中考数学专题复第二十三讲 圆关概念性质
基础知识回顾
圆定义性质：
1 圆定义：
⑴形成性定义：面线段OA绕固定端点O旋转周端点A旋转形成图形做圆固定端点 线段OA做
⑵描述性定义：圆定点距离等 点集合
赵老师提醒：1圆中圆←决定圆 半径决定圆
2直径圆中 弦弦定锥
2弦弧：
弦：连接圆意两点 做弦
弧：圆意两点间 做弧弧分 三类
3圆称性：
⑴轴称性：圆轴称图形 条称轴 直线称轴
⑵中心称性：圆中心称图形称中心
赵老师提醒：圆仅中心称图形具旋转 性绕圆心旋转意角度原图形重合
二 垂径定理推：
1垂径定理：垂直弦直径 分弦
2推：分弦（ ）直径 分弦
赵老师提醒：1垂径定理推实质指条直线满足：⑴圆心⑵垂直弦⑶分弦⑷分弦优弧⑸分弦劣弧五条件中两推出中三注意解题程中灵活运
2圆中常作辅助线圆心作弦 线
3垂径定理常作计算半径r弦a弦心d弦h中已知两求外两
三圆心角弧弦间关系：
1圆心角定义：顶点 角做圆心角
2定理： 中两圆心角两条弧两条弦中组量 应余组量分
赵老师提醒：注意：该定理前提条件圆等圆中
四 圆周角定理推：
1圆周角定义：顶点 两边圆 角圆周角
2圆周角定理：圆等圆中圆弧等弧圆周角 等条弧圆心角
推1圆等圆中果两圆周角 弧
推2半圆（直弦）圆周角 900圆周角弦
赵老师提醒：1圆中条弦圆心角 圆周角 关系
2 作直弦圆周角圆中常作辅助线
五 圆接四边形：
定义：果边形顶点圆边形做 圆做
性质：圆接四边形角
赵老师提醒：圆接行四边形 圆接梯形
考点：垂径定理
例1 （2012•绍兴）图AD⊙O直径作⊙O接正三角形ABC甲乙两作法分：
甲：1作OD中垂线交⊙OBC两点
2连接ABAC△ABC求三角形
乙：1D圆心OD长半径作圆弧交⊙OBC两点．
2连接ABBCCA．△ABC求三角形．
甲乙两作法判断（ ）
A．甲乙均正确 B．甲乙均错误
C．甲正确乙错误 D．甲错误乙正确
考点：垂径定理等边三角形判定性质含30度角直角三角形．
专题：计算题．
分析：甲思路画出相应图形连接OBBCOD垂直分线OEDEBCOD垂直出OEOD半OB半直角三角形BOE中根直角边等斜边半出直角边角30°∠OBE30°利直角三角形两锐角互余∠BOE60°∠BOE三角形AOB外角OAOB利等边等角外角性质∠ABO30°出∠ABC60°理∠ACB60°利三角形角定理∠BAC60°三角形ABC三角相等进确定三角形ABC等边三角形
乙思路画出相应图形连接OBBDBDODOBOD等量代换出三角形OBD三边相等等边三角形长∠BOE∠DBO60°BC垂直分OD根三线合BE角分线出∠OBE30°∠BOE三角形ABO外角OAOB利等边等角外角性质∠ABO30°出∠ABC60°理∠ACB60°利三角形角定理∠BAC60°三角形ABC三角相等进确定三角形ABC等边三角形进出两作法正确．
解答：解：根甲思路作出图形：
连接OB
∵BC垂直分OD
∴EOD中点OD⊥BC
∴OEDEODOBOD
Rt△OBE中OEOB
∴∠OBE30°∠OEB90°
∴∠BOE60°
∵OAOB∴∠OAB∠OBA
∠BOE△AOB外角
∴∠OAB∠OBA30°
∴∠ABC∠ABO+∠OBE60°
理∠C60°
∴∠BAC60°
∴∠ABC∠BAC∠C
∴△ABC等边三角形
甲作法正确
根乙思路作图：
连接OBBD
∵ODBDODOB
∴ODBDOB
∴△BOD等边三角形
∴∠OBD∠BOD60°
BC垂直分OD∴OMDM
∴BM∠OBD分线
∴∠OBM∠DBM30°
OAOB∠BOD△AOB外角
∴∠BAO∠ABO30°
∴∠ABC∠ABO+∠OBM60°
理∠ACB60°
∴∠BAC60°
∴∠ABC∠ACB∠BAC
∴△ABC等边三角形
乙作法正确
选A
点评：题考查垂径定理等边三角形判定含30°直角三角形判定三角形外角性质等腰三角形性质熟练掌握定理判定解题关键．
应训练
1．（2012•哈尔滨）图⊙O△ABC外接圆∠B60°OP⊥AC点POP2⊙O半径（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
考点：垂径定理含30度角直角三角形圆周角定理．
专题：计算题．
分析：∠B度数利弧圆心角等圆周角2倍求出∠AOC度数OAOC利等边等角角相等利三角形角定理求出∠OAC30°OP垂直AC三角形AOP直角三角形利30°直角边等斜边半根OP长出OA长圆O半径．
解答：解：∵圆心角∠AOC圆周角∠B弧∠B60°
∴∠AOC2∠B120°
OAOC
∴∠OAC∠OCA30°
∵OP⊥AC
∴∠AOP90°
Rt△AOP中OP2∠OAC30°
∴OA2OP4
圆O半径4．
选A
点评：题考查垂径定理圆周角定理等腰三角形性质含30°直角三角形性质熟练掌握定理性质解题关键．
考点二：圆周角定理
例2 （2012•青海）图AB⊙O直径弦CD⊥AB点N点M⊙O∠1∠C
（1）求证：CB∥MD
（2）BC4sinM 求⊙O直径．
考点：圆周角定理垂径定理解直角三角形．
分析：（1）∠C∠M 圆周角根圆等圆中弧等弧圆周角相等∠C∠M∠1∠C易∠1∠M判定CB∥MD
（2）首先连接ACAB⊙O直径∠ACB90°弦CD⊥AB根垂径定理求 继∠A∠MBC4sinM 求⊙O直径．
解答：（1）证明：∵∠C∠M圆周角
∴∠C∠M
∵∠1∠C
∴∠1∠M
∴CB∥MD
（2）解：连接AC
∵AB⊙O直径
∴∠ACB90°
∵CD⊥AB
∴
∴∠A∠M
∴sinAsinM
Rt△ACB中sinA
∵sinMBC4
∴AB6
⊙O直径6．
点评：题考查圆周角定理垂径定理行线判定三角函数等知识．题难度适中注意掌握辅助线作法注意数形结合思想应．
应训练
37．（2012•沈阳）图⊙O△ABC外接圆AB⊙O直径D⊙O点OD⊥AC垂足E连接BD
（1）求证：BD分∠ABC
（2）∠ODB30°时求证：BCOD．
考点：圆周角定理含30度角直角三角形垂径定理．
专题：证明题．
分析：（1）OD⊥AC OD半径根垂径定理 圆等圆中弧等弧圆周角相等证BD分∠ABC
（2）首先OBOD易求∠AOD度数OD⊥ACE求∠A度数然AB⊙O直径根圆周角定理∠ACB90°继证BCOD．
解答：证明：（1）∵OD⊥AC OD半径
∴
∴∠CBD∠ABD
∴BD分∠ABC
（2）∵OBOD
∴∠OBD∠0DB30°
∴∠AOD∠OBD+∠ODB30°+30°60°
∵OD⊥ACE
∴∠OEA90°
∴∠A180°∠OEA∠AOD180°90°60°30°
∵AB⊙O直径
∴∠ACB90°
Rt△ACB中BCAB
∵ODAB
∴BCOD．
点评：题考查圆周角定理垂径定理直角三角形性质等知识．题难度适中注意掌握数形结合思想应．
