1994年普通高等学校招生全国统考试
数学(理工农医类)
试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分．150分考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题65分)
选择题：题15题第(1)—(10)题题4分第(11)—(15)题题5分65分题出四选项中项符合题目求
(1) 设全集I{01234}集合A{0123}集合B{234} ( )
(A) {0}
(B) {01}
(C) {014}
(D) {01234}
(2) 果方程x2+ky22表示焦点y轴椭圆实数k取值范围 ( )
(A) (0+∞)
(B) (02)
(C) (1+∞)
(D) (01)
(3) 极坐标方程表示曲线 ( )
(A) 双曲线
(B) 椭圆
(C) 抛物线
(D) 圆
(4) 设θ第二象限角必 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(5) 某种细菌培养程中20分钟分裂次(分裂两)．3时种细菌1繁殖成 ( )
(A) 511
(B) 512
(C) 1023
(D) 1024
(6) 列函数中周期函数 ( )
(A) ysin2x+cos4x
(B) ysin2xcos4x
(C) ysin2x+cos2x
(D) ysin2xcos2x
(7) 已知正六棱台底面边长分24高2体积 ( )
(A) 32
(B) 28
(C) 24
(D) 20
(8) 设F1F2双曲线－y21两焦点点P双曲线满足∠F1PF290°△F1PF2面积 ( )
(A) 1
(B)
(C) 2
(D)
(9) 果复数z满足│z+i│+│z－i│2│z+i+1│值 ( )
(A) 1
(B)
(C) 2
(D)
(10) 甲乙丙三项务甲需2承担乙丙需1承担．10中选派4承担三项务选法 ( )
(A) 1260种
(B) 2025种
(C) 2520种
(D) 5040种
(11) 直线mn面αβα⊥β充分条件 ( )
(A) m⊥nm∥αn∥β
(B) m⊥nα∩βmnα
(C) m∥nn⊥βmα
(D) m∥nm⊥αn⊥β
(12) 设函数f(x)1－(－1≤x≤0)函数yf－1(x)图 ( )
(13) 已知球面ABC三点截面球心距离等球半径半ABBCCA2球面面积 ( )
(A) π
(B) π
(C) 4π
(D) π
(14) 函数yarccos(sinx)值域 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(15) 定义(－∞+∞)意函数f(x)表示成奇函数g(x)偶函数h(x)果f(x)lg(10x+1)x∈(－∞+∞) ( )
(A) g(x)xh(x)lg(10x+10－x+2)
(B) g(x)[lg(10x+1)+x]h(x)[lg(10x+1)－x]
(C) g(x)h(x)lg(10x+1)－
(D) g(x)－h(x)lg(10x+1)+
第Ⅱ卷(非选择题85分)
二填空题 (题5题6空格空格4分24分．答案填题中横线)
(16) (3－x)7展开式中x5系数 (数字作答)
(17) 抛物线y28－4x准线方程 圆心该抛物线顶点准线相切圆方程
(18) 已知sinθ +cosθ θ∈(0π)ctgθ值_____________
(19) 设圆锥底面圆周两点AB间距离2圆锥顶点直线AB距离AB圆锥轴距离1该圆锥体积_________
(20) 测量某物理量程中仪器观察误差n次测量分a1a2…ann数规定测量物理量佳似值 a样量：似值较a数差方．规定a1a2…an推出a
三解答题(题5题61分解答应写出文字说明证明程推演步骤)
(21) (题满分11分)
已知z1+i．
(1)设ωz2+3－4求ω三角形式
(2)果求实数ab值．
(22) (题满分12分)
已知函数f(x)tgxx∈(0)．x1x2∈(0)x1≠x2证明[f(x1)+f(x2)]>f()
(23) (题满分12分)
图已知A1B1C1－ABC正三棱柱DAC中点．
(1)证明AB1∥面DBC1
(2)假设AB1⊥BC1求BC1棱DBC1CBC1面二面角α度数．
(24) (题满分12分)
已知直线l坐标原点抛物线C顶点原点焦点x轴正半轴．点点B(08)关l称点C求直线l抛物线C方程．
(25) (题满分14分)
设{an}正数组成数列前n项Sn然数nan2等差中项等Sn2等中项．
(1)写出数列{an}前3项
(2)求数列{an}通项公式(写出推证程)
(3)令求
