第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
开始时U形右中空气体积压强分
V2 HA （1）
p2 p1
2时U形右中空气体积压强分
（2）
（3）
渗透室部连U形左水面部分气体总体积压强分
（4）
（5）
式中r 水密度g重力加速度．理想气体状态方程知2时薄膜部增加空气摩尔数
（6）
2时通薄膜渗透分子数
（7）
式中NA阿伏伽德罗常量．
渗透室部空气摩尔数减少压强降．降Dp
（8）
2时渗透室部分中空气压强
（9）
测试程均压强差
（10）
根定义式关数求该薄膜材料0℃时空气透气系数
（11）
评分标准：
题20分．(1)(2)(3)(4)(5)式1分(6)式3分(7)(8)(9)(10) 式2分(11) 式4分．
二图卫星绕球运动轨道椭圆心位轨道椭圆焦点O处设测量星体位C处．根题意卫星运动轨道点A时卫星恰达远点B处位A点卫星角度测量仪测出AOAC夹角a1位B点卫星角度测量仪测出BOBC夹角a2计算出时星体C心距离OC．
卫星椭圆轨道长轴长度
(1)
式中rr远分表示轨道点远点心距离．角动量守恒
A
B
O
a1
(2)
式中m卫星质量．机械守恒
(3)
已知
C
(4)
(5)
△ABC中正弦定理
(6)
(7)
心星体间距离△BOC中余弦定理
(8)
式(4)(5)(7)
(9)
评分标准：
题20分．(1)式2分(2)(3)式3分(6) (8)式3分 (9) 式6分．
三m子相身静止惯性系中均寿命
根时间膨胀效应球观测m子均寿命t
(1)
代入数
t 14×10－5s (2)
相面m子达面需时间tt时刻剩余m子数
(3)
根题意
(4)
式等号两边取e底数
(5)
代入数
(6)
根题意m子运动作匀速直线运动
(7)
代入数
(8)
评分标准：
题15分． (1)式(2)式6分(4)式(5)式4分(7) 式2分(8) 式3分．
z
a
L
S1
P
a
S2
a
h
h
S3’
O1
O2(S2’)
O3
图1
M’
M
u
四1．考虑3点光源3束光分通3透镜成实P点求组合透镜面应垂直z轴三光心O1O2O3连线行3光源连线O2位z轴图1示．图中表示组合透镜面三光束中心光线该面交点． ＝ u物距．根透镜成公式
(1)
解
保证透镜折射光线全部会聚P点光源光线投射透镜前交叉必须2utana ≤hu≤2h．式中取－号代入f L值算
≈1757h (2)
解满足面条件．
分作3点光源P点连线．3点光源时成P点3透镜光心O1O2O3应分位3条连线（图1）．关系知
(3)
光心O1位置应距离
(4)
理O3位置应距离0146h处．(3)式知组合透镜中相邻薄透镜中心间距离必须等0854hS1S2S3成P点．
2．现讨三透镜L1L2L3加工组装成组合透镜．
三透镜半径r 075h光心分放置O1O2O3处时＝＝0854h<2r透镜必然发生相互重叠必须透镜进行加工切部分然粘起满足(3)式求．称关系需讨半部分情况．
图2画出L1L2放面时相互交叠情况（纸面面）．图中C1C2表示L1L2边缘光束中心光线透镜交点W1W2分C1C2O1O2交点．
0146h
0854h
0439h
0439h
h
S1’
O2 (S2’)
O1
W1
W2
Q
Q’
N
N’
T
T’
C1
C2’
圆1
圆2
图2
x2
x1
K
圆心圆1（O2重合）圆心圆2分光源S1S2投射L1L2时产生光斑边缘半径均
(5)
根题意圆1圆2光线必须全部进入透镜．首先圆1K点（见图2）否落L1？关系知
(6)
S1发出光束全部进入L1．保证全部光束进入透镜组合L1L2进行加工时必须保留圆1圆2透镜部分．