考点三：圆接四边形性质
例3 （2012•深圳）图⊙C原点两坐标轴分交点A点B点A坐标（03）M第三象限 点∠BMO120°⊙C半径长（ ）
A．6 B．5 C．3 D．3
考点：圆接四边形性质坐标图形性质含30度角直角三角形．
专题：探究型．
分析：先根圆接四边形性质求出∠OAB度数圆周角定理知∠AOB90°出∠ABO度数根直角三角形性质出AB长进出结．
解答：解：∵四边形ABMO圆接四边形∠BMO120°
∴∠BAO60°
∵AB⊙O直径
∴∠AOB90°
∴∠ABO90°∠BAO90°60°30°
∵点A坐标（03）
∴OA3
∴AB2OA6
∴⊙C半径长3．
选C．
点评：题考查圆接四边形性质圆周角定理直角三角形性质熟知圆接四边形角互补性质解答题关键．
应训练
3．（2011•肇庆）图四边形ABCD圆接四边形EBC延长线点∠BAD105°∠DCE（ ）
A．115° B．l05° C．100° D．95°
考点：圆接四边形性质．
专题：计算题．
分析：根圆接四边形角互补∠BAD+∠BCD180°∠BCD∠DEC邻补角∠DCE∠BAD105°．
解答：解：∵四边形ABCD圆接四边形
∴∠BAD+∠BCD180°
∠BCD+∠DCE180°
∴∠DCE∠BAD
∠BAD105°
∴∠DCE105°．
选B．
点评：题考查圆接四边形性质：圆接四边形角互补．考查邻补角定义等角补角相等．
聚焦山东中考
1．（2012•泰安）图AB⊙O直径弦CD⊥AB垂足M列结成立（ ）
A．CMDM B． C．∠ACD∠ADC D．OMMD
考点：垂径定理．
专题：计算题．
分析：直径AB垂直弦CD利垂径定理MCD中点B劣弧中点出AB选项成立AM公边直角相等CMDM利SAS出三角形ACM三角形ADM全等根全等三角形应角相等出选项C成立OM定等MD出选项D成立．
解答：解：∵AB⊙O直径弦CD⊥AB垂足M
∴MCD中点CMDM选项A成立
B中点选项B成立
△ACM△ADM中
∵
∴△ACM≌△ADM（SAS）
∴∠ACD∠ADC选项C成立
OMMD定相等选项D成立．
选D
点评：题考查垂径定理全等三角形判定性质垂径定理：垂直弦直径分弦分弦弧熟练掌握垂径定理解题关键．
2．（2012•东营）某施工工安放圆柱形饮水桶木制支架（图1）计木条厚度俯视图图2示已知AD垂直分BCADBC48cm圆柱形饮水桶底面半径值 cm．
2．30
考点：垂径定理应勾股定理．
分析：圆柱形饮水桶底面半径时圆外接△ABC连接外心B点通勾股定理求出圆半径．
解答：解：连接OB图
⊙O△ABC外接圆时圆柱形饮水桶底面半径．
∵AD垂直分BCADBC48cm
∴O点ADBD24cm
Rt△0BD中设半径rOBrOD48r
∴r2（48r）2+242解r30．
圆柱形饮水桶底面半径值30cm．
答案：30．
点评：题考查实物图转化图形力勾股定理垂径定理讨勾股定理．
3．（2012•泰安）图半径5⊙O中弦AB6点C优弧点（AB重合）cosC值 ．
3．
考点：圆周角定理勾股定理垂径定理锐角三角函数定义．
分析：首先构造直径圆周角利勾股定理出BD长利cosCcosD求出．
解答：解：连接AO延长圆点D连接BD
AD⊙O直径∠ABD90°
∵半径5⊙O中弦AB6AD10
∴BD8
∵∠D∠C
∴cosCcosD
答案：．
点评：题考查勾股定理锐角三角函数定义圆周角定理根已知构造直角三角形ABD解题关键．
4．（2012•青岛）图点ABC⊙O∠AOC60°∠ABC度数 ．
4150°
考点：圆周角定理．
分析：首先优弧取点D连接ADCD圆周角定理求∠ADC度数圆接四边形性质求答案．
解答：解：优弧取点D连接ADCD
∵∠AOC60°
∴∠ADC∠AOC30°
∵∠ABC+∠ADC180°
∴∠ABC180°∠ADC180°30°150°．
答案：150°．
点评：题考查圆周角定理圆接四边形性质．题较简单注意掌握辅助线作法．
备考真题关
选择题
1．（2012•锡）图M（50）圆心4半径圆x轴交AB两点P⊙M异AB动点直线PAPB分交y轴CDCD直径⊙Nx轴交EFEF长（ ）
A．等4 B．等4 C．等6 D．P点位置变化变化
考点：垂径定理勾股定理相似三角形判定性质．
专题：计算题．
分析：连接NE设圆N半径rONxODrxOCr+x证△OBD∽△OCA推出OC：OBOA：OD（r+x）：19：（rx）求出r2x29根垂径定理勾股定理求出答案．
解答：解：连接NE
设圆N半径rONxODrxOCr+x
∵M（50）圆心4半径圆x轴交AB两点
∴OA4+590B541
∵AB⊙M直径
∴∠APB90°（直径圆周角直角）
∵∠BOD90°
∴∠PAB+∠PBA90°∠ODB+∠OBD90°
∵∠PBA∠OBD
∴∠PAB∠ODB
∵∠APB∠BOD90°
∴△OBD∽△OCA
∴
解：（r+x）（rx）9
r2x29
垂径定理：OEOFOE2EN2ON2r2x29
OEOF3
∴EF2OE6
选C．
点评：题考查勾股定理垂径定理相似三角形性质判定应解题关键求出OEOFr2x29考查学生运定理进行推理计算力．
2．（2012•陕西）图半径5⊙O中ABCD互相垂直两条弦垂足PABCD8OP长（ ）
A．3 B．4 C．3 D．4
考点：垂径定理勾股定理．
分析：作OM⊥ABMON⊥CDN连接OPOBOD首先利勾股定理求OM长然判定四边形OMPN正方形求正方形角线长求OM长．
解答：解：作OM⊥ABMON⊥CDN连接OPOBOD
垂径定理勾股定理：OM3
∵弦ABCD互相垂直
∴∠DPB90°
∵OM⊥ABMON⊥CDN
∴∠OMP∠ONP90°
∴四边形MONP正方形
∴OP3
选C．
点评：题考查垂径定理勾股定理知识解题关键正确作出辅助线．
3．（2012•黄冈）图AB⊙O直径弦CD⊥ABE已知CD12BE2⊙O直径（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
考点：垂径定理勾股定理．
分析：连接OC知点ECD中点Rt△OEC中OEOBBEOCBE根勾股定理出OC出直径．
解答：解：连接OC根题意
CECD6BE2．
Rt△OEC中
设OCxOEx2
：（x2）2+62x2
解：x10
直径AB20．
选D．
点评：题垂径定理解直角三角形综合应解题关键利勾股定理构造直角三角形．
4．（2012•河北）图CD⊙O直径AB弦（直径）AB⊥CD点E列结正确（ ）
A．AE＞BE B． C．∠D∠AEC D．△ADE∽△CBE
考点：垂径定理圆周角定理相似三角形判定．
分析：根垂径定理相似三角形判定定理选项进行逐判断．
解答：解：∵CD⊙O直径AB弦（直径）AB⊥CD点E
∴AEBEAB错误
