中考数学四边形：精选真题专项破刺提分60题
（含答案解析）
解 答 题（60题）
1．（2014•遵义）图▱ABCD中BD⊥AD∠A45°EF分ABCD点BEDF连接EF交BDO．
（1）求证：BODO
（2）EF⊥AB延伸EF交AD延伸线GFG1时求AD长．
2．（2014•镇江）图四边形ABCD中ABADBCDCACBD相交点O点EAOOEOC．
（1）求证：∠1∠2
（2）连结BEDE判断四边形BCDE外形阐明理．
3．（2014•云南）图行四边形ABCD中∠C60°MN分ADBC中点BC2CD．
（1）求证：四边形MNCD行四边形
（2）求证：BDMN．
4．（2014•盐城）图菱形ABCD中角线ACBD相交点O点O作条直线分交DABC延伸线点EF连接BEDF．
（1）求证：四边形BFDE行四边形
（2）EF⊥AB垂足Mtan∠MBO求EM：MF值．
5．（2014•雅安）图：▱ABCD中AC角线点D作AC行线BC延伸线交E．
（1）求证：△ABC≌△DCE
（2）ACBC求证：四边形ACED菱形．
6．（2014•宿迁）图直角梯形ABCD中AB∥DC∠ABC90°AB8cm．BC4cmCD5cm．动点P点B开始折线BC﹣CD﹣DA1cms速度运动点A．设点P运动工夫t（s）△PAB面积S（cm2）．
（1）t2时求S值
（2）点P边DA运动时求S关t函数表达式
（3）S12时求t值．
7．（2014•）图已知△ABC步骤作图：
①分AC圆心AC长半径画弧两弧交PQ两点
②作直线PQ分交ABAC点ED连接CE
③C作CF∥AB交PQ点F连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD
（2）求证：四边形AECF菱形．
8．（2014•襄阳）图正方形ABCD中AD2EAB中点△BEC绕点B逆时针旋转90°点E落CB延伸线点F处点C落点A处．线段AF绕点F时针旋转90°线段FG连接EFCG．
（1）求证：EF∥CG
（2）求点C点A旋转程中构成线段CG围成暗影部分面积．
9．（2014•湘西州）图▱ABCD中点EF分边BCADBEDF．
（1）求证：△ABE≌△CDF
（2）求证：AECF．
10．（2014•潍坊）图1正方形ABCD中EF分BCCD中点连接AEBF交点G．
（1）求证：AE⊥BF
（2）△BCFBF折△BPF（图2）延伸FPBA延伸线点Q求sin∠BQP值
（3）△ABE绕点A逆时针方旋转边AB正落AE△AHM（图3）AMBF相交点N正方形ABCD面积4时求四边形GHMN面积．
11．（2014•泰州）图BD△ABC角分线点EF分BCABDE∥ABEF∥AC．
（1）求证：BEAF
（2）∠ABC60°BD6求四边形ADEF面积．
12．（2014•台州）图1某公交汽车挡风玻璃雨刮器工作原理图2．雨刷EF⊥AD垂足AABCDADBC样雨刷EF运动时直垂直玻璃窗BC请证明结．
13．（2014•遂宁）已知：图矩形ABCD中角线ACBD相交点OECD中点连结OE．点C作CF∥BD交线段OE延伸线点F连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE
（2）四边形ODFC菱形．
14．（2014•州）已知：图矩形ABCD中MN分边ADBC中点EF分线段BMCM中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM
（2）填空：AB：AD 时四边形MENF正方形．
15．（2014•深圳）已知BD垂直分AC∠BCD∠ADFAF⊥AC
（1）证明四边形ABDF行四边形
（2）AFDF5AD6求AC长．
16．（2014•钦州）图正方形ABCD中EF分ABBC点AEBF．求证：CEDF．
17．（2014•攀枝花）图梯形OABC中OC∥ABOACB点O坐标原点A（2﹣3）C（02）．
（1）求点B双曲线解析式
（2）等腰梯形OABC右移5单位问移点C否落（1）中双曲线？简述理．
18．（2014•宁德）图梯形ABCD中AD∥BC点EBC中点连接ACDEACABDE∥AB．求证：四边形AECD矩形．
19．（2014•牡丹江）图Rt△ABC中∠ACB90°点C直线MN∥ABDAB边点点D作DE⊥BC交直线MNE垂足F连接CDBE．
（1）求证：CEAD
（2）DAB中点时四边形BECD什四边形？阐明理
（3）DAB中点∠A满足什条件时四边形BECD正方形？请阐明理．
20．（2014•梅州）图正方形ABCD中EAB点FAD延伸线点DFBE．
（1）求证：CECF
（2）点GAD∠GCE45°GEBE+GD成立？什？
21．（2014•龙岩）图次连接意四边形ABCD边中点四边形EFGH中点四边形．
（1）四边形ABCD菱形中点四边形EFGH定
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形
（2）四边形ABCD面积S1中点四边形EFGH面积记S2S1S2数量关系S1 S2
（3）四边形ABCD中中点四边形EFGH中三边剪开三三角形三三角形原图中未剪开三角形拼接成行四边形请画出种拼接表示图写出应全等三角形．
22．（2014•凉山州）图分Rt△ABC直角边AC斜边AB外作等边△ACD等边△ABE．已知∠BAC30°EF⊥AB垂足F连接DF．
（1）试阐明ACEF
（2）求证：四边形ADFE行四边形．
23．（2014•连云港）图矩形ABCD角线ACBD相交点ODE∥ACCE∥BD．
（1）求证：四边形OCED菱形
（2）连接AEBEAEBE相等？请阐明理．
24．（2014•乐山）图△ABC中ABAC四边形ADEF菱形求证：BECE．
25．（2014•乐山）图梯形ABCD中AD∥BC∠ADC90°∠B30°CE⊥AB垂足点E．AD1AB2求CE长．
26．（2014•黄石）图AB圆O两点∠AOB120°C中点．
（1）求证：AB分∠OAC
（2）延伸OAPOAAP连接PC圆O半径R1求PC长．
27．（2014•葫芦岛）图△ABC中ABAC点D（点B重合）BC点EAB中点点A作AF∥BC交DE延伸线点F连接ADBF．
（1）求证：△AEF≌△BED．
（2）BDCD求证：四边形AFBD矩形．
28．（2014•贺州）图四边形ABCD行四边形EF角线BD点∠1∠2．
（1）求证：BEDF
（2）求证：AF∥CE．
29．（2014•菏泽）已知：图正方形ABCDBMDN分分正方形两外角满足∠MAN45°连接MN．
（1）正方形边长a求BM•DN值．
（2）BMDNMN三边围成三角形试猜想三角形外形证明结．
30．（2014•桂林）▱ABCD中角线ACBD交点O点O作直线EF分交线段ADBC点EF．
（1）根题意画出图形标正确字母
（2）求证：DEBF．
31．（2014•贵阳）图Rt△ABC中∠ACB90°DE分ABAC边中点连接DE△ADE绕点E旋转180°△CFE连接AFAC．
（1）求证：四边形ADCF菱形
（2）BC8AC6求四边形ABCF周长．
32．（2014•贵港）图正方形ABCD中点E角线AC点CECD点E作EF⊥AC交AD点F连接BE．
（1）求证：DFAE
（2）AB2时求BE2值．
33．（2014•甘孜州）图▱ABCD中EF分BCAB中点连接FCAEAEFC交点GAE延伸线DC延伸线交点N．
（1）求证：△ABE≌△NCE
（2）AB3nFBGE试含n式子表示线段AN长．
34．（2014•抚）图矩形ABCD中ECD边点BEBA点A圆心AD长半径作⊙A交AB点M点B作⊙A切线BF切点F．
（1）请判断直线BE⊙A位关系阐明理
（2）果AB10BC5求图中暗影部分面积．
35．（2014•崇左）图四边形ABCD中角线ACBD相交点OAC⊥BD点EFGH分ABBCCDDA中点次连接边中点四边形EFGH求证：四边形EFGH矩形．
36．（2014•北京）图▱ABCD中AE分∠BAD交BC点EBF分∠ABC交AD点FAEBF交点P连接EFPD．
（1）求证：四边形ABEF菱形
（2）AB4AD6∠ABC60°求tan∠ADP值．
37．（2014•包头）图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°∠BCD45°点EBC∠AEB60°．AB2AD1求CDCE长．（留意：题中计算程结果均保留根号）
38．（2014•安）已知：图△ABC中ABACAD⊥BC垂足点DAN△ABC外角∠CAM分线CE⊥AN垂足点E
（1）求证：四边形ADCE矩形
（2）△ABC满足什条件时四边形ADCE正方形？出证明．
39．（2013•株洲）已知四边形ABCD边长2菱形∠BAD60°角线ACBD交点O点O直线EF交AD点E交BC点F．
（1）求证：△AOE≌△COF
（2）∠EOD30°求CE长．
40．（2013•云南）已知△ABC中ABAC5BC6ADBC边中线四边形ADBE行四边形．
（1）求证：四边形ADBE矩形
（2）求矩形ADBE面积．
41．（2013•宜昌）图点EF分锐角∠A两边点AEAF分点EF圆心AE长半径画弧两弧相交点D连接DEDF．
（1）请判断画四边形外形阐明理
（2）连接EFAE8厘米∠A60°求线段EF长．
42．（2013•锡）图四边形ABCD中角线ACBD相交点O①AB∥CD②AOCO③ADBC中意选取两作条件四边形ABCD行四边形结构造命题．
（1）①②作条件构成命题真命题？请证明请举出反例
（2）写出题意构成切命题中假命题举出反例加阐明．（命题请写成果……．方式）
43．（2013•铁岭）图△ABC中ABACAD∠BAC角分线点OAB中点连接DO延伸点EOEOD连接AEBE．
（1）求证：四边形AEBD矩形
（2）△ABC满足什条件时矩形AEBD正方形阐明理．
44．（2013•深圳）图等腰梯形ABCD中已知AD∥BCABDCACBD交点O延伸BCECEAD连接DE．
（1）求证：BDDE．
（2）AC⊥BDAD3SABCD16求AB长．
45．（2013•海）图△ABC中∠ACB90°∠B＞∠A点D边AB中点DE∥BC交AC点ECF∥AB交DE延伸线点F．
（1）求证：DEEF
（2）连结CD点D作DC垂线交CF延伸线点G求证：∠B∠A+∠DGC．
46．（2013•钦州）图梯形ABCD中AD∥BCAB∥DE∠DEC∠C求证：梯形ABCD等腰梯形．
47．（2013•南京）图四边形ABCD中ABBC角线BD分∠ABCPBD点点P作PM⊥ADPN⊥CD垂足分MN．
（1）求证：∠ADB∠CDB
（2）∠ADC90°求证：四边形MPND正方形．
48．（2013•南充）图等腰梯形ABCD中AD∥BCAD3BC7∠B60°PBC边点（BC重合）点P作∠APE∠BPE交CDE．
（1）求证：△APB∽△PEC
（2）CE3求BP长．
49．（2013•黄冈）图四边形ABCD菱形角线ACBD相交点ODH⊥ABH
连接OH求证：∠DHO∠DCO．
50．（2013•防城港）图直角梯形ABCD中AD∥BCAD⊥DC点A关角线BD称点F刚落腰DC连接AF交BD点EAF延伸线BC延伸线交点GMN分BGDF中点．
（1）求证：四边形EMCN矩形
（2）AD2S梯形ABCD求矩形EMCN长宽．
51．（2013•鄂尔斯）图梯形ABCD中AD∥BCABCD分ABCD边外侧作等边三角形ABE等边三角形DCF连接AFDE．
（1）求证：AFDE
（2）∠BAD45°ABa△ABE△DCF面积等梯形ABCD面积求BC长．
52．（2013•阳）图梯形ABCD中AD∥BCADCD点A作AE∥DC交BC点E．
（1）求证：四边形AECD菱形．
（2）（1）条件∠B30°AE⊥AB点A圆心AE长半径画弧交BE点F连接AF图中尺规补齐图形（仅保留作图痕迹）证明点FBE中点．
53．（2013•鞍山）图EF四边形ABCD角线AC两点AFCEDFBEDF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB
（2）四边形ABCD行四边形．
54．（2012•盐城）图示梯形ABCD中AD∥BC∠BDC90°EBC点∠BDE∠DBC．
（1）求证：DEEC
（2）ADBC试判断四边形ABED外形阐明理．
55．（2012•襄阳）图梯形ABCD中AD∥BCEBC中点BC2ADEAED2ACED相交点F．
（1）求证：梯形ABCD等腰梯形
（2）ABAC具什位关系时四边形AECD菱形？请阐明理求出时菱形AECD面积．
56．（2012•湘西州）图O菱形ABCD角线ACBD交点CD5cmOD3cm 点C作CE∥DB点B作BE∥ACCEBE相交点E．
（1）求OC长
（2）求证：四边形OBEC矩形
（3）求矩形OBEC面积．
57．（2012•苏州）图梯形ABCD中已知AD∥BCABCD延伸线段CBEBEAD连接AEAC．
（1）求证：△ABE≌△CDA
（2）∠DAC40°求∠EAC度数．
58．（2012•呼伦贝尔）图△ABC中点D边BC中点DE⊥ACDF⊥AB垂足分EFBFCE．
（1）求证：DEDF
（2）∠A90°时试判断四边形AFDE样四边形证明结．
59．（2012•鄂尔斯）已知图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°DE⊥AC点F交BC点G交AB延伸线点EAEAC连AG．
（1）求证：FCBE
（2）ADDC2求AG长．
60．（2012•滨州）知道连接三角形两边中点线段三角形中位线三角形中位线行三角形第三边等第三边半．类似连接梯形两腰中点线段做梯形中位线．图梯形ABCD中AD∥BC点EF分ABCD中点EF梯形ABCD中位线．观察测量猜想EFADBC样位数量关系？证明结．
中考数学提分刺真题精析：四边形
参考答案试题解析
解 答 题（60题）
1．（2014•遵义）图▱ABCD中BD⊥AD∠A45°EF分ABCD点BEDF连接EF交BDO．
（1）求证：BODO
（2）EF⊥AB延伸EF交AD延伸线GFG1时求AD长．
考点：
行四边形性质全等三角形判定性质等腰直角三角形．版权切
分析：
（1）证明△ODF△OBE全等求．
（2）△ADB等腰直角三角形出∠A45°EF⊥AB出∠G45°△ODG△DFG等腰直角三角形求DG长EF2然行线分线段成例定理求．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴DCABDC∥AB
∴∠ODF∠OBE
△ODF△OBE中
∴△ODF≌△OBE（AAS）
∴BODO
（2）解：∵BD⊥AD
∴∠ADB90°
∵∠A45°
∴∠DBA∠A45°
∵EF⊥AB
∴∠G∠A45°
∴△ODG等腰直角三角形
∵AB∥CDEF⊥AB
∴DF⊥OG
∴OFFG△DFG等腰直角三角形
∵△ODF≌△OBE（AAS）
∴OEOF
∴GFOFOE
2FGEF
∵△DFG等腰直角三角形
∴DFFG1
∴DG
∵AB∥CD
∴
∴AD2
点评：
题考查全等三角形判定性质等腰直角三角形判定性质行线性质行线分行段定理．
2．（2014•镇江）图四边形ABCD中ABADBCDCACBD相交点O点EAOOEOC．
（1）求证：∠1∠2
（2）连结BEDE判断四边形BCDE外形阐明理．
考点：
菱形判定线段垂直分线性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）证明△ADC≌△ABC利全等三角形应角相等证结
（2）首先判定四边形BCDE行四边形然利角线垂直行四边形菱形判定菱形．
解答：
（1）证明：∵△ADC△ABC中
∴△ADC≌△ABC（SSS）
∴∠1∠2
（2）四边形BCDE菱形
证明：∵∠1∠2CDBC
∴AC垂直分BD
∵OEOC
∴四边形DEBC行四边形
∵AC⊥BD
∴四边形DEBC菱形．
点评：
题考查菱形判定线段垂直分线性质解题关键解菱形判定方法难度．
3．（2014•云南）图行四边形ABCD中∠C60°MN分ADBC中点BC2CD．
（1）求证：四边形MNCD行四边形
（2）求证：BDMN．
考点：
行四边形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根行四边形性质ADBC关系根MDNC关系证明结
（2）根根等边三角形判定性质∠DNC度数根三角形外角性质∠DBC度数根正切函数答案．
解答：
证明：（1）∵ABCD行四边形
∴ADBCAD∥BC
∵MN分ADBC中点
∴MDNCMD∥NC
∴MNCD行四边形
（2）图：连接ND
∵MNCD行四边形
∴MNDC．
∵NBC中点
∴BNCN
∵BC2CD∠C60°
∴△NCD等边三角形．
∴NDNC∠DNC60°．
∵∠DNC△BND外角
∴∠D+∠NDB∠DNC
∵DNNC
∴∠DBN∠BDN∠DNC30°
∴∠BDC90°．
∵tan
∴DBDCMN．
点评：
题考查行四边形判定性质利组边行相等四边形行四边形等边三角形判定性质正切函数．
4．（2014•盐城）图菱形ABCD中角线ACBD相交点O点O作条直线分交DABC延伸线点EF连接BEDF．
（1）求证：四边形BFDE行四边形
（2）EF⊥AB垂足Mtan∠MBO求EM：MF值．
考点：
菱形性质行四边形判定．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）根两直线行错角相等∠AEO∠CFO然利角角边证明△AEO△CFO全等根全等三角形应边相等OEOF根角线互相分四边形行四边形证明
（2）设OMx根∠MBO正切值表示出BM根△AOM△OBM类似利类似三角形应边成例求出AM然根△AEM△BFM类似利类似三角形应边成例求解．
解答：
（1）证明：菱形ABCD中AD∥BCOAOCOBOD
∴∠AEO∠CFO
△AEO△CFO中
∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴OEOF
∵OBOD
∴四边形BFDE行四边形
（2）解：设OMx
∵EF⊥ABtan∠MBO
∴BM2x
∵AC⊥BD
∴∠AOM∠OBM
∴△AOM∽△OBM
∴
∴AMx
∵AD∥BC
∴△AEM∽△BFM
∴EM：FMAM：BMx：2x1：4．
点评：
题考查菱形性质全等三角形判定性质类似三角形判定性质锐角三角函数定义难点（2）两次求出三角形类似．
5．（2014•雅安）图：▱ABCD中AC角线点D作AC行线BC延伸线交E．
（1）求证：△ABC≌△DCE
（2）ACBC求证：四边形ACED菱形．
考点：
菱形判定全等三角形判定性质行四边形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）利AAS判定两三角形全等
（2）首先证四边形ACED行四边形然证ACAD利邻边相等行四边形菱形判定．
解答：
证明：（1）∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥CDABCD
∴∠B∠1
∵DE∥AC
∴∠2∠E
△ABC△DCE中
∴△ABC≌△DCE
（2）∵行四边形ABCD中
∴AD∥BC
AD∥CE
DE∥AC
∴ACED行四边形
∵ACBC
∴∠B∠CAB
AB∥CD
∴∠CAB∠ACD
∵∠B∠ADC
∴∠ADC∠ACD
∴ACAD
∴四边形ACED菱形．
点评：
题考查菱形判定等知识解题关键纯熟掌握菱形判定定理难度．
6．（2014•宿迁）图直角梯形ABCD中AB∥DC∠ABC90°AB8cm．BC4cmCD5cm．动点P点B开始折线BC﹣CD﹣DA1cms速度运动点A．设点P运动工夫t（s）△PAB面积S（cm2）．
（1）t2时求S值
（2）点P边DA运动时求S关t函数表达式
（3）S12时求t值．
考点：
直角梯形动点成绩函数图象．版权切
专题：
综合题动点型．
分析：
（1）t2时求出P运动路程BP长根三角形面积公式计算
（2）点PDA运动时D作DH⊥ABP′M⊥AB求出P′M值△PAB中AB边高利三角形面积公式计算
（3）S12时PBCAD运动利（1）（2）中面积高关系求出时t
解答：
解：（1）∵动点P1cms速度运动
∴t2时BP2cm
∴S值AB•BP×8×28cm2
（2）D作DH⊥ABP′作P′M⊥AB
∴P′M∥DH
∴△AP′M∽△ADH
∴
∵AB8cmCD5cm
∴AHAB﹣DC3cm
∵BC4cm
∴AD5cm
∵A′P14﹣t
∴
∴P′M
∴SAB•P′M
S关t函数表达式S
（3）题意知PCD运动时SAB×BC×8×416cm2