面举出种透镜进行加工组装方法．O1O2间作垂直O1O2分圆1圆2相切切线．位间行意直线透镜L1L2进行切割掉两透镜弓形部分然线粘合符合需组合透镜半部．理L2半部L3进行切割然L2半部L3粘合起符合需整组合透镜．组合透镜S1S2S3发出全部光线会聚P点．
现计算位置透镜切部分应符合条件．设透镜L1切部分O1O2方长度x1透镜L2切部分O1O2方长度x2图2示意条切割线 x1x2
（7）
必须间图2出切割时x1达值(x1M)x2达值(x2m)
代入rr 值
(8)
代入(7)式
(9)
图2出切割时x2达值(x2M)x1达值(x1m)
代入rr 值
(10)
（11）
称性L3加工L1相L2半部加工半部加工相．
评分标准：
题20分．第1问10分中（2）式5分（3）式5分
第2问10分中(5)式3分(6)式3分(7)式2分(8)式(9)式1分(10)式(11)式1分．
果学生解答中没(7)—(11)式说图2中三圆锥光束射透镜部分全部保留透镜部分根需磨（切割掉）3分说明加工透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2O1O20854h1分(7)—(11)式全分（4分）．
五1．解法Ⅰ：
图1示S原空腔表面位置位置应位延长线某点B1处位置应位延长线某点B2处．设A1S面意点根题意
B2
B1
P2
P1
O
R1
a
a
q
图1
S1
A1
(1)
(2)
样 (1) 式成立呢？面分析图1中关系．
等效电荷位置B1式成立
(3)
(4)
(5)
(1)式 (5)式便求等效电荷
(6)
(3) 式知等效电荷位置B1原球壳中心位置O距离
(7)
理B2位置应类似方法求等效电荷
(8)
等效电荷位置B2原球壳中心O位置距离
(9)
解法Ⅱ：
图1中设．根题意两者A1点产生电势零．
（1＇）
式中
（2＇）
（3＇）
（1＇）（2＇）（3＇）式
（4＇）
（4＇）式变量次项式（4＇）式意均成立等号两边相应系数应相等
（5＇）
（6＇）
（5＇）（6＇）式
（7＇）
解 （8＇）
等效电荷位空腔外部（8＇）式求
（9＇）
（6＇）（9＇）式
（10＇）
考虑（1＇）式
（11＇）
理求
（12＇）
（13＇）
2．A点位置图2示．A电势q1q2产生
(10)
B2
B1
P2
P1
O
R1
a
a
q
A
图2
S
代入 (10) 式
(11)
评分标准：
题20分．第1问18分解法Ⅰ中(1)(2)(6)(7)(8)(9) 式3分．解法Ⅱ评分参考解法Ⅰ．
第2问2分(11)式2分．
B
A
C
pa
D
E
I
六令I表示题述极短时间Dt挡板C量挡板C摩擦力作知量方垂直DE图示表示BC间杆BC量方杆方BC皆推力表示Dt末时刻C行DE方速度表示Dt末时刻B行DE方速度表示Dt末时刻B垂直DE方速度．动量定理
C
(1)
(2)
B
(3)
AB
(4)
BC间杆伸缩BC杆方分速度必相等．
(5)
五式解
(6)
评分标准：
题20分． (1)(2)(3)(4)式2分． (5)式7分(6)式5分．
七解法Ⅰ：
金属杆ab获x轴正方初速v0时切割磁力线产生感应电动势两金属杆导轨构成回路中会出现感应电流．回路具感系数感应电流出现会回路中产生感电动势感电动势阻碍电流增然回路电阻零回路电流会趋限回路中旦电流磁场作杆ab安培力ab杆减速作cd杆安培力cd杆运动．
设意时刻tab杆cd杆速度分v1v2（相面参考系S）v1v2正时表示速度x轴正方规定逆时针方回路中电流电动势正方两杆作切割磁力线运动产生感应电动势
(1)
回路中电流i时间变化率时回路中感电动势
(2)
根欧姆定律注意回路没电阻
(3)
金属杆导轨运动程中两杆构成系统受水方合外力零系统质心作匀速直线运动．设系统质心速度VC
(4)
(5)
VC方v0相x轴正方．
现取新参考系质心固连起质心作坐标原点取坐标轴x轴行．设相系金属杆ab速度ucd杆速度
