2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求（12题60分）
1设集合M｛x|0＜x＜4｝N｛x| 13 ≤x≤5｝M∩N（ ）
A ｛x|0＜x≤ 13 ｝ B ｛x| 13 ≤x＜4｝ C ｛x|4≤x＜5｝ D ｛x|0＜x≤5｝穆童b5E2RGbCAP
答案 B
考点交集运算
解析解答解：M∩N求集合MN公元素M∩N{x|13≤x﹤4} 答案：B 分析根交集定义求解穆童p1EanqFDPw
2解某农村济情况该农户家庭年收入进行抽样调查农户家庭年收入调查数整理频率分布直方图：穆童DXDiTa9E3d
根频率分布直方图面结中正确（ ）
A 该农户家庭年收入低45万元农户率估计6B 该农户家庭年收入低105万元农户率估计10C 估计该农户家庭年收入均值超65万元D 估计该半农户家庭年收入介45万元85万元间穆童RTCrpUDGiT
答案 C
考点频率分布直方图
解析解答解：A频率分布直方图该农户家庭年收入低45万元农户率估计002+0046A正确 B频率分布直方图该农户家庭年收入低105万元农户率估计002×3+00410B正确 D频率分布直方图该农户家庭年收入介45万元85万元间率估计010+014+020×2064>05D正确 正确C 答案：C 分析根频率分布直方图直接求解穆童5PCzVD7HxA
3已知 （1−）2z3+2i z（ ）
A 1 32 i B 1+ 32 i C 32 +i D 32 i穆童jLBHrnAILg
答案 B
考点复数代数形式混合运算
解析解答解：z3+2i1−i23+2i−2i3+2ii−2ii−2+3i2−1+32i 答案：B 分析根复数运算法直接求解穆童xHAQX74J0X
4青少年视力社会普遍关注问题视力情况助视力表测量通常五分记录法数记录法记录视力数五分记录法数L数记数法数V满足L5+lgV已知某学视力五分记录法数49视力数记数法数约（ ）（ 1010 ≈1259） 穆童LDAYtRyKfE
A 15 B 12 C 08 D 06穆童Zzz6ZB2Ltk
答案 C
考点指数式数式互化数运算性质
解析解答解：题意L49代入l5+lgVlgV01−110 V10−11011010≈11259≈08 答案：C 分析根数运算法结合数式指数式互化求解穆童dvzfvkwMI1
5已知F1 F2双曲线C两焦点PC点∠F1PF260°|PF1|3|PF2|C离心率（ ） 穆童rqyn14ZNXI
A 72 B 132 C 7 D 13穆童EmxvxOtOco
答案 A
考点双曲线定义双曲线简单性质
解析解答解： |PF1|3|PF2| |PF1||PF2|2a|PF1|3a|PF2|a △F1PF2中|F1F2|2|PF1|2+|PF2|22|PF1||PF2|cos∠F1PF2 (2c)2(3a)2+a22×3a×a×cos60° 解c72 eca72 答案：A 分析根双曲线定义结合余弦定理离心率公式直接求解穆童SixE2yXPq5
6正方体中顶点A三条棱中点分EFG该正方体截三棱锥AEFG面体三视图中正试图右图示相应侧视图（ ） 穆童6ewMyirQFL
A B C D 穆童kavU42VRUs
答案 D
考点简单空间图形三视图三视图原实物图
解析解答解：题意正方体图示 侧视图 答案：D 分析根三视图画法求解穆童y6v3ALoS89
7等数列｛an｝公q前n项Sn 设甲：q>0乙｛Sn｝递増数列（ ） 穆童M2ub6vSTnP
A 甲乙充分条件必条件B 甲乙必条件充分条件C 甲乙充条件D 甲乙充分条件乙必条件穆童0YujCfmUCw
答案 B
考点必条件充分条件充条件判断
解析解答解：a11q2时{Sn}递减数列甲乙充分条件 {Sn}递增数列时an+1Sn+1Sn>0a1qn>0q>0甲乙必条件 甲乙必条件充分条件 答案：B 分析根充条件判定结合等数列性质求解穆童eUts8ZQVRd
82020年12月8日中国尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰新高程884886（单位：m）三角高程测量法珠峰高程测量方法右图三角高程测量法示意图现ABC三点ABC水投影A’B’C＇满足 ∠A′C′A′B′C′60° c点测B点仰角15°曲 BB′ CC′ 差100 B点测A点仰角45°AC两点水面 A′B′C′ 高度差 AA′C′ 约（ ） （3穆童sQsAEJkW5T
A 346 B 373 C 446 D 473穆童GMsIasNXkA
答案 B
考点正弦定理正弦定理应
解析解答解：图C作BB＇垂线交BB＇点MB作AA＇垂线交AA＇点N 设B＇C＇CMmA＇B＇BNn △A＇B＇C＇中正弦定理msinnsin45° △BCM中正弦定理msin100sin15° nsin100sin15° 解n2003≈273 AC两点水面A＇B＇C＇高度差AA＇CC＇≈273+100373 答案：B 分析根正弦定理求解穆童TIrRGchYzg
9 απ2) tancosα2−sinα tan （ ）
A 1515 B 55 C 53 D 153穆童7EqZcWLZNX
答案 A
考点二倍角正弦公式二倍角余弦公式角三角函数间基关系角三角函数基关系运
