2006年普通高等学校招生全国统考试（全国卷Ⅰ）数学（文）试题
选择题：
1 已知量满足|| 1|| 4夹角
A B C D
2 设集合M {x|}N { x | |x|}
AM∩NΦ BM∩NM C M∪NM DM∪NR
3已知函数y ex图函数y f（x）图关直线 y x称
A B
C D
4双曲线虚轴长实轴长2倍m
A B 4 C4 D
5设等差数列{}前n项
A8 B7 C6 D5
6函数单调增区间
A B
C D
7圆外点P（32）圆作两条切线两切线夹角余弦值
A B C D0
8△ABC角ABC边分abcabc成等数列c 2acosB
A B C D
9已知顶点球面正四棱柱高4体积16球表面积
A16π B20π C24π D32π
10展开式中x系数
A 120 B120 C 15 D15
11抛物线点直线4x + 3y 8 0距离值
A B C D3
12长度分23456（单位：cm）5根细木棒围成三角形（允许连接允许折断）够三角形面积
A cm2 B cm2 C cm2 D20cm2
二 填空题：
13已知函数f（x）奇函数a
14已知正四棱锥体积12底面角线长侧面底面成二面角等
15设 z 2y – x 式中变量xy满足条件z值
16安排7位工作员5月1日5月7日值班值班天中甲乙二安排5月1日2日安排方法 种（数字作答）
三 解答题：
17（题满分12分）已知{}等数列求{}通项公式
18（题满分12分）△ABC三角ABC求A值时取值求出值
19（题满分12分）AB治疗种疾病两种药干试验组进行试验试验组4白鼠组成中2服A2服B然观察疗效试验组中服A效白鼠数服B效称该试验组甲类组设白鼠服A效概率服B效概率
（Ⅰ）求试验组甲类组概率
（Ⅱ）观察3试验组求3试验组中少甲类组概率
B
M
A
N
C
20（题满分12分）图互相垂直异面直线MN公垂线线段
点ABCAM MB MN
（Ⅰ）证明AC⊥NB
（Ⅱ）∠ACB 60°求NB面ABC成角余弦值
21（题满分12分）设P椭圆短轴端点Q椭圆动点求值
22（题满分14分）设实数函数增函数求
取值范围
参考答案
．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
A
D
C
B
B
C
C
A
B
1．量满足设夹角θcosθ
∴ θ选C
2．集合∴ 选B
3．函数图象函数图象关直线称反函数∴ 选D
4．双曲线虚轴长实轴长2倍∴ m<0双曲线方程∴ m选A
5．等差数列前项 ∴ 选D
6．函数单调增区间满足
∴ 单调增区间选C
7．圆圆心M(11)半径1外点圆作两条切线点P圆心M距离等条切线PM夹角正切值等两切线夹角正切值该角余弦值等选B
8．中abc成等数列ba
选B
9．正四棱柱高4体积16底面积4正方形边长2正四棱柱角线长球直径2∴ 球半径球表面积选C
10．展开式中x4项－15x4选C
11．设抛物线点(m－m2)该点直线距离m时取值选A
12．25连接34连接边第三边长7组成三角形三角形面积面积选B
二．填空题：题４题题４分１６分答案填横线
13 14 15 11 162400
13．函数奇函数a
14．正四棱锥体积12底面角线长底面边长2底面积12正四棱锥高3侧面底面成二面角正切tanα ∴ 二面角等60°
15．坐标系中画出图象三条线交点分A(01)B(71)C(37)△ABC中满足值点C代入值等11
16．先安排甲乙两5天值班20种排法余5进行排列120种排法20×1202400种安排方法
三．解答题：
17解 设等数列{an}公q q≠0 a2 a4a3q2q
+ 2q 解q1 q2 3
q1 a118 an18×()n－1 2×33－n
q3时 a1 an×3n－12×3n－3
18解 A+B+Cπ － cos sin
cosA+2cos cosA+2sin 1－2sin2 + 2sin
－2(sin － )2+
sin A时 cosA+2cos取值
19 解 (1)设Ai表示事件试验组中服A效鼠i i012
Bi表示事件试验组中服B效鼠i i012
题意 P(A1)2×× P(A2) × P(B0) ×
P(B1)2× × 求概率 PP(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)
× + × + ×
(Ⅱ)求概率 P1－(1－)3
A
B
M
N
C
l2
l1
H
