题（P13）
2设量值函数证明：
（1）常数仅
（2）方变仅
（1）证明：常数常数常数
（2）注意：
方变单位量常量
单位量常量
反设单位量
单位量
常量
方变单位量常量
方变仅
补充：
定理 行固定面充条件
证明：：行固定面设面法量常量
：
方固定行固定面
令
3证明性质11性质12
性质11（1）证明：设
（2）证明：设
（3）证明：设
理
性质12
证明：（1）
证明：（2）
4设正交标架置换证明：
（1）正交标架
（2）定相仅偶置换
（1）证明：时
时
正交标架
（2）证明：
A)
B)
C)
D) 时
E)
F)
定相仅偶置换
题二（P28）
1 求列曲线弧长曲率：
（1）
解：
2 设曲线证明曲率
证明：
3 设曲线C极坐标表示证明曲线C曲率表达式
证明：
4 求列曲线曲率挠率：
（4）
解：
5 证明：正曲线曲率挠率分
证明：
根弗雷特标架运动方程
：
6．证明：曲线
弧长参数求出曲率挠率Frenet标架
证明：1）
该曲线弧长参数
2）
3）求Frenet标架中
10设中合变换中正曲线求曲线曲线弧长参数曲率挠率间关系
解：（1）
见曲线相差常数外相弧长参数
（2）
见曲线相曲率
（3）
见曲线曲率相差符号
13（1）求曲率（弧长参数）面曲线
解：设求面曲线弧长参数
设曲率定义知
求面曲线
20证明：曲线曲线合
证明：1）曲线作参数变换 知圆柱螺线()曲率挠率分证明曲线曲率挠率根曲线基定理通刚体运动彼重合
2）面计算曲线曲率挠率
进
21证明：定理44
定理44 设连续微函数
（1） 存面曲线弧长参数曲率
（2） 述曲线相差刚体运动意义唯
证明：先证明（1）考虑面阶微分方程组
定初值中中然标架定相正交标架微分方程组理唯组解满足初始条件：
求曲线必Frenet标架首先证明
均然定相正交标架
微分方程组改写成
中
反称矩阵令
求导利：
表明微分方程组
解
定义
微分方程组解
注意：微分方程组
满足初始条件唯解
均正交标架
关连续函数
知
见
均然定相正交标架
微分方程组：
表明弧长参数推出单位切量推出曲线曲率推出单位正法量
见微分方程组满足初始条件：
唯组确表明：存面曲线弧长参数曲率连续微函数时
证明（2）：设面中两条弧长参数曲线定义参数区间存刚体运动
曲线变
证明开始：设考虑两条曲线处Frenet标架
存面中刚体运动第二标架变第标架处Frenet标架重合须证明曲线处Frenet标架重合时
曲线Frenet标架标架运动方程
关量值函数常微分方程曲线Frenet标架Frenet标架微分方程组解处重合意味着两组解初值相等解初值唯性定理立定理证明完成
题三（P68）
2（1）什曲面？
解：
4证明：曲面切面原点
证明：妨假定方程确定隐函数
设
处切面
易见时：
结真
6 证明：曲面点切面等曲面点曲线点切量全体
证明：设曲面参数方程令参数区域中参数曲线曲面点曲线
表明曲线点切量线性表出见点切量点切面方面意切量
参数区域中取方参数曲线
时
表明：点切面中量点某曲线位点切量
：曲面点切面等曲面点曲线点切量全体
25 求双曲抛物面Gauss曲率均曲率曲率应方
解：
中
Gauss曲率：
均曲率：
曲率：
应方
中
理曲率：
应方
注：设外恩格尔登变换
补充：定理
（1）函数曲率充条件
（2）方 d dudv 方充条件
证明：（1）设应方
分式两边作积
方满足
全零
（2）脐点 知中两方程成恒等式时方方
非脐点分代入
相应方
改写成
全零
28．曲面条曲线称曲率线果曲线点切量曲面该点方证明：曲线曲率线仅着行
证明： 设外恩格尔登变换
曲线曲率线仅着行
29设曲面参数表示证明：曲面参数曲线
曲率线充条件
证明：曲面参数曲线记曲率线等价曲线点切量曲面该点方曲线点
理曲面参数曲线记曲率线等价曲线点切量曲面该点方曲线点
显然（假矛盾）
曲面参数曲线曲率线充条件
35曲面极曲面证明：相差常数外写成
曲面称Scherk面
证明：设曲面参数方程
式化
(1)
式左边函数右边函数常数设常数
时(1)知中常数 该极曲面面中(Scherk曲面)
面设(1)令
轴方作移设积分
理
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2设量值函数证明：