∵∠AEC圆心角
∴∠D≠∠AECC错误
∵∠CEB∠AED∠DAE∠BCE
∴△ADE∽△CBEC正确．
选D．
点评：题考查垂径定理圆周角定理相似三角形判定难度基础题．
5．（2012•重庆）已知：图OAOB⊙O两条半径OA⊥OB点C⊙O∠ACB度数（ ）
A．45° B．35° C．25° D．20°
考点：圆周角定理．
专题：探究型．
分析：直接根圆周角定理进行解答．
解答：解：∵OA⊥OB
∴∠AOB90°
∴∠ACB∠AOB45°．
选A．
点评：题考查圆周角定理圆等圆中弧等弧圆周角相等等条弧圆心角半．
6．（2012•云南）图ABCD⊙O两条弦连接ADBC．∠BAD60°∠BCD度数（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
考点：圆周角定理．
分析：圆等圆中弧等弧圆周角相等求∠BCD度数．
解答：解：∵∠BAD∠BCD圆周角
∴∠BCD∠BAD60°．
选C．
点评：题考查圆周角定理．题较简单注意掌握圆等圆中弧等弧圆周角相等定理应注意数形结合思想应．
7．（2012•襄阳）△ABC⊙O接三角形∠AOC160°∠ABC度数（ ）
A．80° B．160° C．100° D．80°100°
考点：圆周角定理．
分析：首先根题意画出图形圆周角定理求答案∠ABC度数圆接四边四边形性质求∠AB′C度数．
解答：解：图∵∠AOC160°
∴∠ABC∠AOC×160°80°
∵∠ABC+∠AB′C180°
∴∠AB′C180°∠ABC180°80°100°．
∴∠ABC度数：80°100°．
选D．
点评：题考查圆周角定理圆接四边形性质．题难度注意数形结合思想分类讨思想应注意漏解．
8．（2012•泸州）图△ABC中AB⊙O直径∠B60°∠BOD100°∠C度数（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
考点：圆周角定理．
分析：圆等圆中弧等弧圆周角等条弧圆心角半求∠A度数然三角形角定理求∠C度数．
解答：解：∵∠BOD100°
∴∠A∠BOD50°
∵∠B60°
∴∠C180°∠A∠B70°．
选C．
点评：题考查圆周角定理三角形角定理．题难度注意掌握圆等圆中弧等弧圆周角等条弧圆心角半定理应解题关键．
二填空题
9．（2012•阳）图AB⊙O直径CD⊙O条弦CD⊥AB垂足E已知CD6AE1⊙0半径 5
．
9．5
考点：垂径定理勾股定理．
分析：连接OD垂径定理求出DE设⊙O半径R勾股定理出R2（R1）2+32求出R．
解答：解：
连接OD
∵AB⊥CDAB直径
∴垂径定理：DECE3
设⊙O半径R
Rt△ODE中勾股定理：OD2OE2+DE2R2（R1）2+32
解：R5
答案：5．
点评：题考查垂径定理勾股定理应方程思想题目较难度适中．
10．（2012•成）图AB⊙O弦OC⊥ABC．AB20C1半径OB长 2
．
10．2
考点：垂径定理勾股定理．
专题：探究型．
分析：先根垂径定理出BC长Rt△OBC中利勾股定理求出OB长．
解答：解：∵AB⊙O弦OC⊥ABCAB2
∴BCAB
∵0C1
∴Rt△OBC中
OB．
答案：2．
点评：题考查垂径定理勾股定理先求出BC长利勾股定理求出OB长解答题关键．
11．（2012•嘉兴）图⊙O中直径AB丄弦CD点MAM18BM8CD长 24
．
11．24
考点：垂径定理勾股定理．
专题：探究型．
分析：连接ODAM18BM8求出⊙O半径利勾股定理求出MD长根垂径定理出CD长．
解答：解：连接OD
∵AM18BM8
∴OD13
∴OM1385
Rt△ODM中DM
∵直径AB丄弦CD
∴AB2DM2×1224．
答案：24．
点评：题考查垂径定理勾股定理根题意作出辅助线构造出直角三角形解答题关键．
12．（2012•株洲）已知：图⊙O中C圆周∠ACB45°∠AOB ．
12．90°
考点：圆周角定理．
分析：⊙O中C圆周∠ACB45°根圆等圆中弧等弧圆周角等条弧圆心角半求∠AOB度数．
解答：解：∵⊙O中C圆周∠ACB45°
∴∠AOB2∠ACB2×45°90°．
答案：90°．
点评：题考查圆周角定理．题较简单注意掌握圆等圆中弧等弧圆周角等条弧圆心角半定理应注意数形结合思想应．
13．（2012•玉林）图矩形OABC接扇形MONCNCO时∠NMB度数 ．
13．30°
考点：圆周角定理含30度角直角三角形矩形性质．
分析：首先连接OB矩形性质△BOC直角三角形OBON2OC∠BOC度数圆周角定理求∠NMB度数．
解答：解：连接OB
∵CNCO
∴OBON2OC
∵四边形OABC矩形
∴∠BCO90°
∴cos∠BOC
∴∠BOC60°
∴∠NMB∠BOC30°．
答案：30°．
点评：题考查圆周角定理矩形性质特殊角三角函数值．题难度适中注意辅助线作法注意数形结合思想应．
14．（2012•义乌市）图已知点A（02）B（22）C（04）点C右作行x轴射线点P射线动点连接APAP边左侧作等边△APQ连接PBBA．四边形ABPQ梯形：
（1）AB梯形底时点P横坐标
（2）AB梯形腰时点P横坐标 ．
14．（1）（2）0
考点：圆周角定理等边三角形性质梯形解直角三角形．
专题：综合题．
分析：首先根题意画出符合题意图形（1）AB梯形底时PQ∥ABQCP△APQ等边三角形CP∥x轴求答案
（2）AB梯形腰时AQ∥BP易四边形ABPC行四边形求CP长继求点P横坐标．
解答：解：（1）图1：AB梯形底时PQ∥AB
∴QCP
∵△APQ等边三角形CP∥x轴
∴AC垂直分PQ
∵A（02）C（04）
∴AC2
∴PCAC•tan30°2×
∴AB梯形底时点P横坐标：
（2）图2AB梯形腰时AQ∥BP
∴Qy轴
∴BP∥y轴
∵CP∥x轴
∴四边形ABPC行四边形
∴CPAB2
图3CP重合时
∵A（02）B（22）
∴tan∠APC
∴∠APC60°
∵△APQ等边三角形
∴∠PAQ60°
∴∠ACB∠PAQ
∴AQ∥BP
∴CP重合时四边形ABPQAB梯形
时点P横坐标0
∴AB梯形腰时点P横坐标：02．
答案：（1）（2）0．
点评：题考查梯形性质等边三角形性质．题难度适中解题关键根题意画出符合求图形然利数形结合思想求解．
15．（2012•鞍山）图△ABC接⊙OABCD⊙O直径DE⊥AB点EsinA∠D度数 ．
1530°
考点：圆周角定理特殊角三角函数值．
专题：计算题．
分析：圆周角定理特殊角三角函数值求∠CAB30°然根直角三角形两锐角互余性质等腰三角形性质顶角相等求∠EOD∠COB60°直角三角形ODE中求∠D度数．
解答：解：∵AB⊙O直径
∴∠ACB90°（直径圆周角直角）