20解法 (Ⅰ)已知l2⊥MN l2⊥l1 MN∩l1 M l2⊥面ABN已知MN⊥l1 AMMBMN知ANNBAN⊥NB ANAC面ABN射影
∴AC⊥NB
（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB ∴ACBC已知∠ACB60°△ABC正三角形
∵Rt△ANB≌Rt△CNB ∴NCNANBN面ABC射影H正三角形ABC中心连结BH∠NBHNB面ABC成角
A
B
M
N
C
l2
l1
H
x
y
z
Rt△NHB中cos∠NBH
解法二 图建立空间直角坐标系M－xyz令MN1 A(－100)B(100)N(010)
(Ⅰ)∵MN l1l2公垂线 l1⊥l2 ∴l2⊥面ABN l2行z轴 设C(01m) (11m) (1－10) ∴·1+(－1)+00 ∴AC⊥NB
(Ⅱ)∵ (11m) (－11m) ∴|||| 已知∠ACB60°∴△ABC正三角形ACBCAB2 Rt△CNB中NB NCC(01 )
连结MC作NH⊥MCH设H(0λ λ) (λ>0) ∴(01－λ－λ)
(01 ) · 1－λ－2λ0 ∴λ
∴H(0 ) (0 － ) 连结BH(－1 )
∵·0+ － 0 ∴⊥ MC∩BHH∴HN⊥面ABC
∠NBHNB面ABC成角(－110)
∴cos∠NBH
21 解 题意设P(01)Q(xy) |PQ|Q椭圆
x2a2(1－y2) |PQ|2 a2(1－y2)+y2－2y+1(1－a2)y2－2y+1+a2
(1－a2)(y－ )2－+1+a2
|y|≤1a>1 a≥ ||≤1 y时 |PQ|取值
122 解 f ＇ (x)3x2－2ax+(a2－1)判式△4a2－12a2+1212－8a2
(ⅰ)△12－8a20 a± x∈(－∞) x∈( +∞)时 f ＇(x)>0 f(x)(－∞+ ∞)增函数 a±
(ⅱ)△12－8a2<0 恒f ＇(x)>0 f(x)(－∞+ ∞)增函数 a2>
a∈(－∞－ )∪( +∞)
(ⅲ)△12－8a2>0－x∈(－∞x1)x∈(x2+ ∞)时 f ＇(x)>0 f(x)增函数 x∈(x1x2)时 f ＇(x)<0f(x)减函数 题意x1≥0x2≤1 x1≥0a≥解 1≤a<
x2≤1≤3－a 解 －综a取值范围(－∞－ ]∪[ +∞) ∪[1 )a∈(－∞－ ]∪[1∞)
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选择题：
1 已知量满足|| 1|| 4夹角
A B C D
2 设集合M {x|}N { x | |x|}
AM∩NΦ BM∩NM C M∪NM DM∪NR
3已知函数y ex图函数y f（x）图关直线 y x称
A B
C D
4双曲线虚轴长实轴长2倍m
A B 4 C4 D
5设等差数列{}前n项
A8 B7 C6 D5
6函数单调增区间
A B
C D
7圆外点P（32）圆作两条切线两切线夹角余弦值
A B C D0
8△ABC角ABC边分abcabc成等数列c 2acosB
A B C D
9已知顶点球面正四棱柱高4体积16球表面积
A16π B20π C24π D32π
10展开式中x系数
A 120 B120 C 15 D15
11抛物线点直线4x + 3y 8 0距离值
A B C D3
12长度分23456（单位：cm）5根细木棒围成三角形（允许连接允许折断）够三角形面积
A cm2 B cm2 C cm2 D20cm2
二 填空题：
13已知函数f（x）奇函数a
14已知正四棱锥体积12底面角线长侧面底面成二面角等
15设 z 2y – x 式中变量xy满足条件z值
16安排7位工作员5月1日5月7日值班值班天中甲乙二安排5月1日2日安排方法 种（数字作答）
三 解答题：
17（题满分12分）已知{}等数列求{}通项公式
18（题满分12分）△ABC三角ABC求A值时取值求出值
19（题满分12分）AB治疗种疾病两种药干试验组进行试验试验组4白鼠组成中2服A2服B然观察疗效试验组中服A效白鼠数服B效称该试验组甲类组设白鼠服A效概率服B效概率
（Ⅰ）求试验组甲类组概率
（Ⅱ）观察3试验组求3试验组中少甲类组概率
B
M
A
N
C
20（题满分12分）图互相垂直异面直线MN公垂线线段
点ABCAM MB MN
（Ⅰ）证明AC⊥NB
（Ⅱ）∠ACB 60°求NB面ABC成角余弦值
21（题满分12分）设P椭圆短轴端点Q椭圆动点求值