S12时PBCAD
PBC时12×8•t解：t3
PAD时12解：t．
∴S12时t值3．
点评：
题考查直角梯形性质类似三角形判定性质勾股定理运三角形面积公式运标题综合性较强难度中等动点成绩特留意分类讨数学思想运．
7．（2014•）图已知△ABC步骤作图：
①分AC圆心AC长半径画弧两弧交PQ两点
②作直线PQ分交ABAC点ED连接CE
③C作CF∥AB交PQ点F连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD
（2）求证：四边形AECF菱形．
考点：
菱形判定全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）作图知：PQ线段AC垂直分线AECEADCD然根CF∥AB∠EAC∠FCA∠CFD∠AED利ASA证两三角形全等
（2）根全等AECF然根EF线段AC垂直分线ECEAFCFAECEAFCFA利四边相等四边形菱形判定四边形AECF菱形．
解答：
解：（1）作图知：PQ线段AC垂直分线
∴AECEADCD
∵CF∥AB
∴∠EAC∠FCA∠CFD∠AED
△AED△CFD中
∴△AED≌△CFD
（2）∵△AED≌△CFD
∴AECF
∵EF线段AC垂直分线
∴ECEAFCFA
∴ECEAFCFA
∴四边形AECF菱形．
点评：
题考查菱形判定全等判定性质基作图解题关键解作图直线垂直分线．
8．（2014•襄阳）图正方形ABCD中AD2EAB中点△BEC绕点B逆时针旋转90°点E落CB延伸线点F处点C落点A处．线段AF绕点F时针旋转90°线段FG连接EFCG．
（1）求证：EF∥CG
（2）求点C点A旋转程中构成线段CG围成暗影部分面积．
考点：
正方形性质全等三角形判定性质勾股定理扇形面积计算．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）根正方形性质ABBCAD2∠ABC90°根旋转变化改变图形位改变图形外形△ABF△CBE全等根全等三角形应角相等∠FAB∠ECB∠ABF∠CBE90°全等三角形应边相等AFEC然求出∠AFB+∠FAB90°求出∠CFG∠FAB∠ECB根错角相等两直线行EC∥FG根组边行相等四边形行四边形判断出四边形EFGC行四边形然根行四边形边行证明
（2）求出FEBE长利勾股定理列式求出AF长根行四边形性质△FEC△CGF全等S△FECS△CGF根S暗影S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式计算解．
解答：
（1）证明：正方形ABCD中ABBCAD2∠ABC90°
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°△ABF
∴△ABF≌△CBE
∴∠FAB∠ECB∠ABF∠CBE90°AFCE
∴∠AFB+∠FAB90°
∵线段AF绕点F时针旋转90°线段FG
∴∠AFB+∠CFG∠AFG90°
∴∠CFG∠FAB∠ECB
∴EC∥FG
∵AFCEAFFG
∴ECFG
∴四边形EFGC行四边形
∴EF∥CG
（2）解：∵AD2EAB中点
∴BFBEAB×21
∴AF
行四边形性质△FEC≌△CGF
∴S△FECS△CGF
∴S暗影S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG
+×2×1+×（1+2）×1﹣
﹣．
点评：
题考查正方形性质全等三角形判定性质旋转变换性质勾股定理运扇形面积计算综合题难度熟记性质精确识图解题关键．
9．（2014•湘西州）图▱ABCD中点EF分边BCADBEDF．
（1）求证：△ABE≌△CDF
（2）求证：AECF．
考点：
行四边形性质全等三角形判定性质．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）根行四边形性质出ABCD∠B∠D根SAS证出△ABE≌△CDF
（2）根全等三角形应边相等证．
解答：
证明：∵四边形ABCD行四边形
∴ABCD∠B∠D
△ABE△CDF中
∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴AECF．
点评：
题次考查行四边形性质全等三角形性质判定等知识点理解掌握根性质证出△ABE≌△CDF证题关键．
10．（2014•潍坊）图1正方形ABCD中EF分BCCD中点连接AEBF交点G．
（1）求证：AE⊥BF
（2）△BCFBF折△BPF（图2）延伸FPBA延伸线点Q求sin∠BQP值
（3）△ABE绕点A逆时针方旋转边AB正落AE△AHM（图3）AMBF相交点N正方形ABCD面积4时求四边形GHMN面积．
考点：
四边形综合题．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）运Rt△ABE≌Rt△BCF利角关系求∠BGE90°求证
（2）△BCFBF折△BPF利角关系求出QFQB解出BPQP求解
（3）先求出正方形边长根面积等类似边长方求S△AGN
利S四边形GHMNS△AHM﹣S△AGN求解．
解答：
（1）证明：图1
∵EF分正方形ABCD边BCCD中点
∴CFBE
Rt△ABERt△BCF中
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS）
∠BAE∠CBF
∵∠BAE+∠BEA90°
∴∠CBF+∠BEA90°
∴∠BGE90°
∴AE⊥BF．
（2）解：图2根题意
FPFC∠PFB∠BFC∠FPB90°
∵CD∥AB
∴∠CFB∠ABF
∴∠ABF∠PFB
∴QFQB
令PFk（k＞0）PB2k
Rt△BPQ中设QBx
∴x2（x﹣k）2+4k2
∴x
∴sin∠BQP．
（3）解：∵正方形ABCD面积4
∴边长2
∵∠BAE∠EAMAE⊥BF
∴ANAB2
∵∠AHM90°
∴GN∥HM
∴
∴
∴S△AGN
∴S四边形GHMNS△AHM﹣S△AGN1﹣
∴四边形GHMN面积．
点评：
题次考查四边形综合题处理关键明确三角形翻转边变找准应边角关系求解．
11．（2014•泰州）图BD△ABC角分线点EF分BCABDE∥ABEF∥AC．
（1）求证：BEAF
（2）∠ABC60°BD6求四边形ADEF面积．
考点：
行四边形判定性质角分线性质等腰三角形判定性质含30度角直角三角形．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）DE∥ABEF∥AC证四边形ADEF行四边形∠ABD∠BDEBD△ABC角分线易△BDE等腰三角形证结
（2）首先点D作DG⊥AB点G点E作EH⊥BD点H易求DGDE长继求答案．
解答：
（1）证明：∵DE∥ABEF∥AC
∴四边形ADEF行四边形∠ABD∠BDE
∴AFDE
∵BD△ABC角分线
∴∠ABD∠DBE
∴∠DBE∠BDE
∴BEDE
∴BEAF
（2）解：点D作DG⊥AB点G点E作EH⊥BD点H
∵∠ABC60°BD∠ABC分线
∴∠ABD∠EBD30°
∴DGBD×63
∵BEDE
∴BHDHBD3
∴BE2
∴DEBE2
∴四边形ADEF面积：DE•DG6．
点评：
题考查行四边形判定性质等腰三角形判定性质三角函数等知识．题难度适中留意掌握辅助线作法留意掌握数形思想运．
12．（2014•台州）图1某公交汽车挡风玻璃雨刮器工作原理图2．雨刷EF⊥AD垂足AABCDADBC样雨刷EF运动时直垂直玻璃窗BC请证明结．
考点：
行四边形判定性质．版权切
专题：
运题．
分析：
首先证明四边形ABCD行四边形然根行四边形性质判断．
解答：
证明：∵ABCDADBC
∴四边形ABCD行四边形
∴AD∥BC
∵EF⊥AD
∴EF⊥BC．
点评：
题考查行四边形判定性质正确理解行四边形判定方法关键．
13．（2014•遂宁）已知：图矩形ABCD中角线ACBD相交点OECD中点连结OE．点C作CF∥BD交线段OE延伸线点F连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE
（2）四边形ODFC菱形．
考点：
矩形性质全等三角形判定性质菱形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根两直线行错角相等∠ODE∠FCE根线段中点定义CEDE然利角边角证明△ODE△FCE全等
（2）根全等三角形应边相等ODFC根组边行相等四边形行四边形判断出四边形ODFC行四边形根矩形角线互相分相等OCOD然根邻边相等行四边形菱形证明．
解答：
证明：（1）∵CF∥BD
∴∠ODE∠FCE
∵ECD中点
∴CEDE
△ODE△FCE中
∴△ODE≌△FCE（ASA）
（2）∵△ODE≌△FCE
∴ODFC
∵CF∥BD
∴四边形ODFC行四边形
矩形ABCD中OCOD
∴四边形ODFC菱形．
点评：
题考查矩形性质全等三角形判定性质菱形判定熟记性质行四边形菱形判定方法解题关键．
14．（2014•州）已知：图矩形ABCD中MN分边ADBC中点EF分线段BMCM中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM
（2）填空：AB：AD 1：2 时四边形MENF正方形．
考点：
矩形性质全等三角形判定性质行四边形判定正方形判定．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）根矩形性质出ABDC∠A∠D90°根全等三角形判定推出
（2）求出四边形MENF行四边形求出∠BMC90°MEMF根正方形判定推出．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD矩形
∴ABDC∠A∠D90°
∵MAD中点
∴AMDM
△ABM△DCM中
∴△ABM≌△DCM（SAS）．
（2）解：AB：AD1：2时四边形MENF正方形
理：∵AB：AD1：2AMDMABCD
∴ABAMDMDC
∵∠A∠D90°
∴∠ABM∠AMB∠DMC∠DCM45°
∴∠BMC90°
∵四边形ABCD矩形
∴∠ABC∠DCB90°
∴∠MBC∠MCB45°
∴BMCM
∵NEF分BCBMCM中点
∴BECFMEMFNF∥BMNE∥CM
∴四边形MENF行四边形
∵MEMF∠BMC90°
∴四边形MENF正方形
AB：AD1：2时四边形MENF正方形
答案：1：2．
点评：
题考查矩形性质判定行四边形判定正方形判定全等三角形性质判定三角形中位线运次考查先生运定理进行推理力标题较难度适中．
15．（2014•深圳）已知BD垂直分AC∠BCD∠ADFAF⊥AC
（1）证明四边形ABDF行四边形
（2）AFDF5AD6求AC长．
考点：
行四边形判定线段垂直分线性质勾股定理．版权切
分析：
（1）先证△ADB≌△CDB求∠BCD∠BAD∠ADF∠BADAB∥FDBD⊥ACAF⊥ACAF∥BD证．
（2）先证行四边形菱形然根勾股定理求．
解答：
（1）证明：∵BD垂直分AC
∴ABBCADDC
△ADB△CDB中
∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD∠BAD
∵∠BCD∠ADF
∴∠BAD∠ADF
∴AB∥FD
∵BD⊥ACAF⊥AC
∴AF∥BD
∴四边形ABDF行四边形
（2）解：∵四边形ABDF行四边形AFDF5
∴▱ABDF菱形
∴ABBD5
∵AD6
设BExDE5﹣x
∴AB2﹣BE2AD2﹣DE2
52﹣x262﹣（5﹣x）2
解：x
∴
∴AC2AE．
点评：
题考查行四边形判定菱形判定性质勾股定理运．
16．（2014•钦州）图正方形ABCD中EF分ABBC点AEBF．求证：CEDF．
考点：
正方形性质全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
根正方形性质ABBCCD∠B∠BCD90°然求出BECF利边角边证明△BCE△CDF全等根全等三角形应边相等证明．
解答：
证明：正方形ABCD中ABBCCD∠B∠BCD90°
∵AEBF
∴AB﹣AEBC﹣BF
BECF
△BCE△CDF中
∴△BCE≌△CDF（SAS）
∴CEDF．
点评：
题考查正方形性质全等三角形判定性质熟记性质确定出三角形全等条件解题关键．
17．（2014•攀枝花）图梯形OABC中OC∥ABOACB点O坐标原点A（2﹣3）C（02）．
（1）求点B双曲线解析式
（2）等腰梯形OABC右移5单位问移点C否落（1）中双曲线？简述理．
考点：
等腰梯形性质反例函数图象点坐标特征定系数法求反例函数解析式坐标图形变化移．版权切
专题：
数形定系数法．
分析：
（1）点C作CD⊥ABD根等腰梯形性质点A坐标求出CDBD然求出点B坐标设双曲线解析式y（k≠0）然利定系数法求反例函数解析式解答
（2）根右移横坐标加求出移点C坐标根反例函数图象点坐标特征判断．
解答：
解：（1）图点C作CD⊥ABD
∵梯形OABC中OC∥ABOACBA（2﹣3）
∴CD2BD3
∵C（02）
∴点B坐标（25）
设双曲线解析式y（k≠0）
5
解k10
∴双曲线解析式y
（2）移点C落（1）中双曲线．
理：点C（02）右移5单位坐标（52）
x5时y2
∴移点C落（1）中双曲线．
点评：
题考查等腰梯形性质定系数法求反例函数解析式反例函数图象点坐标特征坐标图形变化﹣移纯熟掌握等腰梯形性质求出点B坐标解题关键．
18．（2014•宁德）图梯形ABCD中AD∥BC点EBC中点连接ACDEACABDE∥AB．求证：四边形AECD矩形．
考点：
矩形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
先判断四边形AECD行四边形然∠AEC90°判断出四边形AECD矩形．
解答：
证明：∵AD∥BCDE∥AB
∴四边形ABED行四边形．
∴ADBE．
∵点EBC中点
∴ECBEAD．
∴四边形AECD行四边形．
∵ABAC点EBC中点
∴AE⊥BC∠AEC90°．
∴▱AECD矩形．
点评：
题考查梯形矩形判定难度适中解题关键掌握行四边形矩形判定定理．
19．（2014•牡丹江）图Rt△ABC中∠ACB90°点C直线MN∥ABDAB边点点D作DE⊥BC交直线MNE垂足F连接CDBE．
（1）求证：CEAD
（2）DAB中点时四边形BECD什四边形？阐明理
（3）DAB中点∠A满足什条件时四边形BECD正方形？请阐明理．
考点：
正方形判定行四边形判定性质菱形判定．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）先求出四边形ADEC行四边形根行四边形性质推出
（2）求出四边形BECD行四边形求出CDBD根菱形判定推出
（3）求出∠CDB90°根正方形判定推出．
解答：
（1）证明：∵DE⊥BC
∴∠DFB90°
∵∠ACB90°
∴∠ACB∠DFB
∴AC∥DE
∵MN∥ABCE∥AD
∴四边形ADEC行四边形
∴CEAD
（2）解：四边形BECD菱形
理：∵DAB中点
∴ADBD
∵CEAD
∴BDCE
∵BD∥CE
∴四边形BECD行四边形
∵∠ACB90°DAB中点
∴CDBD
∴四边形BECD菱形
（3）∠A45°时四边形BECD正方形理：
解：∵∠ACB90°∠A45°
∴∠ABC∠A45°
∴ACBC
∵DBA中点
∴CD⊥AB
∴∠CDB90°
∵四边形BECD菱形
∴四边形BECD正方形
∠A45°时四边形BECD正方形．
点评：
题考查正方形判定行四边形性质判定菱形判定直角三角形性质运次考查先生运定理进行推理力．
20．（2014•梅州）图正方形ABCD中EAB点FAD延伸线点DFBE．
（1）求证：CECF
（2）点GAD∠GCE45°GEBE+GD成立？什？
考点：
正方形性质全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）DFBE四边形ABCD正方形证△CEB≌△CFD证出CECF．
（2）（1）CECF∠BCE+∠ECD∠DCF+∠ECD∠ECF∠BCD90°∠GCE45°∠GCE∠GCF证△ECG≌△FCGEGFGGD+DF．DFBE证出GEBE+GD成立．
解答：
（1）证明：正方形ABCD中
∵
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CECF．
（2）解：GEBE+GD成立．
理：∵（1）：△CBE≌△CDF
∴∠BCE∠DCF
∴∠BCE+∠ECD∠DCF+∠ECD∠ECF∠BCD90°
∵∠GCE45°∴∠GCF∠GCE45°．
∵
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GEGF．
∴GEDF+GDBE+GD．
点评：
题次考查证两条线段相等转化证明两条线段三角形全等思想第二问中考查全等找出GE相等线段证出关系成立．
21．（2014•龙岩）图次连接意四边形ABCD边中点四边形EFGH中点四边形．
（1）四边形ABCD菱形中点四边形EFGH定 B
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形
（2）四边形ABCD面积S1中点四边形EFGH面积记S2S1S2数量关系S1 2 S2
（3）四边形ABCD中中点四边形EFGH中三边剪开三三角形三三角形原图中未剪开三角形拼接成行四边形请画出种拼接表示图写出应全等三角形．
考点：
中点四边形作图—运设计作图．版权切
专题：
探求型．
分析：
（1）连接ACBD．先根三角形中位线性质出EH∥BD∥FGEF∥AC∥HGEHFGBDEFHGAC四边形EFGH行四边形菱形角线互相垂直出EF⊥FG证明▱EFGH矩形
（2）EAB中点EF行ACEH行BD△BEK△ABM类似△AEN△ABM类似利面积等类似方△EBK面积△ABM面积1：4△AEN△EBK面积相等进确定出四边形EKMN面积△ABM半理四边形MKFP面积△MBC面积半四边形QMPG面积△DMC面积半四边形MNHQ面积△ADM面积半四四边形面积四三角形面积半四边形ABCD面积半
（3）利中点四边形性质出拼接方法进出全等三角形．
解答：
解：（1）图1连接ACBD．
∵EFGH分菱形ABCD边中点
∴EH∥BD∥FGEF∥AC∥HGEHFGBDEFHGAC
∴四边形EFGH行四边形
∵四边形ABCD菱形
∴AC⊥BD
∴EF⊥FG
∴▱EFGH矩形
选：B．
（2）图2设ACEHFG分交点NPBDEFHG分交点KQ
∵EAB中点EF∥ACEH∥BD
∴△EBK∽△ABM△AEN∽△EBK
∴S△AENS△EBK
∴理
∴
∴四边形ABCD面积S1中点四边形EFGH面积记S2S1S2数量关系S12S2
（3）图3四边形NEHM行四边形
△MAH≌△GDH△NAE≌△FBE△CFG≌△ANM．
点评：
题次考查中点四边形类似三角形判定性质矩形判定菱形性质等知识利三角形中位线性质出解题关键．
22．（2014•凉山州）图分Rt△ABC直角边AC斜边AB外作等边△ACD等边△ABE．已知∠BAC30°EF⊥AB垂足F连接DF．
（1）试阐明ACEF
（2）求证：四边形ADFE行四边形．
考点：
行四边形判定全等三角形判定性质等边三角形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）首先Rt△ABC中∠BAC30°AB2BC△ABE等边三角形EF⊥ABAE2AFAB2AF然证明△AFE≌△BCA根全等三角形性质证明ACEF
（2）根（1）知道EFAC△ACD等边三角形EFACADAD⊥ABEF⊥ABEF∥AD根行四边形判定定理证明四边形ADFE行四边形．
解答：
证明：（1）∵Rt△ABC中∠BAC30°
∴AB2BC
∵△ABE等边三角形EF⊥AB
∴AB2AF
∴AFBC
Rt△AFERt△BCA中
∴△AFE≌△BCA（HL）
∴ACEF
（2）∵△ACD等边三角形
∴∠DAC60°ACAD
∴∠DAB∠DAC+∠BAC90°
∵EF⊥AB
∴EF∥AD
∵ACEFACAD
∴EFAD
∴四边形ADFE行四边形．
点评：
题首先利等边三角形性质证明全等三角形然利全等三角形性质等边三角形性质证明行四边形．
23．（2014•连云港）图矩形ABCD角线ACBD相交点ODE∥ACCE∥BD．
（1）求证：四边形OCED菱形
（2）连接AEBEAEBE相等？请阐明理．