∵sinA
∴∠CAB30°
∴∠ABC60°（直角三角形两锐角互余）
∵点OAB中点
∴OCOB
∴∠OCBOBC60°
∴∠COB60°
∴∠EOD∠COB60°（顶角相等）
∵DE⊥AB
∴∠D90°60°30°．
答案：30°．
点评：题综合考查圆周角定理特殊角三角函数值．解题时注意直角三角形斜边中线等斜边半知识点利．
三解答题
16．（2012•荆门）图示圆柱形型储油罐固定U型槽横截面图．已知图中ABCD等腰梯形（AB∥DC）支点AB相距8m罐底低点面CD距离1m．设油罐横截面圆心O半径5m∠D56°求：U型槽横截面（阴影部分）面积．（参考数：sin53°≈08tan56°≈15π≈3结果保留整数）
考点：垂径定理应勾股定理等腰梯形性质解直角三角形应．
分析：连接AOBO．点A作AE⊥DC点E点O作ON⊥DC点NON交⊙O点M交AB点FOF⊥AB先根垂径定理求出AF值Rt△AOF中利锐角三角函数定义求出∠AOB度数勾股定理求出OF长根四边形ABCD等腰梯形求出AE长S阴S梯形ABCD（S扇OABS△OAB）出结．
解答：解：图连接AOBO．点A作AE⊥DC点E点O作ON⊥DC点NON交⊙O点M交AB点F．OF⊥AB．
∵OAOB5mAB8m
∴AFBFAB4（m）∠AOB2∠AOF
Rt△AOF中sin∠AOF08sin53°
∴∠AOF53°∠AOB106°
∵OF3（m）题意：MN1m
∴FNOMOF+MN3（m）
∵四边形ABCD等腰梯形AE⊥DCFN⊥AB
∴AEFN3mDCAB+2DE．
Rt△ADE中tan56°
∴DE2mDC12m．
∴S阴S梯形ABCD（S扇OABS△OAB）（8+12）×3（π×52×8×3）20（m2）．
答：U型槽横截面积约20m2．
点评：题考查垂径定理应勾股定理根题意作出辅助线构造出直角三角形等腰梯形利勾股定理进行求解解答题关键．
17．（2012•南通）图⊙O半径17cm弦AB∥CDAB30cmCD16cm圆心O位ABCD方求ABCD距离．
考点：垂径定理勾股定理．
专题：探究型．
分析：点O作弦AB垂线垂足E延长AE交CD点F连接OAOCAB∥CDOF⊥CDEFABCD间距离垂径定理易求AECF长连接OAODC构建直角三角形中根勾股定理求出OEOF长求出EF长弦ABCD间距离．
解答：解：点O作弦AB垂线垂足E延长AE交CD点F连接OAOC
∵AB∥CD
∴OF⊥CD
∵AB30cmCD16cm
∴AEAB×3015cmCFCD×168cm
Rt△AOE中
OE8cm
Rt△OCF中
OF15cm
∴EFOFOE1587cm．
答：ABCD距离7cm．
点评：题考查勾股定理垂径定理根题意作出辅助线构造出直角三角形解答题关键．
18．（2012•宁夏）⊙O中直径AB⊥CD点E连接CO延长交AD点FCF⊥AD．求∠D度数．
考点：垂径定理等边三角形判定性质．
分析：连接BD根行线性质：BD∥CF∠BDC∠C根圆周角定理∠BDC ∠BOC∠C ∠BOC根直角三角形两锐角互余求解．
解答：解：方法：连接BD．
∵AB⊙O直径
∴BD⊥AD
∵CF⊥AD
∴BD∥CF
∴∠BDC∠C．
∵∠BDC∠BOC
∴∠C∠BOC．
∵AB⊥CD
∴∠C30°
∴∠ADC60°．
方法二：设∠Dx
∵CF⊥ADAB⊥CD∠A∠A
∴△AFO∽△AED
∴∠D∠AOFx
∴∠ADC2∠ADC2x
∴x+2x180
∴x60
∴∠ADC60°．
点评：题考查圆周角定理直角三角形性质正确∠C∠BOC解题关键．
19．（2012•长沙）图APBC半径8⊙O四点满足∠BAC∠APC60°
（1）求证：△ABC等边三角形
（2）求圆心OBC距离OD．
考点：圆周角定理等边三角形判定垂径定理解直角三角形．
专题：探究型．
分析：（1）先根圆周角定理出∠ABC度数直接根三角形角定理进行解答
（2）连接OB等边三角形性质知∠OBD30°根OB8利直角三角形性质出结．
解答：解：（1）△ABC中
∵∠BAC∠APC60°
∵∠APC∠ABC
∴∠ABC60°
∴∠ACB180°∠BAC∠ABC180°60°60°60°
∴△ABC等边三角形
（2）∵△ABC等边三角形⊙O外接圆
∴O△ABC外心
∴BO分∠ABC
∴∠OBD30°
∴OD8×4．
点评：题考查圆周角定理等边三角形判定垂径定理解直角三角形等知识知识点机结合旨考查学综合应力．
20．（2012•庆）图△ABC中BC3BC直径⊙O交AC点DDAC中点∠ABC120°．
（1）求∠ACB
（2）求点A直线BC距离．
考点：圆周角定理等腰三角形判定性质含30度角直角三角形．
分析：（1）根垂直分线性质出ABBC进出∠A∠C30°
（2）根BC3∠ACB30°∠BDC90°出CD长进求出AE长度．
解答：解：（1）连接BD
∵BC直径⊙O交AC点D
∴∠BDC90°
∵DAC中点
∴BDAC垂直分线
∴ABBC
∴∠A∠C
∵∠ABC120°
∴∠A∠C30°
∠ACB30°
（2）点A作AE⊥BC点E
∵BC3∠ACB30°∠BDC90°
∴cos30°
∴CD
∵ADCD
∴AC3
∵Rt△AEC中∠ACE30°
∴AE．
点评：题考查圆周角定理等腰三角形判定性质含30度角直角三角形性质根已知出CD长度解题关键．
21．（2012•怀化）图已知AB⊙O弦OB4∠OBC30°点C弦AB意点（点AB重合）连接CO延长CO交⊙O点D连接ADDB．
（1）∠ADC18°时求∠DOB度数
（2）AC2求证：△ACD∽△OCB．
考点：圆周角定理等腰三角形性质勾股定理垂径定理相似三角形判定．
专题：证明题综合题．
分析：（1）连接OA根OAOBOD求出∠DAO∠OAB度数求出∠DAB根圆周角定理求出
（2）O作OE⊥ABE根垂径定理求出AEBE求出AB推出CE重合出∠ACD∠OCB90°求出DC长出 根相似三角形判定推出．
解答：（1）解：连接OA
∵OAOBOD
∴∠OAB∠OBC30°∠OAD∠ADC18°
∴∠DAB∠DAO+∠BAO48°
圆周角定理：∠DOB2∠DAB96°．
（2）证明：O作OE⊥ABE
垂径定理：AEBE
∵Rt△OEB中OB4∠OBC30°
∴OEOB2
勾股定理：BE2AE
AB2AE4
∵AC2
∴BC2
CE两点重合
∴DC⊥AB
∴∠DCA∠OCB90°
∵DCOD+OC2+46OC2ACBC2
∴
∴△ACD∽△OCB（两边应成例夹角相等两三角形相似）．
点评：题综合考查垂径定理圆周角定理相似三角形判定勾股定理等腰三角形性质应考查学生否运性质进行推理题目综合性较强道较题目．
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基础知识回顾