解析解答解：题意 tansin2αcos2α2sinαcosα1−2sin2αcosα2−sinα 2α2−sinα1−2sin2α 解sinα14 απ2) cos1−sin2α154 tansinαcosα1515 答案：A 分析根二倍角公式结合角三角函数基关系求解穆童lzq7IGf02E
104120机排成行20 相邻概率（ ）
A 13 B 25 C 23 D 45穆童zvpgeqJ1hk
答案 C
考点古典概型概率计算公式排列组合实际应排列组合简单计数问题
解析解答解： 4120机排成行 C62种排法 先41全排列插空法20插入进行排列C52种排法 求概率PC52C6223 答案：C 分析根古典概型结合插空法求解穆童NrpoJac3v1
11已知ABC半径1求O球面三点AC⊥BCACBC1三棱锥OABC体积（ ） 穆童1nowfTG4KI
A 212 B 312 C 24 D 34穆童fjnFLDa5Zo
答案 A
考点球面距离相关计算棱柱棱锥棱台体积
解析解答解：记△ABC外接圆圆心O1 AC⊥BCACBC1知O1AB中点AB222 球半径1OAOBOC1OA2+OB2AB2 OO122 OO12+O1C2OC2 OO1⊥O1COO1⊥AB OO1⊥面ABC VO−ABC13·S△ABC·OO113·12·1·1·22212 答案：A 分析根直角三角形性质结合三棱锥外接球性质运三棱锥体积公式直接求解穆童tfnNhnE6e5
12设函数f(x)定义域R f(x+1)奇函数f(x+2)偶函数 x 时 fx)ax2+b ff(3)6 f92) （ ） 穆童HbmVN777sL
A −94 B −32 C 74 D 52穆童V7l4jRB8Hs
答案 D
考点函数奇偶性性质函数值
解析解答解：f(x+1)奇函数f(1)0a+b0ba f(0)f(1+1)f(1+2)f(1)0 f(0)+f(3)6a2 f922+52f2−52f−12f−32+1−f32+1−f12+2−f−12−f32−94a−b−54a52 答案：D 分析根函数奇偶性利函数性质求解穆童83lcPA59W9
二填空题：题4题题5分20分（4题20分）
13曲线 y2x−1x+2 点（13）处切线方程________
答案 5xy+20
考点导数意义直线点斜式方程
解析解答解：题意y＇2x+22x−1x+225x+22 点（13）处切线斜率k5切线方程y+35(x+1)5xy+20 答案：5xy+20 分析根导数意义结合直线点斜式方程求解穆童mZkklkzaaP
14已知量a(31)b(10) ca+kb a⊥ck________
答案−103
考点面量坐标运算数量积判断两面量垂直关系
解析解答解：c→a→+kb→31+k103+k1 a→c→a→c→3·3+k+10 解k−103 答案：−103 分析根量坐标运算结合量垂直判断条件求解穆童AVktR43bpw
15已知F1 F2椭圆C： x216y241 两焦点PQC关坐标原点堆成两点 |||F1F2| 四边形PF1QF2面积________ 穆童ORjBnOwcEd
答案 8
考点椭圆定义三角形中计算
解析解答解：|PQ||F1F2||OP|12|F1F2|PF1⊥PF2 SPF1F22S△PF1F22×b2×tan∠F1PF228 答案：8 分析根椭圆定义直角三角形性质结合三角形面积公式求解穆童2MiJTy0dTT
16已知函数 fx)2cos(ωx+φ) 部分图图示满足条件 （(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0 正整数x________ 穆童gIiSpiue7A
答案 2
考点元二次等式解法余弦函数图象
解析解答解：3T413π12−π33π4Tπω2 点π3代入fx2x+φ 2cos2×π30 23+φπ2 φ−π6 fx2x−π6（(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0 等价fxfx+3>0 fx3fx 图象整数x∈π23π4 x2 答案：2 分析根余弦函数图象性质求解穆童uEh0U1Yfmh
三解答題：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17~21题必考题试题考生必须作答第2223题选考题考生根求作答（5题60分）穆童IAg9qLsgBX
17 甲乙两台机床生产种产品产品质量分级品二级品较两台机床产品质量分两台机床生产200件产品产品质量情况统计表： 穆童WwghWvVhPE
级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床乙机床生产产品中级品频率分少？
（2）否99握认甲机床产品质量乙机床产品质量差异
附： K2n(ad−bc)2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）
答案 （1）（1）题意知：甲机床生产产品中级品频率： 15020034
乙机床生产产品中级品频率： 12020035
（2） K2400+(150×80−50×120)2270×130×200×20040039≈10256>6635穆童asfpsfpi4k