考点：
矩形性质全等三角形判定性质菱形判定．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）首先利行四边形判定出四边形DOCE行四边形进利矩形性质出DOCO出答案
（2）利等腰三角形性质矩形性质出ADBC∠ADE∠BCE进利全等三角形判定出．
解答：
（1）证明：∵DE∥ACCE∥BD
∴四边形DOCE行四边形
∵矩形ABCD角线ACBD相交点O
∴OCACBDOD
∴四边形OCED菱形
（2）解：AEBE．
理：∵四边形OCED菱形
∴EDCE∴∠EDC∠ECD
∴∠ADE∠BCE
△ADE△BCE中
∴△ADE≌△BCE（SAS）
∴AEBE．
点评：
题次考查矩形性质菱形判定全等三角形判定性质等知识纯熟掌握矩形性质进出应线段关系解题关键．
24．（2014•乐山）图△ABC中ABAC四边形ADEF菱形求证：BECE．
考点：
菱形性质全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
根四边形ADEF菱形DEEFAB∥EFDE∥AC证明△DBE≌△FCE出BECE．
解答：
证明：∵四边形ADEF菱形
∴DEEFAB∥EFDE∥AC
∴∠C∠BED∠B∠CEF
∵ABAC
∴∠B∠C
∴∠BED∠CEF
△DBE△FCE中
∴△DBE≌△FCE
∴BECE．
点评：
题考查菱形性质全等三角形判定性质基础题较简单．
25．（2014•乐山）图梯形ABCD中AD∥BC∠ADC90°∠B30°CE⊥AB垂足点E．AD1AB2求CE长．
考点：
矩形判定性质含30度角直角三角形锐角三角函数定义．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
点A作AH⊥BCH利锐角三角函数关系出BH长进出BC长根含30°角直角三角形性质出CE长．
解答：
解：点A作AH⊥BCHADHC1
△ABH中∠B30°AB2
∴cos30°
BHABcos30°2×3
∴BCBH+HC4
∵CE⊥AB
∴CEBC2．
点评：
题次考查锐角三角函数关系运直角三角形中30°边等斜边半等知识出BH长解题关键．
26．（2014•黄石）图AB圆O两点∠AOB120°C中点．
（1）求证：AB分∠OAC
（2）延伸OAPOAAP连接PC圆O半径R1求PC长．
考点：
菱形判定性质等边三角形判定性质圆心角弧弦关系圆周角定理．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）求出等边三角形AOC等边△OBC推出OAOBBCAC出答案
（2）求出ACOAAP求出∠PCO90°∠P30°求出答案．
解答：
（1）证明：连接OC
∵∠AOB120°CAB弧中点
∴∠AOC∠BOC60°
∵OAOC
∴△ACO等边三角形
∴OAAC理OBBC
∴OAACBCOB
∴四边形AOBC菱形
∴AB分∠OAC
（2）解：连接OC
∵△OAC等边三角形OAAC
∴APAC
∴∠APC30°
∴△OPC直角三角形
∴．
点评：
题考查圆心角弧弦间关系勾股定理等边三角形性质判定运次考查先生运定理进行推理计算力标题较典型难度适中．
27．（2014•葫芦岛）图△ABC中ABAC点D（点B重合）BC点EAB中点点A作AF∥BC交DE延伸线点F连接ADBF．
（1）求证：△AEF≌△BED．
（2）BDCD求证：四边形AFBD矩形．
考点：
矩形判定全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）AASASA证全等
（2）根角线互相分证明四边形AFBD行四边形根等腰三角形三线合证明∠ADB90°进根角直角行四边形矩形证．
解答：
证明：（1）∵AF∥BC
∴∠AFE∠EDB
∵EAB中点
∴EAEB
△AEF△BED中
∴△AEF≌△BED（ASA）
（2）∵△AEF≌△BED
∴AFBD
∵AF∥BD
∴四边形AFBD行四边形
∵ABACBDCD
∴AD⊥BD
∴四边形AFBD矩形．
点评：
题考查矩形判定三角形全等判定性质够解矩形判定定理解答题关键难度．
28．（2014•贺州）图四边形ABCD行四边形EF角线BD点∠1∠2．
（1）求证：BEDF
（2）求证：AF∥CE．
考点：
行四边形判定性质全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）利行四边形性质出∠5∠3∠AEB∠4进利全等三角形判定出
（2）利全等三角形性质出AECF进出四边形AECF行四边形出答案．
解答：
证明：（1）∵四边形ABCD行四边形
∴ABCDAB∥CD
∴∠5∠3
∵∠1∠2
∴∠AEB∠4
△ABE△CDF中
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴BEDF
（2）（1）△ABE≌△CDF
∴AECF
∵∠1∠2
∴AE∥CF
∴四边形AECF行四边形
∴AF∥CE．
点评：
题次考查行四边形判定性质全等三角形判定性质等知识出△ABE≌△CDF解题关键．
29．（2014•菏泽）已知：图正方形ABCDBMDN分分正方形两外角满足∠MAN45°连接MN．
（1）正方形边长a求BM•DN值．
（2）BMDNMN三边围成三角形试猜想三角形外形证明结．
考点：
正方形性质全等三角形判定性质勾股定理逆定理类似三角形判定性质．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）根角分线定义求出∠CBM∠CDN45°求出∠ABM∠ADN135°然根正方形角90°求出∠BAM+∠NAD45°三角形外角等相邻两角∠BAM+∠AMB45°∠NAD∠AMB求出△ABM△NDA类似利类似三角形应边成例列式求解
（2）点A作AF⊥AN截取AFAN连接BFFM根角余角相等求出∠1∠3然利边角边证明△ABF△ADN全等根全等三角形应边相等BFDN∠FBA∠NDA135°求出∠FAM∠MAN45°然利边角边证明△AFM△ANM全等根全等三角形应边相等FMNM求出△FBM直角三角形然利勾股定理判断．
解答：
解：（1）∵BMDN分分正方形两外角
∴∠CBM∠CDN45°
∴∠ABM∠ADN135°
∵∠MAN45°
∴∠BAM+∠NAD45°
△ABM中∠BAM+∠AMB∠MBP45°
∴∠NAD∠AMB
△ABM△NDA中
∴△ABM∽△NDA
∴
∴BM•DNAB•ADa2
（2）BMDNMN三边围成三角形直角三角形．
证明：图点A作AF⊥AN截取AFAN连接BFFM
∵∠1+∠BAN90°
∠3+∠BAN90°
∴∠1∠3
△ABF△ADN中
∴△ABF≌△ADN（SAS）
∴BFDN∠FBA∠NDA135°
∵∠FAN90°∠MAN45°
∴∠1+∠2∠FAM∠MAN45°
△AFM△ANM中
∴△AFM≌△ANM（SAS）
∴FMNM
∴∠FBP180°﹣∠FBA180°﹣135°45°
∴∠FBP+∠PBM45°+45°90°
∴△FBM直角三角形
∵FBDNFMMN
∴BMDNMN三边围成三角形直角三角形．
点评：
题考查正方形性质全等三角形判定性质勾股定理逆定理类似三角形判定性质难点（2）作辅助线构造出全等三角形直角三角形．
30．（2014•桂林）▱ABCD中角线ACBD交点O点O作直线EF分交线段ADBC点EF．
（1）根题意画出图形标正确字母
（2）求证：DEBF．
考点：
行四边形性质全等三角形判定性质作图—复杂作图．版权切
专题：
作图题证明题．
分析：
（1）根题意直接画图
（2）四边形ABCD行四边形AD∥BCOBOD继利ASA判定△DOE≌△BOF继证DEBF．
解答：
（1）解：图示：
（2）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴AD∥BCOBOD
∴∠EDO∠OBF
△DOE△BOF中
∴DOE≌△BOF（ASA）
∴DEBF．
点评：
题考查行四边形性质全等三角形判定性质．题难度留意掌握数形思想运．
31．（2014•贵阳）图Rt△ABC中∠ACB90°DE分ABAC边中点连接DE△ADE绕点E旋转180°△CFE连接AFAC．
（1）求证：四边形ADCF菱形
（2）BC8AC6求四边形ABCF周长．
考点：
菱形判定性质旋转性质．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）根旋转AECEDEEF判定四边形ADCF行四边形然证明DF⊥AC四边形ADCF菱形
（2）首先利勾股定理AB长根中点定义AD5根菱形性质AFFCAD5进答案．
解答：
（1）证明：∵△ADE绕点E旋转180°△CFE
∴AECEDEEF
∴四边形ADCF行四边形
∵DE分ABAC边中点
∴DE△ABC中位线
∴DE∥BC
∵∠ACB90°
∴∠AED90°
∴DF⊥AC
∴四边形ADCF菱形
（2）解：Rt△ABC中BC8AC6
∴AB10
∵DAB边中点
∴AD5
∵四边形ADCF菱形
∴AFFCAD5
∴四边形ABCF周长8+10+5+528．
点评：
题次考查菱形判定性质关键掌握菱形四边相等角线互相垂直行四边形菱形．
32．（2014•贵港）图正方形ABCD中点E角线AC点CECD点E作EF⊥AC交AD点F连接BE．
（1）求证：DFAE
（2）AB2时求BE2值．
考点：
正方形性质角分线性质勾股定理．版权切
分析：
（1）连接CF根HL证明Rt△CDFRt△CEF全等根全等三角形应边相等DFEF根正方形角线分组角∠EAF45°求出△AEF等腰直角三角形根等腰直角三角形性质AEEF然等量代换证
（2）根正方形角线等边长倍求出AC然求出AE点E作EH⊥ABH判断出△AEH等腰直角三角形然求出EHAHAE求出BH然利勾股定理列式计算解．
解答：
（1）证明：图连接CF
Rt△CDFRt△CEF中
∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL）
∴DFEF
∵AC正方形ABCD角线
∴∠EAF45°
∴△AEF等腰直角三角形
∴AEEF
∴DFAE
（2）解：∵AB2
∴ACAB2
∵CECD
∴AE2﹣2
点E作EH⊥ABH
△AEH等腰直角三角形
∴EHAHAE×（2﹣2）2﹣
∴BH2﹣（2﹣）
Rt△BEH中BE2BH2+EH2（）2+（2﹣）28﹣4．
点评：
题考查正方形性质全等三角形判定性质等腰直角三角形判定性质勾股定理运作辅助线构造出全等三角形直角三角形解题关键．
33．（2014•甘孜州）图▱ABCD中EF分BCAB中点连接FCAEAEFC交点GAE延伸线DC延伸线交点N．
（1）求证：△ABE≌△NCE
（2）AB3nFBGE试含n式子表示线段AN长．
考点：
行四边形性质全等三角形判定性质类似三角形判定性质．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）根行四边形性质AB∥CN知∠B∠ECN根全等三角形判定方法ASA证明△ABE≌△NCE
（2）AB∥CN△AFG∽△CNG利类似三角形性质已知条件含n式子表示线段AN长．
解答：
（1）证明：
∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥CN
∴∠B∠ECN
∵EBC中点
∴BECE
△ABE△NCE中
∴△ABE≌△NCE（ASA）．
（2）∵AB∥CN
∴△AFG∽△CNG
∴AF：CNAG：GN
∵ABCN
∴AF：ABAG：GN
∵AB3nFAB中点
∴FBGE
∴GEn
∴解AE3n
∴AG2nGEnEN3n
∴ANAG+GE+EN2n+n+3n6n．
点评：
题考查行四边形性质全等三角形判定性质类似三角形性质标题综合性较强难度中等．
34．（2014•抚）图矩形ABCD中ECD边点BEBA点A圆心AD长半径作⊙A交AB点M点B作⊙A切线BF切点F．
（1）请判断直线BE⊙A位关系阐明理
（2）果AB10BC5求图中暗影部分面积．
考点：
矩形性质切线判定性质扇形面积计算．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）直线BE⊙A位关系相切连接AEA作AH⊥BEE作EG⊥AB证明AHAD
（2）连接AF图中暗影部分面积直角三角形ABF面积﹣扇形MAF面积．
解答：
解：（1）直线BE⊙A位关系相切
理：连接AEA作AH⊥BEE作EG⊥AB四边形ADEG矩形．
∵S△ABEBE•AHAB•EGABBE
∴AHEG
∵四边形ADEG矩形
∴ADEG
∴AHAD
∴BE圆切线
（2）连接AF
∵BF⊙A切线
∴∠BFA90°
∵BC5
∴AF5
∵AB10
∴∠ABF30°
∴∠BAF60°
∴BFAF5
∴图中暗影部分面积直角三角形ABF面积﹣扇形MAF面积×5×5﹣．
点评：
题考查矩形性质切线判定性质三角形扇形面积公式运角锐角三角函数值标题综合性较强难度解题关键正确做出辅助线．
35．（2014•崇左）图四边形ABCD中角线ACBD相交点OAC⊥BD点EFGH分ABBCCDDA中点次连接边中点四边形EFGH求证：四边形EFGH矩形．
考点：
中点四边形三角形中位线定理．版权切
专题：
证明题．
分析：
首先利三角形中位线定理证四边形EFGH行四边形然利角直角行四边形矩形判定．
解答：
证明：∵点EFGH分边ABBCCDDA中点
∴EFACGHAC
∴EFGH理EHFG
∴四边形EFGH行四边形
∵角线ACBD互相垂直
∴EFFG垂直．
∴四边形EFGH矩形．
点评：
题考查中点四边形知识解题关键灵活运三角形中位线定理行四边形判断矩形判断进行证明道综合题．
36．（2014•北京）图▱ABCD中AE分∠BAD交BC点EBF分∠ABC交AD点FAEBF交点P连接EFPD．
（1）求证：四边形ABEF菱形
（2）AB4AD6∠ABC60°求tan∠ADP值．
考点：
菱形判定行四边形性质解直角三角形．版权切
分析：
（1）先证明四边形行四边形根行四边形角分线性质ABBEABAFAFBE证明四边形ABEF菱形
（2）作PH⊥ADH根四边形ABEF菱形∠ABC60°AB4ABAF4∠ABF∠ADB30°AP⊥BFPHDH5然利锐角三角函数定义求解．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴AD∥BC．
∴∠DAE∠AEB．
∵AE角分线
∴∠DAE∠BAE．
∴∠BAE∠AEB．
∴ABBE．
理ABAF．
∴AFBE．
∴四边形ABEF行四边形．
∵ABBE
∴四边形ABEF菱形．
（2）解：作PH⊥ADH
∵四边形ABEF菱形∠ABC60°AB4
∴ABAF4∠ABF∠AFB30°AP⊥BF
∴APAB2
∴PHDH5
∴tan∠ADP．
点评：
题考查菱形判定行四边形性质解题关键牢记菱形判定定理难度．
37．（2014•包头）图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°∠BCD45°点EBC∠AEB60°．AB2AD1求CDCE长．（留意：题中计算程结果均保留根号）
考点：
梯形勾股定理．版权切
专题：
计算题．
分析：
点D作DF⊥BC根∠BCD45°DFCFAB2DFCF2勾股定理CD长AD1BC2+1根∠AEB60°BE进出CE长．
解答：
解：点D作DF⊥BC
∵AD∥BC∠ABC90°
∴四边形ABFD矩形
∵∠BCD45°
∴DFCF
∵AB2
∴DFCF2
∴勾股定理CD2
∵AD1
∴BF1
∴BC2+1
∵∠AEB60°
∴tan60°
∴
∴BE2
∴CEBC﹣BE2+1﹣22﹣1．
点评：
题考查梯形计算勾股定理基础知识纯熟掌握．
38．（2014•安）已知：图△ABC中ABACAD⊥BC垂足点DAN△ABC外角∠CAM分线CE⊥AN垂足点E
（1）求证：四边形ADCE矩形
（2）△ABC满足什条件时四边形ADCE正方形？出证明．
考点：
矩形判定角分线性质等腰三角形性质正方形判定．版权切
专题：
证明题开放型．
分析：
（1）根矩形三角直角四边形矩形已知CE⊥ANAD⊥BC求证∠DAE90°证明四边形ADCE矩形．
（2）根正方形判定假设ADBC已知DCBC（1）结知四边形ADCE矩形证四边形ADCE正方形．
解答：
（1）证明：△ABC中ABACAD⊥BC
∴∠BAD∠DAC
∵AN△ABC外角∠CAM分线
∴∠MAE∠CAE
∴∠DAE∠DAC+∠CAE180°90°
∵AD⊥BCCE⊥AN
∴∠ADC∠CEA90°
∴四边形ADCE矩形．
（2）△ABC满足∠BAC90°时四边形ADCE正方形．
理：∵ABAC
∴∠ACB∠B45°
∵AD⊥BC
∴∠CAD∠ACD45°
∴DCAD
∵四边形ADCE矩形
∴矩形ADCE正方形．
∴∠BAC90°时四边形ADCE正方形．
点评：
题开放型试题次考查矩形判定正方形判定等腰三角形性质角分线性质等知识点综合运．
39．（2013•株洲）已知四边形ABCD边长2菱形∠BAD60°角线ACBD交点O点O直线EF交AD点E交BC点F．
（1）求证：△AOE≌△COF
（2）∠EOD30°求CE长．
考点：
菱形性质全等三角形判定性质等边三角形判定性质含30度角直角三角形勾股定理．版权切
分析：
（1）根菱形角线互相分AOCO边行AD∥BC利两直线行错角相等∠OAE∠OCF然利角边角证明△AOE△COF全等
（2）根菱形角线分组角求出∠DAO30°然求出∠AEF90°然求出AO长求出EF长然Rt△CEF中利勾股定理列式计算解．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD菱形
∴AOCOAD∥BC
∴∠OAE∠OCF
△AOE△COF中
∴△AOE≌△COF（ASA）
（2）解：∵∠BAD60°
∴∠DAO∠BAD×60°30°
∵∠EOD30°
∴∠AOE90°﹣30°60°
∴∠AEF180°﹣∠DAO﹣∠AOE180°﹣30°﹣60°90°
∵菱形边长2∠DAO30°
∴ODAD×21
∴AO
∴AECF×
∵菱形边长2∠BAD60°
∴高EF2×
Rt△CEF中CE．
点评：
题考查菱形性质全等三角形判定性质直角三角形30°角直角边等斜边半性质勾股定理运（2）求出△CEF直角三角形解题关键难点．
40．（2013•云南）已知△ABC中ABAC5BC6ADBC边中线四边形ADBE行四边形．
（1）求证：四边形ADBE矩形
（2）求矩形ADBE面积．
考点：
矩形判定性质勾股定理行四边形性质．版权切
分析：
（1）利三线合定理证∠ADB90°根矩形定义证
（2）利勾股定理求BD长然利矩形面积公式求解．
解答：
解：（1）∵ABACADBC边中线
∴AD⊥BC
∴∠ADB90°
∵四边形ADBE行四边形．
∴行四边形ADBE矩形
（2）∵ABAC5BC6ADBC中线
∴BDDC6×3
直角△ACD中
AD4
∴S矩形ADBEBD•AD3×412．
点评：
题考查三线合定理矩形判定理解三线合定理关键．
41．（2013•宜昌）图点EF分锐角∠A两边点AEAF分点EF圆心AE长半径画弧两弧相交点D连接DEDF．
（1）请判断画四边形外形阐明理
（2）连接EFAE8厘米∠A60°求线段EF长．
考点：
菱形判定性质等边三角形判定性质．版权切
分析：
（1）AEAFEDDF根四条边相等四边形菱形证：四边形AEDF菱形
（2）首先连接EFAEAF∠A60°证△EAF等边三角形求线段EF长．
解答：
解：（1）菱形．
理：∵根题意：AEAFEDDF
∴四边形AEDF菱形
（2）连接EF
∵AEAF∠A60°
∴△EAF等边三角形
∴EFAE8厘米．
点评：
题考查菱形判定性质等边三角形判定性质．题较简单留意掌握辅助线作法留意数形思想运．
42．（2013•锡）图四边形ABCD中角线ACBD相交点O①AB∥CD②AOCO③ADBC中意选取两作条件四边形ABCD行四边形结构造命题．
（1）①②作条件构成命题真命题？请证明请举出反例
（2）写出题意构成切命题中假命题举出反例加阐明．（命题请写成果……．方式）
考点：
行四边形判定命题定理．版权切
分析：
（1）根行出全等三角形求出OBOD根行四边形判定推出
（2）根等腰梯形行四边形判定判断．
解答：
（1）①②作条件构成命题真命题
证明：∵AB∥CD
∴∠OAB∠OCD
△AOB△COD中
∴△AOB≌△COD（ASA）
∴OBOD
∴四边形ABCD行四边形．