22（题满分14分）设实数函数增函数求
取值范围
参考答案
．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
A
D
C
B
B
C
C
A
B
1．量满足设夹角θcosθ
∴ θ选C
2．集合∴ 选B
3．函数图象函数图象关直线称反函数∴ 选D
4．双曲线虚轴长实轴长2倍∴ m<0双曲线方程∴ m选A
5．等差数列前项 ∴ 选D
6．函数单调增区间满足
∴ 单调增区间选C
7．圆圆心M(11)半径1外点圆作两条切线点P圆心M距离等条切线PM夹角正切值等两切线夹角正切值该角余弦值等选B
8．中abc成等数列ba
选B
9．正四棱柱高4体积16底面积4正方形边长2正四棱柱角线长球直径2∴ 球半径球表面积选C
10．展开式中x4项－15x4选C
11．设抛物线点(m－m2)该点直线距离m时取值选A
12．25连接34连接边第三边长7组成三角形三角形面积面积选B
二．填空题：题４题题４分１６分答案填横线
13 14 15 11 162400
13．函数奇函数a
14．正四棱锥体积12底面角线长底面边长2底面积12正四棱锥高3侧面底面成二面角正切tanα ∴ 二面角等60°
15．坐标系中画出图象三条线交点分A(01)B(71)C(37)△ABC中满足值点C代入值等11
16．先安排甲乙两5天值班20种排法余5进行排列120种排法20×1202400种安排方法
三．解答题：
17解 设等数列{an}公q q≠0 a2 a4a3q2q
+ 2q 解q1 q2 3
q1 a118 an18×()n－1 2×33－n
q3时 a1 an×3n－12×3n－3
18解 A+B+Cπ － cos sin
cosA+2cos cosA+2sin 1－2sin2 + 2sin
－2(sin － )2+
sin A时 cosA+2cos取值
19 解 (1)设Ai表示事件试验组中服A效鼠i i012
Bi表示事件试验组中服B效鼠i i012
题意 P(A1)2×× P(A2) × P(B0) ×
P(B1)2× × 求概率 PP(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)
× + × + ×
(Ⅱ)求概率 P1－(1－)3
A
B
M
N
C
l2
l1
H
20解法 (Ⅰ)已知l2⊥MN l2⊥l1 MN∩l1 M l2⊥面ABN已知MN⊥l1 AMMBMN知ANNBAN⊥NB ANAC面ABN射影
∴AC⊥NB
（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB ∴ACBC已知∠ACB60°△ABC正三角形
∵Rt△ANB≌Rt△CNB ∴NCNANBN面ABC射影H正三角形ABC中心连结BH∠NBHNB面ABC成角
A
B
M
N
C
l2
l1
H
x
y
z
Rt△NHB中cos∠NBH
解法二 图建立空间直角坐标系M－xyz令MN1 A(－100)B(100)N(010)
(Ⅰ)∵MN l1l2公垂线 l1⊥l2 ∴l2⊥面ABN l2行z轴 设C(01m) (11m) (1－10) ∴·1+(－1)+00 ∴AC⊥NB
(Ⅱ)∵ (11m) (－11m) ∴|||| 已知∠ACB60°∴△ABC正三角形ACBCAB2 Rt△CNB中NB NCC(01 )
连结MC作NH⊥MCH设H(0λ λ) (λ>0) ∴(01－λ－λ)
(01 ) · 1－λ－2λ0 ∴λ
∴H(0 ) (0 － ) 连结BH(－1 )
∵·0+ － 0 ∴⊥ MC∩BHH∴HN⊥面ABC
∠NBHNB面ABC成角(－110)
∴cos∠NBH
21 解 题意设P(01)Q(xy) |PQ|Q椭圆
x2a2(1－y2) |PQ|2 a2(1－y2)+y2－2y+1(1－a2)y2－2y+1+a2
(1－a2)(y－ )2－+1+a2
|y|≤1a>1 a≥ ||≤1 y时 |PQ|取值
1
(ⅰ)△12－8a20 a± x∈(－∞) x∈( +∞)时 f ＇(x)>0 f(x)(－∞+ ∞)增函数 a±
(ⅱ)△12－8a2<0 恒f ＇(x)>0 f(x)(－∞+ ∞)增函数 a2>
a∈(－∞－ )∪( +∞)
(ⅲ)△12－8a2>0－
x2≤1≤3－a 解 －
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