第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答评分标准
参考解答
令表示质子质量分表示质子初速度达a球球面处速度表示元电荷量守恒知
（1）
a动取球心原点质子受a球静电库仑力总通a球球心力原点力矩始终零质子点角动量守恒求值应质子达a球表面处时速度方刚该处球面相切（见复解2011）表示值角动量守恒
（2）
式（1）（2）
（3）
代入数
（4）
质子换成电子图复解2012示时式（1）中改理求
（5）
评分标准：题15分
式（1）（2）4分式（4）2分式（5）5分
二参考解答
温度时气柱中空气压强体积分
（1）
（2）
气柱中空气温度升高时气柱两侧水银缓慢压入AB设温度升高时气柱右侧水银刚全部压B中中水银高度增
（3）
造成气柱中空气体积增量
（4）
时气柱左侧水银部分进入A进入A水银A中水银高度应增两支压强衡造成气柱空气体积增量
（5）
温度时空气体积压强分
（6）
（7）
状态方程知
（8）
式代入数
K （9）
值题终温度K温度继续升高时起气柱中空气作等压变化温度达时气柱体积
（10）
代入数
（11）
评分标准：题15分
求式（6）6分式（7）1分式（9）2分式（10）5分式（11）1分
三参考解答
位通道质量物体距心时（见图复解203）受球引力表示
（1）
式中心球心半径球体应部分球质量表示球密度质量表示
（2）
质量物体受球引力改写
（3）
作质量物体引力通道方分力
（4）
（5）
通道中垂线间夹角物体位置通道中
点距离力方指通道中点面物体重力表示
（6）
式中球质量式
（7）
式求
（8）
见弹簧弹力样性质相应劲度系数
（9）
物体衡位置作简谐振动振动周期取处弹性势零点设位通道出口处质量静止物体达处速度根量守恒
（10）
式中表示心通道距离解关式
（11）
见达通道中点速度物体质量关
设想质量物体静止出口处质量物体静止出口处现时释放振动周期相时达通道中点处发生弹性碰撞碰撞前两物体速度方相反刚碰撞质量物体速度质量物体速度规定速度方正
（12）
（13）
解式（12）式（13）
（14）
质量物体发射卫星令回通道出口处时速度
（15）
式（14）（15）（16）式（9）解
（16）
方着通道根题意卫星装置方改变成球处切线方果恰卫星绕球作圆周运动
（17）
式（16）（17）注意式（6）
（18）
已知m
（19）
评分标准：题20分
求式（11）7分求式（16）6分式（17）2分式（18）3分式（19）2分
四参考解答
图复解2041中画出进入玻璃半球光线光路（图中阴影处光线进入区域）光线球面入射角折射角分折射光线坐标轴交点令轴距离距离根折射定律
（1）
中
（2）
（3）
式（1）式（2）
式（3）
设点距离
（4）
解式（4）
（5）
排式中应舍弃解令处应玻璃半球光轴傍轴焦点式
图知应式（5）中应排±号中负号应表示
（6）
式出变化关系
半球表面中心涂黑面积进入玻璃半球光线中折射光线轴交点远处坐标
（7）
轴处光线通
增球面入射角增界角时会发生全反射没折射光线界角相应光线
光线折射线轴线交点处
（8）
轴处没折射光线通
分析知轴玻璃半球右
（9）
段光线段点属光线段求分界点图复解2042示
评分标准：题20分
求式（7）指出轴处光线通10分求式（8）指出轴处光线通6分式（9）指出光线段位置4分
五参考解答
放圆柱B圆柱B运动倾圆柱A墙面压力圆柱A倾左运动墙面没压力衡接触点摩擦力维持现设系统处衡状态取圆柱A受面正压力水摩擦力圆柱B受墙面正压力竖直摩擦力
圆柱A受圆柱B正压力切摩擦力圆柱B受圆柱A正压力切摩擦力图复解205示力图示方正方
已知圆柱A面摩擦系数＝020两圆柱间摩擦系数＝030设圆柱B墙面摩擦系数两圆柱中轴面面交角
设两圆柱质量均求出保持衡需值面列出两圆柱受力力矩衡方程：
圆柱A： （1）
（2）
（3）
圆柱B： （4）
（5）
（6）
（7）
式中代表式（1）（2）（4）（5）四式成：
（8）
（9）
（10）
（11）
四式联立方程解联立方程
（12）
（13）
（14）
（15）
式（12）（13）（14）（15）衡时需力没问题三力达需数值式（12）（14）受里摩擦系数制约三力中达需值点发生滑动保持衡
首先讨圆柱B墙面接触点接触点发生滑动求
式（12）
（16）
讨圆柱A面接触点情形题设处摩擦系数＝020根摩擦定律面求接点维持衡需水力满足圆柱面滑动点发生滑动
圆柱A面发生滑动条件
（17）
图复解205知
（18）
（19）
式（17）（18）式（19）＝020求
（20）
时圆柱A面滑动
讨两圆柱接触点接触点发生滑动求