圆定义性质：
1 圆定义：
⑴形成性定义：面线段OA绕固定端点O旋转周端点A旋转形成图形做圆固定端点 线段OA做
⑵描述性定义：圆定点距离等 点集合
赵老师提醒：1圆中圆←决定圆 半径决定圆
2直径圆中 弦弦定锥
2弦弧：
弦：连接圆意两点 做弦
弧：圆意两点间 做弧弧分 三类
3圆称性：
⑴轴称性：圆轴称图形 条称轴 直线称轴
⑵中心称性：圆中心称图形称中心
赵老师提醒：圆仅中心称图形具旋转 性绕圆心旋转意角度原图形重合
二 垂径定理推：
1垂径定理：垂直弦直径 分弦
2推：分弦（ ）直径 分弦
赵老师提醒：1垂径定理推实质指条直线满足：⑴圆心⑵垂直弦⑶分弦⑷分弦优弧⑸分弦劣弧五条件中两推出中三注意解题程中灵活运
2圆中常作辅助线圆心作弦 线
3垂径定理常作计算半径r弦a弦心d弦h中已知两求外两
三圆心角弧弦间关系：
1圆心角定义：顶点 角做圆心角
2定理： 中两圆心角两条弧两条弦中组量 应余组量分
赵老师提醒：注意：该定理前提条件圆等圆中
四 圆周角定理推：
1圆周角定义：顶点 两边圆 角圆周角
2圆周角定理：圆等圆中圆弧等弧圆周角 等条弧圆心角
推1圆等圆中果两圆周角 弧
推2半圆（直弦）圆周角 900圆周角弦
赵老师提醒：1圆中条弦圆心角 圆周角 关系
2 作直弦圆周角圆中常作辅助线
五 圆接四边形：
定义：果边形顶点圆边形做 圆做
性质：圆接四边形角
赵老师提醒：圆接行四边形 圆接梯形
考点：垂径定理
例1 （2012•绍兴）图AD⊙O直径作⊙O接正三角形ABC甲乙两作法分：
甲：1作OD中垂线交⊙OBC两点
2连接ABAC△ABC求三角形
乙：1D圆心OD长半径作圆弧交⊙OBC两点．
2连接ABBCCA．△ABC求三角形．
甲乙两作法判断（ ）
A．甲乙均正确 B．甲乙均错误
C．甲正确乙错误 D．甲错误乙正确
考点：垂径定理等边三角形判定性质含30度角直角三角形．
专题：计算题．
分析：甲思路画出相应图形连接OBBCOD垂直分线OEDEBCOD垂直出OEOD半OB半直角三角形BOE中根直角边等斜边半出直角边角30°∠OBE30°利直角三角形两锐角互余∠BOE60°∠BOE三角形AOB外角OAOB利等边等角外角性质∠ABO30°出∠ABC60°理∠ACB60°利三角形角定理∠BAC60°三角形ABC三角相等进确定三角形ABC等边三角形
乙思路画出相应图形连接OBBDBDODOBOD等量代换出三角形OBD三边相等等边三角形长∠BOE∠DBO60°BC垂直分OD根三线合BE角分线出∠OBE30°∠BOE三角形ABO外角OAOB利等边等角外角性质∠ABO30°出∠ABC60°理∠ACB60°利三角形角定理∠BAC60°三角形ABC三角相等进确定三角形ABC等边三角形进出两作法正确．
解答：解：根甲思路作出图形：
连接OB
∵BC垂直分OD
∴EOD中点OD⊥BC
∴OEDEODOBOD
Rt△OBE中OEOB
∴∠OBE30°∠OEB90°
∴∠BOE60°
∵OAOB∴∠OAB∠OBA
∠BOE△AOB外角
∴∠OAB∠OBA30°
∴∠ABC∠ABO+∠OBE60°
理∠C60°
∴∠BAC60°
∴∠ABC∠BAC∠C
∴△ABC等边三角形
甲作法正确
根乙思路作图：
连接OBBD
∵ODBDODOB
∴ODBDOB
∴△BOD等边三角形
∴∠OBD∠BOD60°
BC垂直分OD∴OMDM
∴BM∠OBD分线
∴∠OBM∠DBM30°
OAOB∠BOD△AOB外角
∴∠BAO∠ABO30°
∴∠ABC∠ABO+∠OBM60°
理∠ACB60°
∴∠BAC60°
∴∠ABC∠ACB∠BAC
∴△ABC等边三角形
乙作法正确
选A
点评：题考查垂径定理等边三角形判定含30°直角三角形判定三角形外角性质等腰三角形性质熟练掌握定理判定解题关键．
应训练
1．（2012•哈尔滨）图⊙O△ABC外接圆∠B60°OP⊥AC点POP2⊙O半径（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
考点：垂径定理含30度角直角三角形圆周角定理．
专题：计算题．
分析：∠B度数利弧圆心角等圆周角2倍求出∠AOC度数OAOC利等边等角角相等利三角形角定理求出∠OAC30°OP垂直AC三角形AOP直角三角形利30°直角边等斜边半根OP长出OA长圆O半径．
解答：解：∵圆心角∠AOC圆周角∠B弧∠B60°
∴∠AOC2∠B120°
OAOC
∴∠OAC∠OCA30°
∵OP⊥AC
∴∠AOP90°
Rt△AOP中OP2∠OAC30°
∴OA2OP4
圆O半径4．
选A
点评：题考查垂径定理圆周角定理等腰三角形性质含30°直角三角形性质熟练掌握定理性质解题关键．
考点二：圆周角定理
例2 （2012•青海）图AB⊙O直径弦CD⊥AB点N点M⊙O∠1∠C
（1）求证：CB∥MD
（2）BC4sinM 求⊙O直径．
考点：圆周角定理垂径定理解直角三角形．
分析：（1）∠C∠M 圆周角根圆等圆中弧等弧圆周角相等∠C∠M∠1∠C易∠1∠M判定CB∥MD
（2）首先连接ACAB⊙O直径∠ACB90°弦CD⊥AB根垂径定理求 继∠A∠MBC4sinM 求⊙O直径．
解答：（1）证明：∵∠C∠M圆周角
∴∠C∠M
∵∠1∠C
∴∠1∠M
∴CB∥MD
（2）解：连接AC
∵AB⊙O直径
∴∠ACB90°
∵CD⊥AB
∴
∴∠A∠M
∴sinAsinM
Rt△ACB中sinA
∵sinMBC4
∴AB6
⊙O直径6．
点评：题考查圆周角定理垂径定理行线判定三角函数等知识．题难度适中注意掌握辅助线作法注意数形结合思想应．
应训练
37．（2012•沈阳）图⊙O△ABC外接圆AB⊙O直径D⊙O点OD⊥AC垂足E连接BD
（1）求证：BD分∠ABC
（2）∠ODB30°时求证：BCOD．
考点：圆周角定理含30度角直角三角形垂径定理．
专题：证明题．
分析：（1）OD⊥AC OD半径根垂径定理 圆等圆中弧等弧圆周角相等证BD分∠ABC
（2）首先OBOD易求∠AOD度数OD⊥ACE求∠A度数然AB⊙O直径根圆周角定理∠ACB90°继证BCOD．
解答：证明：（1）∵OD⊥AC OD半径
∴
∴∠CBD∠ABD
∴BD分∠ABC
（2）∵OBOD
∴∠OBD∠0DB30°
∴∠AOD∠OBD+∠ODB30°+30°60°
∵OD⊥ACE
∴∠OEA90°
∴∠A180°∠OEA∠AOD180°90°60°30°
∵AB⊙O直径
∴∠ACB90°
Rt△ACB中BCAB
∵ODAB
∴BCOD．
点评：题考查圆周角定理垂径定理直角三角形性质等知识．题难度适中注意掌握数形结合思想应．
考点三：圆接四边形性质