99握认甲机床产品质量乙机床产品质量差异
考点频率分布表独立性检验独立性检验应
解析分析（1）根频率频数总体直接求解
（2）根独立性检验方法直接求解
18已知数列{an｝项均正数记Sn{an｝前n项面①②③中选取两作条件证明外成立 穆童ooeyYZTjj1
①数列{an｝等差数列：②数列{ Sn ｝等差数列③a23a1
注：选择组合分解答第解答计分
答案 选①②作条件证明③：
设 Sn Sn(an+b)2
n1 时 a1S1(a+b)2
n≥2 时 anSn−Sn−1(an+b)2−(an−a+b)2a(2an−a+2b)
{an 等差数列 (a+b)2 解 b0
ana2(2n−1) a2a1
选①③作条件证明②：
a2a1 {an 等差数列
公差 da2a12a1
Sna1+n(n−1)2dn2a1 Sna1n
Sn+1Sna1(n+1)−a1na1
{Sn 等差数列
选②③作条件证明①：
设 Sn Sn(an+b)2
n1 时 a1S1(a+b)2
n≥2 时 anSn−Sn−1(an+b)2−(an−a+b)2a(2an−a+2b)
a2a1 a(3a+2b)3(a+b)2 解 b0 b−4a3
b0 时 a1a2ana2(2n−1) n≥2 时 anan12a2 满足等差数列定义时 {an 等差数列穆童BkeGuInkxI
b−4a3 时 Snan−43a S1a3<0 合题意舍
综知 {an 等差数列
考点数列概念简单表示法等差数列通项公式等差数列前n项
解析分析选(1)(2)做条件时证明 ③：根等差数列定义出 Sn {an 等差数列 进步递推出 ③ a2a1 选 ①③作条件证明②： a2a1 显然 da2a12a1 写出前n项a1n关系式 Sna1n 进证明 {Sn 等差数列 选②③作条件证明①： 先设 Sn 进步形 Sn(an+b)2 根 ansn关系分ｎ１n>1推导出 anan12a2显然 {an 等差数列 穆童PgdO0sRlMo
19已知直三棱柱ABCA1B1C1中侧面AA1B1B正方形AB BC 2EF分ACCC1中点D棱A1B1点BF丄A1B1 穆童3cdXwckm15
（1） 证明：BF⊥DE
（2）B1D值时面BB1C1C面DFE成二面角正弦值？
答案 （1）三棱柱 ABC−A1B1C1 直三棱柱 BB1 底面 ABC BB1穆童h8c52WOngM
A1B1AB BF⊥A1B1 BF⊥AB
BB1 AB⊥ 面 BCC1B1 ．
BABCBB1 两两垂直．
B 坐标原点分 BABCBB1 直线 xyz 轴建立空间直角坐标系图．
B(000)A(200)C(020)B1A1(202)C1(022) 穆童v4bdyGious
E(110)F(021) ．
题设 D(a02) （ 0≤a≤2 ）．
BFDE(1−a1−2)
BFDE0×(1−a)+2×1+1×(−2)0 BF⊥DE ．
（2）设面 DFE 法量 m
EFDE(1−a1−2)
{mEF0m⋅DE0 {−x+y+z0(1−a)x+y−2z0 ．
令 z2−a m
面 BCC1B1 法量 BA
设面 BCC1B1 面 DEF 二面角面角 θ
|θ||m⋅BA||m|⋅|BA|62×2a2−2a+1432a2−2a+14 ．
a12 时 2a2 取值 272
时 cos 取值 327263 ．
(θ)min1−(63)233
时 B112 ．
考点直线面垂直判定空间量求面间夹角二面角面角求法
解析分析（１）根条件先证明 BABCBB1 两两垂直 建立图示空间直角坐标系定义相关点坐标空间量证明 BF⊥DE ． （２）先设 D(a02)设出面 面 DFE 法量 面 BCC1B1 法量 分求出二法量量夹角公式夹角余弦值值时正弦值确定时ａ值B1D值穆童J0bm4qMpJ9
20抛物线C顶点坐标原点O焦点x轴直线L：x 1交CPQ两点OP丄OQ已知点M（20） ⊙ ML相切 穆童XVauA9grYP
（1）求 ⊙ M方程
（2）设A1A2A3C三点直线A1 A2 A1 A3均 ⊙ M相切判断A2A3 ⊙ M位置关系说明理 穆童bR9C6TJscw
答案 （1）题意设抛物线 Cy2y0)Q(1−y0)
∵OP⊥OQ∴OPOQ1−y021−2p0∴2p1
抛物线 C 方程 y2
M(02)⊙M x1 相切半径 1
⊙M 方程 (x−2)2y21
（2）设 A1x1y1)A2(x2y2)A3(x3y3)
A1A2 斜率存 A1A2 方程 x1 x3
A1A2 方程 x1 根称性妨设 A1
A1 圆 M 相切条直线方程 y1
时该直线抛物线交点存 A3 合题意
A1A2 方程 x3 根称性妨设 A13)A2(3−3)
A1 圆 M 相切直线 A1A3 y−333(x−3)
kA1A3y1−y3x1−x31y1+y313+y333∴y30
x3A3(00) 时直线 A1A3A2A3 关 x 轴称
直线 A2A3 圆 M 相切
直线 A1A2A1A3A2A3 斜率均存
kA1A21y1+y2kA1A31y1+y3kA2A31y2+y3
直线 A1A2 方程 y−y11y1+y2(x−x1)
整理 x−(y1y2)y+y1y20
理直线 A1A3 方程 x−(y1y3)y+y1y30
直线 A2A3 方程 x−(y2y3)y+y2y30