(6)
(7)
相系两杆总动量零
(8)
(1)(2)(3)(5)(6) (7) (8)式
(9)
系中t时刻金属杆ab坐标t＋Dt时刻坐标速度定义
(10)
代入 (9) 式
(11)
视i函数（11）式知常数i关系直线方程表示
(12)
式中b常数值定．现已知t＝0时刻金属杆ab系中坐标＝时i 0
(13)
(14)
表示t＝0时刻金属杆ab位置．表示意时刻t杆ab位置杆abt时刻相初始位置位移X表示
(15)
X>0时ab杆位初始位置右侧X<0时ab杆位初始位置左侧．代入(14)式
(16)
时作ab杆安培力
(17)
ab杆初始位置右侧时安培力方指左侧ab杆初始位置左侧时安培力方指右侧知该安培力具弹性力性质．金属杆ab运动简谐振动振动周期
(18)
意时刻t ab杆离开初始位置位移
(19)
A简谐振动振幅j 初相位定常量．通参考圆求ab杆振动速度
(20)
(19)(20)式分表示意时刻ab杆离开初始位置位移运动速度．现已知t＝0时刻ab杆位初始位置
X 0
速度
解两式注意(18)式
(21)
(22)
ab杆位移
（23）
(15) 式求ab杆系中位置
(24)
相质心意时刻ab杆cd杆质心两侧质心距离相等系中cd杆位置
(25)
相面参考系S质心速度右运动注意（18）式ab杆面参考系中位置
(26)
cd杆S系中位置
（27）
回路中电流 (16) 式
(28)
解法Ⅱ：
金属杆磁场中运动时切割磁力线产生感应电动势回路中出现电流时两金属杆受安培力作安培力ab杆速度改变cd杆运动．设意时刻t两杆速度分v1v2（相面参考系S）规定逆时针方回路电动势电流正方两金属杆导轨构成回路中杆磁场中运动出现感应电动势
(1’)
令u表示ab杆相cd杆速度
(2’)
回路中电流i变化时回路中感电动势EL电流变化率成正
(3’)
根欧姆定律注意回路没电阻
式(2’)(3’)两式
(4’)
设t时刻金属杆ab相cd杆距离t＋Dt时刻ab相cd杆距离＋速度定义
(5’)
代入 () 式
(6’)
视i函数(6’)式知常量i关系直线方程表示
(7’)
式中b常数值定．现已知t＝0时刻金属杆ab相cd杆距离时i 0
(8’)
(9’)
表示t＝0时刻金属杆ab相cd杆位置．表示意时刻t时ab杆相cd杆位置杆abt时刻相cd杆相位置相t＝0时刻相位置位移t＝0t＝t时间ab杆相cd杆位移
(10＇)
(11’)
意时刻tab杆cd杆受安培力作分加速度aabacd牛顿定律
(12’)
(13’)
两式相减注意()式
(14’)
式中金属杆ab相cd杆加速度Xab杆相cd杆相位置位移．常数表明相运动简谐振动振动周期
(15’)
意时刻tab杆相cd杆相位置相初始位置位移
(16’)
A简谐振动振幅j 初相位定常量．通参考圆求X时间变化率速度
(17’)
现已知t＝0时刻杆位初始位置X 0速度
解两式注意(15’) 式
(18’)
t 0时刻cd杆位x 0 处ab杆位x x0 处两者相位置x0表示设t时刻cd杆位x xcd 处ab杆位x xab处两者相位置xab－xcd表示两杆相位置位移表示
X xab－xcd－x0 (19’)
(20’)
(12’)(13’)式相加
知两杆速度常数v0两杆位置xabxcd应
xab＋xcd x0＋v0t (21’)
(20’)(21’)式相加相减注意(15’)式
（22’）
（23’）
(11’)（19’）(22’)(23’)式回路中电流
（24’）
评分标准：题25分．
解法Ⅰ 求(16)式8分(17)(18)(19)三式2分． (23)式4分(24)(25)二式2分(26)(27)(28)三式1分．
解法Ⅱ评分参解法Ⅰ评分标准中相应式子分．
