第四章 力学量算符表达表象变换
41）设厄米算符厄米算符证明算符均分解均厄米算符
证：ⅰ）
厄米算符
ⅱ）
厄米算符
ⅲ）令
定义 （1）
ⅰ）ⅱ）皆厄米算符
（1）式难解
42）设整函数证明
整函数指展开成
证： （1）先证
理
现
43）定义反易式证明
证：
44）设矢量算符标积矢积定义
Levicivita符号试验证
（1）
（2）
（3）
证：
（1）式左端
（1）式右端化成 （1）式证
（2）式左端 （）
（2）式右端
（2）式成立
（3）式验证仿（2）式
45）设矢量算符标量算符证明
（1）
（2）
证：（1）式右端
（1）式左端
（2）式右端
（2）式左端
46）设构成标量算符证明
（1）
证： （2）
（3）
理证 （4）
（5）
式（3）（4）（5）代入式（2）（1）式证
47）证明
证：
利基易式
次易
48）证明 （1）
（2）
（3）
（4）
证 （1）利公式
中
（2）利公式 （Δ）
①
②
③
①②③（2）证
（3）
（4）式分量加证明44）（2）
中
（）
类似分量分量公式（4）题证
49）定义径动量算符
证明：
证：
厄米算符
48）（1）
中
左式项
410)利测准关系估算谐振子基态量
解：维谐振子量
奇
（(38)(39)题知）
测准关系
理
谐振子（三维）基态量
411) 利测准关系估算类氢原子中电子基态量
解：类氢原子中关电子讨氢原子讨十分相似氢原子中关公式中核电荷数换成（氢原子系数）理解相应约化质量玻尔轨迹半径 类氢原子中变
类氢原子基态波函数仅函数
考虑径测准关系 类氢原子径量：
果考虑基态写
轭
（1）
求极值
（：玻尔半径：类氢原子中电子基态轨迹半径）代入（1）式
基态量
运算中做严格代换作估算允许
412)证明分立量征态动量均值0
证：设定态波函数空间部分
求均值注意坐标算符易关系：
里已基易关系
里厄米性
结果作般结果推广果厄米算符表示两厄米算符易子征态中均值必0
413）证明征态
（提示：利求均）
证：设征态征值
理：
414) 设粒子处状态求
解：记征态满足征方程
利基易式
算符关系
式态求均作均变成征值两项均值贡献互相抵消
题已证
理
415)设体系处状态（已化）求
（a）测值均值
（b）测值相应率
（c）测值相应率
解：
（a）已化测值0相应率均值
（b）测值相应率
（c）0（）测值：0
1）空间角化表象中矩阵
求征矢令
ⅰ）取征矢化征矢
ⅱ）取征矢化征矢
ⅲ）取化征矢
态 取振幅取率取振幅相应率
取振幅相应率总率
2）空间角化表象中矩阵
利
征方程
ⅰ）征矢态测振幅率
ⅱ）征矢态测振幅率
ⅲ）征矢态测率
ⅳ）征矢态测振幅率
ⅴ）征矢态测率
态中测（）值率分：
416）设属级三简态彼线形独立正交试利构成组彼正交波函数
解：
化
正交然简（验证：应级）
417）设矩阵等证明
表示矩阵相应行列式值代表矩阵角元素
证：（1）定义
式写成：
中意置换
（2）
（3）
（4）
（5）
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41）设厄米算符厄米算符证明算符均分解均厄米算符
证：ⅰ）
厄米算符
ⅱ）
厄米算符
ⅲ）令
定义 （1）
ⅰ）ⅱ）皆厄米算符
（1）式难解
42）设整函数证明
整函数指展开成
证： （1）先证
理
现
43）定义反易式证明
证：
44）设矢量算符标积矢积定义
Levicivita符号试验证
（1）
（2）
（3）
证：
（1）式左端
（1）式右端化成 （1）式证
（2）式左端 （）
（2）式右端
（2）式成立
（3）式验证仿（2）式
45）设矢量算符标量算符证明
（1）
（2）
证：（1）式右端
（1）式左端
（2）式右端
（2）式左端
46）设构成标量算符证明
（1）
证： （2）
（3）
理证 （4）
（5）
式（3）（4）（5）代入式（2）（1）式证
47）证明
证：
利基易式
次易
48）证明 （1）
（2）
（3）
（4）
证 （1）利公式
中
（2）利公式 （Δ）
①
②
③
①②③（2）证
（3）
（4）式分量加证明44）（2）
中
（）
类似分量分量公式（4）题证
49）定义径动量算符
证明：
证：
厄米算符
48）（1）
中
左式项
410)利测准关系估算谐振子基态量
解：维谐振子量
奇
（(38)(39)题知）
测准关系
理
谐振子（三维）基态量
411) 利测准关系估算类氢原子中电子基态量
解：类氢原子中关电子讨氢原子讨十分相似氢原子中关公式中核电荷数换成（氢原子系数）理解相应约化质量玻尔轨迹半径 类氢原子中变
类氢原子基态波函数仅函数
考虑径测准关系 类氢原子径量：
果考虑基态写
轭
（1）
求极值
（：玻尔半径：类氢原子中电子基态轨迹半径）代入（1）式
基态量
运算中做严格代换作估算允许
412)证明分立量征态动量均值0
证：设定态波函数空间部分
求均值注意坐标算符易关系：
里已基易关系
里厄米性
结果作般结果推广果厄米算符表示两厄米算符易子征态中均值必0
413）证明征态
（提示：利求均）
证：设征态征值
理：
414) 设粒子处状态求
解：记征态满足征方程
利基易式
算符关系
式态求均作均变成征值两项均值贡献互相抵消
题已证
理
415)设体系处状态（已化）求
（a）测值均值
（b）测值相应率
（c）测值相应率
解：
（a）已化测值0相应率均值
（b）测值相应率
（c）0（）测值：0
1）空间角化表象中矩阵
求征矢令
ⅰ）取征矢化征矢
ⅱ）取征矢化征矢
ⅲ）取化征矢
态 取振幅取率取振幅相应率
取振幅相应率总率
2）空间角化表象中矩阵
利
征方程
ⅰ）征矢态测振幅率
ⅱ）征矢态测振幅率
ⅲ）征矢态测率
ⅳ）征矢态测振幅率
ⅴ）征矢态测率
态中测（）值率分：
416）设属级三简态彼线形独立正交试利构成组彼正交波函数
解：
化
正交然简（验证：应级）
417）设矩阵等证明
表示矩阵相应行列式值代表矩阵角元素
证：（1）定义
式写成：
中意置换
（2）
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