1994年普通高等学校招生全国统考试
数学试题(理工农医类)参考解答
选择题(题考查基知识基运算)
1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C 11．C 12．B 13．D 14．B 15．C
二填空题(题考查基知识基运算)
16．－189 17．x3(x－2)2+y21 18． 19．
20．
三解答题
21．题考查轭复数复数三角形式等基础知识运算力．
解：(1)z＝1+i
ωz2+3－4
(1+i)2+3－4
2i+3(1－i)－4－1－i
ω三角形式．
(2)z1+i
题设条件知(a+2)－(a+b)i1－i．
根复数相等定义
解
22．题考查三角函数基础知识三角函数性质推理力．
证明：
tgx1+tgx2
∵x1x2∈(0)x1≠x2
∴2sin(x1+x2)>0cos x1cosx2>000tgx1+tgx2>∴( tgx1+tgx2)>tg
[f(x1)+f(x2)]>f()
23．题考查空间线面关系正棱柱性质空间想象力逻辑推理力．
(1)证明：
∵A1B1C1－ABC正三棱柱∴四边形B1BCC1矩形．
连结B1C交BC1EB1EEC．连结DE．
△AB1C中∵ADDC∴DE∥AB1．
AB1面DBC1DE面DBC1∴AB1∥面DBC1．
(2)解：作DF⊥BC垂足FDF⊥面B1BCC1连结EFEFED面B1BCC1射影．
∵AB1⊥BC1
(1)知AB1∥DE∴DE⊥BC1BC1⊥EF∴∠DEF二面角α面角．
设AC1DC．∵△ABC正三角形∴Rt△DCF中
DFDC·sinCCFDC·cosC．取BC中点G．∵EBEC∴EG⊥BC．
Rt△BEF中
EF2BF·GFBFBC－FCGF
∴EF2·EF．∴tg∠DEF．∴∠DEF45°．
二面角α45°．
24．题考查直线抛物线基概念性质解析基思想方法综合运知识解决问题力．
解法：题设抛物线C方程写
y22px (p>0)
x轴y轴求直线l原点设l方程
ykx (k≠0)． ①
设A＇B＇分AB关l称点A＇A⊥l直线A＇A方程
②
①②联立解AA＇l交点M坐标．
MAA＇中点点A＇坐标
x A＇
y A＇． ③
理点B＇坐标
x B＇ y B＇ ． ④
A＇B＇均抛物线y22px(p>0)③
知k≠±1
⑤
理④．
．
整理 k2－k－10．
解
时③知
A＇抛物线y22px(p>0)矛盾舍．
设直线l方程．
代入⑤求．
直线方程
．
抛物线方程
．
解法二：设点AB关l称点分A＇(x1y1)B＇(x2y2)
|OA＇||OA|1|OB＇||OB|8．
设x轴正OB＇转角α
x28cosαy28sinα． ①
A＇B＇AB关直线l称点∠BOA直角∠B＇OA＇直角
x1cossinαy1sin－cosα ②
题意知x1>0x2>0α第象限角．
A＇B＇抛物线y22px①②代入
cos2α2p·sinα64sin2α2p·8cosα．
∴8sin3αcos3α
∴2sinαcosα
解 ．
代入cos2α2psinα
∴抛物线C方程．
直线l分∠B＇OBl斜率
∴直线l方程．
25．题考查等差数列等数列数列极限等基础知识考查逻辑推理力分析问题解决问题力．
解：(1)题意n1时S1a1
∴
解 a12．
n2时S2a1+ a2a12代入整理
(a2－2)216．
a2>0解 a26．
n3时S3a1+ a2+ a3a12a26代入整理
(a3－2)264．
a3>0解 a310．
该数列前3项2610．
(2)解法：(1)猜想数列{an}通项公式an 4n－2．
面数学纳法证明数列{ an }通项公式
an 4n－2 (n∈N)．
①n1时4×1－22(1)中已求出a12述结成立．
②假设nk时结成立ak4k－2．题意
ak4k－2代入式2k 解Sk2k2．
题意Sk+1Sk+ak+1
Sk2k2代入2(ak+1+2k2)整理－4 ak+1+4－16 k20．
ak+1>0解ak+12+4k．ak+12+4k4(k+1)－2．
说nk+1时述结成立．
根①②述结然数n成立．
解法二：题意整理Sn(an+2)2
Sn+1 (an+1+2)2
∴an+1 Sn+1－Sn [(an+1+2)2－(an+2)2]
整理(an+1+ an)( an+1－an－4)0
题意知 an+1+an≠0∴an+1－an4．
数列{ an }等差数列中a12公差d4．∴an a1+(n－1)d2+4(n－1)
通项公式an 4n－2．
(3)解：令cnbn－1
b1+b2+…+bn－nc1+c2+…+cn
．
∴