例3 （2012•深圳）图⊙C原点两坐标轴分交点A点B点A坐标（03）M第三象限 点∠BMO120°⊙C半径长（ ）
A．6 B．5 C．3 D．3
考点：圆接四边形性质坐标图形性质含30度角直角三角形．
专题：探究型．
分析：先根圆接四边形性质求出∠OAB度数圆周角定理知∠AOB90°出∠ABO度数根直角三角形性质出AB长进出结．
解答：解：∵四边形ABMO圆接四边形∠BMO120°
∴∠BAO60°
∵AB⊙O直径
∴∠AOB90°
∴∠ABO90°∠BAO90°60°30°
∵点A坐标（03）
∴OA3
∴AB2OA6
∴⊙C半径长3．
选C．
点评：题考查圆接四边形性质圆周角定理直角三角形性质熟知圆接四边形角互补性质解答题关键．
应训练
3．（2011•肇庆）图四边形ABCD圆接四边形EBC延长线点∠BAD105°∠DCE（ ）
A．115° B．l05° C．100° D．95°
考点：圆接四边形性质．
专题：计算题．
分析：根圆接四边形角互补∠BAD+∠BCD180°∠BCD∠DEC邻补角∠DCE∠BAD105°．
解答：解：∵四边形ABCD圆接四边形
∴∠BAD+∠BCD180°
∠BCD+∠DCE180°
∴∠DCE∠BAD
∠BAD105°
∴∠DCE105°．
选B．
点评：题考查圆接四边形性质：圆接四边形角互补．考查邻补角定义等角补角相等．
聚焦山东中考
1．（2012•泰安）图AB⊙O直径弦CD⊥AB垂足M列结成立（ ）
A．CMDM B． C．∠ACD∠ADC D．OMMD
考点：垂径定理．
专题：计算题．
分析：直径AB垂直弦CD利垂径定理MCD中点B劣弧中点出AB选项成立AM公边直角相等CMDM利SAS出三角形ACM三角形ADM全等根全等三角形应角相等出选项C成立OM定等MD出选项D成立．
解答：解：∵AB⊙O直径弦CD⊥AB垂足M
∴MCD中点CMDM选项A成立
B中点选项B成立
△ACM△ADM中
∵
∴△ACM≌△ADM（SAS）
∴∠ACD∠ADC选项C成立
OMMD定相等选项D成立．
选D
点评：题考查垂径定理全等三角形判定性质垂径定理：垂直弦直径分弦分弦弧熟练掌握垂径定理解题关键．
2．（2012•东营）某施工工安放圆柱形饮水桶木制支架（图1）计木条厚度俯视图图2示已知AD垂直分BCADBC48cm圆柱形饮水桶底面半径值 cm．
2．30
考点：垂径定理应勾股定理．
分析：圆柱形饮水桶底面半径时圆外接△ABC连接外心B点通勾股定理求出圆半径．
解答：解：连接OB图
⊙O△ABC外接圆时圆柱形饮水桶底面半径．
∵AD垂直分BCADBC48cm
∴O点ADBD24cm
Rt△0BD中设半径rOBrOD48r
∴r2（48r）2+242解r30．
圆柱形饮水桶底面半径值30cm．
答案：30．
点评：题考查实物图转化图形力勾股定理垂径定理讨勾股定理．
3．（2012•泰安）图半径5⊙O中弦AB6点C优弧点（AB重合）cosC值 ．
3．
考点：圆周角定理勾股定理垂径定理锐角三角函数定义．
分析：首先构造直径圆周角利勾股定理出BD长利cosCcosD求出．
解答：解：连接AO延长圆点D连接BD
AD⊙O直径∠ABD90°
∵半径5⊙O中弦AB6AD10
∴BD8
∵∠D∠C
∴cosCcosD
答案：．
点评：题考查勾股定理锐角三角函数定义圆周角定理根已知构造直角三角形ABD解题关键．
4．（2012•青岛）图点ABC⊙O∠AOC60°∠ABC度数 ．
4150°
考点：圆周角定理．
分析：首先优弧取点D连接ADCD圆周角定理求∠ADC度数圆接四边形性质求答案．
解答：解：优弧取点D连接ADCD
∵∠AOC60°
∴∠ADC∠AOC30°
∵∠ABC+∠ADC180°
∴∠ABC180°∠ADC180°30°150°．
答案：150°．
点评：题考查圆周角定理圆接四边形性质．题较简单注意掌握辅助线作法．
备考真题关
选择题
1．（2012•锡）图M（50）圆心4半径圆x轴交AB两点P⊙M异AB动点直线PAPB分交y轴CDCD直径⊙Nx轴交EFEF长（ ）
A．等4 B．等4 C．等6 D．P点位置变化变化
考点：垂径定理勾股定理相似三角形判定性质．
专题：计算题．
分析：连接NE设圆N半径rONxODrxOCr+x证△OBD∽△OCA推出OC：OBOA：OD（r+x）：19：（rx）求出r2x29根垂径定理勾股定理求出答案．
解答：解：连接NE
设圆N半径rONxODrxOCr+x
∵M（50）圆心4半径圆x轴交AB两点
∴OA4+590B541
∵AB⊙M直径
∴∠APB90°（直径圆周角直角）
∵∠BOD90°
∴∠PAB+∠PBA90°∠ODB+∠OBD90°
∵∠PBA∠OBD
∴∠PAB∠ODB
∵∠APB∠BOD90°
∴△OBD∽△OCA
∴
解：（r+x）（rx）9
r2x29
垂径定理：OEOFOE2EN2ON2r2x29
OEOF3
∴EF2OE6
选C．
点评：题考查勾股定理垂径定理相似三角形性质判定应解题关键求出OEOFr2x29考查学生运定理进行推理计算力．
2．（2012•陕西）图半径5⊙O中ABCD互相垂直两条弦垂足PABCD8OP长（ ）
A．3 B．4 C．3 D．4
考点：垂径定理勾股定理．
分析：作OM⊥ABMON⊥CDN连接OPOBOD首先利勾股定理求OM长然判定四边形OMPN正方形求正方形角线长求OM长．
解答：解：作OM⊥ABMON⊥CDN连接OPOBOD
垂径定理勾股定理：OM3
∵弦ABCD互相垂直
∴∠DPB90°
∵OM⊥ABMON⊥CDN
∴∠OMP∠ONP90°
∴四边形MONP正方形
∴OP3
选C．
点评：题考查垂径定理勾股定理知识解题关键正确作出辅助线．
3．（2012•黄冈）图AB⊙O直径弦CD⊥ABE已知CD12BE2⊙O直径（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
考点：垂径定理勾股定理．
分析：连接OC知点ECD中点Rt△OEC中OEOBBEOCBE根勾股定理出OC出直径．
解答：解：连接OC根题意
CECD6BE2．
Rt△OEC中
设OCxOEx2
：（x2）2+62x2
解：x10
直径AB20．
选D．
点评：题垂径定理解直角三角形综合应解题关键利勾股定理构造直角三角形．
4．（2012•河北）图CD⊙O直径AB弦（直径）AB⊥CD点E列结正确（ ）
A．AE＞BE B． C．∠D∠AEC D．△ADE∽△CBE
考点：垂径定理圆周角定理相似三角形判定．
分析：根垂径定理相似三角形判定定理选项进行逐判断．
解答：解：∵CD⊙O直径AB弦（直径）AB⊥CD点E
∴AEBEAB错误
∵∠AEC圆心角