∵A1A2 圆 M 相切 ∴|2+y1y21+(y1+y2)21
整理 (y12y22+2y1y2+3−y120
A1A3 圆 M 相切理 (y12y32+2y1y3+3−y120
y2y3 方程 (y12y2+2y1y+3−y120 两根
y2y3−2y1y12−1y2⋅y33−y12y12−1
M 直线 A2A3 距离：
|2+y2y31+(y2+y3)2|2+3−y12y12−1|1+(−2y1y12−1)2
|y12(y12−1)2+4y12y12+1y12+11
直线 A2A3 圆 M 相切
综直线 A1A2A1A3 圆 M 相切直线 A2A3 圆 M 相切
考点面量综合题圆标准方程点极坐标直角坐标互化圆参数方程
解析分析（1） 先设抛物线方程 Cy2 称性知 P(1y0y0) 进OP⊥OQ 容易求出抛物线P值进写出抛物线方程 圆M圆心已知x1相切立刻知道半径容易求M方程 穆童pN9LBDdtrd
（２）先设出A1x1y1)A2(x2y2)A3(x3y3)三点坐标分A1A2 斜率存 直线 A1A2A1A3A2A3 斜率均存讨 分写出相应直线方程根相关直线圆相切条件分代入抛物线方程利达定理点直线距离公式等知识推导结穆童DJ8T7nHuGT
21知a＞0a≠1函数f（x） xaax （x＞0）
（1）a2时求f（x）单调区间
（2）曲线y f（x）直线y1仅两交点求a取值范围
答案 （1） a2 时 f(x)x22xf′(x)2x·2x−x2·2xln2(2x)2x·2x(2−xln2)4x 穆童QF81D7bvUA
令 f＇(x)0 x2ln 02ln 时 f′ 穆童4B7a9QFw9h
∴函数 f(x) (02ln] 单调递增 [2ln+∞) 单调递减
（2）f(x)xaaxaxxa⇔xlnaalnx⇔lnxxlnaa 设函数 g(x)lnx 穆童ix6iFA8xoX
g′1−lnxx2 令 g′ xe
(0e) g′ g(x) 单调递增
(e+∞) g′ g(x) 单调递减
∴g(x)max1e
g(1)0 x 趋 +∞ 时 g(x) 趋0
曲线 yf(x) 直线 y1 仅两交点曲线 yg(x) 直线 yaln 两交点充分必条件 0 a 取值范围 (1e)∪(e+∞)
考点函数单调性导数关系导数值值问题中应
解析分析（1）ａ＝２时函数 f(x)x22x导数研究单调性 （２）首先问题转化方程lnxlnaa两解问题进步转化函数g(x)lnx函数ℎ(x)lna两听问题然利导数研究相关函数单调性函数值进结果穆童Kp5zH46zRk
四选修44：坐标系参数方程］（1题10分）
22直角坐标系xOy中坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C极坐标方程 ρ 2 2 cosθ 穆童Yl4HdOAA61
（1）C极坐标方程化直角坐标方程
（2）设点A直角坐标（10）MC动点点P满足 AP 2AM 写出 P轨迹C1参数方程判断CC1否公点 穆童ch4PJx4BlI
答案 （1）曲线C极坐标方程 ρ22θ ρ22ρcosθ
xρθyρsinθ 代入 x2y222x (x−22+y22
曲线C直角坐标方程 (x−22+y22
（2）设 P(xy) 设 M(22cosθ2sinθ)
∵AP2AM
∴(x−1y)22+2cosθ−12sinθ)(2+2cosθ−22sinθ)
{x−12+2θ−2y2sinθ {x3−2cosθy2sinθ
P轨迹 C1 参数方程 {x3−2cosθy2sinθ （ θ 参数）
∵ 曲线C圆心 (2 半径 2 曲线 C1 圆心 (3−2 半径2
圆心距 3−22 ∵3−222 ∴ 两圆含
曲线C C1 没公点
考点圆标准方程圆圆位置关系判定点极坐标直角坐标互化圆参数方程
解析分析（１）先 ρ22θ 两边方 ρ22ρcosθ 然 xρθyρsinθ换C直角坐标方程 （２）先 设 P(xy) M (22cosθ2sinθ)AP2AM 建立ｘｙθ关系式点P轨迹C1参数方程进步化成直角方程（圆）根两圆圆心距判断位置关系 穆童qd3YfhxCzo
五[选修45：等式选讲]（1题10分）
23已知函数f（x）|x2| g（x） |2x + 3||2x1|
（1）画出f（x）yg（x）图
（2）f（x+a）≥g（x）求a取值范围
答案 （1） f(x)|x−2|{2−xx<2x−2x≥2 画出图：
g(x)|2x+3|−|2x−1|{−4x<−324x+2−32124x≥12 画出函数图：穆童E836L11DO5
（2）f(x+a)|x+a−2|
图坐标系里画出 f(x)g(x) 图
yf(x+a) yf(x) 移 |a| 单位
f(x+a)≥g(x) 需 yf(x) 左移 a>0
yf(x+a) A(12 时 |12 解 a112 −52 （舍）
数形结合需少 yf(x) 左移 112 单位 ∴a≥112
考点函数图象图象变化分段函数解析式求法图象作法等式综合
解析分析（１）先绝值二函数解析式写成分段函数物形式然分段作图 （２）面两函数图象画直角坐标系（注意f（x+a） f（x）图象关系） f（x+a）≥g（x） 确定a取值范围穆童S42ehLvE3M