（1）常数仅
（2）方变仅
（1）证明：常数常数常数
（2）注意：
方变单位量常量
单位量常量
反设单位量
单位量
常量
方变单位量常量
方变仅
补充：
定理 行固定面充条件
证明：：行固定面设面法量常量
：
方固定行固定面
令
3证明性质11性质12
性质11（1）证明：设
（2）证明：设
（3）证明：设
理
性质12
证明：（1）
证明：（2）
4设正交标架置换证明：
（1）正交标架
（2）定相仅偶置换
（1）证明：时
时
正交标架
（2）证明：
A)
B)
C)
D) 时
E)
F)
定相仅偶置换
题二（P28）
1 求列曲线弧长曲率：
（1）
解：
2 设曲线证明曲率
证明：
3 设曲线C极坐标表示证明曲线C曲率表达式
证明：
4 求列曲线曲率挠率：
（4）
解：
5 证明：正曲线曲率挠率分
证明：
根弗雷特标架运动方程
：
6．证明：曲线
弧长参数求出曲率挠率Frenet标架
证明：1）
该曲线弧长参数
2）
3）求Frenet标架中
10设中合变换中正曲线求曲线曲线弧长参数曲率挠率间关系
解：（1）
见曲线相差常数外相弧长参数
（2）
见曲线相曲率
（3）
见曲线曲率相差符号
13（1）求曲率（弧长参数）面曲线
解：设求面曲线弧长参数
设曲率定义知
求面曲线
20证明：曲线曲线合
证明：1）曲线作参数变换 知圆柱螺线()曲率挠率分证明曲线曲率挠率根曲线基定理通刚体运动彼重合
2）面计算曲线曲率挠率
进
21证明：定理44
定理44 设连续微函数
（1） 存面曲线弧长参数曲率
（2） 述曲线相差刚体运动意义唯
证明：先证明（1）考虑面阶微分方程组
定初值中中然标架定相正交标架微分方程组理唯组解满足初始条件：
求曲线必Frenet标架首先证明
均然定相正交标架
微分方程组改写成
中
反称矩阵令
求导利：
表明微分方程组
解
定义
微分方程组解
注意：微分方程组
满足初始条件唯解
均正交标架
关连续函数
知
见
均然定相正交标架
微分方程组：
表明弧长参数推出单位切量推出曲线曲率推出单位正法量
见微分方程组满足初始条件：
唯组确表明：存面曲线弧长参数曲率连续微函数时
证明（2）：设面中两条弧长参数曲线定义参数区间存刚体运动
曲线变
证明开始：设考虑两条曲线处Frenet标架
存面中刚体运动第二标架变第标架处Frenet标架重合须证明曲线处Frenet标架重合时
曲线Frenet标架标架运动方程
关量值函数常微分方程曲线Frenet标架Frenet标架微分方程组解处重合意味着两组解初值相等解初值唯性定理立定理证明完成
题三（P68）
2（1）什曲面？
解：
4证明：曲面切面原点
证明：妨假定方程确定隐函数
设
处切面
易见时：
结真
6 证明：曲面点切面等曲面点曲线点切量全体
证明：设曲面参数方程令参数区域中参数曲线曲面点曲线
表明曲线点切量线性表出见点切量点切面方面意切量
参数区域中取方参数曲线
时
表明：点切面中量点某曲线位点切量
：曲面点切面等曲面点曲线点切量全体
25 求双曲抛物面Gauss曲率均曲率曲率应方
解：
中
Gauss曲率：
均曲率：
曲率：
应方
中
理曲率：
应方
注：设外恩格尔登变换
补充：定理
（1）函数曲率充条件
（2）方 d dudv 方充条件
证明：（1）设应方
分式两边作积
方满足
全零
（2）脐点 知中两方程成恒等式时方方
非脐点分代入
相应方
改写成
全零
28．曲面条曲线称曲率线果曲线点切量曲面该点方证明：曲线曲率线仅着行
证明： 设外恩格尔登变换
曲线曲率线仅着行
29设曲面参数表示证明：曲面参数曲线
曲率线充条件
证明：曲面参数曲线记曲率线等价曲线点切量曲面该点方曲线点
理曲面参数曲线记曲率线等价曲线点切量曲面该点方曲线点
显然（假矛盾）
曲面参数曲线曲率线充条件
35曲面极曲面证明：相差常数外写成
曲面称Scherk面
证明：设曲面参数方程
式化
(1)
式左边函数右边函数常数设常数
时(1)知中常数 该极曲面面中(Scherk曲面)
面设(1)令
轴方作移设积分
理
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