31)设粒子处二维限深势阱中
求粒子量征值征波函数 级简度?
解:量征值征函数
时级简级般二度简(偶然简情况)
32)设粒子限制矩形匣子中运动
求粒子量征值征波函数讨级简度
解:量征值征波函数
时
时级简
三者中二者相等第三者等时级般三重简
三者皆相等时级般6度简
33)设粒子处维限深方势阱中
证明处定态粒子
讨情况典力学计算结果相较
证:设粒子处第n征态征函数
(1)
(2)
典情况区间粒子阱壁碰撞(设碰撞时间计弹性碰撞粒子碰撞仅运动方改变动速度变)外回作匀速运动粒子处范围率
(3)
(4)
时量子力学结果典力学结果致
34)设粒子处维限深方势阱中
处基态求粒子动量分布
解:基态波函数 (参P57(12))
动量率分布
35)设粒子处半壁高势场中
(1)
求粒子量征值求少存条束缚级体积
解:分区域写出
(2)
中 (3)
方程解 (4)
根波函数限性求时限
时
(5)
处波函数级导数连续
(6)
两方程相 (7)
(7’)
令 (8)
(7)(3)两方程:
(10)式半径圆束缚态说
结合(3)(8)式知零(10)式表达圆曲线第象限交点决定束缚态级
(11)
时少存束缚态级粒子质量位阱深度宽度限制
3—6)求称势阱中粒子量征值
解:仅讨分立级情况
时
处连续条件
(1)
(1a) (2)
皆正值(1b)知二四象限角
(3)
(1)余切函数周期(2)式
(4)
(3) (5)
结合(4)(5)
(6)
般言定值解相级:
(7)
时仅
束缚态 定时仅 (8)
时束缚态(值少总级)
定时(7)式求出级(级话)相应波函数
中
3—7)设粒子(量)左入射碰列势阱(图)求阱壁处反射系数
解:势阱
区域Ⅰ入射波反射波区域Ⅱ仅透射波
二式消c
反射系数
代入运算
3—8)利Hermite项式递推关系(附录A3式(11))证明
谐振子波函数满足列关系
证明态
证:谐振子波函数 (1)
中化常数 (2)
递推关系 (3)
3—9)利Hermite项式求导公式证明(参A3式(12))
证:A3式(12):
3—10)谐振子处态计算
解:题3—6)
题3—7)
基态刚测准关系规定限
3—11)荷电q谐振子受外电场作
(1)
求量征值征函数
解: (2)
征函数
征值
现征值记症函数记
式(1)势项写成
中 (3)
作坐标移令 (4)
(5)
表成 (6)
(6)式中(2)式中相较易见差变量换成添加常数项知
(7)
(8)
(9)
(10)
中 (11)
3—12)设粒子列势阱中运动
求粒子级
解:然粒子穿入区域应Seq征函数必须处零方面区域征函数谐振子征函数相(区域粒子谐振子完全样粒子波函数谐振子波函数满足样Seq)振子具奇宇称波函数处零波函数问题解(偶宇称波函数满足边条件)
3—13)设粒子列势阱中运动
(1)
否存束缚定态?求存束缚定态条件
解:Seq (2)
束缚态()令 (3)
(4)
积分跃变条件
(5)
处方程(4)化
(6)
边条件
(7)
根点连续条件跃变条件(5)分
(8)
(9)
(8)(9)((9)式利(8)式)
(10)
确定级公式列分析少存条束缚态级条件
势阱出现第条级时
利
(10)式化
少存条束缚态级条件 (11)
纯势阱中存唯束缚级侧存限高势垒时排斥作(表现)束缚态存否受影响纯势阱特征长度
条件(11)改写 (12)
求限高势垒离开势阱较远()保证势阱中束缚态存显然()时左侧限高势垒影响完全忽略时式(10)出
(13)
势阱结完全相
令 式(10)化
(14)
时式(10)(14)解解出根利求出级
(15)
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