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2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求（12题60分）
1设集合M｛x|0＜x＜4｝N｛x| 13 ≤x≤5｝M∩N（ ）
A ｛x|0＜x≤ 13 ｝ B ｛x| 13 ≤x＜4｝ C ｛x|4≤x＜5｝ D ｛x|0＜x≤5｝穆童b5E2RGbCAP
答案 B
考点交集运算
解析解答解：M∩N求集合MN公元素M∩N{x|13≤x﹤4} 答案：B 分析根交集定义求解穆童p1EanqFDPw
2解某农村济情况该农户家庭年收入进行抽样调查农户家庭年收入调查数整理频率分布直方图：穆童DXDiTa9E3d
根频率分布直方图面结中正确（ ）
A 该农户家庭年收入低45万元农户率估计6B 该农户家庭年收入低105万元农户率估计10C 估计该农户家庭年收入均值超65万元D 估计该半农户家庭年收入介45万元85万元间穆童RTCrpUDGiT
答案 C
考点频率分布直方图
解析解答解：A频率分布直方图该农户家庭年收入低45万元农户率估计002+0046A正确 B频率分布直方图该农户家庭年收入低105万元农户率估计002×3+00410B正确 D频率分布直方图该农户家庭年收入介45万元85万元间率估计010+014+020×2064>05D正确 正确C 答案：C 分析根频率分布直方图直接求解穆童5PCzVD7HxA
3已知 （1−）2z3+2i z（ ）
A 1 32 i B 1+ 32 i C 32 +i D 32 i穆童jLBHrnAILg
答案 B
考点复数代数形式混合运算
解析解答解：z3+2i1−i23+2i−2i3+2ii−2ii−2+3i2−1+32i 答案：B 分析根复数运算法直接求解穆童xHAQX74J0X
4青少年视力社会普遍关注问题视力情况助视力表测量通常五分记录法数记录法记录视力数五分记录法数L数记数法数V满足L5+lgV已知某学视力五分记录法数49视力数记数法数约（ ）（ 1010 ≈1259） 穆童LDAYtRyKfE
A 15 B 12 C 08 D 06穆童Zzz6ZB2Ltk
答案 C
考点指数式数式互化数运算性质
解析解答解：题意L49代入l5+lgVlgV01−110 V10−11011010≈11259≈08 答案：C 分析根数运算法结合数式指数式互化求解穆童dvzfvkwMI1
5已知F1 F2双曲线C两焦点PC点∠F1PF260°|PF1|3|PF2|C离心率（ ） 穆童rqyn14ZNXI
A 72 B 132 C 7 D 13穆童EmxvxOtOco
答案 A
考点双曲线定义双曲线简单性质
解析解答解： |PF1|3|PF2| |PF1||PF2|2a|PF1|3a|PF2|a △F1PF2中|F1F2|2|PF1|2+|PF2|22|PF1||PF2|cos∠F1PF2 (2c)2(3a)2+a22×3a×a×cos60° 解c72 eca72 答案：A 分析根双曲线定义结合余弦定理离心率公式直接求解穆童SixE2yXPq5
6正方体中顶点A三条棱中点分EFG该正方体截三棱锥AEFG面体三视图中正试图右图示相应侧视图（ ） 穆童6ewMyirQFL
A B C D 穆童kavU42VRUs
答案 D
考点简单空间图形三视图三视图原实物图
解析解答解：题意正方体图示 侧视图 答案：D 分析根三视图画法求解穆童y6v3ALoS89
7等数列｛an｝公q前n项Sn 设甲：q>0乙｛Sn｝递増数列（ ） 穆童M2ub6vSTnP
A 甲乙充分条件必条件B 甲乙必条件充分条件C 甲乙充条件D 甲乙充分条件乙必条件穆童0YujCfmUCw
答案 B
考点必条件充分条件充条件判断
解析解答解：a11q2时{Sn}递减数列甲乙充分条件 {Sn}递增数列时an+1Sn+1Sn>0a1qn>0q>0甲乙必条件 甲乙必条件充分条件 答案：B 分析根充条件判定结合等数列性质求解穆童eUts8ZQVRd
82020年12月8日中国尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰新高程884886（单位：m）三角高程测量法珠峰高程测量方法右图三角高程测量法示意图现ABC三点ABC水投影A’B’C＇满足 ∠A′C′A′B′C′60° c点测B点仰角15°曲 BB′ CC′ 差100 B点测A点仰角45°AC两点水面 A′B′C′ 高度差 AA′C′ 约（ ） （3穆童sQsAEJkW5T
A 346 B 373 C 446 D 473穆童GMsIasNXkA
答案 B
考点正弦定理正弦定理应
解析解答解：图C作BB＇垂线交BB＇点MB作AA＇垂线交AA＇点N 设B＇C＇CMmA＇B＇BNn △A＇B＇C＇中正弦定理msinnsin45° △BCM中正弦定理msin100sin15° nsin100sin15° 解n2003≈273 AC两点水面A＇B＇C＇高度差AA＇CC＇≈273+100373 答案：B 分析根正弦定理求解穆童TIrRGchYzg
9 απ2) tancosα2−sinα tan （ ）
A 1515 B 55 C 53 D 153穆童7EqZcWLZNX
答案 A
考点二倍角正弦公式二倍角余弦公式角三角函数间基关系角三角函数基关系运