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开始时U形右中空气体积压强分
V2 HA （1）
p2 p1
2时U形右中空气体积压强分
（2）
（3）
渗透室部连U形左水面部分气体总体积压强分
（4）
（5）
式中r 水密度g重力加速度．理想气体状态方程知2时薄膜部增加空气摩尔数
（6）
2时通薄膜渗透分子数
（7）
式中NA阿伏伽德罗常量．
渗透室部空气摩尔数减少压强降．降Dp
（8）
2时渗透室部分中空气压强
（9）
测试程均压强差
（10）
根定义式关数求该薄膜材料0℃时空气透气系数
（11）
评分标准：
题20分．(1)(2)(3)(4)(5)式1分(6)式3分(7)(8)(9)(10) 式2分(11) 式4分．
二图卫星绕球运动轨道椭圆心位轨道椭圆焦点O处设测量星体位C处．根题意卫星运动轨道点A时卫星恰达远点B处位A点卫星角度测量仪测出AOAC夹角a1位B点卫星角度测量仪测出BOBC夹角a2计算出时星体C心距离OC．
卫星椭圆轨道长轴长度
(1)
式中rr远分表示轨道点远点心距离．角动量守恒
A
B
O
a1
(2)
式中m卫星质量．机械守恒
(3)
已知
C
(4)
(5)
△ABC中正弦定理
(6)
(7)
心星体间距离△BOC中余弦定理
(8)
式(4)(5)(7)
(9)
评分标准：
题20分．(1)式2分(2)(3)式3分(6) (8)式3分 (9) 式6分．
三m子相身静止惯性系中均寿命
根时间膨胀效应球观测m子均寿命t
(1)
代入数
t 14×10－5s (2)
相面m子达面需时间tt时刻剩余m子数
(3)
根题意
(4)
式等号两边取e底数
(5)
代入数
(6)
根题意m子运动作匀速直线运动
(7)
代入数
(8)
评分标准：
题15分． (1)式(2)式6分(4)式(5)式4分(7) 式2分(8) 式3分．
z
a
L
S1
P
a
S2
a
h
h
S3’
O1
O2(S2’)
O3
图1
M’
M
u
四1．考虑3点光源3束光分通3透镜成实P点求组合透镜面应垂直z轴三光心O1O2O3连线行3光源连线O2位z轴图1示．图中表示组合透镜面三光束中心光线该面交点． ＝ u物距．根透镜成公式
(1)
解
保证透镜折射光线全部会聚P点光源光线投射透镜前交叉必须2utana ≤hu≤2h．式中取－号代入f L值算
≈1757h (2)
解满足面条件．
分作3点光源P点连线．3点光源时成P点3透镜光心O1O2O3应分位3条连线（图1）．关系知
(3)
光心O1位置应距离
(4)
理O3位置应距离0146h处．(3)式知组合透镜中相邻薄透镜中心间距离必须等0854hS1S2S3成P点．
2．现讨三透镜L1L2L3加工组装成组合透镜．
三透镜半径r 075h光心分放置O1O2O3处时＝＝0854h<2r透镜必然发生相互重叠必须透镜进行加工切部分然粘起满足(3)式求．称关系需讨半部分情况．
图2画出L1L2放面时相互交叠情况（纸面面）．图中C1C2表示L1L2边缘光束中心光线透镜交点W1W2分C1C2O1O2交点．
0146h
0854h
0439h
0439h
h
S1’
O2 (S2’)
O1
W1
W2
Q
Q’
N
N’
T
T’
C1
C2’
圆1
圆2
图2
x2
x1
K
圆心圆1（O2重合）圆心圆2分光源S1S2投射L1L2时产生光斑边缘半径均
(5)
根题意圆1圆2光线必须全部进入透镜．首先圆1K点（见图2）否落L1？关系知
(6)
S1发出光束全部进入L1．保证全部光束进入透镜组合L1L2进行加工时必须保留圆1圆2透镜部分．
面举出种透镜进行加工组装方法．O1O2间作垂直O1O2分圆1圆2相切切线．位间行意直线透镜L1L2进行切割掉两透镜弓形部分然线粘合符合需组合透镜半部．理L2半部L3进行切割然L2半部L3粘合起符合需整组合透镜．组合透镜S1S2S3发出全部光线会聚P点．