∴∠D≠∠AECC错误
∵∠CEB∠AED∠DAE∠BCE
∴△ADE∽△CBEC正确．
选D．
点评：题考查垂径定理圆周角定理相似三角形判定难度基础题．
5．（2012•重庆）已知：图OAOB⊙O两条半径OA⊥OB点C⊙O∠ACB度数（ ）
A．45° B．35° C．25° D．20°
考点：圆周角定理．
专题：探究型．
分析：直接根圆周角定理进行解答．
解答：解：∵OA⊥OB
∴∠AOB90°
∴∠ACB∠AOB45°．
选A．
点评：题考查圆周角定理圆等圆中弧等弧圆周角相等等条弧圆心角半．
6．（2012•云南）图ABCD⊙O两条弦连接ADBC．∠BAD60°∠BCD度数（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
考点：圆周角定理．
分析：圆等圆中弧等弧圆周角相等求∠BCD度数．
解答：解：∵∠BAD∠BCD圆周角
∴∠BCD∠BAD60°．
选C．
点评：题考查圆周角定理．题较简单注意掌握圆等圆中弧等弧圆周角相等定理应注意数形结合思想应．
7．（2012•襄阳）△ABC⊙O接三角形∠AOC160°∠ABC度数（ ）
A．80° B．160° C．100° D．80°100°
考点：圆周角定理．
分析：首先根题意画出图形圆周角定理求答案∠ABC度数圆接四边四边形性质求∠AB′C度数．
解答：解：图∵∠AOC160°
∴∠ABC∠AOC×160°80°
∵∠ABC+∠AB′C180°
∴∠AB′C180°∠ABC180°80°100°．
∴∠ABC度数：80°100°．
选D．
点评：题考查圆周角定理圆接四边形性质．题难度注意数形结合思想分类讨思想应注意漏解．
8．（2012•泸州）图△ABC中AB⊙O直径∠B60°∠BOD100°∠C度数（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
考点：圆周角定理．
分析：圆等圆中弧等弧圆周角等条弧圆心角半求∠A度数然三角形角定理求∠C度数．
解答：解：∵∠BOD100°
∴∠A∠BOD50°
∵∠B60°
∴∠C180°∠A∠B70°．
选C．
点评：题考查圆周角定理三角形角定理．题难度注意掌握圆等圆中弧等弧圆周角等条弧圆心角半定理应解题关键．
二填空题
9．（2012•阳）图AB⊙O直径CD⊙O条弦CD⊥AB垂足E已知CD6AE1⊙0半径 5
．
9．5
考点：垂径定理勾股定理．
分析：连接OD垂径定理求出DE设⊙O半径R勾股定理出R2（R1）2+32求出R．
解答：解：
连接OD
∵AB⊥CDAB直径
∴垂径定理：DECE3
设⊙O半径R
Rt△ODE中勾股定理：OD2OE2+DE2R2（R1）2+32
解：R5
答案：5．
点评：题考查垂径定理勾股定理应方程思想题目较难度适中．
10．（2012•成）图AB⊙O弦OC⊥ABC．AB20C1半径OB长 2
．
10．2
考点：垂径定理勾股定理．
专题：探究型．
分析：先根垂径定理出BC长Rt△OBC中利勾股定理求出OB长．
解答：解：∵AB⊙O弦OC⊥ABCAB2
∴BCAB
∵0C1
∴Rt△OBC中
OB．
答案：2．
点评：题考查垂径定理勾股定理先求出BC长利勾股定理求出OB长解答题关键．
11．（2012•嘉兴）图⊙O中直径AB丄弦CD点MAM18BM8CD长 24
．
11．24
考点：垂径定理勾股定理．
专题：探究型．
分析：连接ODAM18BM8求出⊙O半径利勾股定理求出MD长根垂径定理出CD长．
解答：解：连接OD
∵AM18BM8
∴OD13
∴OM1385
Rt△ODM中DM
∵直径AB丄弦CD
∴AB2DM2×1224．
答案：24．
点评：题考查垂径定理勾股定理根题意作出辅助线构造出直角三角形解答题关键．
12．（2012•株洲）已知：图⊙O中C圆周∠ACB45°∠AOB ．
12．90°
考点：圆周角定理．
分析：⊙O中C圆周∠ACB45°根圆等圆中弧等弧圆周角等条弧圆心角半求∠AOB度数．
解答：解：∵⊙O中C圆周∠ACB45°
∴∠AOB2∠ACB2×45°90°．
答案：90°．
点评：题考查圆周角定理．题较简单注意掌握圆等圆中弧等弧圆周角等条弧圆心角半定理应注意数形结合思想应．
13．（2012•玉林）图矩形OABC接扇形MONCNCO时∠NMB度数 ．
13．30°
考点：圆周角定理含30度角直角三角形矩形性质．
分析：首先连接OB矩形性质△BOC直角三角形OBON2OC∠BOC度数圆周角定理求∠NMB度数．
解答：解：连接OB
∵CNCO
∴OBON2OC
∵四边形OABC矩形
∴∠BCO90°
∴cos∠BOC
∴∠BOC60°
∴∠NMB∠BOC30°．
答案：30°．
点评：题考查圆周角定理矩形性质特殊角三角函数值．题难度适中注意辅助线作法注意数形结合思想应．
14．（2012•义乌市）图已知点A（02）B（22）C（04）点C右作行x轴射线点P射线动点连接APAP边左侧作等边△APQ连接PBBA．四边形ABPQ梯形：
（1）AB梯形底时点P横坐标
（2）AB梯形腰时点P横坐标 ．
14．（1）（2）0
考点：圆周角定理等边三角形性质梯形解直角三角形．
专题：综合题．
分析：首先根题意画出符合题意图形（1）AB梯形底时PQ∥ABQCP△APQ等边三角形CP∥x轴求答案
（2）AB梯形腰时AQ∥BP易四边形ABPC行四边形求CP长继求点P横坐标．
解答：解：（1）图1：AB梯形底时PQ∥AB
∴QCP
∵△APQ等边三角形CP∥x轴
∴AC垂直分PQ
∵A（02）C（04）
∴AC2
∴PCAC•tan30°2×
∴AB梯形底时点P横坐标：
（2）图2AB梯形腰时AQ∥BP
∴Qy轴
∴BP∥y轴
∵CP∥x轴
∴四边形ABPC行四边形
∴CPAB2
图3CP重合时
∵A（02）B（22）
∴tan∠APC
∴∠APC60°
∵△APQ等边三角形
∴∠PAQ60°
∴∠ACB∠PAQ
∴AQ∥BP
∴CP重合时四边形ABPQAB梯形
时点P横坐标0
∴AB梯形腰时点P横坐标：02．
答案：（1）（2）0．
点评：题考查梯形性质等边三角形性质．题难度适中解题关键根题意画出符合求图形然利数形结合思想求解．
15．（2012•鞍山）图△ABC接⊙OABCD⊙O直径DE⊥AB点EsinA∠D度数 ．
1530°
考点：圆周角定理特殊角三角函数值．
专题：计算题．
分析：圆周角定理特殊角三角函数值求∠CAB30°然根直角三角形两锐角互余性质等腰三角形性质顶角相等求∠EOD∠COB60°直角三角形ODE中求∠D度数．
解答：解：∵AB⊙O直径
∴∠ACB90°（直径圆周角直角）
∵sinA
∴∠CAB30°