解析解答解：题意 tansin2αcos2α2sinαcosα1−2sin2αcosα2−sinα 2α2−sinα1−2sin2α 解sinα14 απ2) cos1−sin2α154 tansinαcosα1515 答案：A 分析根二倍角公式结合角三角函数基关系求解穆童lzq7IGf02E
104120机排成行20 相邻概率（ ）
A 13 B 25 C 23 D 45穆童zvpgeqJ1hk
答案 C
考点古典概型概率计算公式排列组合实际应排列组合简单计数问题
解析解答解： 4120机排成行 C62种排法 先41全排列插空法20插入进行排列C52种排法 求概率PC52C6223 答案：C 分析根古典概型结合插空法求解穆童NrpoJac3v1
11已知ABC半径1求O球面三点AC⊥BCACBC1三棱锥OABC体积（ ） 穆童1nowfTG4KI
A 212 B 312 C 24 D 34穆童fjnFLDa5Zo
答案 A
考点球面距离相关计算棱柱棱锥棱台体积
解析解答解：记△ABC外接圆圆心O1 AC⊥BCACBC1知O1AB中点AB222 球半径1OAOBOC1OA2+OB2AB2 OO122 OO12+O1C2OC2 OO1⊥O1COO1⊥AB OO1⊥面ABC VO−ABC13·S△ABC·OO113·12·1·1·22212 答案：A 分析根直角三角形性质结合三棱锥外接球性质运三棱锥体积公式直接求解穆童tfnNhnE6e5
12设函数f(x)定义域R f(x+1)奇函数f(x+2)偶函数 x 时 fx)ax2+b ff(3)6 f92) （ ） 穆童HbmVN777sL
A −94 B −32 C 74 D 52穆童V7l4jRB8Hs
答案 D
考点函数奇偶性性质函数值
解析解答解：f(x+1)奇函数f(1)0a+b0ba f(0)f(1+1)f(1+2)f(1)0 f(0)+f(3)6a2 f922+52f2−52f−12f−32+1−f32+1−f12+2−f−12−f32−94a−b−54a52 答案：D 分析根函数奇偶性利函数性质求解穆童83lcPA59W9
二填空题：题4题题5分20分（4题20分）
13曲线 y2x−1x+2 点（13）处切线方程________
答案 5xy+20
考点导数意义直线点斜式方程
解析解答解：题意y＇2x+22x−1x+225x+22 点（13）处切线斜率k5切线方程y+35(x+1)5xy+20 答案：5xy+20 分析根导数意义结合直线点斜式方程求解穆童mZkklkzaaP
14已知量a(31)b(10) ca+kb a⊥ck________
答案−103
考点面量坐标运算数量积判断两面量垂直关系
解析解答解：c→a→+kb→31+k103+k1 a→c→a→c→3·3+k+10 解k−103 答案：−103 分析根量坐标运算结合量垂直判断条件求解穆童AVktR43bpw
15已知F1 F2椭圆C： x216y241 两焦点PQC关坐标原点堆成两点 |||F1F2| 四边形PF1QF2面积________ 穆童ORjBnOwcEd
答案 8
考点椭圆定义三角形中计算
解析解答解：|PQ||F1F2||OP|12|F1F2|PF1⊥PF2 SPF1F22S△PF1F22×b2×tan∠F1PF228 答案：8 分析根椭圆定义直角三角形性质结合三角形面积公式求解穆童2MiJTy0dTT
16已知函数 fx)2cos(ωx+φ) 部分图图示满足条件 （(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0 正整数x________ 穆童gIiSpiue7A
答案 2
考点元二次等式解法余弦函数图象
解析解答解：3T413π12−π33π4Tπω2 点π3代入fx2x+φ 2cos2×π30 23+φπ2 φ−π6 fx2x−π6（(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0 等价fxfx+3>0 fx3fx 图象整数x∈π23π4 x2 答案：2 分析根余弦函数图象性质求解穆童uEh0U1Yfmh
三解答題：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17~21题必考题试题考生必须作答第2223题选考题考生根求作答（5题60分）穆童IAg9qLsgBX
17 甲乙两台机床生产种产品产品质量分级品二级品较两台机床产品质量分两台机床生产200件产品产品质量情况统计表： 穆童WwghWvVhPE
级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床乙机床生产产品中级品频率分少？
（2）否99握认甲机床产品质量乙机床产品质量差异
附： K2n(ad−bc)2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）
答案 （1）（1）题意知：甲机床生产产品中级品频率： 15020034
乙机床生产产品中级品频率： 12020035
（2） K2400+(150×80−50×120)2270×130×200×20040039≈10256>6635穆童asfpsfpi4k