现计算位置透镜切部分应符合条件．设透镜L1切部分O1O2方长度x1透镜L2切部分O1O2方长度x2图2示意条切割线 x1x2
（7）
必须间图2出切割时x1达值(x1M)x2达值(x2m)
代入rr 值
(8)
代入(7)式
(9)
图2出切割时x2达值(x2M)x1达值(x1m)
代入rr 值
(10)
（11）
称性L3加工L1相L2半部加工半部加工相．
评分标准：
题20分．第1问10分中（2）式5分（3）式5分
第2问10分中(5)式3分(6)式3分(7)式2分(8)式(9)式1分(10)式(11)式1分．
果学生解答中没(7)—(11)式说图2中三圆锥光束射透镜部分全部保留透镜部分根需磨（切割掉）3分说明加工透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2O1O20854h1分(7)—(11)式全分（4分）．
五1．解法Ⅰ：
图1示S原空腔表面位置位置应位延长线某点B1处位置应位延长线某点B2处．设A1S面意点根题意
B2
B1
P2
P1
O
R1
a
a
q
图1
S1
A1
(1)
(2)
样 (1) 式成立呢？面分析图1中关系．
等效电荷位置B1式成立
(3)
(4)
(5)
(1)式 (5)式便求等效电荷
(6)
(3) 式知等效电荷位置B1原球壳中心位置O距离
(7)
理B2位置应类似方法求等效电荷
(8)
等效电荷位置B2原球壳中心O位置距离
(9)
解法Ⅱ：
图1中设．根题意两者A1点产生电势零．
（1＇）
式中
（2＇）
（3＇）
（1＇）（2＇）（3＇）式
（4＇）
（4＇）式变量次项式（4＇）式意均成立等号两边相应系数应相等
（5＇）
（6＇）
（5＇）（6＇）式
（7＇）
解 （8＇）
等效电荷位空腔外部（8＇）式求
（9＇）
（6＇）（9＇）式
（10＇）
考虑（1＇）式
（11＇）
理求
（12＇）
（13＇）
2．A点位置图2示．A电势q1q2产生
(10)
B2
B1
P2
P1
O
R1
a
a
q
A
图2
S
代入 (10) 式
(11)
评分标准：
题20分．第1问18分解法Ⅰ中(1)(2)(6)(7)(8)(9) 式3分．解法Ⅱ评分参考解法Ⅰ．
第2问2分(11)式2分．
B
A
C
pa
D
E
I
六令I表示题述极短时间Dt挡板C量挡板C摩擦力作知量方垂直DE图示表示BC间杆BC量方杆方BC皆推力表示Dt末时刻C行DE方速度表示Dt末时刻B行DE方速度表示Dt末时刻B垂直DE方速度．动量定理
C
(1)
(2)
B
(3)
AB
(4)
BC间杆伸缩BC杆方分速度必相等．
(5)
五式解
(6)
评分标准：
题20分． (1)(2)(3)(4)式2分． (5)式7分(6)式5分．
七解法Ⅰ：
金属杆ab获x轴正方初速v0时切割磁力线产生感应电动势两金属杆导轨构成回路中会出现感应电流．回路具感系数感应电流出现会回路中产生感电动势感电动势阻碍电流增然回路电阻零回路电流会趋限回路中旦电流磁场作杆ab安培力ab杆减速作cd杆安培力cd杆运动．
设意时刻tab杆cd杆速度分v1v2（相面参考系S）v1v2正时表示速度x轴正方规定逆时针方回路中电流电动势正方两杆作切割磁力线运动产生感应电动势
(1)
回路中电流i时间变化率时回路中感电动势
(2)
根欧姆定律注意回路没电阻
(3)
金属杆导轨运动程中两杆构成系统受水方合外力零系统质心作匀速直线运动．设系统质心速度VC
(4)
(5)
VC方v0相x轴正方．
现取新参考系质心固连起质心作坐标原点取坐标轴x轴行．设相系金属杆ab速度ucd杆速度
(6)
(7)
相系两杆总动量零
(8)