（21）
式（18）（19）＝030解
（22）
显然衡时限总结式（20）式（22）满足条件
（23）
评分标准：题22分
求式（7）（12）（13）（14）（15）2分式（16）3分求式（23）9分
六参考解答
点电荷形成电场中点电势离开该点电荷距离成反取限远处电势零点正电荷空间点电势正负电荷空间点电势负现已知处电势零知两点电荷必定正负根提供电势曲线考察点离坐标原点时电势正减快趋限正点电荷必定位原点处表示该点电荷电量0增时电势没出现负限没负点电荷表明负点电荷必定原点左侧设原点距离时电势定负趋零表明负点电荷电量数值应产生题目电势两点电荷位原点正电荷电量位负轴离原点距离处负电荷电量＞题目条件
（1）
（2）
时电势极值电量正检测电荷位处电势极值表明该点检测电荷衡位置位该点检测电荷受电场力等零
（3）
式（1）（2）（3）解
（4）
（5）
（6）
式中静电力常量
评分标准：题23分
式（1）（2）4分式（3）6分式（4）（5）（6）3分
七参考解答
设物块点第次面碰撞碰撞前水速度竖直速度
（1）
碰撞物块竖直速度变根题意
（2）
设物块质量碰撞时间碰撞时间极短物块面间竖直方作力重力忽略重力作样物块面正压力
（3）
水方动量变化水摩擦力量作结果设水方速度变
（4）
式
（5）
理落点…碰撞竖直分速度分
…………
（6）
水速度分
…………
（7）
式（6）知碰撞次数时碰竖直方分速度趋零物块面正压力值面作物块摩擦力值次物块水方分速度定历限次数碰撞变零会反
设次碰撞物块水方分速度已足够次碰撞次碰撞结束水方分速度恰变零式（7）
两边取数
（8）
令
（9）
恰整数表示次碰撞中整碰撞时间水速度变零碰撞次数
（10）
整数种情况应次碰撞结束前碰撞时间水速度变零碰撞次数
（11）
表示整数部分
次碰撞物块水方分速度已零竖直方分速度尚未零物块处作跳跃直停止处物块运动远水距离面分计算次跳跃距离
（12）
…………
（13）
求距离述量总
（14）
分求级数：
（15）
（16）
两关系式代入式（14）
（17）
式中式（10）式（11）决定
评分标准：题25分
式（6）3分式（7）6分式（8）4分式（10）2分式（11）2分式（14）5分求式（17）说明取值3分
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参考解答
令表示质子质量分表示质子初速度达a球球面处速度表示元电荷量守恒知
（1）
a动取球心原点质子受a球静电库仑力总通a球球心力原点力矩始终零质子点角动量守恒求值应质子达a球表面处时速度方刚该处球面相切（见复解2011）表示值角动量守恒
（2）
式（1）（2）
（3）
代入数
（4）
质子换成电子图复解2012示时式（1）中改理求
（5）
评分标准：题15分
式（1）（2）4分式（4）2分式（5）5分
二参考解答
温度时气柱中空气压强体积分
（1）
（2）
气柱中空气温度升高时气柱两侧水银缓慢压入AB设温度升高时气柱右侧水银刚全部压B中中水银高度增
（3）
造成气柱中空气体积增量
（4）
时气柱左侧水银部分进入A进入A水银A中水银高度应增两支压强衡造成气柱空气体积增量
（5）
温度时空气体积压强分
（6）
（7）
状态方程知
（8）
式代入数
K （9）
值题终温度K温度继续升高时起气柱中空气作等压变化温度达时气柱体积
（10）
代入数
（11）
评分标准：题15分
求式（6）6分式（7）1分式（9）2分式（10）5分式（11）1分
三参考解答
位通道质量物体距心时（见图复解203）受球引力表示
（1）
式中心球心半径球体应部分球质量表示球密度质量表示
（2）
质量物体受球引力改写
（3）
作质量物体引力通道方分力
（4）
（5）
通道中垂线间夹角物体位置通道中
点距离力方指通道中点面物体重力表示
（6）
式中球质量式
（7）
式求
（8）
见弹簧弹力样性质相应劲度系数
（9）
物体衡位置作简谐振动振动周期取处弹性势零点设位通道出口处质量静止物体达处速度根量守恒
（10）
式中表示心通道距离解关式
（11）
见达通道中点速度物体质量关
设想质量物体静止出口处质量物体静止出口处现时释放振动周期相时达通道中点处发生弹性碰撞碰撞前两物体速度方相反刚碰撞质量物体速度质量物体速度规定速度方正
（12）
（13）
解式（12）式（13）
（14）
质量物体发射卫星令回通道出口处时速度
（15）
式（14）（15）（16）式（9）解
（16）
方着通道根题意卫星装置方改变成球处切线方果恰卫星绕球作圆周运动
（17）
式（16）（17）注意式（6）