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数学(理工农医类)
试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分．150分考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题65分)
选择题：题15题第(1)—(10)题题4分第(11)—(15)题题5分65分题出四选项中项符合题目求
(1) 设全集I{01234}集合A{0123}集合B{234} ( )
(A) {0}
(B) {01}
(C) {014}
(D) {01234}
(2) 果方程x2+ky22表示焦点y轴椭圆实数k取值范围 ( )
(A) (0+∞)
(B) (02)
(C) (1+∞)
(D) (01)
(3) 极坐标方程表示曲线 ( )
(A) 双曲线
(B) 椭圆
(C) 抛物线
(D) 圆
(4) 设θ第二象限角必 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(5) 某种细菌培养程中20分钟分裂次(分裂两)．3时种细菌1繁殖成 ( )
(A) 511
(B) 512
(C) 1023
(D) 1024
(6) 列函数中周期函数 ( )
(A) ysin2x+cos4x
(B) ysin2xcos4x
(C) ysin2x+cos2x
(D) ysin2xcos2x
(7) 已知正六棱台底面边长分24高2体积 ( )
(A) 32
(B) 28
(C) 24
(D) 20
(8) 设F1F2双曲线－y21两焦点点P双曲线满足∠F1PF290°△F1PF2面积 ( )
(A) 1
(B)
(C) 2
(D)
(9) 果复数z满足│z+i│+│z－i│2│z+i+1│值 ( )
(A) 1
(B)
(C) 2
(D)
(10) 甲乙丙三项务甲需2承担乙丙需1承担．10中选派4承担三项务选法 ( )
(A) 1260种
(B) 2025种
(C) 2520种
(D) 5040种
(11) 直线mn面αβα⊥β充分条件 ( )
(A) m⊥nm∥αn∥β
(B) m⊥nα∩βmnα
(C) m∥nn⊥βmα
(D) m∥nm⊥αn⊥β
(12) 设函数f(x)1－(－1≤x≤0)函数yf－1(x)图 ( )
(13) 已知球面ABC三点截面球心距离等球半径半ABBCCA2球面面积 ( )
(A) π
(B) π
(C) 4π
(D) π
(14) 函数yarccos(sinx)值域 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(15) 定义(－∞+∞)意函数f(x)表示成奇函数g(x)偶函数h(x)果f(x)lg(10x+1)x∈(－∞+∞) ( )
(A) g(x)xh(x)lg(10x+10－x+2)
(B) g(x)[lg(10x+1)+x]h(x)[lg(10x+1)－x]
(C) g(x)h(x)lg(10x+1)－
(D) g(x)－h(x)lg(10x+1)+
第Ⅱ卷(非选择题85分)
二填空题 (题5题6空格空格4分24分．答案填题中横线)
(16) (3－x)7展开式中x5系数 (数字作答)
(17) 抛物线y28－4x准线方程 圆心该抛物线顶点准线相切圆方程
(18) 已知sinθ +cosθ θ∈(0π)ctgθ值_____________
(19) 设圆锥底面圆周两点AB间距离2圆锥顶点直线AB距离AB圆锥轴距离1该圆锥体积_________
(20) 测量某物理量程中仪器观察误差n次测量分a1a2…ann数规定测量物理量佳似值 a样量：似值较a数差方．规定a1a2…an推出a
三解答题(题5题61分解答应写出文字说明证明程推演步骤)
(21) (题满分11分)
已知z1+i．
(1)设ωz2+3－4求ω三角形式
(2)果求实数ab值．
(22) (题满分12分)
已知函数f(x)tgxx∈(0)．x1x2∈(0)x1≠x2证明[f(x1)+f(x2)]>f()
(23) (题满分12分)
图已知A1B1C1－ABC正三棱柱DAC中点．
(1)证明AB1∥面DBC1
(2)假设AB1⊥BC1求BC1棱DBC1CBC1面二面角α度数．
(24) (题满分12分)
已知直线l坐标原点抛物线C顶点原点焦点x轴正半轴．点点B(08)关l称点C求直线l抛物线C方程．
(25) (题满分14分)
设{an}正数组成数列前n项Sn然数nan2等差中项等Sn2等中项．
(1)写出数列{an}前3项
(2)求数列{an}通项公式(写出推证程)
(3)令求