（2）根①③作条件构成命题假命题果组边行组边相等四边形行四边形等腰梯形符合行四边形
根②③作条件构成命题假命题果四边形ABCD角线交OOAOCADBC四边形行四边形图
根已知推出OBODAD∥BCABDC四边形行四边形．
点评：
题考查行四边形判定类似三角形性质判定等腰梯形判定等知识点运次考查先生推理力辨析力标题较道较容易出错标题．
43．（2013•铁岭）图△ABC中ABACAD∠BAC角分线点OAB中点连接DO延伸点EOEOD连接AEBE．
（1）求证：四边形AEBD矩形
（2）△ABC满足什条件时矩形AEBD正方形阐明理．
考点：
矩形判定正方形判定．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）利行四边形判定首先出四边形AEBD行四边形进等腰三角形性质出∠ADB90°出答案
（2）利等腰直角三角形性质出ADBDCD进利正方形判定出．
解答：
（1）证明：∵点OAB中点连接DO延伸点EOEOD
∴四边形AEBD行四边形
∵ABACAD∠BAC角分线
∴AD⊥BC
∴∠ADB90°
∴行四边形AEBD矩形
（2）∠BAC90°时
理：∵∠BAC90°ABACAD∠BAC角分线
∴ADBDCD
∵（1）四边形AEBD矩形
∴矩形AEBD正方形．
点评：
题次考查正方形判定矩形判定等腰直角三角形性质等知识纯熟掌握正方形矩形判定解题关键．
44．（2013•深圳）图等腰梯形ABCD中已知AD∥BCABDCACBD交点O延伸BCECEAD连接DE．
（1）求证：BDDE．
（2）AC⊥BDAD3SABCD16求AB长．
考点：
等腰梯形性质勾股定理等腰直角三角形行四边形判定性质类似三角形判定性质．版权切
分析：
（1）AD∥BCCEAD四边形ACED行四边形证ACDE等腰梯形性质ACBD证结
（2）首先点D作DF⊥BC点F证△BDE等腰直角三角形SABCD16求BD长继求答案．
解答：
（1）证明：∵AD∥BCCEAD
∴四边形ACED行四边形
∴ACDE
∵四边形ABCD等腰梯形AD∥BCABDC
∴ACBD
∴BDDE．
（2）解：点D作DF⊥BC点F
∵四边形ACED行四边形
∴CEAD3AC∥DE
∵AC⊥BD
∴BD⊥DE
∵BDDE
∴S△BDEBD•DEBD2BE•DF（BC+CE）•DF（BC+AD）•DFS梯形ABCD16
∴BD4
∴BEBD8
∴DFBFEFBE4
∴CFEF﹣CE1
∴勾股定理ABCD．
点评：
题考查等腰三角形性质等腰直角三角形性质判定行四边形判定性质勾股定理．题难度适中留意掌握辅助线作法留意数形思想运．
45．（2013•海）图△ABC中∠ACB90°∠B＞∠A点D边AB中点DE∥BC交AC点ECF∥AB交DE延伸线点F．
（1）求证：DEEF
（2）连结CD点D作DC垂线交CF延伸线点G求证：∠B∠A+∠DGC．
考点：
菱形判定性质全等三角形判定性质直角三角形斜边中线．版权切
分析：
（1）首先证明四边形DBCF行四边形DFBC证明DEBC进EFCB证出DEEF
（2）首先画出图形首先根行线性质∠ADG∠G证明∠B∠DCB∠A∠DCA然推出∠1∠DCB∠B∠A+∠ADG∠1∠A+∠G∠B．
解答：
证明：（1）∵DE∥BCCF∥AB
∴四边形DBCF行四边形
∴DFBC
∵D边AB中点DE∥BC
∴DEBC
∴EFDF﹣DEBC﹣CBCB
∴DEEF
（2）∵DB∥CF
∴∠ADG∠G
∵∠ACB90°D边AB中点
∴CDDBAD
∴∠B∠DCB∠A∠DCA
∵DG⊥DC
∴∠DCA+∠190°
∵∠DCB+∠DCA90°
∴∠1∠DCB∠B
∵∠A+∠ADG∠1
∴∠A+∠G∠B．
点评：
题次考查行四边形判定性质直角三角形性质关键找出∠ADG∠G∠1∠B．掌握直角三角形中斜边中线等斜边半．
46．（2013•钦州）图梯形ABCD中AD∥BCAB∥DE∠DEC∠C求证：梯形ABCD等腰梯形．
考点：
等腰梯形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
AB∥DE∠DEC∠C易证∠B∠C底两角相等梯形等腰梯形证结．
解答：
证明：∵AB∥DE
∴∠DEC∠B
∵∠DEC∠C
∴∠B∠C
∴梯形ABCD等腰梯形．
点评：
题考查等腰梯形判定．题较简单留意掌握底两角相等梯形等腰梯形定理运留意数形思想运．
47．（2013•南京）图四边形ABCD中ABBC角线BD分∠ABCPBD点点P作PM⊥ADPN⊥CD垂足分MN．
（1）求证：∠ADB∠CDB
（2）∠ADC90°求证：四边形MPND正方形．
考点：
正方形判定全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根角分线性质全等三角形判定方法证明△ABD≌△CBD全等三角形性质：∠ADB∠CDB
（2）∠ADC90°（1）中条件四边形MPND矩形根两边相等四边形正方形证明四边形MPND正方形．
解答：
证明：（1）∵角线BD分∠ABC
∴∠ABD∠CBD
△ABD△CBD中
∴△ABD≌△CBD（SAS）
∴∠ADB∠CDB
（2）∵PM⊥ADPN⊥CD
∴∠PMD∠PND90°
∵∠ADC90°
∴四边形MPND矩形
∵∠ADB∠CDB
∴∠ADB45°
∴PMMD
∴四边形MPND正方形．
点评：
题考查全等三角形判定性质角分线性质矩形判定性质正方形判定解题关键熟记种图形性质判定．
48．（2013•南充）图等腰梯形ABCD中AD∥BCAD3BC7∠B60°PBC边点（BC重合）点P作∠APE∠BPE交CDE．
（1）求证：△APB∽△PEC
（2）CE3求BP长．
考点：
等腰梯形性质类似三角形判定性质．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）等腰梯形ABCD中AD∥BCABCD∠B∠C60°∠APE+∠EPC∠B+∠BAP∠APE∠B证∠BAP∠EPC根两角应相等三角形类似证：△APB∽△PEC
（2）首先点A作AF∥CD交BC点F四边形ADCF行四边形△ABF等边三角形△APB∽△PEC根类似三角形应边成例求答案．
解答：
（1）证明：∵等腰梯形ABCD中AD∥BCABCD
∴∠B∠C60°
∵∠APC∠B+∠BAP
∠APE+∠EPC∠B+∠BAP
∵∠APE∠B
∴∠BAP∠EPC
∴△APB∽△PEC
（2）解：点A作AF∥CD交BC点F
∵AD∥BC
∴四边形ADCF行四边形
∵∠AFB∠C∠B60°
∴△ABF等边三角形
∴CFAD3ABBF7﹣34
∵△APB∽△PEC
∴
设BPxPC7﹣x
∵EC3AB4
∴
解：x13x24
检验：x13x24原分式方程解
∴BP长：34．
点评：
题考查等腰梯形性质类似三角形判定性质等边三角形判定性质．题难度适中留意掌握辅助线作法留意数形思想方程思想运．
49．（2013•黄冈）图四边形ABCD菱形角线ACBD相交点ODH⊥ABH
连接OH求证：∠DHO∠DCO．
考点：
菱形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
根菱形角线互相分ODOB根直角三角形斜边中线等斜边半OHOB然根等边等角求出∠OHB∠OBH根两直线行错角相等求出∠OBH∠ODC然根等角余角相等证明．
解答：
证明：∵四边形ABCD菱形
∴ODOB∠COD90°
∵DH⊥AB
∴OHBDOB
∴∠OHB∠OBH
∵AB∥CD
∴∠OBH∠ODC
Rt△COD中∠ODC+∠DCO90°
Rt△DHB中∠DHO+∠OHB90°
∴∠DHO∠DCO．
点评：
题考查菱形角线互相垂直分性质直角三角形斜边中线等斜边半性质等角余角相等熟记性质理清图中角度关系解题关键．
50．（2013•防城港）图直角梯形ABCD中AD∥BCAD⊥DC点A关角线BD称点F刚落腰DC连接AF交BD点EAF延伸线BC延伸线交点GMN分BGDF中点．
（1）求证：四边形EMCN矩形
（2）AD2S梯形ABCD求矩形EMCN长宽．
考点：
直角梯形矩形判定性质．版权切
专题：
综合题压轴题．
分析：
（1）根轴称性质ADDFDE⊥AF然判断出△ADF△DEF等腰直角三角形根等腰直角三角形性质求出∠DAF∠EDF45°根两直线行错角相等求出∠BGE45°然判断出△BGE等腰直角三角形根等腰直角三角形性质EM⊥BCEN⊥CD根矩形判定证明
（2）判断出△BCD等腰直角三角形然根梯形面积求出CD长根等腰直角三角形性质求出DN解．
解答：
（1）证明：∵点AF关BD称
∴ADDFDE⊥AF
∵AD⊥DC
∴△ADF△DEF等腰直角三角形
∴∠DAF∠EDF45°
∵AD∥BC
∴∠G∠GAD45°
∴△BGE等腰直角三角形
∵MN分BGDF中点
∴EM⊥BCEN⊥CD
∵AD∥BCAD⊥DC
∴BC⊥CD
∴四边形EMCN矩形
（2）解：（1）知∠EDF45°BC⊥CD
∴△BCD等腰直角三角形
∴BCCD
∴S梯形ABCD（AD+BC）•CD（2+CD）•CD
CD2+2CD﹣150
解CD3CD﹣5（舍）
∵△ADE△DEF等腰直角三角形
∴DFAD2
∵NDF中点
∴ENDNDF×21
∴CNCD﹣DN3﹣12
∴矩形EMCN长宽分21．
点评：
题考查直角梯形性质轴称性质矩形判定等腰直角三角形判定性质纯熟掌握轴称性质判断出相关等腰直角三角形解题关键题难点．
51．（2013•鄂尔斯）图梯形ABCD中AD∥BCABCD分ABCD边外侧作等边三角形ABE等边三角形DCF连接AFDE．
（1）求证：AFDE
（2）∠BAD45°ABa△ABE△DCF面积等梯形ABCD面积求BC长．
考点：
等腰梯形性质全等三角形判定性质等边三角形性质．版权切
专题：
探求型．
分析：
（1）根等腰梯形性质等边三角形性质全等三角形判定方法证明△AED≌△DFA
（2）图作BH⊥ADCK⊥AD利出条件梯形面积公式求出BC长．
解答：
（1）证明：梯形ABCD中AD∥BCABCD
∴∠BAD∠CDA
等边三角形ABE等边三角形DCF中
ABAEDCDF∠BAE∠CDF60°
∴AEDF∠EAD∠FDAADDA
∴△AED≌△DFA（SAS）
∴AFDE
（2）解：图作BH⊥ADCK⊥ADBCHK
∵∠BAD45°
∴∠HAB∠KDC45°
∴ABBHAH
理：CDCKKD
∵S梯形ABCDABa
∴S梯形ABCD
S△ABES△DCFa2
∴2×a2
∴BCa．
点评：
题综合性考查等腰梯形性质等边三角形性质全等三角形判定全等三角形性质等直角三角形性质梯形三角形面积公式属中档标题．
52．（2013•阳）图梯形ABCD中AD∥BCADCD点A作AE∥DC交BC点E．
（1）求证：四边形AECD菱形．
（2）（1）条件∠B30°AE⊥AB点A圆心AE长半径画弧交BE点F连接AF图中尺规补齐图形（仅保留作图痕迹）证明点FBE中点．
考点：
梯形等边三角形判定性质菱形判定作图—复杂作图．版权切
分析：
（1）AD∥BCAE∥DC证四边形AECD行四边形ADCD证四边形AECD菱形．
（2）∠B30°AE⊥ABAEAF易△AEF等边三角形继证△ABF等腰三角形证BFAFEF点FBE中点．
解答：
证明：（1）∵AD∥BCAE∥DC
∴四边形AECD行四边形
∵ADCD
∴四边形AECD菱形．
（2）补齐图形：
证明：∵∠B30°AE⊥AB
∴∠AEB60°
∵AEAF
∴△AEF等边三角形
∴AFEF∠EAF60°
∴∠BAF90°﹣∠EAF30°
∴∠BAF∠B
∴AFBF
∴BFEF
点FBE中点．
点评：
题考查梯形性质行四边形判定性质等边三角形判定性质等腰三角形判定性质．题难度适中留意掌握数形思想运．
53．（2013•鞍山）图EF四边形ABCD角线AC两点AFCEDFBEDF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB
（2）四边形ABCD行四边形．
考点：
行四边形判定全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）利两边夹角应相等两三角形全等（SAS）判定定理容易证明△AFD≌△CEB．
（2）△AFD≌△CEB容易证明ADBCAD∥BC根组边行相等四边形行四边形．
解答：
证明：（1）∵DF∥BE
∴∠DFE∠BEF．
∵AFCEDFBE
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）（1）知△AFD≌△CEB
∴∠DAC∠BCAADBC
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD行四边形（组边行相等四边形行四边形）．
点评：
题次考查全等三角形判定行四边形判定判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．行四边形判定组边行相等四边形行四边形．
54．（2012•盐城）图示梯形ABCD中AD∥BC∠BDC90°EBC点∠BDE∠DBC．
（1）求证：DEEC
（2）ADBC试判断四边形ABED外形阐明理．
考点：
梯形直角三角形性质菱形判定．版权切
分析：
（1）∠BDC90°∠BDE∠DBC利等角余角相等∠EDC∠C等角等边证DEEC
（2）易证ADBEAD∥BC四边形ABED行四边形BEDE四边形ABED菱形．
解答：
（1）证明：∵∠BDC90°∠BDE∠DBC
∴∠EDC∠BDC﹣∠BDE90°﹣∠BDE
∵∠C90°﹣∠DBC
∴∠EDC∠C
∴DEEC
（2）ADBC四边形ABED菱形．
证明：∵∠BDE∠DBC．
∴BEDE
∵DEEC
∴DEBEECBC
∵ADBC
∴ADBE
∵AD∥BC
∴四边形ABED行四边形
∵BEDE
∴▱ABED菱形．
点评：
题考查梯形性质等腰三角形判定性质菱形判定．题综合性较强难度适中留意数形思想运．
55．（2012•襄阳）图梯形ABCD中AD∥BCEBC中点BC2ADEAED2ACED相交点F．
（1）求证：梯形ABCD等腰梯形
（2）ABAC具什位关系时四边形AECD菱形？请阐明理求出时菱形AECD面积．
考点：
等腰梯形判定全等三角形判定性质菱形判定性质．版权切
分析：
（1）AD∥BC行线性质证∠DEC∠EDA∠BEA∠EADEAED等腰三角形性质∠EAD∠EDA∠DEC∠AEB继证△DEC≌△AEB梯形ABCD等腰梯形
（2）AD∥BCBEECAD四边形ABED四边形AECD均行四边形AB⊥ACAEBEEC易证四边形AECD菱形A作AG⊥BE点G易△ABE等边三角形求答案AG长继求菱形AECD面积．
解答：
（1）证明：∵AD∥BC
∴∠DEC∠EDA∠BEA∠EAD
∵EAED
∴∠EAD∠EDA
∴∠DEC∠AEB
∵EBEC
∴△DEC≌△AEB
∴ABCD
∴梯形ABCD等腰梯形．
（2）AB⊥AC时四边形AECD菱形．
证明：∵AD∥BCBEECAD
∴四边形ABED四边形AECD均行四边形．
∴ABED
∵AB⊥AC
∴AEBEEC
∴行四边形AECD菱形．
A作AG⊥BE点G
∵AEBEAB2
∴△ABE等边三角形
∴∠AEB60°
∴AG
∴S菱形AECDEC•AG2×2．
点评：
题考查等腰梯形判定行四边形判定性质等腰三角形性质菱形判定性质．题综合性较强难度适中留意数形思想运．
56．（2012•湘西州）图O菱形ABCD角线ACBD交点CD5cmOD3cm 点C作CE∥DB点B作BE∥ACCEBE相交点E．
（1）求OC长
（2）求证：四边形OBEC矩形
（3）求矩形OBEC面积．
考点：
矩形判定性质菱形性质．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）直角△OCD中利勾股定理求解
（2）利矩形定义证明
（3）利矩形面积公式直接求解．
解答：
解：（1）∵ABCD菱形
∴AC⊥BD
∴直角△OCD中OC4cm
（2）∵CE∥DBBE∥AC
∴四边形OBEC行四边形
∵AC⊥BD∠COB90°
∴行四边形OBEC矩形
（3）∵OB0D
∴S矩形OBECOB•OC4×312（cm2）．
点评：
题考查菱形性质矩形判定理解菱形角线关系关键．
57．（2012•苏州）图梯形ABCD中已知AD∥BCABCD延伸线段CBEBEAD连接AEAC．
（1）求证：△ABE≌△CDA
（2）∠DAC40°求∠EAC度数．
考点：
梯形全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）先根题意出∠ABE∠CDA然题意条件利SAS判断三角形全等
（2）根题意分求出∠AEC∠ACE度数△AEC中利三角形角定理出答案．
解答：
（1）证明：梯形ABCD中∵AD∥BCABCD
∴∠ABE∠BAD∠BAD∠CDA
∴∠ABE∠CDA
△ABE△CDA中
∴△ABE≌△CDA．
（2）解：（1）：∠AEB∠CADAEAC
∴∠AEB∠ACE
∵∠DAC40°
∴∠AEB∠ACE40°
∴∠EAC180°﹣40°﹣40°100°．
点评：
题考查梯形全等三角形判定性质解答题关键根梯形题意条件出线段间关系留意学知识融会贯通．
58．（2012•呼伦贝尔）图△ABC中点D边BC中点DE⊥ACDF⊥AB垂足分EFBFCE．
（1）求证：DEDF
（2）∠A90°时试判断四边形AFDE样四边形证明结．
考点：
正方形判定全等三角形判定性质勾股定理．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）利HL证明Rt△BDF≌Rt△CDEDEDF
（2）已知证明矩形组邻边相等四边形AFDE正方形．
解答：
（1）证明：∵DE⊥ACDF⊥AB
∴∠BFD∠CED90°
Rt△BDFRt△CDE中
∵
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）
∴DEDF
（2）答：四边形AFDE正方形．
证明：∵∠A90°DE⊥ACDF⊥AB
∴四边形AFDE矩形
∵Rt△BDF≌Rt△CDE
∴DFDE
∴四边形AFDE正方形．
点评：
题次考查先生全等三角形判定性质正方形判定方法掌握情况．
59．（2012•鄂尔斯）已知图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°DE⊥AC点F交BC点G交AB延伸线点EAEAC连AG．
（1）求证：FCBE
（2）ADDC2求AG长．
考点：
直角梯形全等三角形判定性质等腰三角形判定性质行四边形判定性质．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）直角梯形ABCD中∠ABC90°DE⊥ACAEAC根AAS易证△ABC≌△AFE根全等三角形应边相等ABAF继FCBE
（2）利等腰三角形三线合定理AFACAE进求角30°次利AD长直角三角形勾股定理求解求答案．
解答：
（1）证明：∵∠ABC90°DE⊥AC点F
∴∠ABC∠AFE．
∵ACAE∠EAF∠CAB
∴△ABC≌△AFE
∴ABAF．
∴AE﹣ABAC﹣AF
FCBE
（2）解：∵ADDC2DF⊥AC
∴AFACAE．
∴AGCG∠E30°．
∵∠EAD90°
∴∠ADE60°
∴∠FAD∠E30°
∴FC
∵AD∥BC
∴∠ACG∠FAD30°
∴CG2
∴AG2．
点评：
题考查直角梯形等腰三角形性质全等三角形性质判定．题知识点综合性强．破题关键问证△ABC≌△AFE第二问利等腰△ADC性质AFACAE．出∠E30°留意数形思想运．
60．（2012•滨州）知道连接三角形两边中点线段三角形中位线三角形中位线行三角形第三边等第三边半．类似连接梯形两腰中点线段做梯形中位线．图梯形ABCD中AD∥BC点EF分ABCD中点EF梯形ABCD中位线．观察测量猜想EFADBC样位数量关系？证明结．
考点：
梯形中位线定理全等三角形判定性质三角形中位线定理．版权切
专题：
探求型．
分析：
连接AF延伸交BC点G△ADF≌△GCF证EF△ABG中位线利三角形中位线定理证．
解答：
解：结：EF∥AD∥BCEF（AD+BC）．理：
连接AF延伸交BC点G．
∵AD∥BC
∴∠DAF∠G
△ADF△GCF中
∴△ADF≌△GCF（AAS）
∴AFFGADCG．
∵AEEB
∴EF∥BGEFBG
EF∥AD∥BCEF（AD+BC）．
点评：
题猜想证明梯形中位线定理辅助线转化成三角形中位线成绩．
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解 答 题（60题）