（18）
已知m
（19）
评分标准：题20分
求式（11）7分求式（16）6分式（17）2分式（18）3分式（19）2分
四参考解答
图复解2041中画出进入玻璃半球光线光路（图中阴影处光线进入区域）光线球面入射角折射角分折射光线坐标轴交点令轴距离距离根折射定律
（1）
中
（2）
（3）
式（1）式（2）
式（3）
设点距离
（4）
解式（4）
（5）
排式中应舍弃解令处应玻璃半球光轴傍轴焦点式
图知应式（5）中应排±号中负号应表示
（6）
式出变化关系
半球表面中心涂黑面积进入玻璃半球光线中折射光线轴交点远处坐标
（7）
轴处光线通
增球面入射角增界角时会发生全反射没折射光线界角相应光线
光线折射线轴线交点处
（8）
轴处没折射光线通
分析知轴玻璃半球右
（9）
段光线段点属光线段求分界点图复解2042示
评分标准：题20分
求式（7）指出轴处光线通10分求式（8）指出轴处光线通6分式（9）指出光线段位置4分
五参考解答
放圆柱B圆柱B运动倾圆柱A墙面压力圆柱A倾左运动墙面没压力衡接触点摩擦力维持现设系统处衡状态取圆柱A受面正压力水摩擦力圆柱B受墙面正压力竖直摩擦力
圆柱A受圆柱B正压力切摩擦力圆柱B受圆柱A正压力切摩擦力图复解205示力图示方正方
已知圆柱A面摩擦系数＝020两圆柱间摩擦系数＝030设圆柱B墙面摩擦系数两圆柱中轴面面交角
设两圆柱质量均求出保持衡需值面列出两圆柱受力力矩衡方程：
圆柱A： （1）
（2）
（3）
圆柱B： （4）
（5）
（6）
（7）
式中代表式（1）（2）（4）（5）四式成：
（8）
（9）
（10）
（11）
四式联立方程解联立方程
（12）
（13）
（14）
（15）
式（12）（13）（14）（15）衡时需力没问题三力达需数值式（12）（14）受里摩擦系数制约三力中达需值点发生滑动保持衡
首先讨圆柱B墙面接触点接触点发生滑动求
式（12）
（16）
讨圆柱A面接触点情形题设处摩擦系数＝020根摩擦定律面求接点维持衡需水力满足圆柱面滑动点发生滑动
圆柱A面发生滑动条件
（17）
图复解205知
（18）
（19）
式（17）（18）式（19）＝020求
（20）
时圆柱A面滑动
讨两圆柱接触点接触点发生滑动求
（21）
式（18）（19）＝030解
（22）
显然衡时限总结式（20）式（22）满足条件
（23）
评分标准：题22分
求式（7）（12）（13）（14）（15）2分式（16）3分求式（23）9分
六参考解答
点电荷形成电场中点电势离开该点电荷距离成反取限远处电势零点正电荷空间点电势正负电荷空间点电势负现已知处电势零知两点电荷必定正负根提供电势曲线考察点离坐标原点时电势正减快趋限正点电荷必定位原点处表示该点电荷电量0增时电势没出现负限没负点电荷表明负点电荷必定原点左侧设原点距离时电势定负趋零表明负点电荷电量数值应产生题目电势两点电荷位原点正电荷电量位负轴离原点距离处负电荷电量＞题目条件
（1）
（2）
时电势极值电量正检测电荷位处电势极值表明该点检测电荷衡位置位该点检测电荷受电场力等零
（3）
式（1）（2）（3）解
（4）
（5）
（6）
式中静电力常量
评分标准：题23分
式（1）（2）4分式（3）6分式（4）（5）（6）3分
七参考解答
设物块点第次面碰撞碰撞前水速度竖直速度
（1）
碰撞物块竖直速度变根题意
（2）
设物块质量碰撞时间碰撞时间极短物块面间竖直方作力重力忽略重力作样物块面正压力
（3）
水方动量变化水摩擦力量作结果设水方速度变
（4）
式
（5）
理落点…碰撞竖直分速度分
…………
（6）
水速度分
…………
（7）
式（6）知碰撞次数时碰竖直方分速度趋零物块面正压力值面作物块摩擦力值次物块水方分速度定历限次数碰撞变零会反
设次碰撞物块水方分速度已足够次碰撞次碰撞结束水方分速度恰变零式（7）
两边取数
（8）
令
（9）
恰整数表示次碰撞中整碰撞时间水速度变零碰撞次数
（10）
整数种情况应次碰撞结束前碰撞时间水速度变零碰撞次数
（11）
表示整数部分
次碰撞物块水方分速度已零竖直方分速度尚未零物块处作跳跃直停止处物块运动远水距离面分计算次跳跃距离
（12）
…………
（13）
求距离述量总
（14）
分求级数：
（15）
（16）
两关系式代入式（14）
（17）
式中式（10）式（11）决定
评分标准：题25分
式（6）3分式（7）6分式（8）4分式（10）2分式（11）2分式（14）5分求式（17）说明取值3分
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