(1)(2)(3)(5)(6) (7) (8)式
(9)
系中t时刻金属杆ab坐标t＋Dt时刻坐标速度定义
(10)
代入 (9) 式
(11)
视i函数（11）式知常数i关系直线方程表示
(12)
式中b常数值定．现已知t＝0时刻金属杆ab系中坐标＝时i 0
(13)
(14)
表示t＝0时刻金属杆ab位置．表示意时刻t杆ab位置杆abt时刻相初始位置位移X表示
(15)
X>0时ab杆位初始位置右侧X<0时ab杆位初始位置左侧．代入(14)式
(16)
时作ab杆安培力
(17)
ab杆初始位置右侧时安培力方指左侧ab杆初始位置左侧时安培力方指右侧知该安培力具弹性力性质．金属杆ab运动简谐振动振动周期
(18)
意时刻t ab杆离开初始位置位移
(19)
A简谐振动振幅j 初相位定常量．通参考圆求ab杆振动速度
(20)
(19)(20)式分表示意时刻ab杆离开初始位置位移运动速度．现已知t＝0时刻ab杆位初始位置
X 0
速度
解两式注意(18)式
(21)
(22)
ab杆位移
（23）
(15) 式求ab杆系中位置
(24)
相质心意时刻ab杆cd杆质心两侧质心距离相等系中cd杆位置
(25)
相面参考系S质心速度右运动注意（18）式ab杆面参考系中位置
(26)
cd杆S系中位置
（27）
回路中电流 (16) 式
(28)
解法Ⅱ：
金属杆磁场中运动时切割磁力线产生感应电动势回路中出现电流时两金属杆受安培力作安培力ab杆速度改变cd杆运动．设意时刻t两杆速度分v1v2（相面参考系S）规定逆时针方回路电动势电流正方两金属杆导轨构成回路中杆磁场中运动出现感应电动势
(1’)
令u表示ab杆相cd杆速度
(2’)
回路中电流i变化时回路中感电动势EL电流变化率成正
(3’)
根欧姆定律注意回路没电阻
式(2’)(3’)两式
(4’)
设t时刻金属杆ab相cd杆距离t＋Dt时刻ab相cd杆距离＋速度定义
(5’)
代入 () 式
(6’)
视i函数(6’)式知常量i关系直线方程表示
(7’)
式中b常数值定．现已知t＝0时刻金属杆ab相cd杆距离时i 0
(8’)
(9’)
表示t＝0时刻金属杆ab相cd杆位置．表示意时刻t时ab杆相cd杆位置杆abt时刻相cd杆相位置相t＝0时刻相位置位移t＝0t＝t时间ab杆相cd杆位移
(10＇)
(11’)
意时刻tab杆cd杆受安培力作分加速度aabacd牛顿定律
(12’)
(13’)
两式相减注意()式
(14’)
式中金属杆ab相cd杆加速度Xab杆相cd杆相位置位移．常数表明相运动简谐振动振动周期
(15’)
意时刻tab杆相cd杆相位置相初始位置位移
(16’)
A简谐振动振幅j 初相位定常量．通参考圆求X时间变化率速度
(17’)
现已知t＝0时刻杆位初始位置X 0速度
解两式注意(15’) 式
(18’)
t 0时刻cd杆位x 0 处ab杆位x x0 处两者相位置x0表示设t时刻cd杆位x xcd 处ab杆位x xab处两者相位置xab－xcd表示两杆相位置位移表示
X xab－xcd－x0 (19’)
(20’)
(12’)(13’)式相加
知两杆速度常数v0两杆位置xabxcd应
xab＋xcd x0＋v0t (21’)
(20’)(21’)式相加相减注意(15’)式
（22’）
（23’）
(11’)（19’）(22’)(23’)式回路中电流
（24’）
评分标准：题25分．
解法Ⅰ 求(16)式8分(17)(18)(19)三式2分． (23)式4分(24)(25)二式2分(26)(27)(28)三式1分．
解法Ⅱ评分参解法Ⅰ评分标准中相应式子分．
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