1．（2014•遵义）图▱ABCD中BD⊥AD∠A45°EF分ABCD点BEDF连接EF交BDO．
（1）求证：BODO
（2）EF⊥AB延伸EF交AD延伸线GFG1时求AD长．
2．（2014•镇江）图四边形ABCD中ABADBCDCACBD相交点O点EAOOEOC．
（1）求证：∠1∠2
（2）连结BEDE判断四边形BCDE外形阐明理．
3．（2014•云南）图行四边形ABCD中∠C60°MN分ADBC中点BC2CD．
（1）求证：四边形MNCD行四边形
（2）求证：BDMN．
4．（2014•盐城）图菱形ABCD中角线ACBD相交点O点O作条直线分交DABC延伸线点EF连接BEDF．
（1）求证：四边形BFDE行四边形
（2）EF⊥AB垂足Mtan∠MBO求EM：MF值．
5．（2014•雅安）图：▱ABCD中AC角线点D作AC行线BC延伸线交E．
（1）求证：△ABC≌△DCE
（2）ACBC求证：四边形ACED菱形．
6．（2014•宿迁）图直角梯形ABCD中AB∥DC∠ABC90°AB8cm．BC4cmCD5cm．动点P点B开始折线BC﹣CD﹣DA1cms速度运动点A．设点P运动工夫t（s）△PAB面积S（cm2）．
（1）t2时求S值
（2）点P边DA运动时求S关t函数表达式
（3）S12时求t值．
7．（2014•）图已知△ABC步骤作图：
①分AC圆心AC长半径画弧两弧交PQ两点
②作直线PQ分交ABAC点ED连接CE
③C作CF∥AB交PQ点F连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD
（2）求证：四边形AECF菱形．
8．（2014•襄阳）图正方形ABCD中AD2EAB中点△BEC绕点B逆时针旋转90°点E落CB延伸线点F处点C落点A处．线段AF绕点F时针旋转90°线段FG连接EFCG．
（1）求证：EF∥CG
（2）求点C点A旋转程中构成线段CG围成暗影部分面积．
9．（2014•湘西州）图▱ABCD中点EF分边BCADBEDF．
（1）求证：△ABE≌△CDF
（2）求证：AECF．
10．（2014•潍坊）图1正方形ABCD中EF分BCCD中点连接AEBF交点G．
（1）求证：AE⊥BF
（2）△BCFBF折△BPF（图2）延伸FPBA延伸线点Q求sin∠BQP值
（3）△ABE绕点A逆时针方旋转边AB正落AE△AHM（图3）AMBF相交点N正方形ABCD面积4时求四边形GHMN面积．
11．（2014•泰州）图BD△ABC角分线点EF分BCABDE∥ABEF∥AC．
（1）求证：BEAF
（2）∠ABC60°BD6求四边形ADEF面积．
12．（2014•台州）图1某公交汽车挡风玻璃雨刮器工作原理图2．雨刷EF⊥AD垂足AABCDADBC样雨刷EF运动时直垂直玻璃窗BC请证明结．
13．（2014•遂宁）已知：图矩形ABCD中角线ACBD相交点OECD中点连结OE．点C作CF∥BD交线段OE延伸线点F连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE
（2）四边形ODFC菱形．
14．（2014•州）已知：图矩形ABCD中MN分边ADBC中点EF分线段BMCM中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM
（2）填空：AB：AD 时四边形MENF正方形．
15．（2014•深圳）已知BD垂直分AC∠BCD∠ADFAF⊥AC
（1）证明四边形ABDF行四边形
（2）AFDF5AD6求AC长．
16．（2014•钦州）图正方形ABCD中EF分ABBC点AEBF．求证：CEDF．
17．（2014•攀枝花）图梯形OABC中OC∥ABOACB点O坐标原点A（2﹣3）C（02）．
（1）求点B双曲线解析式
（2）等腰梯形OABC右移5单位问移点C否落（1）中双曲线？简述理．
18．（2014•宁德）图梯形ABCD中AD∥BC点EBC中点连接ACDEACABDE∥AB．求证：四边形AECD矩形．
19．（2014•牡丹江）图Rt△ABC中∠ACB90°点C直线MN∥ABDAB边点点D作DE⊥BC交直线MNE垂足F连接CDBE．
（1）求证：CEAD
（2）DAB中点时四边形BECD什四边形？阐明理
（3）DAB中点∠A满足什条件时四边形BECD正方形？请阐明理．
20．（2014•梅州）图正方形ABCD中EAB点FAD延伸线点DFBE．
（1）求证：CECF
（2）点GAD∠GCE45°GEBE+GD成立？什？
21．（2014•龙岩）图次连接意四边形ABCD边中点四边形EFGH中点四边形．
（1）四边形ABCD菱形中点四边形EFGH定
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形
（2）四边形ABCD面积S1中点四边形EFGH面积记S2S1S2数量关系S1 S2
（3）四边形ABCD中中点四边形EFGH中三边剪开三三角形三三角形原图中未剪开三角形拼接成行四边形请画出种拼接表示图写出应全等三角形．
22．（2014•凉山州）图分Rt△ABC直角边AC斜边AB外作等边△ACD等边△ABE．已知∠BAC30°EF⊥AB垂足F连接DF．
（1）试阐明ACEF
（2）求证：四边形ADFE行四边形．
23．（2014•连云港）图矩形ABCD角线ACBD相交点ODE∥ACCE∥BD．
（1）求证：四边形OCED菱形
（2）连接AEBEAEBE相等？请阐明理．
24．（2014•乐山）图△ABC中ABAC四边形ADEF菱形求证：BECE．
25．（2014•乐山）图梯形ABCD中AD∥BC∠ADC90°∠B30°CE⊥AB垂足点E．AD1AB2求CE长．
26．（2014•黄石）图AB圆O两点∠AOB120°C中点．
（1）求证：AB分∠OAC
（2）延伸OAPOAAP连接PC圆O半径R1求PC长．
27．（2014•葫芦岛）图△ABC中ABAC点D（点B重合）BC点EAB中点点A作AF∥BC交DE延伸线点F连接ADBF．
（1）求证：△AEF≌△BED．
（2）BDCD求证：四边形AFBD矩形．
28．（2014•贺州）图四边形ABCD行四边形EF角线BD点∠1∠2．
（1）求证：BEDF
（2）求证：AF∥CE．
29．（2014•菏泽）已知：图正方形ABCDBMDN分分正方形两外角满足∠MAN45°连接MN．
（1）正方形边长a求BM•DN值．
（2）BMDNMN三边围成三角形试猜想三角形外形证明结．
30．（2014•桂林）▱ABCD中角线ACBD交点O点O作直线EF分交线段ADBC点EF．
（1）根题意画出图形标正确字母
（2）求证：DEBF．
31．（2014•贵阳）图Rt△ABC中∠ACB90°DE分ABAC边中点连接DE△ADE绕点E旋转180°△CFE连接AFAC．
（1）求证：四边形ADCF菱形
（2）BC8AC6求四边形ABCF周长．
32．（2014•贵港）图正方形ABCD中点E角线AC点CECD点E作EF⊥AC交AD点F连接BE．
（1）求证：DFAE
（2）AB2时求BE2值．
33．（2014•甘孜州）图▱ABCD中EF分BCAB中点连接FCAEAEFC交点GAE延伸线DC延伸线交点N．
（1）求证：△ABE≌△NCE
（2）AB3nFBGE试含n式子表示线段AN长．
34．（2014•抚）图矩形ABCD中ECD边点BEBA点A圆心AD长半径作⊙A交AB点M点B作⊙A切线BF切点F．
（1）请判断直线BE⊙A位关系阐明理
（2）果AB10BC5求图中暗影部分面积．
35．（2014•崇左）图四边形ABCD中角线ACBD相交点OAC⊥BD点EFGH分ABBCCDDA中点次连接边中点四边形EFGH求证：四边形EFGH矩形．
36．（2014•北京）图▱ABCD中AE分∠BAD交BC点EBF分∠ABC交AD点FAEBF交点P连接EFPD．
（1）求证：四边形ABEF菱形
（2）AB4AD6∠ABC60°求tan∠ADP值．
37．（2014•包头）图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°∠BCD45°点EBC∠AEB60°．AB2AD1求CDCE长．（留意：题中计算程结果均保留根号）
38．（2014•安）已知：图△ABC中ABACAD⊥BC垂足点DAN△ABC外角∠CAM分线CE⊥AN垂足点E
（1）求证：四边形ADCE矩形
（2）△ABC满足什条件时四边形ADCE正方形？出证明．
39．（2013•株洲）已知四边形ABCD边长2菱形∠BAD60°角线ACBD交点O点O直线EF交AD点E交BC点F．
（1）求证：△AOE≌△COF
（2）∠EOD30°求CE长．
40．（2013•云南）已知△ABC中ABAC5BC6ADBC边中线四边形ADBE行四边形．
（1）求证：四边形ADBE矩形
（2）求矩形ADBE面积．
41．（2013•宜昌）图点EF分锐角∠A两边点AEAF分点EF圆心AE长半径画弧两弧相交点D连接DEDF．
（1）请判断画四边形外形阐明理
（2）连接EFAE8厘米∠A60°求线段EF长．
42．（2013•锡）图四边形ABCD中角线ACBD相交点O①AB∥CD②AOCO③ADBC中意选取两作条件四边形ABCD行四边形结构造命题．
（1）①②作条件构成命题真命题？请证明请举出反例
（2）写出题意构成切命题中假命题举出反例加阐明．（命题请写成果……．方式）
43．（2013•铁岭）图△ABC中ABACAD∠BAC角分线点OAB中点连接DO延伸点EOEOD连接AEBE．
（1）求证：四边形AEBD矩形
（2）△ABC满足什条件时矩形AEBD正方形阐明理．
44．（2013•深圳）图等腰梯形ABCD中已知AD∥BCABDCACBD交点O延伸BCECEAD连接DE．
（1）求证：BDDE．
（2）AC⊥BDAD3SABCD16求AB长．
45．（2013•海）图△ABC中∠ACB90°∠B＞∠A点D边AB中点DE∥BC交AC点ECF∥AB交DE延伸线点F．
（1）求证：DEEF
（2）连结CD点D作DC垂线交CF延伸线点G求证：∠B∠A+∠DGC．
46．（2013•钦州）图梯形ABCD中AD∥BCAB∥DE∠DEC∠C求证：梯形ABCD等腰梯形．
47．（2013•南京）图四边形ABCD中ABBC角线BD分∠ABCPBD点点P作PM⊥ADPN⊥CD垂足分MN．
（1）求证：∠ADB∠CDB
（2）∠ADC90°求证：四边形MPND正方形．
48．（2013•南充）图等腰梯形ABCD中AD∥BCAD3BC7∠B60°PBC边点（BC重合）点P作∠APE∠BPE交CDE．
（1）求证：△APB∽△PEC
（2）CE3求BP长．
49．（2013•黄冈）图四边形ABCD菱形角线ACBD相交点ODH⊥ABH
连接OH求证：∠DHO∠DCO．
50．（2013•防城港）图直角梯形ABCD中AD∥BCAD⊥DC点A关角线BD称点F刚落腰DC连接AF交BD点EAF延伸线BC延伸线交点GMN分BGDF中点．
（1）求证：四边形EMCN矩形
（2）AD2S梯形ABCD求矩形EMCN长宽．
51．（2013•鄂尔斯）图梯形ABCD中AD∥BCABCD分ABCD边外侧作等边三角形ABE等边三角形DCF连接AFDE．
（1）求证：AFDE
（2）∠BAD45°ABa△ABE△DCF面积等梯形ABCD面积求BC长．
52．（2013•阳）图梯形ABCD中AD∥BCADCD点A作AE∥DC交BC点E．
（1）求证：四边形AECD菱形．
（2）（1）条件∠B30°AE⊥AB点A圆心AE长半径画弧交BE点F连接AF图中尺规补齐图形（仅保留作图痕迹）证明点FBE中点．
53．（2013•鞍山）图EF四边形ABCD角线AC两点AFCEDFBEDF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB
（2）四边形ABCD行四边形．
54．（2012•盐城）图示梯形ABCD中AD∥BC∠BDC90°EBC点∠BDE∠DBC．
（1）求证：DEEC
（2）ADBC试判断四边形ABED外形阐明理．
55．（2012•襄阳）图梯形ABCD中AD∥BCEBC中点BC2ADEAED2ACED相交点F．
（1）求证：梯形ABCD等腰梯形
（2）ABAC具什位关系时四边形AECD菱形？请阐明理求出时菱形AECD面积．
56．（2012•湘西州）图O菱形ABCD角线ACBD交点CD5cmOD3cm 点C作CE∥DB点B作BE∥ACCEBE相交点E．
（1）求OC长
（2）求证：四边形OBEC矩形
（3）求矩形OBEC面积．
57．（2012•苏州）图梯形ABCD中已知AD∥BCABCD延伸线段CBEBEAD连接AEAC．
（1）求证：△ABE≌△CDA
（2）∠DAC40°求∠EAC度数．
58．（2012•呼伦贝尔）图△ABC中点D边BC中点DE⊥ACDF⊥AB垂足分EFBFCE．
（1）求证：DEDF
（2）∠A90°时试判断四边形AFDE样四边形证明结．
59．（2012•鄂尔斯）已知图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°DE⊥AC点F交BC点G交AB延伸线点EAEAC连AG．
（1）求证：FCBE
（2）ADDC2求AG长．
60．（2012•滨州）知道连接三角形两边中点线段三角形中位线三角形中位线行三角形第三边等第三边半．类似连接梯形两腰中点线段做梯形中位线．图梯形ABCD中AD∥BC点EF分ABCD中点EF梯形ABCD中位线．观察测量猜想EFADBC样位数量关系？证明结．
中考数学提分刺真题精析：四边形
参考答案试题解析
解 答 题（60题）
1．（2014•遵义）图▱ABCD中BD⊥AD∠A45°EF分ABCD点BEDF连接EF交BDO．
（1）求证：BODO
（2）EF⊥AB延伸EF交AD延伸线GFG1时求AD长．
考点：
行四边形性质全等三角形判定性质等腰直角三角形．版权切
分析：
（1）证明△ODF△OBE全等求．
（2）△ADB等腰直角三角形出∠A45°EF⊥AB出∠G45°△ODG△DFG等腰直角三角形求DG长EF2然行线分线段成例定理求．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴DCABDC∥AB
∴∠ODF∠OBE
△ODF△OBE中
∴△ODF≌△OBE（AAS）
∴BODO
（2）解：∵BD⊥AD
∴∠ADB90°
∵∠A45°
∴∠DBA∠A45°
∵EF⊥AB
∴∠G∠A45°
∴△ODG等腰直角三角形
∵AB∥CDEF⊥AB
∴DF⊥OG
∴OFFG△DFG等腰直角三角形
∵△ODF≌△OBE（AAS）
∴OEOF
∴GFOFOE
2FGEF
∵△DFG等腰直角三角形
∴DFFG1
∴DG
∵AB∥CD
∴
∴AD2
点评：
题考查全等三角形判定性质等腰直角三角形判定性质行线性质行线分行段定理．
2．（2014•镇江）图四边形ABCD中ABADBCDCACBD相交点O点EAOOEOC．
（1）求证：∠1∠2
（2）连结BEDE判断四边形BCDE外形阐明理．
考点：
菱形判定线段垂直分线性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）证明△ADC≌△ABC利全等三角形应角相等证结
（2）首先判定四边形BCDE行四边形然利角线垂直行四边形菱形判定菱形．
解答：
（1）证明：∵△ADC△ABC中
∴△ADC≌△ABC（SSS）
∴∠1∠2
（2）四边形BCDE菱形
证明：∵∠1∠2CDBC
∴AC垂直分BD
∵OEOC
∴四边形DEBC行四边形
∵AC⊥BD
∴四边形DEBC菱形．
点评：
题考查菱形判定线段垂直分线性质解题关键解菱形判定方法难度．
3．（2014•云南）图行四边形ABCD中∠C60°MN分ADBC中点BC2CD．
（1）求证：四边形MNCD行四边形
（2）求证：BDMN．
考点：
行四边形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根行四边形性质ADBC关系根MDNC关系证明结
（2）根根等边三角形判定性质∠DNC度数根三角形外角性质∠DBC度数根正切函数答案．
解答：
证明：（1）∵ABCD行四边形
∴ADBCAD∥BC
∵MN分ADBC中点
∴MDNCMD∥NC
∴MNCD行四边形
（2）图：连接ND
∵MNCD行四边形
∴MNDC．
∵NBC中点
∴BNCN
∵BC2CD∠C60°
∴△NCD等边三角形．
∴NDNC∠DNC60°．
∵∠DNC△BND外角
∴∠D+∠NDB∠DNC
∵DNNC
∴∠DBN∠BDN∠DNC30°
∴∠BDC90°．
∵tan
∴DBDCMN．
点评：
题考查行四边形判定性质利组边行相等四边形行四边形等边三角形判定性质正切函数．
4．（2014•盐城）图菱形ABCD中角线ACBD相交点O点O作条直线分交DABC延伸线点EF连接BEDF．
（1）求证：四边形BFDE行四边形
（2）EF⊥AB垂足Mtan∠MBO求EM：MF值．
考点：
菱形性质行四边形判定．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）根两直线行错角相等∠AEO∠CFO然利角角边证明△AEO△CFO全等根全等三角形应边相等OEOF根角线互相分四边形行四边形证明
（2）设OMx根∠MBO正切值表示出BM根△AOM△OBM类似利类似三角形应边成例求出AM然根△AEM△BFM类似利类似三角形应边成例求解．
解答：
（1）证明：菱形ABCD中AD∥BCOAOCOBOD
∴∠AEO∠CFO
△AEO△CFO中
∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴OEOF
∵OBOD
∴四边形BFDE行四边形
（2）解：设OMx
∵EF⊥ABtan∠MBO
∴BM2x
∵AC⊥BD
∴∠AOM∠OBM
∴△AOM∽△OBM
∴
∴AMx
∵AD∥BC
∴△AEM∽△BFM
∴EM：FMAM：BMx：2x1：4．
点评：
题考查菱形性质全等三角形判定性质类似三角形判定性质锐角三角函数定义难点（2）两次求出三角形类似．
5．（2014•雅安）图：▱ABCD中AC角线点D作AC行线BC延伸线交E．
（1）求证：△ABC≌△DCE
（2）ACBC求证：四边形ACED菱形．
考点：
菱形判定全等三角形判定性质行四边形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）利AAS判定两三角形全等
（2）首先证四边形ACED行四边形然证ACAD利邻边相等行四边形菱形判定．
解答：
证明：（1）∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥CDABCD
∴∠B∠1
∵DE∥AC
∴∠2∠E
△ABC△DCE中
∴△ABC≌△DCE
（2）∵行四边形ABCD中
∴AD∥BC
AD∥CE
DE∥AC
∴ACED行四边形
∵ACBC
∴∠B∠CAB
AB∥CD
∴∠CAB∠ACD
∵∠B∠ADC
∴∠ADC∠ACD
∴ACAD
∴四边形ACED菱形．
点评：
题考查菱形判定等知识解题关键纯熟掌握菱形判定定理难度．
6．（2014•宿迁）图直角梯形ABCD中AB∥DC∠ABC90°AB8cm．BC4cmCD5cm．动点P点B开始折线BC﹣CD﹣DA1cms速度运动点A．设点P运动工夫t（s）△PAB面积S（cm2）．
（1）t2时求S值
（2）点P边DA运动时求S关t函数表达式
（3）S12时求t值．
考点：
直角梯形动点成绩函数图象．版权切
专题：
综合题动点型．
分析：
（1）t2时求出P运动路程BP长根三角形面积公式计算
（2）点PDA运动时D作DH⊥ABP′M⊥AB求出P′M值△PAB中AB边高利三角形面积公式计算
（3）S12时PBCAD运动利（1）（2）中面积高关系求出时t
解答：
解：（1）∵动点P1cms速度运动
∴t2时BP2cm
∴S值AB•BP×8×28cm2
（2）D作DH⊥ABP′作P′M⊥AB
∴P′M∥DH
∴△AP′M∽△ADH
∴
∵AB8cmCD5cm
∴AHAB﹣DC3cm
∵BC4cm
∴AD5cm
∵A′P14﹣t
∴
∴P′M
∴SAB•P′M
S关t函数表达式S
（3）题意知PCD运动时SAB×BC×8×416cm2
S12时PBCAD