∴∠ABC60°（直角三角形两锐角互余）
∵点OAB中点
∴OCOB
∴∠OCBOBC60°
∴∠COB60°
∴∠EOD∠COB60°（顶角相等）
∵DE⊥AB
∴∠D90°60°30°．
答案：30°．
点评：题综合考查圆周角定理特殊角三角函数值．解题时注意直角三角形斜边中线等斜边半知识点利．
三解答题
16．（2012•荆门）图示圆柱形型储油罐固定U型槽横截面图．已知图中ABCD等腰梯形（AB∥DC）支点AB相距8m罐底低点面CD距离1m．设油罐横截面圆心O半径5m∠D56°求：U型槽横截面（阴影部分）面积．（参考数：sin53°≈08tan56°≈15π≈3结果保留整数）
考点：垂径定理应勾股定理等腰梯形性质解直角三角形应．
分析：连接AOBO．点A作AE⊥DC点E点O作ON⊥DC点NON交⊙O点M交AB点FOF⊥AB先根垂径定理求出AF值Rt△AOF中利锐角三角函数定义求出∠AOB度数勾股定理求出OF长根四边形ABCD等腰梯形求出AE长S阴S梯形ABCD（S扇OABS△OAB）出结．
解答：解：图连接AOBO．点A作AE⊥DC点E点O作ON⊥DC点NON交⊙O点M交AB点F．OF⊥AB．
∵OAOB5mAB8m
∴AFBFAB4（m）∠AOB2∠AOF
Rt△AOF中sin∠AOF08sin53°
∴∠AOF53°∠AOB106°
∵OF3（m）题意：MN1m
∴FNOMOF+MN3（m）
∵四边形ABCD等腰梯形AE⊥DCFN⊥AB
∴AEFN3mDCAB+2DE．
Rt△ADE中tan56°
∴DE2mDC12m．
∴S阴S梯形ABCD（S扇OABS△OAB）（8+12）×3（π×52×8×3）20（m2）．
答：U型槽横截面积约20m2．
点评：题考查垂径定理应勾股定理根题意作出辅助线构造出直角三角形等腰梯形利勾股定理进行求解解答题关键．
17．（2012•南通）图⊙O半径17cm弦AB∥CDAB30cmCD16cm圆心O位ABCD方求ABCD距离．
考点：垂径定理勾股定理．
专题：探究型．
分析：点O作弦AB垂线垂足E延长AE交CD点F连接OAOCAB∥CDOF⊥CDEFABCD间距离垂径定理易求AECF长连接OAODC构建直角三角形中根勾股定理求出OEOF长求出EF长弦ABCD间距离．
解答：解：点O作弦AB垂线垂足E延长AE交CD点F连接OAOC
∵AB∥CD
∴OF⊥CD
∵AB30cmCD16cm
∴AEAB×3015cmCFCD×168cm
Rt△AOE中
OE8cm
Rt△OCF中
OF15cm
∴EFOFOE1587cm．
答：ABCD距离7cm．
点评：题考查勾股定理垂径定理根题意作出辅助线构造出直角三角形解答题关键．
18．（2012•宁夏）⊙O中直径AB⊥CD点E连接CO延长交AD点FCF⊥AD．求∠D度数．
考点：垂径定理等边三角形判定性质．
分析：连接BD根行线性质：BD∥CF∠BDC∠C根圆周角定理∠BDC ∠BOC∠C ∠BOC根直角三角形两锐角互余求解．
解答：解：方法：连接BD．
∵AB⊙O直径
∴BD⊥AD
∵CF⊥AD
∴BD∥CF
∴∠BDC∠C．
∵∠BDC∠BOC
∴∠C∠BOC．
∵AB⊥CD
∴∠C30°
∴∠ADC60°．
方法二：设∠Dx
∵CF⊥ADAB⊥CD∠A∠A
∴△AFO∽△AED
∴∠D∠AOFx
∴∠ADC2∠ADC2x
∴x+2x180
∴x60
∴∠ADC60°．
点评：题考查圆周角定理直角三角形性质正确∠C∠BOC解题关键．
19．（2012•长沙）图APBC半径8⊙O四点满足∠BAC∠APC60°
（1）求证：△ABC等边三角形
（2）求圆心OBC距离OD．
考点：圆周角定理等边三角形判定垂径定理解直角三角形．
专题：探究型．
分析：（1）先根圆周角定理出∠ABC度数直接根三角形角定理进行解答
（2）连接OB等边三角形性质知∠OBD30°根OB8利直角三角形性质出结．
解答：解：（1）△ABC中
∵∠BAC∠APC60°
∵∠APC∠ABC
∴∠ABC60°
∴∠ACB180°∠BAC∠ABC180°60°60°60°
∴△ABC等边三角形
（2）∵△ABC等边三角形⊙O外接圆
∴O△ABC外心
∴BO分∠ABC
∴∠OBD30°
∴OD8×4．
点评：题考查圆周角定理等边三角形判定垂径定理解直角三角形等知识知识点机结合旨考查学综合应力．
20．（2012•庆）图△ABC中BC3BC直径⊙O交AC点DDAC中点∠ABC120°．
（1）求∠ACB
（2）求点A直线BC距离．
考点：圆周角定理等腰三角形判定性质含30度角直角三角形．
分析：（1）根垂直分线性质出ABBC进出∠A∠C30°
（2）根BC3∠ACB30°∠BDC90°出CD长进求出AE长度．
解答：解：（1）连接BD
∵BC直径⊙O交AC点D
∴∠BDC90°
∵DAC中点
∴BDAC垂直分线
∴ABBC
∴∠A∠C
∵∠ABC120°
∴∠A∠C30°
∠ACB30°
（2）点A作AE⊥BC点E
∵BC3∠ACB30°∠BDC90°
∴cos30°
∴CD
∵ADCD
∴AC3
∵Rt△AEC中∠ACE30°
∴AE．
点评：题考查圆周角定理等腰三角形判定性质含30度角直角三角形性质根已知出CD长度解题关键．
21．（2012•怀化）图已知AB⊙O弦OB4∠OBC30°点C弦AB意点（点AB重合）连接CO延长CO交⊙O点D连接ADDB．
（1）∠ADC18°时求∠DOB度数
（2）AC2求证：△ACD∽△OCB．
考点：圆周角定理等腰三角形性质勾股定理垂径定理相似三角形判定．
专题：证明题综合题．
分析：（1）连接OA根OAOBOD求出∠DAO∠OAB度数求出∠DAB根圆周角定理求出
（2）O作OE⊥ABE根垂径定理求出AEBE求出AB推出CE重合出∠ACD∠OCB90°求出DC长出 根相似三角形判定推出．
解答：（1）解：连接OA
∵OAOBOD
∴∠OAB∠OBC30°∠OAD∠ADC18°
∴∠DAB∠DAO+∠BAO48°
圆周角定理：∠DOB2∠DAB96°．
（2）证明：O作OE⊥ABE
垂径定理：AEBE
∵Rt△OEB中OB4∠OBC30°
∴OEOB2
勾股定理：BE2AE
AB2AE4
∵AC2
∴BC2
CE两点重合
∴DC⊥AB
∴∠DCA∠OCB90°
∵DCOD+OC2+46OC2ACBC2
∴
∴△ACD∽△OCB（两边应成例夹角相等两三角形相似）．
点评：题综合考查垂径定理圆周角定理相似三角形判定勾股定理等腰三角形性质应考查学生否运性质进行推理题目综合性较强道较题目．
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