99握认甲机床产品质量乙机床产品质量差异
考点频率分布表独立性检验独立性检验应
解析分析（1）根频率频数总体直接求解
（2）根独立性检验方法直接求解
18已知数列{an｝项均正数记Sn{an｝前n项面①②③中选取两作条件证明外成立 穆童ooeyYZTjj1
①数列{an｝等差数列：②数列{ Sn ｝等差数列③a23a1
注：选择组合分解答第解答计分
答案 选①②作条件证明③：
设 Sn Sn(an+b)2
n1 时 a1S1(a+b)2
n≥2 时 anSn−Sn−1(an+b)2−(an−a+b)2a(2an−a+2b)
{an 等差数列 (a+b)2 解 b0
ana2(2n−1) a2a1
选①③作条件证明②：
a2a1 {an 等差数列
公差 da2a12a1
Sna1+n(n−1)2dn2a1 Sna1n
Sn+1Sna1(n+1)−a1na1
{Sn 等差数列
选②③作条件证明①：
设 Sn Sn(an+b)2
n1 时 a1S1(a+b)2
n≥2 时 anSn−Sn−1(an+b)2−(an−a+b)2a(2an−a+2b)
a2a1 a(3a+2b)3(a+b)2 解 b0 b−4a3
b0 时 a1a2ana2(2n−1) n≥2 时 anan12a2 满足等差数列定义时 {an 等差数列穆童BkeGuInkxI
b−4a3 时 Snan−43a S1a3<0 合题意舍
综知 {an 等差数列
考点数列概念简单表示法等差数列通项公式等差数列前n项
解析分析选(1)(2)做条件时证明 ③：根等差数列定义出 Sn {an 等差数列 进步递推出 ③ a2a1 选 ①③作条件证明②： a2a1 显然 da2a12a1 写出前n项a1n关系式 Sna1n 进证明 {Sn 等差数列 选②③作条件证明①： 先设 Sn 进步形 Sn(an+b)2 根 ansn关系分ｎ１n>1推导出 anan12a2显然 {an 等差数列 穆童PgdO0sRlMo
19已知直三棱柱ABCA1B1C1中侧面AA1B1B正方形AB BC 2EF分ACCC1中点D棱A1B1点BF丄A1B1 穆童3cdXwckm15
（1） 证明：BF⊥DE
（2）B1D值时面BB1C1C面DFE成二面角正弦值？
答案 （1）三棱柱 ABC−A1B1C1 直三棱柱 BB1 底面 ABC BB1穆童h8c52WOngM
A1B1AB BF⊥A1B1 BF⊥AB
BB1 AB⊥ 面 BCC1B1 ．
BABCBB1 两两垂直．
B 坐标原点分 BABCBB1 直线 xyz 轴建立空间直角坐标系图．
B(000)A(200)C(020)B1A1(202)C1(022) 穆童v4bdyGious
E(110)F(021) ．
题设 D(a02) （ 0≤a≤2 ）．
BFDE(1−a1−2)
BFDE0×(1−a)+2×1+1×(−2)0 BF⊥DE ．
（2）设面 DFE 法量 m
EFDE(1−a1−2)
{mEF0m⋅DE0 {−x+y+z0(1−a)x+y−2z0 ．
令 z2−a m
面 BCC1B1 法量 BA
设面 BCC1B1 面 DEF 二面角面角 θ
|θ||m⋅BA||m|⋅|BA|62×2a2−2a+1432a2−2a+14 ．
a12 时 2a2 取值 272
时 cos 取值 327263 ．
(θ)min1−(63)233
时 B112 ．
考点直线面垂直判定空间量求面间夹角二面角面角求法
解析分析（１）根条件先证明 BABCBB1 两两垂直 建立图示空间直角坐标系定义相关点坐标空间量证明 BF⊥DE ． （２）先设 D(a02)设出面 面 DFE 法量 面 BCC1B1 法量 分求出二法量量夹角公式夹角余弦值值时正弦值确定时ａ值B1D值穆童J0bm4qMpJ9
20抛物线C顶点坐标原点O焦点x轴直线L：x 1交CPQ两点OP丄OQ已知点M（20） ⊙ ML相切 穆童XVauA9grYP
（1）求 ⊙ M方程
（2）设A1A2A3C三点直线A1 A2 A1 A3均 ⊙ M相切判断A2A3 ⊙ M位置关系说明理 穆童bR9C6TJscw
答案 （1）题意设抛物线 Cy2y0)Q(1−y0)
∵OP⊥OQ∴OPOQ1−y021−2p0∴2p1
抛物线 C 方程 y2
M(02)⊙M x1 相切半径 1
⊙M 方程 (x−2)2y21
（2）设 A1x1y1)A2(x2y2)A3(x3y3)
A1A2 斜率存 A1A2 方程 x1 x3
A1A2 方程 x1 根称性妨设 A1
A1 圆 M 相切条直线方程 y1
时该直线抛物线交点存 A3 合题意
A1A2 方程 x3 根称性妨设 A13)A2(3−3)
A1 圆 M 相切直线 A1A3 y−333(x−3)
kA1A3y1−y3x1−x31y1+y313+y333∴y30
x3A3(00) 时直线 A1A3A2A3 关 x 轴称
直线 A2A3 圆 M 相切
直线 A1A2A1A3A2A3 斜率均存
kA1A21y1+y2kA1A31y1+y3kA2A31y2+y3
直线 A1A2 方程 y−y11y1+y2(x−x1)
整理 x−(y1y2)y+y1y20
理直线 A1A3 方程 x−(y1y3)y+y1y30