PBC时12×8•t解：t3
PAD时12解：t．
∴S12时t值3．
点评：
题考查直角梯形性质类似三角形判定性质勾股定理运三角形面积公式运标题综合性较强难度中等动点成绩特留意分类讨数学思想运．
7．（2014•）图已知△ABC步骤作图：
①分AC圆心AC长半径画弧两弧交PQ两点
②作直线PQ分交ABAC点ED连接CE
③C作CF∥AB交PQ点F连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD
（2）求证：四边形AECF菱形．
考点：
菱形判定全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）作图知：PQ线段AC垂直分线AECEADCD然根CF∥AB∠EAC∠FCA∠CFD∠AED利ASA证两三角形全等
（2）根全等AECF然根EF线段AC垂直分线ECEAFCFAECEAFCFA利四边相等四边形菱形判定四边形AECF菱形．
解答：
解：（1）作图知：PQ线段AC垂直分线
∴AECEADCD
∵CF∥AB
∴∠EAC∠FCA∠CFD∠AED
△AED△CFD中
∴△AED≌△CFD
（2）∵△AED≌△CFD
∴AECF
∵EF线段AC垂直分线
∴ECEAFCFA
∴ECEAFCFA
∴四边形AECF菱形．
点评：
题考查菱形判定全等判定性质基作图解题关键解作图直线垂直分线．
8．（2014•襄阳）图正方形ABCD中AD2EAB中点△BEC绕点B逆时针旋转90°点E落CB延伸线点F处点C落点A处．线段AF绕点F时针旋转90°线段FG连接EFCG．
（1）求证：EF∥CG
（2）求点C点A旋转程中构成线段CG围成暗影部分面积．
考点：
正方形性质全等三角形判定性质勾股定理扇形面积计算．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）根正方形性质ABBCAD2∠ABC90°根旋转变化改变图形位改变图形外形△ABF△CBE全等根全等三角形应角相等∠FAB∠ECB∠ABF∠CBE90°全等三角形应边相等AFEC然求出∠AFB+∠FAB90°求出∠CFG∠FAB∠ECB根错角相等两直线行EC∥FG根组边行相等四边形行四边形判断出四边形EFGC行四边形然根行四边形边行证明
（2）求出FEBE长利勾股定理列式求出AF长根行四边形性质△FEC△CGF全等S△FECS△CGF根S暗影S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式计算解．
解答：
（1）证明：正方形ABCD中ABBCAD2∠ABC90°
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°△ABF
∴△ABF≌△CBE
∴∠FAB∠ECB∠ABF∠CBE90°AFCE
∴∠AFB+∠FAB90°
∵线段AF绕点F时针旋转90°线段FG
∴∠AFB+∠CFG∠AFG90°
∴∠CFG∠FAB∠ECB
∴EC∥FG
∵AFCEAFFG
∴ECFG
∴四边形EFGC行四边形
∴EF∥CG
（2）解：∵AD2EAB中点
∴BFBEAB×21
∴AF
行四边形性质△FEC≌△CGF
∴S△FECS△CGF
∴S暗影S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG
+×2×1+×（1+2）×1﹣
﹣．
点评：
题考查正方形性质全等三角形判定性质旋转变换性质勾股定理运扇形面积计算综合题难度熟记性质精确识图解题关键．
9．（2014•湘西州）图▱ABCD中点EF分边BCADBEDF．
（1）求证：△ABE≌△CDF
（2）求证：AECF．
考点：
行四边形性质全等三角形判定性质．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）根行四边形性质出ABCD∠B∠D根SAS证出△ABE≌△CDF
（2）根全等三角形应边相等证．
解答：
证明：∵四边形ABCD行四边形
∴ABCD∠B∠D
△ABE△CDF中
∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴AECF．
点评：
题次考查行四边形性质全等三角形性质判定等知识点理解掌握根性质证出△ABE≌△CDF证题关键．
10．（2014•潍坊）图1正方形ABCD中EF分BCCD中点连接AEBF交点G．
（1）求证：AE⊥BF
（2）△BCFBF折△BPF（图2）延伸FPBA延伸线点Q求sin∠BQP值
（3）△ABE绕点A逆时针方旋转边AB正落AE△AHM（图3）AMBF相交点N正方形ABCD面积4时求四边形GHMN面积．
考点：
四边形综合题．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）运Rt△ABE≌Rt△BCF利角关系求∠BGE90°求证
（2）△BCFBF折△BPF利角关系求出QFQB解出BPQP求解
（3）先求出正方形边长根面积等类似边长方求S△AGN
利S四边形GHMNS△AHM﹣S△AGN求解．
解答：
（1）证明：图1
∵EF分正方形ABCD边BCCD中点
∴CFBE
Rt△ABERt△BCF中
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS）
∠BAE∠CBF
∵∠BAE+∠BEA90°
∴∠CBF+∠BEA90°
∴∠BGE90°
∴AE⊥BF．
（2）解：图2根题意
FPFC∠PFB∠BFC∠FPB90°
∵CD∥AB
∴∠CFB∠ABF
∴∠ABF∠PFB
∴QFQB
令PFk（k＞0）PB2k
Rt△BPQ中设QBx
∴x2（x﹣k）2+4k2
∴x
∴sin∠BQP．
（3）解：∵正方形ABCD面积4
∴边长2
∵∠BAE∠EAMAE⊥BF
∴ANAB2
∵∠AHM90°
∴GN∥HM
∴
∴
∴S△AGN
∴S四边形GHMNS△AHM﹣S△AGN1﹣
∴四边形GHMN面积．
点评：
题次考查四边形综合题处理关键明确三角形翻转边变找准应边角关系求解．
11．（2014•泰州）图BD△ABC角分线点EF分BCABDE∥ABEF∥AC．
（1）求证：BEAF
（2）∠ABC60°BD6求四边形ADEF面积．
考点：
行四边形判定性质角分线性质等腰三角形判定性质含30度角直角三角形．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）DE∥ABEF∥AC证四边形ADEF行四边形∠ABD∠BDEBD△ABC角分线易△BDE等腰三角形证结
（2）首先点D作DG⊥AB点G点E作EH⊥BD点H易求DGDE长继求答案．
解答：
（1）证明：∵DE∥ABEF∥AC
∴四边形ADEF行四边形∠ABD∠BDE
∴AFDE
∵BD△ABC角分线
∴∠ABD∠DBE
∴∠DBE∠BDE
∴BEDE
∴BEAF
（2）解：点D作DG⊥AB点G点E作EH⊥BD点H
∵∠ABC60°BD∠ABC分线
∴∠ABD∠EBD30°
∴DGBD×63
∵BEDE
∴BHDHBD3
∴BE2
∴DEBE2
∴四边形ADEF面积：DE•DG6．
点评：
题考查行四边形判定性质等腰三角形判定性质三角函数等知识．题难度适中留意掌握辅助线作法留意掌握数形思想运．
12．（2014•台州）图1某公交汽车挡风玻璃雨刮器工作原理图2．雨刷EF⊥AD垂足AABCDADBC样雨刷EF运动时直垂直玻璃窗BC请证明结．
考点：
行四边形判定性质．版权切
专题：
运题．
分析：
首先证明四边形ABCD行四边形然根行四边形性质判断．
解答：
证明：∵ABCDADBC
∴四边形ABCD行四边形
∴AD∥BC
∵EF⊥AD
∴EF⊥BC．
点评：
题考查行四边形判定性质正确理解行四边形判定方法关键．
13．（2014•遂宁）已知：图矩形ABCD中角线ACBD相交点OECD中点连结OE．点C作CF∥BD交线段OE延伸线点F连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE
（2）四边形ODFC菱形．
考点：
矩形性质全等三角形判定性质菱形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根两直线行错角相等∠ODE∠FCE根线段中点定义CEDE然利角边角证明△ODE△FCE全等
（2）根全等三角形应边相等ODFC根组边行相等四边形行四边形判断出四边形ODFC行四边形根矩形角线互相分相等OCOD然根邻边相等行四边形菱形证明．
解答：
证明：（1）∵CF∥BD
∴∠ODE∠FCE
∵ECD中点
∴CEDE
△ODE△FCE中
∴△ODE≌△FCE（ASA）
（2）∵△ODE≌△FCE
∴ODFC
∵CF∥BD
∴四边形ODFC行四边形
矩形ABCD中OCOD
∴四边形ODFC菱形．
点评：
题考查矩形性质全等三角形判定性质菱形判定熟记性质行四边形菱形判定方法解题关键．
14．（2014•州）已知：图矩形ABCD中MN分边ADBC中点EF分线段BMCM中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM
（2）填空：AB：AD 1：2 时四边形MENF正方形．
考点：
矩形性质全等三角形判定性质行四边形判定正方形判定．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）根矩形性质出ABDC∠A∠D90°根全等三角形判定推出
（2）求出四边形MENF行四边形求出∠BMC90°MEMF根正方形判定推出．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD矩形
∴ABDC∠A∠D90°
∵MAD中点
∴AMDM
△ABM△DCM中
∴△ABM≌△DCM（SAS）．
（2）解：AB：AD1：2时四边形MENF正方形
理：∵AB：AD1：2AMDMABCD
∴ABAMDMDC
∵∠A∠D90°
∴∠ABM∠AMB∠DMC∠DCM45°
∴∠BMC90°
∵四边形ABCD矩形
∴∠ABC∠DCB90°
∴∠MBC∠MCB45°
∴BMCM
∵NEF分BCBMCM中点
∴BECFMEMFNF∥BMNE∥CM
∴四边形MENF行四边形
∵MEMF∠BMC90°
∴四边形MENF正方形
AB：AD1：2时四边形MENF正方形
答案：1：2．
点评：
题考查矩形性质判定行四边形判定正方形判定全等三角形性质判定三角形中位线运次考查先生运定理进行推理力标题较难度适中．
15．（2014•深圳）已知BD垂直分AC∠BCD∠ADFAF⊥AC
（1）证明四边形ABDF行四边形
（2）AFDF5AD6求AC长．
考点：
行四边形判定线段垂直分线性质勾股定理．版权切
分析：
（1）先证△ADB≌△CDB求∠BCD∠BAD∠ADF∠BADAB∥FDBD⊥ACAF⊥ACAF∥BD证．
（2）先证行四边形菱形然根勾股定理求．
解答：
（1）证明：∵BD垂直分AC
∴ABBCADDC
△ADB△CDB中
∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD∠BAD
∵∠BCD∠ADF
∴∠BAD∠ADF
∴AB∥FD
∵BD⊥ACAF⊥AC
∴AF∥BD
∴四边形ABDF行四边形
（2）解：∵四边形ABDF行四边形AFDF5
∴▱ABDF菱形
∴ABBD5
∵AD6
设BExDE5﹣x
∴AB2﹣BE2AD2﹣DE2
52﹣x262﹣（5﹣x）2
解：x
∴
∴AC2AE．
点评：
题考查行四边形判定菱形判定性质勾股定理运．
16．（2014•钦州）图正方形ABCD中EF分ABBC点AEBF．求证：CEDF．
考点：
正方形性质全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
根正方形性质ABBCCD∠B∠BCD90°然求出BECF利边角边证明△BCE△CDF全等根全等三角形应边相等证明．
解答：
证明：正方形ABCD中ABBCCD∠B∠BCD90°
∵AEBF
∴AB﹣AEBC﹣BF
BECF
△BCE△CDF中
∴△BCE≌△CDF（SAS）
∴CEDF．
点评：
题考查正方形性质全等三角形判定性质熟记性质确定出三角形全等条件解题关键．
17．（2014•攀枝花）图梯形OABC中OC∥ABOACB点O坐标原点A（2﹣3）C（02）．
（1）求点B双曲线解析式
（2）等腰梯形OABC右移5单位问移点C否落（1）中双曲线？简述理．
考点：
等腰梯形性质反例函数图象点坐标特征定系数法求反例函数解析式坐标图形变化移．版权切
专题：
数形定系数法．
分析：
（1）点C作CD⊥ABD根等腰梯形性质点A坐标求出CDBD然求出点B坐标设双曲线解析式y（k≠0）然利定系数法求反例函数解析式解答
（2）根右移横坐标加求出移点C坐标根反例函数图象点坐标特征判断．
解答：
解：（1）图点C作CD⊥ABD
∵梯形OABC中OC∥ABOACBA（2﹣3）
∴CD2BD3
∵C（02）
∴点B坐标（25）
设双曲线解析式y（k≠0）
5
解k10
∴双曲线解析式y
（2）移点C落（1）中双曲线．
理：点C（02）右移5单位坐标（52）
x5时y2
∴移点C落（1）中双曲线．
点评：
题考查等腰梯形性质定系数法求反例函数解析式反例函数图象点坐标特征坐标图形变化﹣移纯熟掌握等腰梯形性质求出点B坐标解题关键．
18．（2014•宁德）图梯形ABCD中AD∥BC点EBC中点连接ACDEACABDE∥AB．求证：四边形AECD矩形．
考点：
矩形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
先判断四边形AECD行四边形然∠AEC90°判断出四边形AECD矩形．
解答：
证明：∵AD∥BCDE∥AB
∴四边形ABED行四边形．
∴ADBE．
∵点EBC中点
∴ECBEAD．
∴四边形AECD行四边形．
∵ABAC点EBC中点
∴AE⊥BC∠AEC90°．
∴▱AECD矩形．
点评：
题考查梯形矩形判定难度适中解题关键掌握行四边形矩形判定定理．
19．（2014•牡丹江）图Rt△ABC中∠ACB90°点C直线MN∥ABDAB边点点D作DE⊥BC交直线MNE垂足F连接CDBE．
（1）求证：CEAD
（2）DAB中点时四边形BECD什四边形？阐明理
（3）DAB中点∠A满足什条件时四边形BECD正方形？请阐明理．
考点：
正方形判定行四边形判定性质菱形判定．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）先求出四边形ADEC行四边形根行四边形性质推出
（2）求出四边形BECD行四边形求出CDBD根菱形判定推出
（3）求出∠CDB90°根正方形判定推出．
解答：
（1）证明：∵DE⊥BC
∴∠DFB90°
∵∠ACB90°
∴∠ACB∠DFB
∴AC∥DE
∵MN∥ABCE∥AD
∴四边形ADEC行四边形
∴CEAD
（2）解：四边形BECD菱形
理：∵DAB中点
∴ADBD
∵CEAD
∴BDCE
∵BD∥CE
∴四边形BECD行四边形
∵∠ACB90°DAB中点
∴CDBD
∴四边形BECD菱形
（3）∠A45°时四边形BECD正方形理：
解：∵∠ACB90°∠A45°
∴∠ABC∠A45°
∴ACBC
∵DBA中点
∴CD⊥AB
∴∠CDB90°
∵四边形BECD菱形
∴四边形BECD正方形
∠A45°时四边形BECD正方形．
点评：
题考查正方形判定行四边形性质判定菱形判定直角三角形性质运次考查先生运定理进行推理力．
20．（2014•梅州）图正方形ABCD中EAB点FAD延伸线点DFBE．
（1）求证：CECF
（2）点GAD∠GCE45°GEBE+GD成立？什？
考点：
正方形性质全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）DFBE四边形ABCD正方形证△CEB≌△CFD证出CECF．
（2）（1）CECF∠BCE+∠ECD∠DCF+∠ECD∠ECF∠BCD90°∠GCE45°∠GCE∠GCF证△ECG≌△FCGEGFGGD+DF．DFBE证出GEBE+GD成立．
解答：
（1）证明：正方形ABCD中
∵
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CECF．
（2）解：GEBE+GD成立．
理：∵（1）：△CBE≌△CDF
∴∠BCE∠DCF
∴∠BCE+∠ECD∠DCF+∠ECD∠ECF∠BCD90°
∵∠GCE45°∴∠GCF∠GCE45°．
∵
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GEGF．
∴GEDF+GDBE+GD．
点评：
题次考查证两条线段相等转化证明两条线段三角形全等思想第二问中考查全等找出GE相等线段证出关系成立．
21．（2014•龙岩）图次连接意四边形ABCD边中点四边形EFGH中点四边形．
（1）四边形ABCD菱形中点四边形EFGH定 B
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形
（2）四边形ABCD面积S1中点四边形EFGH面积记S2S1S2数量关系S1 2 S2
（3）四边形ABCD中中点四边形EFGH中三边剪开三三角形三三角形原图中未剪开三角形拼接成行四边形请画出种拼接表示图写出应全等三角形．
考点：
中点四边形作图—运设计作图．版权切
专题：
探求型．
分析：
（1）连接ACBD．先根三角形中位线性质出EH∥BD∥FGEF∥AC∥HGEHFGBDEFHGAC四边形EFGH行四边形菱形角线互相垂直出EF⊥FG证明▱EFGH矩形
（2）EAB中点EF行ACEH行BD△BEK△ABM类似△AEN△ABM类似利面积等类似方△EBK面积△ABM面积1：4△AEN△EBK面积相等进确定出四边形EKMN面积△ABM半理四边形MKFP面积△MBC面积半四边形QMPG面积△DMC面积半四边形MNHQ面积△ADM面积半四四边形面积四三角形面积半四边形ABCD面积半
（3）利中点四边形性质出拼接方法进出全等三角形．
解答：
解：（1）图1连接ACBD．
∵EFGH分菱形ABCD边中点
∴EH∥BD∥FGEF∥AC∥HGEHFGBDEFHGAC
∴四边形EFGH行四边形
∵四边形ABCD菱形
∴AC⊥BD
∴EF⊥FG
∴▱EFGH矩形
选：B．
（2）图2设ACEHFG分交点NPBDEFHG分交点KQ
∵EAB中点EF∥ACEH∥BD
∴△EBK∽△ABM△AEN∽△EBK
∴S△AENS△EBK
∴理
∴
∴四边形ABCD面积S1中点四边形EFGH面积记S2S1S2数量关系S12S2
（3）图3四边形NEHM行四边形
△MAH≌△GDH△NAE≌△FBE△CFG≌△ANM．
点评：
题次考查中点四边形类似三角形判定性质矩形判定菱形性质等知识利三角形中位线性质出解题关键．
22．（2014•凉山州）图分Rt△ABC直角边AC斜边AB外作等边△ACD等边△ABE．已知∠BAC30°EF⊥AB垂足F连接DF．
（1）试阐明ACEF
（2）求证：四边形ADFE行四边形．
考点：
行四边形判定全等三角形判定性质等边三角形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）首先Rt△ABC中∠BAC30°AB2BC△ABE等边三角形EF⊥ABAE2AFAB2AF然证明△AFE≌△BCA根全等三角形性质证明ACEF
（2）根（1）知道EFAC△ACD等边三角形EFACADAD⊥ABEF⊥ABEF∥AD根行四边形判定定理证明四边形ADFE行四边形．
解答：
证明：（1）∵Rt△ABC中∠BAC30°
∴AB2BC
∵△ABE等边三角形EF⊥AB
∴AB2AF
∴AFBC
Rt△AFERt△BCA中
∴△AFE≌△BCA（HL）
∴ACEF
（2）∵△ACD等边三角形
∴∠DAC60°ACAD
∴∠DAB∠DAC+∠BAC90°
∵EF⊥AB
∴EF∥AD
∵ACEFACAD
∴EFAD
∴四边形ADFE行四边形．
点评：
题首先利等边三角形性质证明全等三角形然利全等三角形性质等边三角形性质证明行四边形．
23．（2014•连云港）图矩形ABCD角线ACBD相交点ODE∥ACCE∥BD．
（1）求证：四边形OCED菱形
（2）连接AEBEAEBE相等？请阐明理．
考点：