1994年普通高等学校招生全国统考试
数学试题(理工农医类)参考解答
选择题(题考查基知识基运算)
1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C 11．C 12．B 13．D 14．B 15．C
二填空题(题考查基知识基运算)
16．－189 17．x3(x－2)2+y21 18． 19．
20．
三解答题
21．题考查轭复数复数三角形式等基础知识运算力．
解：(1)z＝1+i
ωz2+3－4
(1+i)2+3－4
2i+3(1－i)－4－1－i
ω三角形式．
(2)z1+i
题设条件知(a+2)－(a+b)i1－i．
根复数相等定义
解
22．题考查三角函数基础知识三角函数性质推理力．
证明：
tgx1+tgx2
∵x1x2∈(0)x1≠x2
∴2sin(x1+x2)>0cos x1cosx2>00
[f(x1)+f(x2)]>f()
23．题考查空间线面关系正棱柱性质空间想象力逻辑推理力．
(1)证明：
∵A1B1C1－ABC正三棱柱∴四边形B1BCC1矩形．
连结B1C交BC1EB1EEC．连结DE．
△AB1C中∵ADDC∴DE∥AB1．
AB1面DBC1DE面DBC1∴AB1∥面DBC1．
(2)解：作DF⊥BC垂足FDF⊥面B1BCC1连结EFEFED面B1BCC1射影．
∵AB1⊥BC1
(1)知AB1∥DE∴DE⊥BC1BC1⊥EF∴∠DEF二面角α面角．
设AC1DC．∵△ABC正三角形∴Rt△DCF中
DFDC·sinCCFDC·cosC．取BC中点G．∵EBEC∴EG⊥BC．
Rt△BEF中
EF2BF·GFBFBC－FCGF
∴EF2·EF．∴tg∠DEF．∴∠DEF45°．
二面角α45°．
24．题考查直线抛物线基概念性质解析基思想方法综合运知识解决问题力．
解法：题设抛物线C方程写
y22px (p>0)
x轴y轴求直线l原点设l方程
ykx (k≠0)． ①
设A＇B＇分AB关l称点A＇A⊥l直线A＇A方程
②
①②联立解AA＇l交点M坐标．
MAA＇中点点A＇坐标
x A＇
y A＇． ③
理点B＇坐标
x B＇ y B＇ ． ④
A＇B＇均抛物线y22px(p>0)③
知k≠±1
⑤
理④．
．
整理 k2－k－10．
解
时③知
A＇抛物线y22px(p>0)矛盾舍．
设直线l方程．
代入⑤求．
直线方程
．
抛物线方程
．
解法二：设点AB关l称点分A＇(x1y1)B＇(x2y2)
|OA＇||OA|1|OB＇||OB|8．
设x轴正OB＇转角α
x28cosαy28sinα． ①
A＇B＇AB关直线l称点∠BOA直角∠B＇OA＇直角
x1cossinαy1sin－cosα ②
题意知x1>0x2>0α第象限角．
A＇B＇抛物线y22px①②代入
cos2α2p·sinα64sin2α2p·8cosα．
∴8sin3αcos3α
∴2sinαcosα
解 ．
代入cos2α2psinα
∴抛物线C方程．
直线l分∠B＇OBl斜率
∴直线l方程．
25．题考查等差数列等数列数列极限等基础知识考查逻辑推理力分析问题解决问题力．
解：(1)题意n1时S1a1
∴
解 a12．
n2时S2a1+ a2a12代入整理
(a2－2)216．
a2>0解 a26．
n3时S3a1+ a2+ a3a12a26代入整理
(a3－2)264．
a3>0解 a310．
该数列前3项2610．
(2)解法：(1)猜想数列{an}通项公式an 4n－2．
面数学纳法证明数列{ an }通项公式
an 4n－2 (n∈N)．
①n1时4×1－22(1)中已求出a12述结成立．
②假设nk时结成立ak4k－2．题意
ak4k－2代入式2k 解Sk2k2．
题意Sk+1Sk+ak+1
Sk2k2代入2(ak+1+2k2)整理－4 ak+1+4－16 k20．
ak+1>0解ak+12+4k．ak+12+4k4(k+1)－2．
说nk+1时述结成立．
根①②述结然数n成立．
解法二：题意整理Sn(an+2)2
Sn+1 (an+1+2)2
∴an+1 Sn+1－Sn [(an+1+2)2－(an+2)2]
整理(an+1+ an)( an+1－an－4)0
题意知 an+1+an≠0∴an+1－an4．
数列{ an }等差数列中a12公差d4．∴an a1+(n－1)d2+4(n－1)
通项公式an 4n－2．
(3)解：令cnbn－1
b1+b2+…+bn－nc1+c2+…+cn
．
∴
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