直线 A2A3 方程 x−(y2y3)y+y2y30
∵A1A2 圆 M 相切 ∴|2+y1y21+(y1+y2)21
整理 (y12y22+2y1y2+3−y120
A1A3 圆 M 相切理 (y12y32+2y1y3+3−y120
y2y3 方程 (y12y2+2y1y+3−y120 两根
y2y3−2y1y12−1y2⋅y33−y12y12−1
M 直线 A2A3 距离：
|2+y2y31+(y2+y3)2|2+3−y12y12−1|1+(−2y1y12−1)2
|y12(y12−1)2+4y12y12+1y12+11
直线 A2A3 圆 M 相切
综直线 A1A2A1A3 圆 M 相切直线 A2A3 圆 M 相切
考点面量综合题圆标准方程点极坐标直角坐标互化圆参数方程
解析分析（1） 先设抛物线方程 Cy2 称性知 P(1y0y0) 进OP⊥OQ 容易求出抛物线P值进写出抛物线方程 圆M圆心已知x1相切立刻知道半径容易求M方程 穆童pN9LBDdtrd
（２）先设出A1x1y1)A2(x2y2)A3(x3y3)三点坐标分A1A2 斜率存 直线 A1A2A1A3A2A3 斜率均存讨 分写出相应直线方程根相关直线圆相切条件分代入抛物线方程利达定理点直线距离公式等知识推导结穆童DJ8T7nHuGT
21知a＞0a≠1函数f（x） xaax （x＞0）
（1）a2时求f（x）单调区间
（2）曲线y f（x）直线y1仅两交点求a取值范围
答案 （1） a2 时 f(x)x22xf′(x)2x·2x−x2·2xln2(2x)2x·2x(2−xln2)4x 穆童QF81D7bvUA
令 f＇(x)0 x2ln 0
∴函数 f(x) (02ln] 单调递增 [2ln+∞) 单调递减
（2）f(x)xaaxaxxa⇔xlnaalnx⇔lnxxlnaa 设函数 g(x)lnx 穆童ix6iFA8xoX
g′1−lnxx2 令 g′ xe
(0e) g′ g(x) 单调递增
(e+∞) g′ g(x) 单调递减
∴g(x)max1e
g(1)0 x 趋 +∞ 时 g(x) 趋0
曲线 yf(x) 直线 y1 仅两交点曲线 yg(x) 直线 yaln 两交点充分必条件 0
考点函数单调性导数关系导数值值问题中应
解析分析（1）ａ＝２时函数 f(x)x22x导数研究单调性 （２）首先问题转化方程lnxlnaa两解问题进步转化函数g(x)lnx函数ℎ(x)lna两听问题然利导数研究相关函数单调性函数值进结果穆童Kp5zH46zRk
四选修44：坐标系参数方程］（1题10分）
22直角坐标系xOy中坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C极坐标方程 ρ 2 2 cosθ 穆童Yl4HdOAA61
（1）C极坐标方程化直角坐标方程
（2）设点A直角坐标（10）MC动点点P满足 AP 2AM 写出 P轨迹C1参数方程判断CC1否公点 穆童ch4PJx4BlI
答案 （1）曲线C极坐标方程 ρ22θ ρ22ρcosθ
xρθyρsinθ 代入 x2y222x (x−22+y22
曲线C直角坐标方程 (x−22+y22
（2）设 P(xy) 设 M(22cosθ2sinθ)
∵AP2AM
∴(x−1y)22+2cosθ−12sinθ)(2+2cosθ−22sinθ)
{x−12+2θ−2y2sinθ {x3−2cosθy2sinθ
P轨迹 C1 参数方程 {x3−2cosθy2sinθ （ θ 参数）
∵ 曲线C圆心 (2 半径 2 曲线 C1 圆心 (3−2 半径2
圆心距 3−22 ∵3−222 ∴ 两圆含
曲线C C1 没公点
考点圆标准方程圆圆位置关系判定点极坐标直角坐标互化圆参数方程
解析分析（１）先 ρ22θ 两边方 ρ22ρcosθ 然 xρθyρsinθ换C直角坐标方程 （２）先 设 P(xy) M (22cosθ2sinθ)AP2AM 建立ｘｙθ关系式点P轨迹C1参数方程进步化成直角方程（圆）根两圆圆心距判断位置关系 穆童qd3YfhxCzo
五[选修45：等式选讲]（1题10分）
23已知函数f（x）|x2| g（x） |2x + 3||2x1|
（1）画出f（x）yg（x）图
（2）f（x+a）≥g（x）求a取值范围
答案 （1） f(x)|x−2|{2−xx<2x−2x≥2 画出图：
g(x)|2x+3|−|2x−1|{−4x<−324x+2−32124x≥12 画出函数图：穆童E836L11DO5
（2）f(x+a)|x+a−2|
图坐标系里画出 f(x)g(x) 图
yf(x+a) yf(x) 移 |a| 单位
f(x+a)≥g(x) 需 yf(x) 左移 a>0
yf(x+a) A(12 时 |12 解 a112 −52 （舍）
数形结合需少 yf(x) 左移 112 单位 ∴a≥112
考点函数图象图象变化分段函数解析式求法图象作法等式综合
解析分析（１）先绝值二函数解析式写成分段函数物形式然分段作图 （２）面两函数图象画直角坐标系（注意f（x+a） f（x）图象关系） f（x+a）≥g（x） 确定a取值范围穆童S42ehLvE3M
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