形成图形条直角边旋转成面做圆锥底面斜边旋转成面做圆锥侧面
※2 圆锥侧面展开图侧面积计算
圆锥侧面展开图扇形扇形半径圆锥侧面母线长弧长圆锥底面圆周长圆心圆锥顶点
果设圆锥底面半径r侧面母线长(扇形半径)l 底面圆周长(扇形弧长)c侧面积


圆关辅助线
1圆中弦条件常作弦心距弦端作半径辅助线
2圆中直径条件作出直径圆周角
3圆切线条件常作切点半径(直径)辅助线
4条件交代某点切点时连结圆心切点常辅助线
北师版数学未出现关圆性质定理
1．圆关例线段：
①相交弦定理：圆两条弦相交交点分成两条线段长积相等
_
图7

②推：果弦直径垂直相交弦半分直径成两条线段例中项
图8AP•PBCP•PD
图9CD⊥ABPAB⊙O直径CP2AP•PB
2．切割线定理
①切割线定理圆外点引圆切线割线切线长点割线圆交点两条线段长例中项
②推：圆外点引圆两条割线点条割线圆交点两条线段长积相等
图10 ①PT切⊙OTPA割线点AB⊙O交点PT2PA•PB
②PAPC⊙O两条割线PD•PCPB•PA
3．两圆连心线性质
①果两圆相切切点定连心线者说连心线切点
②果两圆相交连心线垂直分两圆公弦
图11⊙O1⊙O2交AB两点连心线O1O2⊥ABACBC
4．两圆公切线
两圆两条外公切线长两条公切线长相等
图12AB分切⊙O1⊙O2AB连结O1AO2BO2作O2C⊥O1AC公切线长l两圆圆心距d半径分Rr外公切线长：
图13AB分切⊙O1⊙O2ABO2C∥ABO2C⊥O1CC⊙O1半径R⊙O2半径r公切线长：

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O
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B
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D
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P
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A
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C
图8
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图9

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P
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A
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B
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C
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D
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O
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图10

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B
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D
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C
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O
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A
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T
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P
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图11

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B
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C
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A
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O
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2
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O
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1

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图12

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O
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1
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B
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A
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r
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R
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C
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d
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O
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2
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O
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2
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d
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C
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R
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r
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A
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B
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O
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1
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图13







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