矩形性质全等三角形判定性质菱形判定．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）首先利行四边形判定出四边形DOCE行四边形进利矩形性质出DOCO出答案
（2）利等腰三角形性质矩形性质出ADBC∠ADE∠BCE进利全等三角形判定出．
解答：
（1）证明：∵DE∥ACCE∥BD
∴四边形DOCE行四边形
∵矩形ABCD角线ACBD相交点O
∴OCACBDOD
∴四边形OCED菱形
（2）解：AEBE．
理：∵四边形OCED菱形
∴EDCE∴∠EDC∠ECD
∴∠ADE∠BCE
△ADE△BCE中
∴△ADE≌△BCE（SAS）
∴AEBE．
点评：
题次考查矩形性质菱形判定全等三角形判定性质等知识纯熟掌握矩形性质进出应线段关系解题关键．
24．（2014•乐山）图△ABC中ABAC四边形ADEF菱形求证：BECE．
考点：
菱形性质全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
根四边形ADEF菱形DEEFAB∥EFDE∥AC证明△DBE≌△FCE出BECE．
解答：
证明：∵四边形ADEF菱形
∴DEEFAB∥EFDE∥AC
∴∠C∠BED∠B∠CEF
∵ABAC
∴∠B∠C
∴∠BED∠CEF
△DBE△FCE中
∴△DBE≌△FCE
∴BECE．
点评：
题考查菱形性质全等三角形判定性质基础题较简单．
25．（2014•乐山）图梯形ABCD中AD∥BC∠ADC90°∠B30°CE⊥AB垂足点E．AD1AB2求CE长．
考点：
矩形判定性质含30度角直角三角形锐角三角函数定义．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
点A作AH⊥BCH利锐角三角函数关系出BH长进出BC长根含30°角直角三角形性质出CE长．
解答：
解：点A作AH⊥BCHADHC1
△ABH中∠B30°AB2
∴cos30°
BHABcos30°2×3
∴BCBH+HC4
∵CE⊥AB
∴CEBC2．
点评：
题次考查锐角三角函数关系运直角三角形中30°边等斜边半等知识出BH长解题关键．
26．（2014•黄石）图AB圆O两点∠AOB120°C中点．
（1）求证：AB分∠OAC
（2）延伸OAPOAAP连接PC圆O半径R1求PC长．
考点：
菱形判定性质等边三角形判定性质圆心角弧弦关系圆周角定理．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）求出等边三角形AOC等边△OBC推出OAOBBCAC出答案
（2）求出ACOAAP求出∠PCO90°∠P30°求出答案．
解答：
（1）证明：连接OC
∵∠AOB120°CAB弧中点
∴∠AOC∠BOC60°
∵OAOC
∴△ACO等边三角形
∴OAAC理OBBC
∴OAACBCOB
∴四边形AOBC菱形
∴AB分∠OAC
（2）解：连接OC
∵△OAC等边三角形OAAC
∴APAC
∴∠APC30°
∴△OPC直角三角形
∴．
点评：
题考查圆心角弧弦间关系勾股定理等边三角形性质判定运次考查先生运定理进行推理计算力标题较典型难度适中．
27．（2014•葫芦岛）图△ABC中ABAC点D（点B重合）BC点EAB中点点A作AF∥BC交DE延伸线点F连接ADBF．
（1）求证：△AEF≌△BED．
（2）BDCD求证：四边形AFBD矩形．
考点：
矩形判定全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）AASASA证全等
（2）根角线互相分证明四边形AFBD行四边形根等腰三角形三线合证明∠ADB90°进根角直角行四边形矩形证．
解答：
证明：（1）∵AF∥BC
∴∠AFE∠EDB
∵EAB中点
∴EAEB
△AEF△BED中
∴△AEF≌△BED（ASA）
（2）∵△AEF≌△BED
∴AFBD
∵AF∥BD
∴四边形AFBD行四边形
∵ABACBDCD
∴AD⊥BD
∴四边形AFBD矩形．
点评：
题考查矩形判定三角形全等判定性质够解矩形判定定理解答题关键难度．
28．（2014•贺州）图四边形ABCD行四边形EF角线BD点∠1∠2．
（1）求证：BEDF
（2）求证：AF∥CE．
考点：
行四边形判定性质全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）利行四边形性质出∠5∠3∠AEB∠4进利全等三角形判定出
（2）利全等三角形性质出AECF进出四边形AECF行四边形出答案．
解答：
证明：（1）∵四边形ABCD行四边形
∴ABCDAB∥CD
∴∠5∠3
∵∠1∠2
∴∠AEB∠4
△ABE△CDF中
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴BEDF
（2）（1）△ABE≌△CDF
∴AECF
∵∠1∠2
∴AE∥CF
∴四边形AECF行四边形
∴AF∥CE．
点评：
题次考查行四边形判定性质全等三角形判定性质等知识出△ABE≌△CDF解题关键．
29．（2014•菏泽）已知：图正方形ABCDBMDN分分正方形两外角满足∠MAN45°连接MN．
（1）正方形边长a求BM•DN值．
（2）BMDNMN三边围成三角形试猜想三角形外形证明结．
考点：
正方形性质全等三角形判定性质勾股定理逆定理类似三角形判定性质．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）根角分线定义求出∠CBM∠CDN45°求出∠ABM∠ADN135°然根正方形角90°求出∠BAM+∠NAD45°三角形外角等相邻两角∠BAM+∠AMB45°∠NAD∠AMB求出△ABM△NDA类似利类似三角形应边成例列式求解
（2）点A作AF⊥AN截取AFAN连接BFFM根角余角相等求出∠1∠3然利边角边证明△ABF△ADN全等根全等三角形应边相等BFDN∠FBA∠NDA135°求出∠FAM∠MAN45°然利边角边证明△AFM△ANM全等根全等三角形应边相等FMNM求出△FBM直角三角形然利勾股定理判断．
解答：
解：（1）∵BMDN分分正方形两外角
∴∠CBM∠CDN45°
∴∠ABM∠ADN135°
∵∠MAN45°
∴∠BAM+∠NAD45°
△ABM中∠BAM+∠AMB∠MBP45°
∴∠NAD∠AMB
△ABM△NDA中
∴△ABM∽△NDA
∴
∴BM•DNAB•ADa2
（2）BMDNMN三边围成三角形直角三角形．
证明：图点A作AF⊥AN截取AFAN连接BFFM
∵∠1+∠BAN90°
∠3+∠BAN90°
∴∠1∠3
△ABF△ADN中
∴△ABF≌△ADN（SAS）
∴BFDN∠FBA∠NDA135°
∵∠FAN90°∠MAN45°
∴∠1+∠2∠FAM∠MAN45°
△AFM△ANM中
∴△AFM≌△ANM（SAS）
∴FMNM
∴∠FBP180°﹣∠FBA180°﹣135°45°
∴∠FBP+∠PBM45°+45°90°
∴△FBM直角三角形
∵FBDNFMMN
∴BMDNMN三边围成三角形直角三角形．
点评：
题考查正方形性质全等三角形判定性质勾股定理逆定理类似三角形判定性质难点（2）作辅助线构造出全等三角形直角三角形．
30．（2014•桂林）▱ABCD中角线ACBD交点O点O作直线EF分交线段ADBC点EF．
（1）根题意画出图形标正确字母
（2）求证：DEBF．
考点：
行四边形性质全等三角形判定性质作图—复杂作图．版权切
专题：
作图题证明题．
分析：
（1）根题意直接画图
（2）四边形ABCD行四边形AD∥BCOBOD继利ASA判定△DOE≌△BOF继证DEBF．
解答：
（1）解：图示：
（2）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴AD∥BCOBOD
∴∠EDO∠OBF
△DOE△BOF中
∴DOE≌△BOF（ASA）
∴DEBF．
点评：
题考查行四边形性质全等三角形判定性质．题难度留意掌握数形思想运．
31．（2014•贵阳）图Rt△ABC中∠ACB90°DE分ABAC边中点连接DE△ADE绕点E旋转180°△CFE连接AFAC．
（1）求证：四边形ADCF菱形
（2）BC8AC6求四边形ABCF周长．
考点：
菱形判定性质旋转性质．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）根旋转AECEDEEF判定四边形ADCF行四边形然证明DF⊥AC四边形ADCF菱形
（2）首先利勾股定理AB长根中点定义AD5根菱形性质AFFCAD5进答案．
解答：
（1）证明：∵△ADE绕点E旋转180°△CFE
∴AECEDEEF
∴四边形ADCF行四边形
∵DE分ABAC边中点
∴DE△ABC中位线
∴DE∥BC
∵∠ACB90°
∴∠AED90°
∴DF⊥AC
∴四边形ADCF菱形
（2）解：Rt△ABC中BC8AC6
∴AB10
∵DAB边中点
∴AD5
∵四边形ADCF菱形
∴AFFCAD5
∴四边形ABCF周长8+10+5+528．
点评：
题次考查菱形判定性质关键掌握菱形四边相等角线互相垂直行四边形菱形．
32．（2014•贵港）图正方形ABCD中点E角线AC点CECD点E作EF⊥AC交AD点F连接BE．
（1）求证：DFAE
（2）AB2时求BE2值．
考点：
正方形性质角分线性质勾股定理．版权切
分析：
（1）连接CF根HL证明Rt△CDFRt△CEF全等根全等三角形应边相等DFEF根正方形角线分组角∠EAF45°求出△AEF等腰直角三角形根等腰直角三角形性质AEEF然等量代换证
（2）根正方形角线等边长倍求出AC然求出AE点E作EH⊥ABH判断出△AEH等腰直角三角形然求出EHAHAE求出BH然利勾股定理列式计算解．
解答：
（1）证明：图连接CF
Rt△CDFRt△CEF中
∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL）
∴DFEF
∵AC正方形ABCD角线
∴∠EAF45°
∴△AEF等腰直角三角形
∴AEEF
∴DFAE
（2）解：∵AB2
∴ACAB2
∵CECD
∴AE2﹣2
点E作EH⊥ABH
△AEH等腰直角三角形
∴EHAHAE×（2﹣2）2﹣
∴BH2﹣（2﹣）
Rt△BEH中BE2BH2+EH2（）2+（2﹣）28﹣4．
点评：
题考查正方形性质全等三角形判定性质等腰直角三角形判定性质勾股定理运作辅助线构造出全等三角形直角三角形解题关键．
33．（2014•甘孜州）图▱ABCD中EF分BCAB中点连接FCAEAEFC交点GAE延伸线DC延伸线交点N．
（1）求证：△ABE≌△NCE
（2）AB3nFBGE试含n式子表示线段AN长．
考点：
行四边形性质全等三角形判定性质类似三角形判定性质．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）根行四边形性质AB∥CN知∠B∠ECN根全等三角形判定方法ASA证明△ABE≌△NCE
（2）AB∥CN△AFG∽△CNG利类似三角形性质已知条件含n式子表示线段AN长．
解答：
（1）证明：
∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥CN
∴∠B∠ECN
∵EBC中点
∴BECE
△ABE△NCE中
∴△ABE≌△NCE（ASA）．
（2）∵AB∥CN
∴△AFG∽△CNG
∴AF：CNAG：GN
∵ABCN
∴AF：ABAG：GN
∵AB3nFAB中点
∴FBGE
∴GEn
∴解AE3n
∴AG2nGEnEN3n
∴ANAG+GE+EN2n+n+3n6n．
点评：
题考查行四边形性质全等三角形判定性质类似三角形性质标题综合性较强难度中等．
34．（2014•抚）图矩形ABCD中ECD边点BEBA点A圆心AD长半径作⊙A交AB点M点B作⊙A切线BF切点F．
（1）请判断直线BE⊙A位关系阐明理
（2）果AB10BC5求图中暗影部分面积．
考点：
矩形性质切线判定性质扇形面积计算．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）直线BE⊙A位关系相切连接AEA作AH⊥BEE作EG⊥AB证明AHAD
（2）连接AF图中暗影部分面积直角三角形ABF面积﹣扇形MAF面积．
解答：
解：（1）直线BE⊙A位关系相切
理：连接AEA作AH⊥BEE作EG⊥AB四边形ADEG矩形．
∵S△ABEBE•AHAB•EGABBE
∴AHEG
∵四边形ADEG矩形
∴ADEG
∴AHAD
∴BE圆切线
（2）连接AF
∵BF⊙A切线
∴∠BFA90°
∵BC5
∴AF5
∵AB10
∴∠ABF30°
∴∠BAF60°
∴BFAF5
∴图中暗影部分面积直角三角形ABF面积﹣扇形MAF面积×5×5﹣．
点评：
题考查矩形性质切线判定性质三角形扇形面积公式运角锐角三角函数值标题综合性较强难度解题关键正确做出辅助线．
35．（2014•崇左）图四边形ABCD中角线ACBD相交点OAC⊥BD点EFGH分ABBCCDDA中点次连接边中点四边形EFGH求证：四边形EFGH矩形．
考点：
中点四边形三角形中位线定理．版权切
专题：
证明题．
分析：
首先利三角形中位线定理证四边形EFGH行四边形然利角直角行四边形矩形判定．
解答：
证明：∵点EFGH分边ABBCCDDA中点
∴EFACGHAC
∴EFGH理EHFG
∴四边形EFGH行四边形
∵角线ACBD互相垂直
∴EFFG垂直．
∴四边形EFGH矩形．
点评：
题考查中点四边形知识解题关键灵活运三角形中位线定理行四边形判断矩形判断进行证明道综合题．
36．（2014•北京）图▱ABCD中AE分∠BAD交BC点EBF分∠ABC交AD点FAEBF交点P连接EFPD．
（1）求证：四边形ABEF菱形
（2）AB4AD6∠ABC60°求tan∠ADP值．
考点：
菱形判定行四边形性质解直角三角形．版权切
分析：
（1）先证明四边形行四边形根行四边形角分线性质ABBEABAFAFBE证明四边形ABEF菱形
（2）作PH⊥ADH根四边形ABEF菱形∠ABC60°AB4ABAF4∠ABF∠ADB30°AP⊥BFPHDH5然利锐角三角函数定义求解．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴AD∥BC．
∴∠DAE∠AEB．
∵AE角分线
∴∠DAE∠BAE．
∴∠BAE∠AEB．
∴ABBE．
理ABAF．
∴AFBE．
∴四边形ABEF行四边形．
∵ABBE
∴四边形ABEF菱形．
（2）解：作PH⊥ADH
∵四边形ABEF菱形∠ABC60°AB4
∴ABAF4∠ABF∠AFB30°AP⊥BF
∴APAB2
∴PHDH5
∴tan∠ADP．
点评：
题考查菱形判定行四边形性质解题关键牢记菱形判定定理难度．
37．（2014•包头）图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°∠BCD45°点EBC∠AEB60°．AB2AD1求CDCE长．（留意：题中计算程结果均保留根号）
考点：
梯形勾股定理．版权切
专题：
计算题．
分析：
点D作DF⊥BC根∠BCD45°DFCFAB2DFCF2勾股定理CD长AD1BC2+1根∠AEB60°BE进出CE长．
解答：
解：点D作DF⊥BC
∵AD∥BC∠ABC90°
∴四边形ABFD矩形
∵∠BCD45°
∴DFCF
∵AB2
∴DFCF2
∴勾股定理CD2
∵AD1
∴BF1
∴BC2+1
∵∠AEB60°
∴tan60°
∴
∴BE2
∴CEBC﹣BE2+1﹣22﹣1．
点评：
题考查梯形计算勾股定理基础知识纯熟掌握．
38．（2014•安）已知：图△ABC中ABACAD⊥BC垂足点DAN△ABC外角∠CAM分线CE⊥AN垂足点E
（1）求证：四边形ADCE矩形
（2）△ABC满足什条件时四边形ADCE正方形？出证明．
考点：
矩形判定角分线性质等腰三角形性质正方形判定．版权切
专题：
证明题开放型．
分析：
（1）根矩形三角直角四边形矩形已知CE⊥ANAD⊥BC求证∠DAE90°证明四边形ADCE矩形．
（2）根正方形判定假设ADBC已知DCBC（1）结知四边形ADCE矩形证四边形ADCE正方形．
解答：
（1）证明：△ABC中ABACAD⊥BC
∴∠BAD∠DAC
∵AN△ABC外角∠CAM分线
∴∠MAE∠CAE
∴∠DAE∠DAC+∠CAE180°90°
∵AD⊥BCCE⊥AN
∴∠ADC∠CEA90°
∴四边形ADCE矩形．
（2）△ABC满足∠BAC90°时四边形ADCE正方形．
理：∵ABAC
∴∠ACB∠B45°
∵AD⊥BC
∴∠CAD∠ACD45°
∴DCAD
∵四边形ADCE矩形
∴矩形ADCE正方形．
∴∠BAC90°时四边形ADCE正方形．
点评：
题开放型试题次考查矩形判定正方形判定等腰三角形性质角分线性质等知识点综合运．
39．（2013•株洲）已知四边形ABCD边长2菱形∠BAD60°角线ACBD交点O点O直线EF交AD点E交BC点F．
（1）求证：△AOE≌△COF
（2）∠EOD30°求CE长．
考点：
菱形性质全等三角形判定性质等边三角形判定性质含30度角直角三角形勾股定理．版权切
分析：
（1）根菱形角线互相分AOCO边行AD∥BC利两直线行错角相等∠OAE∠OCF然利角边角证明△AOE△COF全等
（2）根菱形角线分组角求出∠DAO30°然求出∠AEF90°然求出AO长求出EF长然Rt△CEF中利勾股定理列式计算解．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD菱形
∴AOCOAD∥BC
∴∠OAE∠OCF
△AOE△COF中
∴△AOE≌△COF（ASA）
（2）解：∵∠BAD60°
∴∠DAO∠BAD×60°30°
∵∠EOD30°
∴∠AOE90°﹣30°60°
∴∠AEF180°﹣∠DAO﹣∠AOE180°﹣30°﹣60°90°
∵菱形边长2∠DAO30°
∴ODAD×21
∴AO
∴AECF×
∵菱形边长2∠BAD60°
∴高EF2×
Rt△CEF中CE．
点评：
题考查菱形性质全等三角形判定性质直角三角形30°角直角边等斜边半性质勾股定理运（2）求出△CEF直角三角形解题关键难点．
40．（2013•云南）已知△ABC中ABAC5BC6ADBC边中线四边形ADBE行四边形．
（1）求证：四边形ADBE矩形
（2）求矩形ADBE面积．
考点：
矩形判定性质勾股定理行四边形性质．版权切
分析：
（1）利三线合定理证∠ADB90°根矩形定义证
（2）利勾股定理求BD长然利矩形面积公式求解．
解答：
解：（1）∵ABACADBC边中线
∴AD⊥BC
∴∠ADB90°
∵四边形ADBE行四边形．
∴行四边形ADBE矩形
（2）∵ABAC5BC6ADBC中线
∴BDDC6×3
直角△ACD中
AD4
∴S矩形ADBEBD•AD3×412．
点评：
题考查三线合定理矩形判定理解三线合定理关键．
41．（2013•宜昌）图点EF分锐角∠A两边点AEAF分点EF圆心AE长半径画弧两弧相交点D连接DEDF．
（1）请判断画四边形外形阐明理
（2）连接EFAE8厘米∠A60°求线段EF长．
考点：
菱形判定性质等边三角形判定性质．版权切
分析：
（1）AEAFEDDF根四条边相等四边形菱形证：四边形AEDF菱形
（2）首先连接EFAEAF∠A60°证△EAF等边三角形求线段EF长．
解答：
解：（1）菱形．
理：∵根题意：AEAFEDDF
∴四边形AEDF菱形
（2）连接EF
∵AEAF∠A60°
∴△EAF等边三角形
∴EFAE8厘米．
点评：
题考查菱形判定性质等边三角形判定性质．题较简单留意掌握辅助线作法留意数形思想运．
42．（2013•锡）图四边形ABCD中角线ACBD相交点O①AB∥CD②AOCO③ADBC中意选取两作条件四边形ABCD行四边形结构造命题．
（1）①②作条件构成命题真命题？请证明请举出反例
（2）写出题意构成切命题中假命题举出反例加阐明．（命题请写成果……．方式）
考点：
行四边形判定命题定理．版权切
分析：
（1）根行出全等三角形求出OBOD根行四边形判定推出
（2）根等腰梯形行四边形判定判断．
解答：
（1）①②作条件构成命题真命题
证明：∵AB∥CD
∴∠OAB∠OCD
△AOB△COD中
∴△AOB≌△COD（ASA）
∴OBOD
∴四边形ABCD行四边形．
（2）根①③作条件构成命题假命题果组边行组边相等四边形行四边形等腰梯形符合行四边形
根②③作条件构成命题假命题果四边形ABCD角线交OOAOCADBC四边形行四边形图
根已知推出OBODAD∥BCABDC四边形行四边形．
点评：
题考查行四边形判定类似三角形性质判定等腰梯形判定等知识点运次考查先生推理力辨析力标题较道较容易出错标题．
43．（2013•铁岭）图△ABC中ABACAD∠BAC角分线点OAB中点连接DO延伸点EOEOD连接AEBE．
（1）求证：四边形AEBD矩形
（2）△ABC满足什条件时矩形AEBD正方形阐明理．
考点：
矩形判定正方形判定．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）利行四边形判定首先出四边形AEBD行四边形进等腰三角形性质出∠ADB90°出答案
（2）利等腰直角三角形性质出ADBDCD进利正方形判定出．
解答：
（1）证明：∵点OAB中点连接DO延伸点EOEOD
∴四边形AEBD行四边形
∵ABACAD∠BAC角分线
∴AD⊥BC
∴∠ADB90°
∴行四边形AEBD矩形
（2）∠BAC90°时
理：∵∠BAC90°ABACAD∠BAC角分线
∴ADBDCD
∵（1）四边形AEBD矩形
∴矩形AEBD正方形．
点评：
题次考查正方形判定矩形判定等腰直角三角形性质等知识纯熟掌握正方形矩形判定解题关键．
44．（2013•深圳）图等腰梯形ABCD中已知AD∥BCABDCACBD交点O延伸BCECEAD连接DE．
（1）求证：BDDE．
（2）AC⊥BDAD3SABCD16求AB长．
考点：
等腰梯形性质勾股定理等腰直角三角形行四边形判定性质类似三角形判定性质．版权切
分析：
（1）AD∥BCCEAD四边形ACED行四边形证ACDE等腰梯形性质ACBD证结
（2）首先点D作DF⊥BC点F证△BDE等腰直角三角形SABCD16求BD长继求答案．
解答：
（1）证明：∵AD∥BCCEAD
∴四边形ACED行四边形
∴ACDE
∵四边形ABCD等腰梯形AD∥BCABDC
∴ACBD
∴BDDE．
（2）解：点D作DF⊥BC点F
∵四边形ACED行四边形
∴CEAD3AC∥DE
∵AC⊥BD
∴BD⊥DE
∵BDDE
∴S△BDEBD•DEBD2BE•DF（BC+CE）•DF（BC+AD）•DFS梯形ABCD16
∴BD4
∴BEBD8
∴DFBFEFBE4
∴CFEF﹣CE1
∴勾股定理ABCD．
点评：
题考查等腰三角形性质等腰直角三角形性质判定行四边形判定性质勾股定理．题难度适中留意掌握辅助线作法留意数形思想运．
45．（2013•海）图△ABC中∠ACB90°∠B＞∠A点D边AB中点DE∥BC交AC点ECF∥AB交DE延伸线点F．
（1）求证：DEEF
（2）连结CD点D作DC垂线交CF延伸线点G求证：∠B∠A+∠DGC．
考点：
菱形判定性质全等三角形判定性质直角三角形斜边中线．版权切
分析：
（1）首先证明四边形DBCF行四边形DFBC证明DEBC进EFCB证出DEEF
（2）首先画出图形首先根行线性质∠ADG∠G证明∠B∠DCB∠A∠DCA然推出∠1∠DCB∠B∠A+∠ADG∠1∠A+∠G∠B．
解答：
证明：（1）∵DE∥BCCF∥AB
∴四边形DBCF行四边形
∴DFBC
∵D边AB中点DE∥BC
∴DEBC
∴EFDF﹣DEBC﹣CBCB
∴DEEF
（2）∵DB∥CF
∴∠ADG∠G
∵∠ACB90°D边AB中点
∴CDDBAD
∴∠B∠DCB∠A∠DCA
∵DG⊥DC
∴∠DCA+∠190°
∵∠DCB+∠DCA90°
∴∠1∠DCB∠B
∵∠A+∠ADG∠1
∴∠A+∠G∠B．
点评：
题次考查行四边形判定性质直角三角形性质关键找出∠ADG∠G∠1∠B．掌握直角三角形中斜边中线等斜边半．
46．（2013•钦州）图梯形ABCD中AD∥BCAB∥DE∠DEC∠C求证：梯形ABCD等腰梯形．
考点：
等腰梯形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
AB∥DE∠DEC∠C易证∠B∠C底两角相等梯形等腰梯形证结．
解答：
证明：∵AB∥DE
∴∠DEC∠B
∵∠DEC∠C
∴∠B∠C
∴梯形ABCD等腰梯形．
点评：
题考查等腰梯形判定．题较简单留意掌握底两角相等梯形等腰梯形定理运留意数形思想运．
47．（2013•南京）图四边形ABCD中ABBC角线BD分∠ABCPBD点点P作PM⊥ADPN⊥CD垂足分MN．
（1）求证：∠ADB∠CDB
（2）∠ADC90°求证：四边形MPND正方形．
考点：
正方形判定全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根角分线性质全等三角形判定方法证明△ABD≌△CBD全等三角形性质：∠ADB∠CDB
（2）∠ADC90°（1）中条件四边形MPND矩形根两边相等四边形正方形证明四边形MPND正方形．
解答：
证明：（1）∵角线BD分∠ABC
∴∠ABD∠CBD
△ABD△CBD中
∴△ABD≌△CBD（SAS）
∴∠ADB∠CDB
（2）∵PM⊥ADPN⊥CD
∴∠PMD∠PND90°
∵∠ADC90°
∴四边形MPND矩形
∵∠ADB∠CDB
∴∠ADB45°
∴PMMD
∴四边形MPND正方形．
点评：
题考查全等三角形判定性质角分线性质矩形判定性质正方形判定解题关键熟记种图形性质判定．
48．（2013•南充）图等腰梯形ABCD中AD∥BCAD3BC7∠B60°PBC边点（BC重合）点P作∠APE∠BPE交CDE．
（1）求证：△APB∽△PEC
（2）CE3求BP长．
考点：
等腰梯形性质类似三角形判定性质．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）等腰梯形ABCD中AD∥BCABCD∠B∠C60°∠APE+∠EPC∠B+∠BAP∠APE∠B证∠BAP∠EPC根两角应相等三角形类似证：△APB∽△PEC
（2）首先点A作AF∥CD交BC点F四边形ADCF行四边形△ABF等边三角形△APB∽△PEC根类似三角形应边成例求答案．
解答：
（1）证明：∵等腰梯形ABCD中AD∥BCABCD
∴∠B∠C60°
∵∠APC∠B+∠BAP
∠APE+∠EPC∠B+∠BAP
∵∠APE∠B
∴∠BAP∠EPC
∴△APB∽△PEC
（2）解：点A作AF∥CD交BC点F
∵AD∥BC
∴四边形ADCF行四边形
∵∠AFB∠C∠B60°
∴△ABF等边三角形
∴CFAD3ABBF7﹣34
∵△APB∽△PEC
∴
设BPxPC7﹣x
∵EC3AB4
∴
解：x13x24
检验：x13x24原分式方程解
∴BP长：34．
点评：
题考查等腰梯形性质类似三角形判定性质等边三角形判定性质．题难度适中留意掌握辅助线作法留意数形思想方程思想运．
49．（2013•黄冈）图四边形ABCD菱形角线ACBD相交点ODH⊥ABH
连接OH求证：∠DHO∠DCO．
考点：
菱形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
根菱形角线互相分ODOB根直角三角形斜边中线等斜边半OHOB然根等边等角求出∠OHB∠OBH根两直线行错角相等求出∠OBH∠ODC然根等角余角相等证明．
解答：
证明：∵四边形ABCD菱形
∴ODOB∠COD90°
∵DH⊥AB
∴OHBDOB
∴∠OHB∠OBH
∵AB∥CD
∴∠OBH∠ODC
Rt△COD中∠ODC+∠DCO90°
Rt△DHB中∠DHO+∠OHB90°
∴∠DHO∠DCO．
点评：
题考查菱形角线互相垂直分性质直角三角形斜边中线等斜边半性质等角余角相等熟记性质理清图中角度关系解题关键．
50．（2013•防城港）图直角梯形ABCD中AD∥BCAD⊥DC点A关角线BD称点F刚落腰DC连接AF交BD点EAF延伸线BC延伸线交点GMN分BGDF中点．
（1）求证：四边形EMCN矩形
（2）AD2S梯形ABCD求矩形EMCN长宽．
考点：
直角梯形矩形判定性质．版权切
专题：
综合题压轴题．
分析：
（1）根轴称性质ADDFDE⊥AF然判断出△ADF△DEF等腰直角三角形根等腰直角三角形性质求出∠DAF∠EDF45°根两直线行错角相等求出∠BGE45°然判断出△BGE等腰直角三角形根等腰直角三角形性质EM⊥BCEN⊥CD根矩形判定证明
（2）判断出△BCD等腰直角三角形然根梯形面积求出CD长根等腰直角三角形性质求出DN解．
解答：
（1）证明：∵点AF关BD称
∴ADDFDE⊥AF
∵AD⊥DC
∴△ADF△DEF等腰直角三角形
∴∠DAF∠EDF45°
∵AD∥BC
∴∠G∠GAD45°
∴△BGE等腰直角三角形
∵MN分BGDF中点
∴EM⊥BCEN⊥CD
∵AD∥BCAD⊥DC
∴BC⊥CD
∴四边形EMCN矩形
（2）解：（1）知∠EDF45°BC⊥CD
∴△BCD等腰直角三角形
∴BCCD
∴S梯形ABCD（AD+BC）•CD（2+CD）•CD
CD2+2CD﹣150
解CD3CD﹣5（舍）
∵△ADE△DEF等腰直角三角形
∴DFAD2
∵NDF中点
∴ENDNDF×21
∴CNCD﹣DN3﹣12
∴矩形EMCN长宽分21．
点评：
题考查直角梯形性质轴称性质矩形判定等腰直角三角形判定性质纯熟掌握轴称性质判断出相关等腰直角三角形解题关键题难点．
51．（2013•鄂尔斯）图梯形ABCD中AD∥BCABCD分ABCD边外侧作等边三角形ABE等边三角形DCF连接AFDE．
（1）求证：AFDE
（2）∠BAD45°ABa△ABE△DCF面积等梯形ABCD面积求BC长．
考点：
等腰梯形性质全等三角形判定性质等边三角形性质．版权切
专题：
探求型．
分析：
（1）根等腰梯形性质等边三角形性质全等三角形判定方法证明△AED≌△DFA
（2）图作BH⊥ADCK⊥AD利出条件梯形面积公式求出BC长．
解答：
（1）证明：梯形ABCD中AD∥BCABCD
∴∠BAD∠CDA
等边三角形ABE等边三角形DCF中
ABAEDCDF∠BAE∠CDF60°
∴AEDF∠EAD∠FDAADDA
∴△AED≌△DFA（SAS）
∴AFDE
（2）解：图作BH⊥ADCK⊥ADBCHK
∵∠BAD45°
∴∠HAB∠KDC45°
∴ABBHAH
理：CDCKKD
∵S梯形ABCDABa
∴S梯形ABCD
S△ABES△DCFa2
∴2×a2
∴BCa．
点评：
题综合性考查等腰梯形性质等边三角形性质全等三角形判定全等三角形性质等直角三角形性质梯形三角形面积公式属中档标题．
52．（2013•阳）图梯形ABCD中AD∥BCADCD点A作AE∥DC交BC点E．
（1）求证：四边形AECD菱形．
（2）（1）条件∠B30°AE⊥AB点A圆心AE长半径画弧交BE点F连接AF图中尺规补齐图形（仅保留作图痕迹）证明点FBE中点．
考点：
梯形等边三角形判定性质菱形判定作图—复杂作图．版权切
分析：
（1）AD∥BCAE∥DC证四边形AECD行四边形ADCD证四边形AECD菱形．
（2）∠B30°AE⊥ABAEAF易△AEF等边三角形继证△ABF等腰三角形证BFAFEF点FBE中点．
解答：
证明：（1）∵AD∥BCAE∥DC
∴四边形AECD行四边形
∵ADCD
∴四边形AECD菱形．
（2）补齐图形：
证明：∵∠B30°AE⊥AB
∴∠AEB60°
∵AEAF
∴△AEF等边三角形
∴AFEF∠EAF60°
∴∠BAF90°﹣∠EAF30°
∴∠BAF∠B
∴AFBF
∴BFEF
点FBE中点．
点评：
题考查梯形性质行四边形判定性质等边三角形判定性质等腰三角形判定性质．题难度适中留意掌握数形思想运．
53．（2013•鞍山）图EF四边形ABCD角线AC两点AFCEDFBEDF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB
（2）四边形ABCD行四边形．
考点：
行四边形判定全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）利两边夹角应相等两三角形全等（SAS）判定定理容易证明△AFD≌△CEB．
（2）△AFD≌△CEB容易证明ADBCAD∥BC根组边行相等四边形行四边形．
解答：
证明：（1）∵DF∥BE
∴∠DFE∠BEF．
∵AFCEDFBE
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）（1）知△AFD≌△CEB
∴∠DAC∠BCAADBC
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD行四边形（组边行相等四边形行四边形）．
点评：
题次考查全等三角形判定行四边形判定判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．行四边形判定组边行相等四边形行四边形．
54．（2012•盐城）图示梯形ABCD中AD∥BC∠BDC90°EBC点∠BDE∠DBC．
（1）求证：DEEC
（2）ADBC试判断四边形ABED外形阐明理．
考点：
梯形直角三角形性质菱形判定．版权切
分析：
（1）∠BDC90°∠BDE∠DBC利等角余角相等∠EDC∠C等角等边证DEEC
（2）易证ADBEAD∥BC四边形ABED行四边形BEDE四边形ABED菱形．
解答：
（1）证明：∵∠BDC90°∠BDE∠DBC
∴∠EDC∠BDC﹣∠BDE90°﹣∠BDE
∵∠C90°﹣∠DBC
∴∠EDC∠C
∴DEEC
（2）ADBC四边形ABED菱形．
证明：∵∠BDE∠DBC．
∴BEDE
∵DEEC
∴DEBEECBC
∵ADBC
∴ADBE
∵AD∥BC
∴四边形ABED行四边形
∵BEDE
∴▱ABED菱形．
点评：
题考查梯形性质等腰三角形判定性质菱形判定．题综合性较强难度适中留意数形思想运．
55．（2012•襄阳）图梯形ABCD中AD∥BCEBC中点BC2ADEAED2ACED相交点F．
（1）求证：梯形ABCD等腰梯形
（2）ABAC具什位关系时四边形AECD菱形？请阐明理求出时菱形AECD面积．
考点：
等腰梯形判定全等三角形判定性质菱形判定性质．版权切
分析：
（1）AD∥BC行线性质证∠DEC∠EDA∠BEA∠EADEAED等腰三角形性质∠EAD∠EDA∠DEC∠AEB继证△DEC≌△AEB梯形ABCD等腰梯形
（2）AD∥BCBEECAD四边形ABED四边形AECD均行四边形AB⊥ACAEBEEC易证四边形AECD菱形A作AG⊥BE点G易△ABE等边三角形求答案AG长继求菱形AECD面积．
解答：
（1）证明：∵AD∥BC
∴∠DEC∠EDA∠BEA∠EAD
∵EAED
∴∠EAD∠EDA
∴∠DEC∠AEB
∵EBEC
∴△DEC≌△AEB
∴ABCD
∴梯形ABCD等腰梯形．
（2）AB⊥AC时四边形AECD菱形．
证明：∵AD∥BCBEECAD
∴四边形ABED四边形AECD均行四边形．
∴ABED
∵AB⊥AC
∴AEBEEC
∴行四边形AECD菱形．
A作AG⊥BE点G
∵AEBEAB2
∴△ABE等边三角形
∴∠AEB60°
∴AG
∴S菱形AECDEC•AG2×2．
点评：
题考查等腰梯形判定行四边形判定性质等腰三角形性质菱形判定性质．题综合性较强难度适中留意数形思想运．
56．（2012•湘西州）图O菱形ABCD角线ACBD交点CD5cmOD3cm 点C作CE∥DB点B作BE∥ACCEBE相交点E．
（1）求OC长
（2）求证：四边形OBEC矩形
（3）求矩形OBEC面积．
考点：
矩形判定性质菱形性质．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）直角△OCD中利勾股定理求解
（2）利矩形定义证明
（3）利矩形面积公式直接求解．
解答：
解：（1）∵ABCD菱形
∴AC⊥BD
∴直角△OCD中OC4cm
（2）∵CE∥DBBE∥AC
∴四边形OBEC行四边形
∵AC⊥BD∠COB90°
∴行四边形OBEC矩形
（3）∵OB0D
∴S矩形OBECOB•OC4×312（cm2）．
点评：
题考查菱形性质矩形判定理解菱形角线关系关键．
57．（2012•苏州）图梯形ABCD中已知AD∥BCABCD延伸线段CBEBEAD连接AEAC．
（1）求证：△ABE≌△CDA
（2）∠DAC40°求∠EAC度数．
考点：
梯形全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）先根题意出∠ABE∠CDA然题意条件利SAS判断三角形全等
（2）根题意分求出∠AEC∠ACE度数△AEC中利三角形角定理出答案．
解答：
（1）证明：梯形ABCD中∵AD∥BCABCD
∴∠ABE∠BAD∠BAD∠CDA
∴∠ABE∠CDA
△ABE△CDA中
∴△ABE≌△CDA．
（2）解：（1）：∠AEB∠CADAEAC
∴∠AEB∠ACE
∵∠DAC40°
∴∠AEB∠ACE40°
∴∠EAC180°﹣40°﹣40°100°．
点评：
题考查梯形全等三角形判定性质解答题关键根梯形题意条件出线段间关系留意学知识融会贯通．
58．（2012•呼伦贝尔）图△ABC中点D边BC中点DE⊥ACDF⊥AB垂足分EFBFCE．
（1）求证：DEDF
（2）∠A90°时试判断四边形AFDE样四边形证明结．
考点：
正方形判定全等三角形判定性质勾股定理．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）利HL证明Rt△BDF≌Rt△CDEDEDF
（2）已知证明矩形组邻边相等四边形AFDE正方形．
解答：
（1）证明：∵DE⊥ACDF⊥AB
∴∠BFD∠CED90°
Rt△BDFRt△CDE中
∵
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）
∴DEDF
（2）答：四边形AFDE正方形．
证明：∵∠A90°DE⊥ACDF⊥AB
∴四边形AFDE矩形
∵Rt△BDF≌Rt△CDE
∴DFDE
∴四边形AFDE正方形．
点评：
题次考查先生全等三角形判定性质正方形判定方法掌握情况．
59．（2012•鄂尔斯）已知图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°DE⊥AC点F交BC点G交AB延伸线点EAEAC连AG．
（1）求证：FCBE
（2）ADDC2求AG长．
考点：
直角梯形全等三角形判定性质等腰三角形判定性质行四边形判定性质．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）直角梯形ABCD中∠ABC90°DE⊥ACAEAC根AAS易证△ABC≌△AFE根全等三角形应边相等ABAF继FCBE
（2）利等腰三角形三线合定理AFACAE进求角30°次利AD长直角三角形勾股定理求解求答案．
解答：
（1）证明：∵∠ABC90°DE⊥AC点F
∴∠ABC∠AFE．
∵ACAE∠EAF∠CAB
∴△ABC≌△AFE
∴ABAF．
∴AE﹣ABAC﹣AF
FCBE
（2）解：∵ADDC2DF⊥AC
∴AFACAE．
∴AGCG∠E30°．
∵∠EAD90°
∴∠ADE60°
∴∠FAD∠E30°
∴FC
∵AD∥BC
∴∠ACG∠FAD30°
∴CG2
∴AG2．
点评：
题考查直角梯形等腰三角形性质全等三角形性质判定．题知识点综合性强．破题关键问证△ABC≌△AFE第二问利等腰△ADC性质AFACAE．出∠E30°留意数形思想运．
60．（2012•滨州）知道连接三角形两边中点线段三角形中位线三角形中位线行三角形第三边等第三边半．类似连接梯形两腰中点线段做梯形中位线．图梯形ABCD中AD∥BC点EF分ABCD中点EF梯形ABCD中位线．观察测量猜想EFADBC样位数量关系？证明结．
考点：
梯形中位线定理全等三角形判定性质三角形中位线定理．版权切
专题：
探求型．
分析：
连接AF延伸交BC点G△ADF≌△GCF证EF△ABG中位线利三角形中位线定理证．
解答：
解：结：EF∥AD∥BCEF（AD+BC）．理：
连接AF延伸交BC点G．
∵AD∥BC
∴∠DAF∠G
△ADF△GCF中
∴△ADF≌△GCF（AAS）
∴AFFGADCG．
∵AEEB
∴EF∥BGEFBG
EF∥AD∥BCEF（AD+BC）．
点评：
题猜想证明梯形中位线定理辅助线转化成三角形中位线成绩．
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